EASY GRADES FUNCIONES

ÍNDICE
Matemáticas
Tema: Funciones
Definición de función pág. 02
Funciones definidas por partes pág. 04
Gráficas de Valor Absoluto pág. 05
Prueba de la línea vertical pág. 06
Transformaciones pág. 07
Forma estándar de una función cuadrática pág. 10
Combinación de funciones pág. 11
Composición de funciones pág. 12
Funciones inyectivas pág. 13
Funciones inversas pág. 14
Funciones polinomiales pág. 16
División de polinomios pág. 20
Funciones racionales pág. 23
Funciones exponenciales pág. 26
Función exponencial natural pág. 27
Logaritmos pág. 27
Ecuaciones exponenciales pág. 29
Ecuaciones logarítmicas pág. 30
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Matemáticas
Tema: Funciones
FUNCIONES
Una función, es la relación entre dos o más variables:
f es una regla que asigna a cada elemento X en un conjunto A
●
exactamente un elemento, llamado f (x) , en un conjunto B.
f (x)
se lee como “f de X” o “f en X”, y se llama VALOR DE
F EN X.
● Generalmente, se consideran funciones para los cuales
los conjuntos A y B, son conjuntos de números reales.
● El conjunto A, se llama dominio de la función. El rango de
f, es el conjunto de los valores posibles de f (x) cuando X
varía a través del dominio.
Rango de f = {f(x)|x } , o sea: ∈ A Y = f (x) , siendo Y, la variable
dependiente,
f (x)
la variable independiente.
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FUNCIÓN CUADRÁTICA
Asigna a cada número real X, su cuadrado,
x 2
Matemáticas
Tema: Funciones
. Se define por
f (x) = x 2
NOTA:
El DOMINIO es el conjunto de los números reales que se les
permite tener a la variable.
Si la función está dada por una expresión algebraica y el
dominio no se enuncia de manera explícita, entonces el dominio
de la función es el dominio de la expresión algebraica.
Ejemplo: f (x) = 1 , D
x−4 = {x|x = / 4 }
GRÁFICA DE FUNCIONES
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Matemáticas
Tema: Funciones
FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES
Se define mediante fórmulas distintas en diferentes partes de
su dominio.
Ejemplo:
f (x) =
{
x 2 si x ≤ 1
2x + 1
si
x ≻ 1
*Si x ≤ 1 , entonces f (x) = x 2 , pero si x ≻ 1 , entonces
f (x) = 2x + 1
plano cartesiano.
, por lo que ambas rectas se dibujan en el mismo
MÉTODO PARA GRAFICAR FUNCIONES POR PARTES:
1. El primer paso para graficar
funciones por partes, es
tabular.
2. Graficar de acuerdo a los
valores de los tabuladores.
X 1 2 3 4 5
f (x) = 2x + 1
3 5 7 9 11
X 1 0 -1 -2 -3
f (x) = x 2
1 0 1 4 9
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Matemáticas
Tema: Funciones
GRÁFICAS DEL VALOR ABSOLUTO
Si tenemos una función con valor absoluto, significa que tiene
valores negativos y sus contrapartes positivas, y luce
gráficamente como una V.
● Ejemplo:
f (x)
= x | |
, significa que
x
si
x ≥ 0
| x| =
{
− x
si
x ≺ 0
● Tabulando:
x 0 1 2 3 4 5
f(x) | |
0 1 2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5 -6
− x
| x ) | 1 2 3 4 5 6
f(−
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Matemáticas
Tema: Funciones
PRUEBA DE LA LÍNEA VERTICAL
Una curva en el plano coordenado es la gráfica de una
función si y sólo si, ninguna línea vertical corta la curva más
de una vez.
