Euclides - Los Elementos I

Los Elementos/Libro I
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Sumario
Libro I
Los fundamentos de la Geometría. Teoría de los triángulos, paralelas y el área
Definiciones
Postulados
Nociones comunes
Proposiciones
Proposición 1
Proposición 2
Proposición 3
Proposición 4. Teorema primero
Proposición 5. Teorema 2
Proposición 6. Teorema 3
Proposición 7. Teorema 4
Proposición 8. Teorema 5
Proposición 9. Problema 4
Proposición 10. Problema 5
Proposición 11. Problema 6
Proposición 12. Problema 7
Libro I
Los fundamentos de la Geometría. Teoría de los triángulos,
paralelas y el área
Consta de 23 definiciones, 5 postulados, 5 nociones comunes y 48 proposiciones.
Las 48 proposiciones se pueden dividir en tres bloques. Las primeras 26 tratan de las propiedades de los triángulos. De la 27 a la 32
establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo suman lo mismo que dos ángulos rectos.
De la 33 a la 48 tratan de los paralelogramos, triángulos, cuadrados, del Teorema de Pitágoras y su inverso.
Definiciones
1. Un punto es lo que no tiene partes.
2. Una línea es longitud sin anchura.
3. Los extremos de una línea son puntos.

4. Una (línea) recta es una línea que es uniforme sobre sus puntos.
5. Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura.
6. Los extremos de una superficie son líneas.
7. Un plano es la que es uniforme sobre sus líneas.
8. Un ángulo plano es la inclinación de las líneas, cuando dos líneas en un plano se tocan y no se colocan una encima
de la otra.
9. Un ángulo rectilíneo es aquel contenido entre líneas rectas.
10. Cuando una línea recta se levanta sobre otra formando ángulos adyacentes iguales, cada uno de ellos se denomina
ángulo recto y la primera línea se dice perpendicular sobre la que se levanta.
11. Un ángulo obtuso es un ángulo mayor a uno recto.
12. Un ángulo agudo es un ángulo menor a uno recto.
13. Un borde es lo que es el extremo de algo.
14. Una figura es lo que está contenido por algún o algunos bordes.
15. El círculo es una figura plana contenida por una sola línea (llamada circunferencia) tal que todas las líneas que
radian hacia la circunferencia desde un punto dentro de la figura son iguales entre sí.
16. Tal punto es llamado centro del círculo.
17. Un diámetro del círculo es una recta trazada por el centro delimita por la circunferencia del círculo en ambas
direcciones. Tal recta corta al círculo por la mitad.
18. Un semicírculo es la figura contenida por el diámetro y la circunferencia que corta. Y el centro del círculo es el
mismo punto que el centro del círculo.
19. Una figura rectilínea es una figura contenida por líneas rectas. De ellas, un trilátero es una figura contenida por tres
líneas rectas, un cuadrilátero es una figura contenida por cuatro líneas rectas y un multilátero es una determinada
por más de cuatro.
20. De las figuras triláteras, la que tiene tres lados iguales es un triángulo equilátero, la que tiene sólo dos es un
triángulo isósceles y la que tiene tres lados desiguales es un triángulo escaleno.
21. Además, de las figuras triláteras: un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, un triángulo
obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso y un triángulo acutángulo es el que tiene tres ángulos agudos.
22. De las figuras cuadriláteras: un cuadrado es la que tiene ángulos rectos y es equilátera, un rectángulo es la que
tiene ángulos rectos pero no es equilátera, un rombo es la que es equilátera pero no tiene ángulos rectos y un
romboide es la que tiene lados opuestos y ángulos opuestos iguales pero ni es equilátera ni tiene ángulos rectos.
Las demás figuras cuadriláteras se denominan trapecios.
23. Líneas paralelas son líneas rectas que, estando en el mismo plano, se extienden infinitamente en ambos sentidos
sin encontrarse una a la otra.
Postulados
1. Se puede trazar una línea recta entre cualesquiera dos puntos.
2. Una línea recta finita se puede extender continuamente.
3. Se puede dibujar un círculo con cualquier centro y radio dados.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí .
