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Euclides - Los Elementos I

Proposición 8. Teorema

Proposición 8. Teorema 5 Si dos triángulos tuvieren los dos lados iguales a los dos lados, el uno al otro, y la base también igual a la base, tendrán también el ángulo contenido de iguales líneas rectas igual al ángulo. Sean dos triángulos ABC, DEZ que tengan los dos lados BC, AC iguales a los lados EZ, DZ el uno al otro, esto es, CB a la ZE y AC a la DZ y tengan la base BA igual a la base ED. Digo que el ángulo BCA es igual que el ángulo EZD, porque puesto el triángulo ABC sobre el triángulo DEZ y puesto el punto B sobre el punto E y la línea recta BA sobre ED cae también el punto C sobre el punto Z, porque BC es igual a la EZ, caen también CA, AB sobre EZ, DZ, porque si la base BA, cae sobre la base ED, pero los lados BC, AC no caen sobre los lados EZ, DZ sino que difieren, como EZ, EC,DZ, DC, darse han sobre una misma recta dos líneas rectas iguales a otras dos líneas rectas una a la otra que concurran en diferentes puntos hacia una misma parte teniendo unos mismos términos. Pero no se dan estas (por la séptima proposición), luego cayendo la base BA sobre la base ED caerán también los lados BC, AC sobre los lados EZ, DZ por lo cual también el ángulo BCA caerá sobre el ángulo EZD y le será igual. Luego si dos triángulos tuvieren los dos lados iguales a los dos lados el uno al otro y la base también igual a la base, tendrán el ángulo también igual al ángulo contenido de iguales rectas línea, que era lo que se había de demostrar . Proposición 9. Problema 4 Dividir un ángulo dado rectilíneo en dos partes iguales. Sea el ángulo rectilíneo BAC, conviene dividirlo en dos partes iguales. Tómese en la línea AB un punto a caso y sea D. Y de la línea AC (por la tercera proposición) córtese AE igual a la AD, y por el primer postulado tírese la línea DE y hágase (por la primera proposición) un triángulo de iguales lados sobre DE y sea DZE y (por el primer postulado) tírese la AZ.

Digo que el ángulo BAC es cortado por la línea AZ en dos partes iguales. Porque AD es igual a la AE y común a la AZ, luego las dos DA, AZ son iguales a las dos EA, AZ, la una a la otra, y la base DZ es igual (por la primera proposición) a la base EZ, luego (por la octava) el ángulo DAZ es igual al ángulo ZAE. Está luego cortado en dos partes iguales con la línea AZ el ángulo dado de líneas rectas BAC, lo cual convino allí hacerse. Proposición 10. Problema 5 Dividir en dos partes una línea recta dada terminada. Sea dada la línea recta terminada AB. Conviene dividir la línea AB en dos partes iguales, hágase (por la primera proposición) sobre ella un triángulo de iguales lados ABC y (por la novena proposición) córtese en dos partes iguales el ángulo ACB con la línea recta CD. Digo que la línea recta AB es cortada en dos partes iguales en el punto D, porque (por la primera proposición) AC es igual a CB y la CD es común, luego las dos AC, CD son iguales a las dos BC, CD, la una a la otra y el ángulo ACD es igual al ángulo BCD. Luego (por la cuarta), la base AD es igual a la base DB. Está pues cortada la línea AB recta terminada en dos iguales partes en el punto D que era lo que se había de hacer. Proposición 11. Problema 6 Dada una línea recta, sacar desde un punto en ella señalado una recta línea en ángulos rectos. Sea la línea recta dada AB y el punto señalado en ella sea C conviene desde el mismo punto C de la misma línea recta AB sacar una línea recta en ángulos rectos. Tómese en la misma AB un punto a caso y póngase (por la tercera proposición) la línea CE igual a la DC y sobre DE (por la primera proposición) hágase el triángulo de lados iguales ZDE y tírese la línea ZC.

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