NO es función SÍ es función Sí es función
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
*f es CRECIENTE en un intervalo
U, si f(x 1) ≺ f (x
2
) , siempre y
cuando en el intervalo U.
x 1
≺ x 2
*f es DECRECIENTE en un
intervalo U, si
f(x 1) ≻ f (x
2
)
,siempre
y cuando en el intervalo U.
x 1
≻ x 2
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TRANSFORMACIONES
DESPLAZAMIENTO DE
FUNCIONES
VERTICALMENTE
Sumar una constante a una función,
desplaza su gráfica de dirección
vertical hacia ARRIBA , si la ↑
constante es positiva, o hacia
↓
ABAJO si la constante es
negativa.
f (x) = x 2 + 3 f (x) = x 2 f (x) = x 2 5 −
Matemáticas
Tema: Funciones
DESPLAZAMIENTO DE FUNCIONES HORIZONTAL
Para graficar
y = f − (x c ) , desplace
Para graficar y = f (x + c ) ,
la gráfica de y = f (x) a la derecha
en c unidades.
desplace la gráfica de y = f (x)
la izquierda en c unidades.
a
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REFLEXIÓN DE GRÁFICAS
Matemáticas
Tema: Funciones
Para graficar
, − y = f (x) refleja la
Para graficar
y = f x ) (−
, desplace
gráfica de y = f (x) en el eje X.
la gráfica de y = f (x) en el eje Y.
ESTIRAMIENTO Y ACORTAMIENTO VERTICAL
Si
para graficar
c ≻ 1 , se alarga verticalmente
la gráfica de y = f (x)
factor de C.
por un
y = c × f (x)
Si 0 ≺ c ≺ 1 se acorta
verticalmente la gráfica de
y = f (x)
por un factor de C.
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Matemáticas
Tema: Funciones
ESTIRAMIENTO Y ACORTAMIENTO HORIZONTAL
para graficar y = f × (c x )
Si c ≻ 1 , se acorta
horizontalmente la gráfica de
Si 0 ≺ c ≺ 1 se alarga
horizontalmente la gráfica de
y = f (x)
por un factor de C.
y = f (x)
por un factor de C.
FUNCIONES PAR E IMPAR
Si una función (− f satisface f x ) = f (x)
para todo número X en su dominio, es
PAR. La gráfica de un función par es
simétrica respecto al eje Y.
Si una función f satisface
) f x = f (x) − (−
para todo número
X en su dominio, es IMPAR. La
gráfica de un función par es
simétrica respecto al Origen.
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Matemáticas
Tema: Funciones
FORMA ESTÁNDAR DE UNA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática
f (x) = ax 2 + b x + c
, se puede expresar
en la forma estándar: f (x) = a − (x h)
2 + k
*Completando al cuadrado.
La gráfica de f, es una parábola con vértice (h,k), la parábola
se abre hacia arriba si
a ≻ 0
o hacia abajo si
a ≺ 0
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Matemáticas
Tema: Funciones
COMBINACIÓN DE FUNCIONES
La suma de las funciones f + g, se define mediante:
( f + g )(x) = f (x) + g (x)
Si el dominio de f es A, y el dominio de g es B, el dominio de
f + g , es la INTERSECCIÓN de A y B ( A ) ∩ B . De manera similar
con las otras operaciones algebraicas.
*Sean f, g, funciones con dominios A y B, entonces las
funciones
( f + g ) , (f ) , − g × (f g ) , (f÷g)
se definen como:
( f + g )(x) = f (x) + g (x)
Dominio: ∩ ( A B )
( f )(x) − g = f − (x) g (x)
Dominio: ( ∩ A B )
( f )(x) × g = f × (x) g (x)
Dominio: ( ∩ A B )
( f g
)(x) = f(x) Dominio: {x |g(x) = }
∈ A ∩ B / 0
g(x)
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Matemáticas
Tema: Funciones
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Combinar dos funciones para obtener una nueva función.
Suponga que f (x) = √x , g(x) = x 2 + 1
h (x) = f (g(x)) = f(x 2 + 1 ) = √x 2 + 1
*La función compuesta f , denominada ° g
también, la
composición de f & gm está definida por:
( f ° g )(x) = f (g(x))
PROPIEDADES:
● Asociativa:
f g ) ° ( ° h = ( ° f ° g ) h
● No conmutativa:
f ° g = / ° g f
● Elemento neutro es la función identidad
f ° i = i ° f = f
EJEMPLO : f (x) = x 2 , g(x) − = x 3
● f (x) (x ) ° g = f − 3 = − (x 3)
2
2
● g (x) ° f = g(x ) = x
2 3 −
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FUNCIONES INYECTIVAS
Matemáticas
Tema: Funciones
O mejor conocidas, como FUNCIONES UNO A UNO . La inversa
de una función, es una regla que invierte lo que ha hecho la
función. No todas las funciones tienen inversas, las que sí, son
las funciones UNO A UNO.
