EASY GRADES TRIGO Y CONICAS

ÍNDICE
Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
Lugar geométrico Pág. 03
Circunferencia Pág. 04
Parábola Pág. 06
Elipse Pág. 09
Hipérbola Pág. 11
Círculo unitario Pág. 12
Identidades
trigonométricas
Pág. 13
Gráficas trigonométricas Pág. 17
Fórmulas de adición y
sustracción
Fórmulas para el ángulo
doble
Pág. 19
Pág. 20
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
LUGAR GEOMÉTRICO
Es cualquier conjunto de puntos. El término se aplica al
conjunto de todos los puntos que tienen alguna característica
geométrica común
1. Definido por un conjunto de inecuaciones lineales, se llama
Conjunto Poliédrico.
2. El conjunto de puntos (X,Y) que satisfacen una o ∈ R 2
más
restricciones dadas. Se pueden representar por una o
más ecuaciones o inecuaciones.
Por ejemplo:
(X,Y) satisface...
3 X + Y ≤ 6
X + 4Y ≤ 10
X ≥ 0 , Y ≥ 0
*El conjunto poliédrico
definido, está coloreado
en color azul.
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CIRCUNFERENCIA
Es el lugar geométrico de todos
los puntos del plano que están a
una distancia dada (Radio) de un
punto dado (Centro). Al segmento
cuyos extremos son el centro del
círculo y al punto de la
circunferencia, se llama
SEGMENTO RADIAL DE LA
CIRCUNFERENCIA.
(x,y) - (h,k) = Segmento Radial
|| (x, y , ) − (h, k ) || = r
→
Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
1. De la ecuación estándar de la circunferencia con centro
(h,k) Y Radio r , se obtiene igualando distancias:
√ (x h)
2 + (y − k)
2 = r
−
(x − h)
2 + (y − k)
2 = r 2 →
ECUACIÓN ESTÁNDAR
NOTA:
* Ax 2 + Ay 2 + D x + E y + F = O es la FORMA GRAL DE LA
CIRCUNFERENCIA.
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
2. Que se puede transformar en la FORMA GENERAL...
x 2 − 2 xh + h 2 + y 2 + 2 ky + k 2 = r 2
3. Reordenando los términos:
x 2 + y 2 − 2 hx + 2 ky + ( h
2 + k 2 + r 2 ) = 0
NOTA:
( h 2 + k 2 + r 2 )
es un término independiente.
RECTAS TAN & SEC
RECTA TANGENTE
Recta que intersecta a la
circunferencia en un único punto.
RECTA SECANTE
Recta que intersecta la
circunferencia en dos puntos.
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PARÁBOLA
Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
Lugar geométrico de los puntos (X,Y) que se encuentran a la
misma distancia de una recta llamada DIRECTRIZ y de un punto
llamado FOCO .
Por ejemplo, la ecuación de la parábola cuyo Foco está en el
punto (0,P) y Directriz Y= -P ó d: Y+P=0 es
x 2 = 4 py
DEMOSTRACIÓN:
x, ) (x, ) (x, → ( y ∋ d y ⇒ F = d y)
⇒ √
x 2 + (y )
| |
√1 2
Elevando al cuadrado el resultado, para eliminar los
valores absolutos...
py → x 2 + y 2 − 2 + p 2 = y 2 + 2 py + p 2
− p 2 = y+p
Despejando
x 2
, nos da como resultado...
x 2 = 4 py
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
La recta que contiene al Foco, es ortogonal a la Directriz, y
se llama EJE. La recta Y es un eje de simetría de la parábola.
El VÉRTICE es la intersección de la parábola y su eje de
simetría. Se denota con la letra V.
Ejemplos de parábolas
x 2 = 4 py
y 2 = 4 px
F = Foco (0,P)
V = Vértice (Sobre el eje de Y)
D = Directriz (Y+P=0)
F = Foco (P,0)
V = Vértice (Sobre el eje de X)
D = Directriz (X+P=0)
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PARTES DE UNA PARÁBOLA
Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
● Se define la parábola por
su Foco y Directriz.
● En este caso, el eje de
simetría, es el eje X.
● Como se comprueba, el
vértice es el punto de
intersección entre la parábola
y el eje de simetría.