5. Si una línea recta corta a otras dos líneas rectas formando ángulos internos de un mismo lado cuya suma sea
menor a dos ángulos rectos, entonces si se prolongan hasta el infinito, las dos líneas rectas se cortarán en el lado
de la línea recta original en el que la suma de los ángulos internos es menor a dos ángulos rectos y no se cortarán
en el otro lado.
Nociones comunes
1. Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
2. Si a dos cosas iguales se añaden a cosas iguales, los totales serán iguales.
3. Si se restan cosas iguales a cosas iguales, los restos serán iguales.
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales.
5. El todo es mayor que su parte.
Proposiciones
1. Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.
2. Dibujar en un punto dado una recta igual a una recta dada.

3. Restar del mayor de dos segmentos dados un segmento igual al menor .
4. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, también tendrán
las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos
a los lados iguales.
5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados
bajo la base serán iguales entre sí.
6. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales
uno al otro.
7. No se podrán levantar sobre la misma recta otras dos rectas iguales respectivamente a dos rectas, de modo que se
encuentren en dos puntos distintos por el mismo lado y con los mismos extremos que las rectas dadas.
8. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y también tienen la base igual, también tendrán iguales los
ángulos comprendidos por los segmentos iguales.
9. Dividir en dos partes iguales un ángulo rectilíneo dado.
10. Dividir en dos partes iguales un segmento dado.
11. Trazar una recta perpendicular a un segmento dado desde un punto del mismo segmento.
12. Trazar una recta perpendicular a una recta por un punto exterior a ella.
13. Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, o bien formará dos ángulos rectos o bien dos ángulos iguales
a dos ángulos rectos.
14. Si dos rectas forman con una recta cualquiera y en un punto de ella ángulos adyacentes iguales a dos rectos y no
están en el mismo lado de ella, ambas rectas estarán en línea recta.
15. Dos segmentos que se cortan el uno al otro producen ángulos opuestos iguales.
Corolario. Si dos segmentos se cortan el uno a oltro, producecen en la intersección ángulos que suman cuatro
ángulos rectos.
16. En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los
ángulos opuestos.
17. En cualquier triángulo, la suma de cualquiera de los dos ángulos es menor que dos ángulos rectos.
18. En cualquier triángulo, el ángulo más grande es el opuesto al lado mayor .
19. En cualquier triángulo, el lado más grande es el opuesto al ángulo mayor .
20. En cualquier triángulo la suma de cualquiera de los dos lados es mayor que el tercero.
21. Si de los extremos de uno de los lados de un triángulo se construyen dos segmentos que se encuentren dentro del
triángulo, entonces la suma de los lados construidos es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo,
pero los segmentos construidos comprenden un ángulo mayor que el comprendido por los dos lados.
22. Construir un triángulo con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas. Pero es necesario que dos de las rectas
tomadas juntas de cualquier manera sean mayores que la restante.
23. Construir sobre un segmento dado y en un punto sobre él, un ángulo rectilíneo igual a un ángulo rectilíneo dado.
24. Si dos triángulos tienen iguales dos lados, pero el ángulo comprendido en uno de ellos es mayor que el del otro, la
base también será mayor.
25. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, pero la base es mayor en uno que en otro, entonces el
ángulo comprendido es también mayor en un que en el otro.
26. Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivos iguales, y uno de los lados, el que une los dos ángulos iguales o el
opuesto a uno de los ángulos iguales, entonces los lados que quedan son iguales y el ángulo restante es igual.
27. Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas
entre sí.
28. Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los
dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.
29. Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace que los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales
a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos.
30. Las rectas paralelas a una recta dada también son paralelas entre sí.
31. Construcción de una recta paralela a una dada por un punto dado.
32. En cualquier triángulo, si un de los lados se prolonga, el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores
y opuestos, y la suma de los tres ángulos del triángulo es de dos ángulos rectos.
33. Los segmentos que unen los extremos de segmentos iguales y paralelos en la misma dirección son también iguales
y paralelos.
34. Los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales uno al otro y la diagonal divide el área en dos partes
iguales.
35. Los paralelogramos que están sobre la misma base y están contenidos entre las mismas paralelas, son iguales.
36. Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidoss entre las mismas paralelas, son iguales entre
sí.