NOTA: Funciones uno a uno
f(x 1
) = / f(x 2
) siempre que x 1
= / x 2
*Si
A = ∀ / B , entonces f (A) = / f (B)
Para probar gráficamente que la función UNO A UNO se utiliza
la PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL (Si una recta
horizontal no cruza la gráfica más de una vez, se considera
UNO A UNO)
Una forma equivalente de la condición UNO A UNO es:
f(x 1
) = f (x
2),
entonces x 1
= x 2
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FUNCIONES INVERSAS
Matemáticas
Tema: Funciones
Si se es una función uno a uno, con Dominio A y Rango B, su
función inversa f −1 (x) , tiene Dominio B y Rango A, está
definida por: f −1 (y) = x ⇐⇒ f (x) = y
PROPIEDADES:
● Sea f una función inyectiva con Dominio A y Rango B, la
función inversa tiene las propiedades de cancelación:
○ f −1 (f(x)) = x para toda X en A
−1
○ f(f (x)) = x para toda X en B
Ejemplo: Demostrar que
f (x) = x 3 1
y g (x) = x 3
● g (f(x)) = g(x 3 1
3 3
) = (x ) = x
1
● f (g(x)) = f(x 3 )
1 3
= (x 3 ) = x
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Matemáticas
Tema: Funciones
ENCONTRAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN INYECTIVA
Usaremos el ejemplo de f (x) = − 3x
2
1. Escribir la función como y = f (x)
y = 3 − x 2
2. Resolver esta ecuación para X en términos de Y
y + 2 = 3 → x
y+2 3
= x
3. Intercambiar las variables X & Y de lugar. La ecuación
quedará como
y = f −1 (x)
x+2 = f −1 (x)
DEMOSTRAR UNA FUNCIÓN INYECTIVA
3
a=b /
p
es equivalente a demostrar
⇒
f(a)=f(b) /
q
p ⇒ q es ¬ q ⇒ ¬p
*Si
f (a) = f(b)
, entonces a = b
Ejemplo: Demostrar que
f (x) = −x 2
+ 3
es inyectiva,
suponiendo que
f (a) = f(b)
, por demostrar que a = b
−a + 3 = −b 2
+ 3 −a → 2
= −b 2
→ − a = b → a = b −
2
f(x) sí es inyectiva
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Matemáticas
Tema: Funciones
FUNCIONES POLINOMIALES
Una función polinomial de grado n, tiene la forma:
a x n n + a x n−1 n−1
+ ... + a 1
x + a 0
Donde
a 0
, a 1
, ...,
a n
son números reales y los coeficientes del
polinomio: a 0
es el término constante; a n es el coeficiente
principal, porque es el coeficiente de la potencia más alta y n
es un entero no negativo. Si a n = / 0 , el polinomio tiene grado n.
La gráfica de un polinomio es siempre una curva lisa y
continua. A medida que el grado n es más grande, las gráficas
se vuelven más planas respecto al origen.
f (x) = x f (x) = x 2 f (x) = x 3 f (x) = x 4 f (x) = x 5
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x →−
x → ∞
x →−
x → ∞
x →−
x → ∞
x →−
x → ∞
Matemáticas
Tema: Funciones
COMPORTAMIENTO EXTREMO Y EL COEFICIENTE
PRINCIPAL
El comportamiento extremo de un polinomio es una descripción
de lo que sucede cuando X se vuelve grande en la dirección
positiva o negativa.
→ ∞
→ ∞ −
● x “X se hace grande en la dirección positiva”
● x “X se hace grande en la dirección negativa”
El comportamiento extremo está determinado por el término
que contiene la potencia más alta de X.
p de grado impar
p de grado par
Coeficiente
principal es positivo
Coeficiente
principal negativo
Coeficiente
principal es positivo
Coeficiente
principal negativo
y →
∞
cuando
−
y → ∞
cuando
y → ∞
cuando
y →
∞
cuando
−
y → ∞
cuando
y → ∞
cuando
y →
∞
cuando
−
y →
∞
cuando
−
∞
∞
∞
∞
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Matemáticas
Tema: Funciones
USO DE CEROS PARA GRAFICAR
Los ceros de un polinomio, son las soluciones de la ecuación
polinomial
p (x) = 0
. En este caso, C deja de ser una constante
para llamarse cero de P, si p (c) = 0
● c es un cero de P.
