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Euclides - Los Elementos I

Digo que también la

Digo que también la base BC es igual a la base EF. Y el triángulo ABC será igual al triángulo DEF, Y los demás ángulos serán iguales a los restantes ángulos respectivos, concretamente aquellos opuestos a los lados iguales, esto es que el ángulo ABC será igual al ángulo DEF y el ángulo ACB igual al ángulo DFE. Porque sobrepuesto el triángulo ABC sobre el triángulo DEF, y puesto el punto A sobre el punto D y la línea recta AB sobre DE caerá el punto B también sobre el punto E porque la línea AB es igual a la DE, (por la suposición) y poniendo la línea AB sobre la línea DE caerá la línea recta AC sobre la línea DF porque el ángulo BAC es igual al ángulo EDF (por la suposición). Y porque la línea AC es igual a la DF (por la suposición), caerá el pues punto C sobre el punto F. Y si el punto B cae sobre el punto E y el punto C sobre el punto F, la base BC cae sobre la base EF porque si cayendo B sobre E y C sobre F la base BC no cayese sobre la base EF dos líneas rectas cerrarían superficie, lo cual (por la noción común 10) es imposible. Luego la base BC cae sobre la base EF y son iguales por lo cual todo el triángulo ABC cae sobre todo el triángulo DEF (por la noción común 8) y son iguales, y caerán también los demás ángulos (por la misma) sobre los restantes ángulos y serán iguales, esto es, el ángulo ABC al ángulo DEF y el ángulo DFE al ángulo ACB. Luego cuando dos triángulos tuvieren dos lados iguales a dos lados el uno y el otro y el ángulo igual al ángulo contenido en iguales líneas rectas, tendrán también las bases iguales las bases entre sí, y los triángulos serán iguales entre sí, y los restantes ángulos serán iguales a los ángulos respectivos, en concreto aquellos opuestos a los lados iguales entre sí, como se convino en demostrar . Proposición 5. Teorema 2 Los ángulos de los triángulos isosceles que están sobre la base son iguales entre sí. Y extendidas las líneas rectas iguales, serán también iguales entre sí los ángulos que están debajo de la base. Sea el triángulos isósceles ABC que tenga el lado AB igual al lado AC y extiéndanse derechamente (por el segundo postulado) las líneas BD, CE a las líneas AB, AC. Digo que el ángulo ABC es igual al ángulo ACB, y el ángulo CBD es igual al ángulo BCE. Tómese en la línea BD un punto cualquiera Z y córtese de la línea AE mayor una igual a la AZ (por la tercera proposición) menor y sea AI y júntense ZC e IB, y porque AZ a la AI y AB a la AC son iguales luego las dos ZA, AC son iguales a las dos AI, AB, la una a la otra y cierran el ángulo contenido debajo de ZAI, luego la base ZC es (por la cuarta proposición) igual a la base IB y el triángulo AZC será igual al triángulo AIB y los demás ángulos serán iguales uno al otro debajo de los que extienden lados iguales, esto es: el ángulo ACZ al ángulo ABI y el ángulo AZC al ángulo AIB y porque toda la AZ es igual a toda la AI de las cuales la línea AB es igual a la línea AC, luego la recta BZ es igual (por la tercera noción común) a la CI que resta. Y está demostrado que ZC es igual a la misma BI. Luego las dos BZ, ZC son iguales a las dos CI, IB, respectivamente y el ángulo BZC es igual al ángulo CIB (por la cuarta proposición) y la BC es base común, luego el triángulo BZC es igual CIB, y los demás ángulos serán iguales a los ángulos respectivos bajo los que se

extienden lados iguales (por la misma proposición), luego el ángulo ZBC es igual al ángulo ICB y el ángulo BCZ es igual al ángulo CBI. Pues porque todo el ángulo ABI como está demostrado es igual todo el ángulo ACZ de los cuales CBI es igual al ángulo BCZ, luego el ángulo ABC que resta es igual (por la tercera noción común) al ángulo restante ACB y están sobre la base del triángulo ABC, pero está demostrado que el ángulo ZBC es igual al ángulo ICB y están debajo de la base. Luego de los triángulos los ángulos que están sobre la base son iguales entre sí y extendidas las líneas rectas iguales serán también iguales entre sí los ángulos que están debajo de la base lo cual se había de demostrar . Proposición 6. Teorema 3 Si los dos ángulos del triángulo fueren iguales entre sí, también los lados que están bajo los ángulos iguales serán iguales entre sí. Sea el triángulo ABC que tenga el ángulo ABC igual al ángulo ACB. Digo que también el lado AB es igual al lado AC porque si no es igual el lado AB al lado AC uno de ellos será mayor. Sea AB mayor y (por la tercera proposición) córtese del mayor AB una línea igual a la AC y sea esta DB y tírese la línea DC (por el primer postulado). Pues porque el lado DB es igual al lado AC y común la línea BC, luego los dos lados DB, BC son iguales a los dos lados AC, CB, respectivamente y el ángulo DBC al ángulo ACB por la suposición, luego la base DC (por la cuarta proposición) es igual a la base AB y el triángulo DBC será igual, por la misma, al triángulo ACB, es a saber el menor al mayor, lo cual es imposible. Luego el lado AB no es desigual al lado AC. Será pues igual. Luego si los dos ángulos de un triángulo fueren iguales entre sí, también serán iguales entre sí los lados que se extienden debajo de los ángulos iguales, lo que había que demostrar. Proposición 7. Teorema 4 Sobre una misma recta no se darán dos líneas rectas iguales a otras dos líneas rectas, la una a la otra que concurran en otro punto diverso, teniendo unos mismos términos, con las primeras líneas ectas. r Porque si es posible, dense sobre una misma línea recta AB a las dos líneas rectas AC, CB, otras dos líneas rectas AD, DB iguales la una a la otra que concurran en diversos puntos que sean C, D, hacia unas mismas partes, conviene a saber hacia CD, teniendo unos mismos términos que son AB. De manera que CA sea igual a la DA, teniendo el mismo término de que es A y la CB a la DB teniendo el mismo término que es B. Júntese CD (por el primer postulado). Pues porque AC es igual a la AD será también igual el ángulo ACD. Es pues el ángulo ADC menor que el ángulo BDC, luego menor es el ángulo ACD que el ángulo BDC. Será pues mucho menor el ángulo BCD que el ángulo BDC, luego mucho es menor el ángulo BCD que el ángulo BDC. Además de esto, porque BC es igual a la DB, es luego igual también el ángulo BCD al ángulo CDB, y está demostrado que es mucho menor, lo cual es imposible. Luego sobre una misma recta, a dos mismas líneas rectas no se darán otras dos líneas rectas iguales la una a la otra que concurran en diversos puntos hacia unas mismas partes, teniendo los mismos términos con las primeras líneas rectas. Lo que convino demostrarse.

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