37. Los triángulos que están sobre bases iguales y contenidos entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.

38. Triángulos que están en bases iguales y contenidos entre paralelas, son iguales entre sí.
39. Triángulos iguales que están sobre la mismabase i en el mismo lado, están también entre las mismas paralelas.
40. Triángulos iguales que están sobre bases iguales y en el mismo lado, están contenidos también entre las mismas
paralelas.
41. Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el
paralelogramo es el doble del triángulo.
42. Construir en un ángulo rectilíneo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado.
43. En cualquier paralelogramo los complementos de los paralelogramos situados en torno a la diagonal son iguales
entre sí.
44. Dado un segmento construir con un ángulo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado.
45. Construir un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada con un ángulo rectilíneo dado.
46. Construir un cuadrado sobre un segmento dado.
47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de
los lados que comprenden el ángulo recto.
48. Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes,
el ángulo comprendido por esos dos lados restantes del triángulo es recto.
Proposición 1
Construir un triángulo equilátero sobre una recta dada.
Sea AB la línea recta dada. Se desea construir un triángulo equilátero
sobre AB. Con centro en A y radio AB se traza el círculo BCD (postulado
3) y también se traza el círculo ACE con centro B y radio BA. Sean CA y
CB las líneas trazadas desde el punto C donde se cortan las
circunferencias a los puntos A y B (postulado 1).
Como el punto A es el centro del círculo CDB, AC es igual a AB
(definición 15). Como el punto B es el centro del círculo ACE, BC es igual
a AB. Pero dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí (noción
común 1), por tanto AC es igual a CB. De este modo, las tres líneas rectas
AB, BC y CA son iguales entre sí.
Entonces el triángulo ABC es equilátero y se ha construido sobre la recta AB. [QEF]
Proposición 2
Trazar una línea recta igual a otra línea recta dada en un punto dado.
Sea A el punto dado y BC la recta dada y se requiere trazar una línea recta que pase por A y sea igual a BC. Desde el punto A, se
construye la línea AB [postulado 1] y sobre él constrúyase el triángulo equilátero DAB [I.1]. Extiéndase las líneas DA y DB hasta E y
F, respectivamente. [postulado 2]
Con centro en B y distancia BC, constrúyase el círculo CGH donde G es su intersección con la línea recta DF. [postulado 3] Con
centro en D y radio DG, constrúyase el círculo GKL donde L es su intersección con la línea recta DE. Entonces AL es igual a BC.

Proposición 3
Dadas dos líneas rectas desiguales, cortar de lamayor una línea recta igual a la menor.
Sean dos líneas dadas desiguales AB y C de las cuales sea AB la mayor. Se requiere
cortar de la mayor AB una línea recta igual a la menor C.
Trázese desde el punto A una línea AD igual a C (por la segunda proposición) y
descríbase el círculo DEF con centro en A y radio AD (por el tercer postulado)
Puesto que el punto A es el centro del círculo DEF, por tanto AE es igual a AD.
Y la línea C es igual a la AD, por tanto las líneas rectas AE y C son iguales a AD,
por lo que AE es igual a C.
Dadas pues dos líneas rectas desiguales, AB y C, se ha cortado de la mayor AB la
AE igual a la menor C como se requería.
Proposición 4. Teorema primero
Si dos triángulos tienen dos lados iguales a dos lados respectivamente, y tienen los ángulos comprendidos por esos lados
iguales, también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente
los opuestos a los lados iguales.
Sean ABC y DEF dos triángulos teniendo los lados AB y AC iguales a los dos lados DE y DF respectivamente, en concreto AB igual a
DE y AC igual a DF, y el ángulo BAC igual al ángulo EDF.

Digo que también la base BC es igual a la base EF. Y el triángulo ABC
será igual al triángulo DEF, Y los demás ángulos serán iguales a los
restantes ángulos respectivos, concretamente aquellos opuestos a los lados
iguales, esto es que el ángulo ABC será igual al ángulo DEF y el ángulo
ACB igual al ángulo DFE.
Porque sobrepuesto el triángulo ABC sobre el triángulo DEF, y puesto el
punto A sobre el punto D y la línea recta AB sobre DE caerá el punto B
también sobre el punto E porque la línea AB es igual a la DE, (por la
suposición) y poniendo la línea AB sobre la línea DE caerá la línea recta
AC sobre la línea DF porque el ángulo BAC es igual al ángulo EDF (por la
suposición). Y porque la línea AC es igual a la DF (por la suposición), caerá el pues punto C sobre el punto F.
