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En el campo de la topografía, realizó una labor importantísima con el desarrollo de la dioptra, un teodolito muy preciso con el que se podían realizar mediciones muy variadas, tanto terrestres como astronómicas. Ptolomeo Claudio Ptolomeo vivió en el siglo II d.C., astrónomo, matemático, físico y geógrafo, fue un egipcio nacido en Ptolemais Hermii, ciudad griega de la Tebaida (Egipto) y vivió en Alejandría. Su Sintaxis matemática, más conocida con el nombre árabe de Almagesto, sintetiza y ordena los conocimientos astronómicos de los griegos y, sobre todo, los de Hiparco. Ptolomeo realizó varios cálculos sobre las dimensiones de la esfera terrestre, calculó la duración del día en diversos lugares del globo. Describió el astrolabio, expuso el método del paralaje para hallar la distancia a la Luna, describió el método de Hiparco para calcular eclipses y completó el catálogo de su precursor, dando un total de 1.022 estrellas. Con el Almagesto culminó y terminó la astronomía antigua, que, salvo detalles, fue conservada tal cual hasta fines del Renacimiento. Ptolomeo hizo contribuciones capitales a la trigonometría plana y esférica que había creado Hiparco. Incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, empleando el sistema sexagesimal inventado por los babilónicos, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Cuerda α = 2.sin α Expuso el teorema que lleva su nombre, relativo al cuadrilátero inscrito en una circunferencia, dando la fórmula que relaciona la cuerda de un ángulo con la cuerda de su mitad. 12

En su Geografía describió minuciosamente la construcción de mapas según diferentes métodos de proyección. También se ocupó de la balanza, de la acústica física y de óptica geométrica y fisiológica. En su Óptica estudió en particular los fenómenos de refracción. Estos científicos fueron la base de toda la trigonometría posterior. A finales del siglo VIII, los astrónomos árabes que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno abandonando la cuerda de Ptolomeo. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. La teoría del coseno, complemento perfecto de la del seno para muchos cálculos trigonométricos, fue desarrollada por el astrónomo árabe Albatenius, Al- Battani (Haran, Turquía 858 - Samarra, Irak 929). 2.2 El concepto espacial Para comprender la exactitud de las labores topográficas que se realizaban en la antigüedad debemos considerar, en primera instancia, que el grado de conocimiento astronómico de la tierra, su posicionamiento y movimiento en el espacio, era muy elevado en aquella época. Es realmente imposible conocer desde cuando los científicos de la antigüedad sabían que la Tierra era redonda, pues se cree que todas las antiguas civilizaciones lo supieron y este concepto nunca se dudó entre los hombres de ciencia de la antigüedad. Este es un concepto fundamental, por ejemplo, para determinar el grado de error de las nivelaciones para la canalización de las aguas y la máxima distancia admisible en la tramificación de su replanteo. Está algo más claro el momento en que las magnitudes de la esfera terrestre empezaron a calcularse con cierta precisión, así como su distancia a los otros cuerpos celestes principales, el sol y la luna. Eratóstenes (Cirene, 276 a.C. - Alejandría, 195 a.C.) determinó el tamaño de la Tierra mediante un método trigonométrico, utilizando además las nociones de latitud y longitud, ya introducidas al parecer por Dicearco, por lo que bien merece el título de padre de la geodesia. Según la narración de Cleomedes 6 , Eratóstenes sabía que en Siena (hoy Aswan, en Egipto) al mediodía del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba 6 CLEOMEDES: De motu circulari corporum coelestium. Siglo I d. C 13