EASY GRADES VECTORES

ÍNDICE
Matemáticas
Tema: Vectores
Definición de vectores pág. 03
Operaciones de vectores pág. 05
Vectores ortogonales y
paralelos
pág. 09
Proyección ortogonal pág. 10
Complemento ortogonal del
vector
pág. 11
Prohibida su reproducción total o parcial sin permiso de las autoras.
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VECTORES
Matemáticas
Tema: Vectores
Un vector ( v ) es un segmento
de recta dirigido.
Es un par ordenado de números
reales
en un plano
R
R 2
Características
Ui es un componente
● U =
(
u a
) ub
Ua es horizontal (X)
Ub es vertical (Y)
● Magnitud o norma
Distancia del punto inicial al final. Un vector es equivalente
a un vector que sale del origen (0,0).
La magnitud se expresa así: u || ||
|| u||
=
√ u2 a + u 2 b
|| u||
∀ ≥ 0 u
u || ||
0
⇐⇒ 0
0
= 0 = ( )
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● Dirección
Ángulo que forma el vector
Matemáticas
Tema: Vectores
U con el eje horizontal (X)
Cos θ = Adyacente
u a
Hipotenusa ⇒ Cos θ = ( ),
|| u||
U = / 0
θ = Cos −1
NOTA
Para determinar el valor
del vector, se resta el
P.I. (Punto Inicial) del P.F.
(Punto Final)
Ejemplo:
u
= ( 35
− ) ( 23 ) = ( 22 )
u a
( )
|| u||
NOTA
Se pone una raya
encima de la variable,
para distinguir a un
número real de un
vector que se
encuentra en el plano
cartesiano
NOTA
0
0= (
0
) es el Origen
en el plano
cartesiano.
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OPERACIONES DEL VECTOR
Matemáticas
Tema: Vectores
*Suma : La suma de vectores, da otro
vector. Geométricamente, se obtiene
con el paralelogramo.
*Resta: Mismas propiedades que la
Suma, excepto que geométricamente se
muestra así:
u + v = (
u a
) +( ub vb
v a
)
u a+v
= u +v
b
a
b
( w ) + v = − v w = v a −w
−
w −w
b
a
b
Propiedades algebraicas de la suma de los vectores:
● Conmutativa : Orden de los factores no altera el
producto. +( + ) = +( + → u p w w u p )
● Asociativa: w ( + ) = ( → u p wu + wp )
● Neutro aditivo: Si a algún vector se le suma el
origen, no se generan cambios. w → + 0=
● Inverso aditivo : Vector que al sumarse a otro
vector, da el origen.
− w , ( w)
= v , + = 0
→ w v
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w

● Multiplicación: Existen dos tipos de resultados:
Matemáticas
Tema: Vectores
*PRODUCTO POR UN ESCALAR Ó PRODUCTO POR
UNA CONSTANTE (C)
Si, u∈ R 2 , C∈ R
( × C u )
CU a
)
C ≺ 0
C ≥ 1 Se alarga el vector
0 ≺ C ≺ 1 Se achica el vector
=
C = 0
( CU b
Se reduce a 0 el vector
Cambia de dirección
respecto al eje X
■ CARACTERÍSTICAS:
● Distributiva. C( u+ p) = (C u + C p )
● Neutro Multiplicativo. El neutro multiplicativo
es el 1, porque es la única constante que
NO modifica el vector.
● NO existe el inverso multiplicativo.
● La MAGNITUD es una constante por un
vector (Producto por un escalar)
|| × C → u|| =
√ c2 u 2 + 1 u2 = c 2
×
| | || u || ×
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Matemáticas
Tema: Vectores
*PRODUCTO PUNTO, PRODUCTO INTERIOR O PRODUCTO
ESCALAR
Es el producto de 2 vectores.
Si, ∈ u, v R 2 : u × v = u a v a + u b
v b
× u ∈ v R 2
→
1 −3
u
2
v
4
Ejemplo: = ( ) , = ( ),
× − − × u v = [(1) ( 3 )] + (2) 4) ) 8)
Expresado geométricamente:
[ × ( ] = ( 3 + ( = 5
ÁNGULO ENTRE VECTORES
Para encontrar el ángulo entre dos vectores, utilizamos
C osα
. En este
caso, usaremos los vectores v y u.
C osα = u×v
× || u || || v||
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Matemáticas
Tema: Vectores
u
× v
NOTA
α = α 2 − α 1
es PROPORCIONAL al Coseno del menor ángulo
formado por los vectores u y v . Ser proporcional no es lo
mismo a producto punto.
■ Propiedades del PRODUCTO PUNTO.
● Distributiva: u × v = v × u
● No hay potencias. Si se multiplica
u × u , es
un Producto por un escalar o un número
real, R, y se expresa como magnitud.
→ u
= × u = || u → || siendo u
u 2
≥ 0
● Neutro multiplicativo: u 0 × = 0
● Asociativa: ( + ) = ( + ) = → w u p wu wp H
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❏
Matemáticas
Tema: Vectores
VECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES
VECTORES PARALELOS
u | | v
❏ u será paralelo a v si α , el ángulo
formado por u y v es de 0 o ó π .
❏ Los vectores son paralelos si los 2
apuntan en la misma dirección
( Cosα
es el mismo para ambos
vectores) o una dirección
contraria. También si
C osα = 1
ó su
Magnitud es igual a 1
❏ Los vectores son paralelos si uno
es el producto por un escalar de
otro.
VECTORES ORTOGONALES
π
→
❏ u ⊥ v ⇔ α = 2 Cos
( 2π ) = 0
❏ ⊥ u v ⇔ × u v = 0
Si el producto punto de ambos
vectores es igual a cero.
o
❏ Forman un ángulo recto ( 90 )
cuando se cruzan
NOTA:
El procedimiento para determinar si los vectores son
1. Calcular el producto punto entre ambos vectores
2. Calcular la magnitud de ambos vectores
3. Comparar el producto punto y la magnitud .
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Matemáticas
Tema: Vectores
PROYECCIÓN ORTOGONAL
Proy =
v u
( uv
2) v
|| v ||
×
v
u
es el vector que se proyecta
es el vector en el que se proyecta.
Proyección Ortogonal de u sobre v es el vector paralelo de
v
más “cercano” a u .
*No es necesario que la Proyección Ortogonal tenga la misma
figura que los vectores de los que se proyecta.
Propiedades:
● Proy | | v , toda vez que los vectores sean múltiplos
v u
unos de otros.
● ( u − Proy v ⊥ u ) v
Demostración:
( Proy ) u × Proy
u − v
u ×
v = 0 →
v − v
u ×
v = 0
v (C v )v = 0 × −
v − C | | × v || || 2 = 0
→
→ u ×
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→ u ×

Matemáticas
Tema: Vectores
NOTA
C se llama COMPONENTE de u en v , se denota como
Com
v u =
uv
|| v || 2
COMPLEMENTO ORTOGONAL
DEL VECTOR u
Son el conjunto de vectores perpendiculares a
u
(todos los
inversos multiplicativos). Se denota como
lee como U ortogonal.
u ⊥ = (
−u 2
) u1
y se
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Matemáticas
Tema: Vectores
Características:
● U 1
U × (− U 2
) +
2
× (U
1
) = → 0 Producto Punto
|
| |
⊥ | |
| |
→ |
● || u|| = u Misma magnitud
● Se puede obtener cualquier vector con la combinación
lineal de un vector y su complemento ortogonal.
v = αu ⊥ + βu
= ( Comu × v) u + ( × Comu ⊥
v) u ⊥
= ( P royu v) + (P royu ⊥
v)
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