Y si el punto B cae sobre el punto E y el punto C sobre el punto F, la base BC cae sobre la base EF porque si cayendo B sobre E y C
sobre F la base BC no cayese sobre la base EF dos líneas rectas cerrarían superficie, lo cual (por la noción común 10) es imposible.
Luego la base BC cae sobre la base EF y son iguales por lo cual todo el triángulo ABC cae sobre todo el triángulo DEF (por la noción
común 8) y son iguales, y caerán también los demás ángulos (por la misma) sobre los restantes ángulos y serán iguales, esto es, el
ángulo ABC al ángulo DEF y el ángulo DFE al ángulo ACB.
Luego cuando dos triángulos tuvieren dos lados iguales a dos lados el uno y el otro y el ángulo igual al ángulo contenido en iguales
líneas rectas, tendrán también las bases iguales las bases entre sí, y los triángulos serán iguales entre sí, y los restantes ángulos serán
iguales a los ángulos respectivos, en concreto aquellos opuestos a los lados iguales entre sí, como se convino en demostrar .
Proposición 5. Teorema 2
Los ángulos de los triángulos isosceles que están sobre la base son iguales entre sí. Y extendidas las líneas rectas iguales, serán
también iguales entre sí los ángulos que están debajo de la base.
Sea el triángulos isósceles ABC que tenga el lado AB igual al lado AC y
extiéndanse derechamente (por el segundo postulado) las líneas BD, CE a
las líneas AB, AC.
Digo que el ángulo ABC es igual al ángulo ACB, y el ángulo CBD es igual
al ángulo BCE. Tómese en la línea BD un punto cualquiera Z y córtese de
la línea AE mayor una igual a la AZ (por la tercera proposición) menor y
sea AI y júntense ZC e IB, y porque AZ a la AI y AB a la AC son iguales
luego las dos ZA, AC son iguales a las dos AI, AB, la una a la otra y cierran
el ángulo contenido debajo de ZAI, luego la base ZC es (por la cuarta
proposición) igual a la base IB y el triángulo AZC será igual al triángulo
AIB y los demás ángulos serán iguales uno al otro debajo de los que
extienden lados iguales, esto es: el ángulo ACZ al ángulo ABI y el ángulo
AZC al ángulo AIB y porque toda la AZ es igual a toda la AI de las cuales
la línea AB es igual a la línea AC, luego la recta BZ es igual (por la tercera
noción común) a la CI que resta. Y está demostrado que ZC es igual a la
misma BI. Luego las dos BZ, ZC son iguales a las dos CI, IB,
respectivamente y el ángulo BZC es igual al ángulo CIB (por la cuarta
proposición) y la BC es base común, luego el triángulo BZC es igual CIB,
y los demás ángulos serán iguales a los ángulos respectivos bajo los que se

extienden lados iguales (por la misma proposición), luego el ángulo ZBC es igual al ángulo ICB y el ángulo BCZ es igual al ángulo
CBI. Pues porque todo el ángulo ABI como está demostrado es igual todo el ángulo ACZ de los cuales CBI es igual al ángulo BCZ,
luego el ángulo ABC que resta es igual (por la tercera noción común) al ángulo restante ACB y están sobre la base del triángulo ABC,
pero está demostrado que el ángulo ZBC es igual al ángulo ICB y están debajo de la base. Luego de los triángulos los ángulos que
están sobre la base son iguales entre sí y extendidas las líneas rectas iguales serán también iguales entre sí los ángulos que están
debajo de la base lo cual se había de demostrar .
Proposición 6. Teorema 3
Si los dos ángulos del triángulo fueren iguales entre sí, también los lados que están bajo los ángulos iguales serán iguales entre
sí.