●
x = c , es una solución de la ecuación
p (x) = 0
● x es c un factor de p (x)
−
● x = c es una intersección en X de la gráfica de p.
Para hallar los ceros de un polinomio :
Ejemplo: p (x) = x 2 + − x 6
1. Se factoriza
p (x) = ( − x 2 )(x + 3 )
2. Usar la propiedad del producto nulo.
, x , hacen que p(x) sea −
x 1
= 2 2
= 3
igual a cero,
son las intersecciones con el eje X.
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA POLINIMIOS
Si P es una función polinomial y p (a) y p (b) tienen signos
opuestos, entonces existe por lo menos un valor c (cero)
entre a y b.
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Matemáticas
Tema: Funciones
NORMAS PARA GRAFICAR FUNCIONES POLINOMIALES
Utilizaremos el ejemplo: p (x) = x 3 + 2x 2 3 x −
1. Ceros.
Factorizar el polinomio para encontrar todos sus ceros
reales (intersecciones con el eje X)
x(x 2 − 2 − x 3 )
x(x − 3 )(x + 1 )
, x , −
x 1
= 0 2
= 3 x 3
= 1
2. Puntos de Prueba
Construir una tabla de valores para polinomio
3. Comportamiento Extremo
El comportamiento extremo se puede apreciar en la tabla
de valores para el polinomio. Pues en el (− ,− intervalo ∞ 1)
es negativo, y en el intervalo
4. Graficar
Tabular si es necesario
( ∞ 3, )
es positivo.
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Matemáticas
Tema: Funciones
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
El algoritmo de la división de polinomio es:
a. DIVISIÓN LARGA
1. Divida los términos
principales ( 6x 2
/ x) = 6 x
− 2. Multiplicar 6x(x 4 ) . El
resultado se coloca en
posición, se resta y se baja
el siguiente término.
3. Repetir el proceso
4. El número que queda sin
variable, es el residuo
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Matemáticas
Tema: Funciones
b. DIVISIÓN SINTÉTICA
Método que se usa cuando dividimos un polinomio
entre un factor lineal de la forma x-c
Ejemplo:
6x 2 − 26x + 12
entre
x − 4
Siendo la respuesta correcta:
6x 2 6x 2 − 2 + 1 = ( − x − 4)(6x 2 ) + 4
TEOREMA DEL RESIDUO
SI el polinomio P(X) se divide entre x-c, entonces el residuo es
el valor P(c)
P (x) = ( − x × c ) Q (x) + R
Ejemplo: Si el residuo es (− 5, P 2 ) = 5
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TEOREMA DEL FACTOR
C es un cero de P si y sólo si
x − c
Matemáticas
Tema: Funciones
es un factor de P(x).
Si P(X) se factoriza como P (x) = ( x − c × ) Q (x) , entonces
P (c) = ( c ) − c × Q (c) + 0 = − ( × x c ) Q (c) = 0
.
A la inversa, si
P (c) = 0
, entonces, por el Teorema del Residuo,
P (x) = ( x ) (x) x ) (c)
− c × Q + 0 = ( − c × Q , por lo tanto X-C es un
factor de P(X).
TEOREMA DE CEROS RACIONALES
P (x) = a x n n + a x n−1 + . .. + a x + a n−1 1 0 con a R (no pueden ser
i
fracciones), entonces todo CERO RACIONAL de P(X) tiene la
∈
p
forma
q
donde P divide a a 0
y q, divide a a n .
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Matemáticas
Tema: Funciones
FUNCIONES RACIONALES
Una función racional es de la forma:
Q (x)
P (x)
= R(x)
donde P(x) & R(x) son polinomios.
D Q
= − R {x | R(x) = 0 }
ASÍNTOTA VERTICAL
La recta
x = a , es una ASÍNTOTA VERTICAL de la función
y = f (x) si , cuando X tiende ± y → ∞ hacia a por la derecha o
izquierda. La ASÍNTOTA VERTICAL se saca con el dominio.
y → ∞ cuando
→ x a +
y → ∞
x → a −
cuando
y → ∞ −
→ x a +
cuando
y → ∞ −
x → a −
cuando
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x → ∞
ASÍNTOTA HORIZONTAL
Matemáticas
Tema: Funciones
La recta y = b es una Asíntota Horizontal de la función
(x)
y = f si y se aproxima ±
hacia b cuando .
