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Euclides - Los Elementos I

38. Triángulos que

38. Triángulos que están en bases iguales y contenidos entre paralelas, son iguales entre sí. 39. Triángulos iguales que están sobre la mismabase i en el mismo lado, están también entre las mismas paralelas. 40. Triángulos iguales que están sobre bases iguales y en el mismo lado, están contenidos también entre las mismas paralelas. 41. Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo. 42. Construir en un ángulo rectilíneo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado. 43. En cualquier paralelogramo los complementos de los paralelogramos situados en torno a la diagonal son iguales entre sí. 44. Dado un segmento construir con un ángulo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado. 45. Construir un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada con un ángulo rectilíneo dado. 46. Construir un cuadrado sobre un segmento dado. 47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. 48. Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes, el ángulo comprendido por esos dos lados restantes del triángulo es recto. Proposición 1 Construir un triángulo equilátero sobre una recta dada. Sea AB la línea recta dada. Se desea construir un triángulo equilátero sobre AB. Con centro en A y radio AB se traza el círculo BCD (postulado 3) y también se traza el círculo ACE con centro B y radio BA. Sean CA y CB las líneas trazadas desde el punto C donde se cortan las circunferencias a los puntos A y B (postulado 1). Como el punto A es el centro del círculo CDB, AC es igual a AB (definición 15). Como el punto B es el centro del círculo ACE, BC es igual a AB. Pero dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí (noción común 1), por tanto AC es igual a CB. De este modo, las tres líneas rectas AB, BC y CA son iguales entre sí. Entonces el triángulo ABC es equilátero y se ha construido sobre la recta AB. [QEF] Proposición 2 Trazar una línea recta igual a otra línea recta dada en un punto dado. Sea A el punto dado y BC la recta dada y se requiere trazar una línea recta que pase por A y sea igual a BC. Desde el punto A, se construye la línea AB [postulado 1] y sobre él constrúyase el triángulo equilátero DAB [I.1]. Extiéndase las líneas DA y DB hasta E y F, respectivamente. [postulado 2] Con centro en B y distancia BC, constrúyase el círculo CGH donde G es su intersección con la línea recta DF. [postulado 3] Con centro en D y radio DG, constrúyase el círculo GKL donde L es su intersección con la línea recta DE. Entonces AL es igual a BC.

Proposición 3 Dadas dos líneas rectas desiguales, cortar de lamayor una línea recta igual a la menor. Sean dos líneas dadas desiguales AB y C de las cuales sea AB la mayor. Se requiere cortar de la mayor AB una línea recta igual a la menor C. Trázese desde el punto A una línea AD igual a C (por la segunda proposición) y descríbase el círculo DEF con centro en A y radio AD (por el tercer postulado) Puesto que el punto A es el centro del círculo DEF, por tanto AE es igual a AD. Y la línea C es igual a la AD, por tanto las líneas rectas AE y C son iguales a AD, por lo que AE es igual a C. Dadas pues dos líneas rectas desiguales, AB y C, se ha cortado de la mayor AB la AE igual a la menor C como se requería. Proposición 4. Teorema primero Si dos triángulos tienen dos lados iguales a dos lados respectivamente, y tienen los ángulos comprendidos por esos lados iguales, también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales. Sean ABC y DEF dos triángulos teniendo los lados AB y AC iguales a los dos lados DE y DF respectivamente, en concreto AB igual a DE y AC igual a DF, y el ángulo BAC igual al ángulo EDF.

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