Sea el triángulo ABC que tenga el ángulo ABC igual al ángulo ACB. Digo
que también el lado AB es igual al lado AC porque si no es igual el lado
AB al lado AC uno de ellos será mayor. Sea AB mayor y (por la tercera
proposición) córtese del mayor AB una línea igual a la AC y sea esta DB y
tírese la línea DC (por el primer postulado). Pues porque el lado DB es
igual al lado AC y común la línea BC, luego los dos lados DB, BC son
iguales a los dos lados AC, CB, respectivamente y el ángulo DBC al
ángulo ACB por la suposición, luego la base DC (por la cuarta
proposición) es igual a la base AB y el triángulo DBC será igual, por la
misma, al triángulo ACB, es a saber el menor al mayor, lo cual es
imposible. Luego el lado AB no es desigual al lado AC. Será pues igual.
Luego si los dos ángulos de un triángulo fueren iguales entre sí, también
serán iguales entre sí los lados que se extienden debajo de los ángulos
iguales, lo que había que demostrar.
Proposición 7. Teorema 4
Sobre una misma recta no se darán dos líneas rectas iguales a otras dos líneas rectas, la una a la otra que concurran en otro
punto diverso, teniendo unos mismos términos, con las primeras líneas ectas. r
Porque si es posible, dense sobre una misma línea recta AB a las dos líneas rectas AC, CB, otras dos líneas rectas AD, DB iguales la
una a la otra que concurran en diversos puntos que sean C, D, hacia unas mismas partes, conviene a saber hacia CD, teniendo unos
mismos términos que son AB. De manera que CA sea igual a la DA, teniendo el mismo término de que es A y la CB a la DB teniendo
el mismo término que es B. Júntese CD (por el primer postulado).
Pues porque AC es igual a la AD será también igual el ángulo ACD. Es pues el ángulo ADC menor que el ángulo BDC, luego menor
es el ángulo ACD que el ángulo BDC. Será pues mucho menor el ángulo BCD que el ángulo BDC, luego mucho es menor el ángulo
BCD que el ángulo BDC.
Además de esto, porque BC es igual a la DB, es luego igual también el ángulo BCD al ángulo CDB, y está demostrado que es mucho
menor, lo cual es imposible.
Luego sobre una misma recta, a dos mismas líneas rectas no se darán otras dos líneas rectas iguales la una a la otra que concurran en
diversos puntos hacia unas mismas partes, teniendo los mismos términos con las primeras líneas rectas. Lo que convino demostrarse.

Proposición 8. Teorema 5
Si dos triángulos tuvieren los dos lados iguales a los dos lados, el uno al otro, y la base también igual a la base, tendrán
también el ángulo contenido de iguales líneas rectas igual al ángulo.
Sean dos triángulos ABC, DEZ que tengan
los dos lados BC, AC iguales a los lados EZ,
DZ el uno al otro, esto es, CB a la ZE y AC a
la DZ y tengan la base BA igual a la base ED.
Digo que el ángulo BCA es igual que el
ángulo EZD, porque puesto el triángulo ABC
sobre el triángulo DEZ y puesto el punto B
sobre el punto E y la línea recta BA sobre ED
cae también el punto C sobre el punto Z, porque BC es igual a la EZ, caen también CA, AB sobre EZ, DZ, porque si la base BA, cae
sobre la base ED, pero los lados BC, AC no caen sobre los lados EZ, DZ sino que difieren, como EZ, EC,DZ, DC, darse han sobre una
misma recta dos líneas rectas iguales a otras dos líneas rectas una a la otra que concurran en diferentes puntos hacia una misma parte
teniendo unos mismos términos. Pero no se dan estas (por la séptima proposición), luego cayendo la base BA sobre la base ED caerán
también los lados BC, AC sobre los lados EZ, DZ por lo cual también el ángulo BCA caerá sobre el ángulo EZD y le será igual.
Luego si dos triángulos tuvieren los dos lados iguales a los dos lados el uno al otro y la base también igual a la base, tendrán el
ángulo también igual al ángulo contenido de iguales rectas línea, que era lo que se había de demostrar .
Proposición 9. Problema 4
Dividir un ángulo dado rectilíneo en dos partes iguales.
Sea el ángulo rectilíneo BAC, conviene dividirlo en dos partes iguales. Tómese en la línea AB un punto a caso y sea D.
Y de la línea AC (por la tercera proposición) córtese AE igual a la AD, y por el primer postulado tírese la línea DE y hágase (por la
primera proposición) un triángulo de iguales lados sobre DE y sea DZE y (por el primer postulado) tírese la AZ.