→
∞
y → b
cuando
y → b −
cuando → ∞ x
Para la Asíntota Vertical de una función racional, primero se
factoriza el denominador. El cero racional resultante, será la
Asíntota Vertical:
2x−3
Ejemplo: f (x) = x+1
, D = { x | − R − ( 1 )} , siendo la Asíntota
−
Vertical, A V = X = 1 .
Para la Asíntota Horizontal, los grados del numerador y
denominador indica la Asíntota Horizontal.
Ejemplo:
5x2−3
f (x) = 3x+1
siendo la Asíntota Horizontal
5
A H = 3
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Matemáticas
Tema: Funciones
Ejemplo de función Racional:
2x−3
f (x) = x+1
●
D = { x | − R − ( 1 )}
● A .V . = 2
● − A .H. = 1
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Matemáticas
Tema: Funciones
FUNCIONES EXPONENCIALES
f (x)
= a x
Donde
a
es un número constante y
siempre positivo. a ≻ 0 , a = / 1
D f
= R R f
= ( ∞ 0, )
0 ≺ a ≺ 1
1 ≺ a
f(x)
es decreciente, y = 0
cuando:
es A.H.
f(x)
es creciente, y = 0
cuando:
es A.H.
limf(x)
−∞ → x = 0 −
limf(x)
−∞ → x = 0 −
limf(x)
−∞ x = + ∞
x
lim a
x
→
→
= ∞
−∞
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Matemáticas
Tema: Funciones
F. EXPONENCIAL NATURAL
f (x)
= e x
Exponente con base e . Es
común referirse a ella como
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.
e ≃ 2 .7169 , e = / 0
1 n
e = lim x → ∞ (1 + n
)
LOGARITMOS
FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE
x log a
= ln x
ln a = log x
log a
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Matemáticas
Tema: Funciones
LOGARITMOS EN BASES ESPECIALES
● l n base l es l n = l og → e
● log base 10
l og x = log 10
x
→
LEYES DE LOS L0GARITMOS:
loga l og
l n
loga 1 = 0 l og 1 = 0 l n 1 = 0
loga a = 1 l og 10 = 1 l n e = 1
logaa
x = x ln e x = x
a log x a = x e lnx = x
log a (XY ) = loga X + loga Y l og(AB) = l ogA + L ogB l n(AB) = l nA + l nB
log a (X/ Y ) = log − aX loga Y l og(A/ B) − = logA L ogB l n(A/ B) − = lnA l nB
log x p a = × p log
a log p og
x a × = p l a ln a p = p × l n a
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Matemáticas
Tema: Funciones
ECUACIONES EXPONENCIALES
Una ecuación exponencial es aquella en la que la variable
ocurre en el exponente . Como tiene la variable en el
exponente, se les da el logaritmo en cada lado y se usan las
leyes para definir las variables X. Utilizamos las leyes de los
logaritmos.
Ejemplo: 2 x = 7
1. Aplicamos ln en cada miembro:
ln 2 x = l n 7
2. Bajar el exponente con las leyes de los logaritmos
x ln2 = l n7
3. Despejar X
x = l n7 → ≃ / ln2 1.95910/
0.6931
4. Sacar el resultado en la calculadora
x ≃ 2 .80735
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ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Es aquella en la que ocurre un logaritmo en la variable.
Matemáticas
Tema: Funciones
Pasos para resolverla, utilizando el ejemplo: log 2
(x + − 2)
5 = 0
1. Aislar el término logarítmico en un lado de la ecuación;
podría ser necesario combinar primero los términos
logarítmicos.
log 2
(x + 2 ) = 5
2. Cambiar la ecuación en forma exponencial o elevar la
base a cada lado de la ecuación.
a. En forma exponencial
x + 2 = 2 5 → x + 2 = 32
b. Elevar la base a cada lado de la ecuación
log (x+2)
2
2
= 2 5 → x + 2 = 2 5 x + 2 = → 32
3. Despejar la variable.
x = 30
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30