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La Mecanica y el entorno

Libro de Tercer Semestre Bachillerato UANL

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2 La Mecánica y el Entorno

ETAPA

1

CINEMÁTICA:

MOVIMIENTO

EN UNA DIMENSIÓN

TD&IS Training Distribution and Integrated Services


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 3

CONTENIDO CONCEPTUAL

• Cantidades escalares y vectoriales

• Método de componentes para la suma de vectores

• Movimiento rectilíneo y magnitudes físicas

relacionadas, como modelo de partícula; sistema de

referencia, distancia y desplazamiento; tiempo, rapidez

y velocidad; aceleración, inercia, masa, fuerza y peso.

• Sistemas de fuerzas en equilibrio y no equilibrio

• Leyes de Newton

CONTENIDO PROCEDIMENTAL

• Identifica magnitudes relacionadas con el movimiento

TD&IS Training Distribution de and los Integrated cuerpos presentes Servicesen

su entorno y en la

naturaleza, y las clasifica como magnitudes escalares

o vectoriales para manejarlas matemáticamente de

acuerdo con su categoría.

• Resuelve problemas teóricos o de la vida cotidiana

referentes al movimiento de un cuerpo.

• Aplica modelos matemáticos, gráficos y analíticos.

• Arma y maneja equipo de práctica de laboratorio.

• Utiliza instrumentos para realizar mediciones.

• Elabora e interpreta gráficas a partir de los datos

obtenidos.


4 La Mecánica y el Entorno

Capítulo 1. Cinemática: movimiento en una dimensión

Introducción

En la ciencia de la Física se manejan conceptos que representan hechos, fenómenos

o situaciones de la naturaleza, las cuales tratamos de analizar numéricamente

para conocer su comportamiento mediante las llamadas magnitudes

y cantidades físicas; sin embargo, algunas de esas magnitudes presentan propiedades

direccionales. Por ejemplo, podemos mencionar el caso de llegar a un

lugar determinado: para hacerlo, debemos conocer la distancia que es necesario

recorrer, así como especificar la dirección de este desplazamiento, pues, de no

ser así, muy probablemente no llegaríamos al destino deseado. En cambio, otras

magnitudes físicas no poseen este carácter direccional; en este sentido, antes de

iniciar con el tema central de este capítulo, que es el de la cinemática, haremos

una clasificación de dichos tipos de cantidades.

1.1. Magnitudes escalares y vectoriales

Como TD&IS recordarás, Training en Distribution el curso La ciencia and Integrated del movimiento, Services definimos y trabajamos

con las magnitudes físicas, las cuales clasificamos como magnitudes fundamentales

y derivadas.

En el presente curso veremos otra clasificación de las magnitudes físicas, que se

establece de acuerdo con la forma de trabajar con las mismas, ya que algunas de

ellas únicamente tienen propiedades numéricas, pero otras además tienen propiedades

direccionales.

Las magnitudes físicas se pueden clasificar como escalares y vectoriales.

Magnitudes escalares. Se precisan por completo mediante un valor numérico y

una unidad de medida. Estas no tienen dirección 1 .

Como ejemplos de magnitudes escalares tenemos la distancia, la rapidez, la masa, el

tiempo, la temperatura y muchas otras que, con el tiempo, el estudio y la dedicación,

aprenderás a identificar.

Magnitudes vectoriales (o simplemente vectores). Se precisan mediante un valor

numérico, la unidad de medición correspondiente y además una dirección 2 .

Como ejemplos de magnitudes vectoriales están la velocidad, el desplazamiento, la

fuerza, el impulso, la aceleración y otras que también podrás identificar a medida

que profundices en el estudio de esta disciplina científica.

1 Serway, Jewett, Física para ciencias e ingeniería. Vol 1., 2015, pág. 61.

2 Serway, Jewett, Física para ciencias e ingeniería. Vol 1., 2015, pág. 61.


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 5

Pero, ¿qué tiene que ver la dirección con una magnitud física? En el estudio del

movimiento de los cuerpos en general es importante establecer las características

del mismo para predecir matemáticamente sus posiciones en tiempos posteriores, o

incluso anteriores, a un tiempo llamado inicial.

Recordemos que la cinemática estudia el movimiento de los cuerpos, es decir, trata

de establecer sus condiciones de posición, rapidez, velocidad, aceleración y otras

más a través del tiempo.

De tal forma que debemos tener en cuenta la dirección de estas magnitudes vectoriales

para obtener predicciones precisas y verdaderas de estas condiciones.

Antes de comenzar con el estudio del movimiento en una dimensión, vamos a ver las

características de los vectores y los métodos para sumarlos, ya que no se suman de

la misma forma que las cantidades escalares.