Digo que el ángulo BAC es cortado por la línea AZ en dos partes iguales.
Porque AD es igual a la AE y común a la AZ, luego las dos DA, AZ son
iguales a las dos EA, AZ, la una a la otra, y la base DZ es igual (por la
primera proposición) a la base EZ, luego (por la octava) el ángulo DAZ es
igual al ángulo ZAE. Está luego cortado en dos partes iguales con la línea
AZ el ángulo dado de líneas rectas BAC, lo cual convino allí hacerse.
Proposición 10. Problema 5
Dividir en dos partes una línea recta dada terminada.
Sea dada la línea recta terminada AB. Conviene dividir la línea AB en dos
partes iguales, hágase (por la primera proposición) sobre ella un triángulo
de iguales lados ABC y (por la novena proposición) córtese en dos partes
iguales el ángulo ACB con la línea recta CD.
Digo que la línea recta AB es cortada en dos partes iguales en el punto D,
porque (por la primera proposición) AC es igual a CB y la CD es común,
luego las dos AC, CD son iguales a las dos BC, CD, la una a la otra y el
ángulo ACD es igual al ángulo BCD. Luego (por la cuarta), la base AD es
igual a la base DB.
Está pues cortada la línea AB recta terminada en dos iguales partes en el
punto D que era lo que se había de hacer.
Proposición 11. Problema 6
Dada una línea recta, sacar desde un punto en ella señalado una recta línea en ángulos rectos.
Sea la línea recta dada AB y el punto señalado en ella sea C conviene desde el mismo punto C de la misma línea recta AB sacar una
línea recta en ángulos rectos. Tómese en la misma AB un punto a caso y póngase (por la tercera proposición) la línea CE igual a la
DC y sobre DE (por la primera proposición) hágase el triángulo de lados iguales ZDE y tírese la línea ZC.

Digo que la línea recta ZC sale de la línea AB en ángulos rectos desde el
punto señalado en ella que es C. Porque DC es igual a la CE y la línea ZC
es común, luego las dos DC, CZ son iguales a los ods EC, CZ ls una a la
otra y la base DZ (por la primera proposición) es igual a la base EZ, luego
el ángulo DCZ es igual (por la octava proposición) al ángulo ECZ y están
de una y otra parte. Y cuando estando una línea recta sobre otra línea recta
hiciera de una y otra parte ángulos entre sí iguales, cada uno de los
ángulos iguales es recto (por la décima definición), luego el ángulo DCZ y
el ángulo ZCE son rectos.
Luego sacose la línea recta ZC en ángulos rectos de la línea recta AB y
desde el punto C señalado en ella, que convino hacerse.
Proposición 12. Problema 7
Tirar una recta perpendicular sobre una línea recta dada infinita desde un punto que no esté en ella.
Sea una recta infinita, y sea esta AB y el punto dado que no esté
en ela sea C.
Conviene sobre la línea recta dada infinita AB, desde el punto C
que no está sobre ella tirar una línea recta perpendicular. Tómese
en la una parte de la misma línea recta AB un punto a caso y sea
E y sobre la C. Y según la distancia CE dese (por el tercer
postulado) el círculo EZI y córtese (por la décima proposición)
EI en dos partes iguales en el punto T y tírense (por el primer
postulado) las líneas rectas CI, CE y CT.
Digo que la línea recta CT está tirada perpendicular sobre la
línea recta dada infinita AB desde el punto dado C que no está en
ella.
Porque IT es igual a la TE y la TC es común, luego las dos IT, CT son iguales a las dos TE, CT, la una a la otra, y la base CI a la base
CE es igual (por la definición quince) luego el ángulo CTI es igual (por la octava proposición) al ángulo CTE y están de una y otra
parte. Y cuando estando una línea recta sobre otra línea recta hiciere de una y otra parte ángulos entre sí iguales, cada uno de los
ángulos iguales es recto (por la décima definición) y la línea recta que está encima se llama perpendicular .
Luego sobre la línea recta dada infinita AB desde el punto C dado, que no está en ella, está tirada la perpendicular CT que convino
hacerse.
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