● El LADO RECTO, es el
segmento de recta que pasa
por el foto y tiene sus
extremos en la parábola
ortogonal al eje de simetría y
paralelo a la directriz.
● El ANCHO FOCAL es la norma del lado recto. El ANCHO
FOCAL será de 4p | |
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ELIPSE
Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
● Es el lugar geométrico de los puntos (X,Y) tales como la
suma de las distancias (X,Y) a dos puntos fijos llamados
FOCOS, que es constante a 2a.
● La recta que contiene al Foco (color ROJO), se llama
EJE PRINCIPAL, y el CENTRO C(F1, F2) (ESTRELLA)
● Los puntos de intersección de la elipse con su eje
principal, son los VÉRTICES V1 y V2, y el segmento cuyos
extremos son los vértices, recibe el nombre de EJE
MAYOR.
● El segmento ortogonal al eje mayor, que pasa por el
centro y cuyos extremos están sin la elipse, es el EJE
MENOR. (Color VERDE)
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
● Las letras que miden significan:
○ a= de algún vértice (V1 ó V2) al Centro
○ b= del Centro a los puntos U1 ó U2
○ c= del Centro a algún Foco
ECUACIÓN ELIPSE HORIZONTAL
ECUACIÓN ELIPSE VERTICAL
X 2 Y
+ 2
a 2 b
2
= 1
X 2 Y
+ 2
b 2 a 2
= 1
PROPIEDADES DE LA ELIPSE
A. VÉRTICES: Puntos de intersección de la Elipse con el eje
que contiene a los focos.
B. FOCOS:
C. CENTRO: Punto medio del segmento de recta que une a
los focos.
D. CO-VÉRTICES: Puntos de intersección del elipse con el eje
ortogonal al eje que contiene a los focos.
NOTA:
Para conocer la orientación de la elipse, hay que conocer
qué valores son mayores, si a ó b.
Si a b Horizontal
≻ →
Si b a Vertical
≻ →
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HIPÉRBOLA
Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
Es el lugar geométrico de puntos tales que el valor absoluto de
la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados
FOCOS.
Es una constante que denotaremos 2a, pero por ahora esta
tiene que ser menor a la distancia.
La distancia entre los focos es de 2c.
Si los focos están en el eje X (C,0) y (- C,0)
ECUACIÓN HIPÉRBOLA HORIZONTAL
ECUACIÓN HIPÉRBOLA VERTICAL
X 2 Y 2
a 2 − b
2 = 1
Y 2 X 2
a 2 − b
2 = 1
PROPIEDADES:
● CENTRO: Punto medio del segmento que une los focos
● EJE TRANSVERSAL: Eje de simetría, es el segmento que
une a los focos (Sobre el eje X)
● EJE CONJUGADO: Eje de simetría, ortogonal al eje
transversal (Eje Y)
● VÉRTICES: Puntos de intersección de la hipérbola y su eje
transversal.
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
CÍRCULO UNITARIO
Círculo cuyo radio
r = 1
y su centro está en el origen de un
plano. Su ecuación es x2 + y 2 = 1
C osα
S enα
= z
x
= z
y
T
anα
= x
y
● Para demostrar que un punto está dentro del Círculo
Unitario, se demuestra que el punto cumple con su
ecuación. Ejemplo:
p 3
√3
√6
3
( , )
→ x2 + y 2 = 1
√3
(
3
)
2 √6
+( 3 )2 → = 1 3 9
+ 6 9
= 1
El punto sí se encuentra dentro del Círculo Unitario
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas, se relacionan entre sí
mediante ecuaciones llamadas IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS.
