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Euclides - Los Elementos I

4. Una (línea) recta es

4. Una (línea) recta es una línea que es uniforme sobre sus puntos. 5. Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura. 6. Los extremos de una superficie son líneas. 7. Un plano es la que es uniforme sobre sus líneas. 8. Un ángulo plano es la inclinación de las líneas, cuando dos líneas en un plano se tocan y no se colocan una encima de la otra. 9. Un ángulo rectilíneo es aquel contenido entre líneas rectas. 10. Cuando una línea recta se levanta sobre otra formando ángulos adyacentes iguales, cada uno de ellos se denomina ángulo recto y la primera línea se dice perpendicular sobre la que se levanta. 11. Un ángulo obtuso es un ángulo mayor a uno recto. 12. Un ángulo agudo es un ángulo menor a uno recto. 13. Un borde es lo que es el extremo de algo. 14. Una figura es lo que está contenido por algún o algunos bordes. 15. El círculo es una figura plana contenida por una sola línea (llamada circunferencia) tal que todas las líneas que radian hacia la circunferencia desde un punto dentro de la figura son iguales entre sí. 16. Tal punto es llamado centro del círculo. 17. Un diámetro del círculo es una recta trazada por el centro delimita por la circunferencia del círculo en ambas direcciones. Tal recta corta al círculo por la mitad. 18. Un semicírculo es la figura contenida por el diámetro y la circunferencia que corta. Y el centro del círculo es el mismo punto que el centro del círculo. 19. Una figura rectilínea es una figura contenida por líneas rectas. De ellas, un trilátero es una figura contenida por tres líneas rectas, un cuadrilátero es una figura contenida por cuatro líneas rectas y un multilátero es una determinada por más de cuatro. 20. De las figuras triláteras, la que tiene tres lados iguales es un triángulo equilátero, la que tiene sólo dos es un triángulo isósceles y la que tiene tres lados desiguales es un triángulo escaleno. 21. Además, de las figuras triláteras: un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, un triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso y un triángulo acutángulo es el que tiene tres ángulos agudos. 22. De las figuras cuadriláteras: un cuadrado es la que tiene ángulos rectos y es equilátera, un rectángulo es la que tiene ángulos rectos pero no es equilátera, un rombo es la que es equilátera pero no tiene ángulos rectos y un romboide es la que tiene lados opuestos y ángulos opuestos iguales pero ni es equilátera ni tiene ángulos rectos. Las demás figuras cuadriláteras se denominan trapecios. 23. Líneas paralelas son líneas rectas que, estando en el mismo plano, se extienden infinitamente en ambos sentidos sin encontrarse una a la otra. Postulados 1. Se puede trazar una línea recta entre cualesquiera dos puntos. 2. Una línea recta finita se puede extender continuamente. 3. Se puede dibujar un círculo con cualquier centro y radio dados. 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí . 5. Si una línea recta corta a otras dos líneas rectas formando ángulos internos de un mismo lado cuya suma sea menor a dos ángulos rectos, entonces si se prolongan hasta el infinito, las dos líneas rectas se cortarán en el lado de la línea recta original en el que la suma de los ángulos internos es menor a dos ángulos rectos y no se cortarán en el otro lado. Nociones comunes 1. Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. 2. Si a dos cosas iguales se añaden a cosas iguales, los totales serán iguales. 3. Si se restan cosas iguales a cosas iguales, los restos serán iguales. 4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales. 5. El todo es mayor que su parte. Proposiciones 1. Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado. 2. Dibujar en un punto dado una recta igual a una recta dada.

3. Restar del mayor de dos segmentos dados un segmento igual al menor . 4. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales. 5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí. 6. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales uno al otro. 7. No se podrán levantar sobre la misma recta otras dos rectas iguales respectivamente a dos rectas, de modo que se encuentren en dos puntos distintos por el mismo lado y con los mismos extremos que las rectas dadas. 8. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y también tienen la base igual, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por los segmentos iguales. 9. Dividir en dos partes iguales un ángulo rectilíneo dado. 10. Dividir en dos partes iguales un segmento dado. 11. Trazar una recta perpendicular a un segmento dado desde un punto del mismo segmento. 12. Trazar una recta perpendicular a una recta por un punto exterior a ella. 13. Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, o bien formará dos ángulos rectos o bien dos ángulos iguales a dos ángulos rectos. 14. Si dos rectas forman con una recta cualquiera y en un punto de ella ángulos adyacentes iguales a dos rectos y no están en el mismo lado de ella, ambas rectas estarán en línea recta. 15. Dos segmentos que se cortan el uno al otro producen ángulos opuestos iguales. Corolario. Si dos segmentos se cortan el uno a oltro, producecen en la intersección ángulos que suman cuatro ángulos rectos. 16. En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los ángulos opuestos. 17. En cualquier triángulo, la suma de cualquiera de los dos ángulos es menor que dos ángulos rectos. 18. En cualquier triángulo, el ángulo más grande es el opuesto al lado mayor . 19. En cualquier triángulo, el lado más grande es el opuesto al ángulo mayor . 20. En cualquier triángulo la suma de cualquiera de los dos lados es mayor que el tercero. 21. Si de los extremos de uno de los lados de un triángulo se construyen dos segmentos que se encuentren dentro del triángulo, entonces la suma de los lados construidos es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo, pero los segmentos construidos comprenden un ángulo mayor que el comprendido por los dos lados. 22. Construir un triángulo con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas. Pero es necesario que dos de las rectas tomadas juntas de cualquier manera sean mayores que la restante. 23. Construir sobre un segmento dado y en un punto sobre él, un ángulo rectilíneo igual a un ángulo rectilíneo dado. 24. Si dos triángulos tienen iguales dos lados, pero el ángulo comprendido en uno de ellos es mayor que el del otro, la base también será mayor. 25. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, pero la base es mayor en uno que en otro, entonces el ángulo comprendido es también mayor en un que en el otro. 26. Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivos iguales, y uno de los lados, el que une los dos ángulos iguales o el opuesto a uno de los ángulos iguales, entonces los lados que quedan son iguales y el ángulo restante es igual. 27. Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí. 28. Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí. 29. Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace que los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos. 30. Las rectas paralelas a una recta dada también son paralelas entre sí. 31. Construcción de una recta paralela a una dada por un punto dado. 32. En cualquier triángulo, si un de los lados se prolonga, el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores y opuestos, y la suma de los tres ángulos del triángulo es de dos ángulos rectos. 33. Los segmentos que unen los extremos de segmentos iguales y paralelos en la misma dirección son también iguales y paralelos. 34. Los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales uno al otro y la diagonal divide el área en dos partes iguales. 35. Los paralelogramos que están sobre la misma base y están contenidos entre las mismas paralelas, son iguales. 36. Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidoss entre las mismas paralelas, son iguales entre sí. 37. Los triángulos que están sobre bases iguales y contenidos entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.

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