COSENO
SENO
TANGENTE
C osα
= Adyacente
Hipotenusa
S enα = Opuesto
Hipotenusa
T anα
= Opuesto
Adyacente
SECANTE
COSECANTE
COTANGENTE
S ecα = 1
Cosα
C scα = 1
Senα
C otα = 1
T anα
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
Siendo las Identidades trigonométricas divididas en varias
categorías, que son fundamentales.:
➢ IDENTIDADES RECÍPROCAS
○ C scα = 1
Senα
○ S ecα = 1
Cosα
○ C otα = 1
T anα
○ T anα
= Senα
Cosα
○ C otα
Cosα
= Senα
➢ IDENTIDADES PITAGÓRICAS
○ Sen 2 α + Cos 2 α = 1
○ T an2 α + 1 = Sec 2 α
○ 1 + Cot 2 α = Csc 2 α
➢ IDENTIDADES PARES - IMPARES
en(− − ○ S α ) = S enα
os(− ○ C α ) = C osα
an(− − ○ T α ) = T anα
➢ IDENTIDADES DE COFUNCIONES
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
○ Sen( π
) − α = C osα
2
○ Sec( π
) − α = C scα
2
○ Cot( π
) − α = T anα
2
○ T an( π
) − α = C otα
2
○ Cos( π
) − α = S enα
2
○ Csc( π
) − α = S ecα
2
ÁNGULOS DE REFERENCIA
Sea α un ángulo en posición estándar, el ángulo de referencia
α , relacionado con α es el ángulo agudo formado por el lado
terminal de α y el eje X.
EVALUACIÓN DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA
CUALQUIER ÁNGULO
1. Encontrar el ángulo coterminal
entre 0 o − 360
o
2. Encontrar el cuadrante en el
que está ubicado
3. Encontrar el ángulo de
referencia
ÁNGULO DE REFERENCIA ≻ 90
o
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
POSITIVO
NEGATIVO
MEDIDA EN GRADOS
1 o = π
180
1 radián = 180 o 1 revolución = 360 o
2 π
π
π
2
π
3
360 o 180 o 90 o 60 o
α SENO COSENO TANGENTE
30 o ó π/ 6 1/ 2
√3/ 2
√3
45 o ó π/ 4 √2/ 2
√2/ 2
1
60 o ó π/ 3 √3/ 2
1/ 2
√3/ 3
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
GRÁFICAS TRIGONOMÉTRICAS
Seno y Coseno son periódicas. Una función es PERIÓDICA, si
hay un número positivo P tal que f (α + p ) = f (α) para toda t .
Tal número es el período de la función.
*Las funciones Sen, Cos, Csc y Sec, tienen período 2 π ,
porque:
S en(α + 2 π) = Senα
C os(α + 2 π) = C osα
C sc(α + 2 π) = Cscα
S ec(α + 2 π) = S ecα
*Las funciones Tangente y Cotangente, tienen período π ,
porque: T an(α + π ) = T anα C ot(α + π ) = C otα
f (x) = S enα
f (x) = C osα
NOTA:
Las TRANSFORMACIONES de las funciones trigonométricas,
son iguales a cualquier otra función.
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
La gráfica de la Tangente, se apróxima a las rectas verticales
x 1
= 2
π
&
−π
x 2
= 2
, siendo estas las Asíntotas Verticales.
Graficando
y = T anα & y = C otα
para
−π π
≺ x ≺
2 2
y = T anα
y = C otα
Para graficar las funciones de
identidades recíprocas.
C scα & Secα , se aplican las
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
FÓRMULAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
● Fórmulas para SENO
○ S en(α + β ) = S × enα C × osβ + Cosα S enβ
○ Sen(α ) enα osβ − β = S × C − × Cosα S enβ
● Fórmulas para COSENO
○ C os(α + β ) = C × osα − × Cosβ Senα S enβ
○ Cos(α ) osα osβ − β = C × C + × Senα S enβ
● Fórmulas para TANGENTE
○ T an(α + β ) =
T anα+T anβ
1−(T anα×T anβ)
○ T an(α ) T anα−T anβ
β = −
1+T anα×T anβ
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Matemáticas
Tema: Trigonometría y Cónicas
FÓRMULAS PARA EL ÁNGULO DOBLE
Las fórmulas para el ángulo doble, permiten calcular valores
de las funciones trigonométricas en
en α .
● Fórmulas para SENO
○ S en(2α) = 2 × Senα C osα
● Fórmulas para COSENO
○ C os(2α) = Cos 2 −
2
α Sen α
Cos(2α)
= 1 −
2
2Sen α
2 α
, a partir de los valor
C os(2α) = 2Cos α 1
● Fórmulas para TANGENTE
2
−
○
T an(2α) =
2T anα
1−T an 2 α
*Demostración de porque C os(2α) = 1 −
2
2Sen α
C os(2α) = C os(α + α ) × = − × Cosα =→
Cosα Senα S enα
Cos α en α (1 en α) →
2
− S 2 = − S 2 − Sen 2 α = 1 −
2
2Sen α
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