1.2. Características de las magnitudes vectoriales (vectores)

Como se dijo antes, un vector es una magnitud física con propiedades direccionales

y se especifica mediante un número, su unidad de medición correspondiente y la dirección

en la que está orientado. La dirección puede ser un punto cardinal ordinario

(norte, sur, este, oeste y sus subdivisiones), o bien, puede describirse en términos de

ángulos sexagesimales.

Cuando un vector se

TD&IS

define de

Training

esta forma,

Distribution

se dice que está

and

en

Integrated

su descripción

Services

de coordenadas

polares, como en la figura 1.1.

Coordenadas polares

r

60 o

eje polar

Figura 1.1. Coordenadas polares de un vector


6 La Mecánica y el Entorno

Otra forma de representar un vector es por medio de coordenadas rectangulares, en

donde se especifica su componente x y su componente y en un sistema de ejes perpendiculares,

como se observa en la figura 1.2.

Eje y

(x, y)

Eje x

Figura 1.2. Coordenadas rectangulares de un vector

Por lo regular, en la ciencia de la Física, cuando se tratan las cantidades vectoriales,

se TD&IS conocen Training sus coordenadas Distribution polares, and es Integrated decir, su valor Services numérico (magnitud) y su

dirección, esta última expresada normalmente en grados, sin embargo, para efectuar

alguna operación numérica, como una suma o una resta de vectores, es preciso transformar

dichas coordenadas polares a coordenadas rectangulares; luego, al obtener

el resultado de la suma o resta, lo que se conoce como vector resultante, este se

transforma a coordenadas polares. Veamos cómo es el procedimiento para obtener

los componentes rectangulares de un vector.

1.3. Componentes rectangulares de un vector

(transformación de coordenadas polares a rectangulares)

Ya se dijo que encontrar las componentes de un vector no es otra cosa que transformar

sus coordenadas polares en coordenadas rectangulares. Esto se puede realizar

utilizando la trigonometría. Consideremos el siguiente ejemplo.


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 7

EJEMPLO 1.1

Encontrar las coordenadas rectangulares (componentes) de un vector de velocidad de 25 m/s a 60°.

Solución

v = 25 m/s

θ = 60°

v x = ?

v y = ?

Eje y

v = 25 m/s

vy = ?

v

vy

θ = 60 o

θ

vx = ?

Eje x

vx

Figura 1.3.

Observa cómo la magnitud del vector de 25 m/s forma un triángulo rectángulo con la componente v x y con

la línea punteada que TD&IS une la Training punta de dicha Distribution componente and x con Integrated la punta del Services vector v, tal línea es exactamente

de la misma magnitud que la componente v y situada sobre el eje y.

Conociendo el valor numérico del vector y su dirección, podemos utilizar las funciones trigonométricas

básicas para calcular de la siguiente manera las componentes rectangulares del mismo:

Por lo tanto, si despejamos las componentes x y y de las ecuaciones de coseno y seno del ángulo θ, tenemos:

Estas son las fórmulas que utilizaremos para encontrar las componentes que buscamos. Ahora, sustituimos

los datos de magnitud y dirección, quedando como sigue:


8 La Mecánica y el Entorno

Es decir, el vector velocidad de 25 m/s, cuya dirección es de 60°, tiene una componente rectangular correspondiente

al eje x, o eje horizontal, cuya magnitud es de 12.5 m/s; y además una componente correspondiente al

eje y, o eje vertical, cuya magnitud es de 21.65 m/s.

Eje y

(12.5 m/s, 21.65 m/s)

v = 25 m/s

vy = 21.654 m/s

θ = 60 o

vx = 12.5 m/s

Eje x

Figura 1.4.

Anteriormente hemos visto el procedimiento para obtener las coordenadas rectangulares de un vector a partir

de sus coordenadas polares. Ahora, un vector puede tener cualquier dirección: desde 0° hasta 360°. Dichas direcciones

se toman como punto de partida desde 0°, que es un ángulo que coincide con la parte positiva del eje

x en el sistema de coordenadas TD&IS rectangulares Training Distribution o cartesianas. A and partir Integrated de ahí, en contrasentido Services a las manecillas

de un reloj, los ángulos o direcciones del vector van aumentando, pasando por los 90°, 180°, 270° y llegando

finalmente hasta los 360°; de tal forma que el sistema de coordenadas queda seccionado en cuatro regiones

conocidas como cuadrantes, como se observa en la figura 1.5.

Eje y

Cuadrante II

Cuadrante I

Eje x

Cuadrante III

Cuadrante IV

Figura 1.5. Cuadrantes de un sistema de coordenadas rectangulares

Como se puede observar, los signos de los componentes rectangulares dependen de la dirección que tenga

un vector. Para que practiques estas transformaciones de coordenadas, te sugerimos que resuelvas los siguientes

ejercicios.


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 9

■ Actividad 1 Transformación de coordenadas polares a rectangulares

Transforma las coordenadas polares de los siguientes vectores a coordenadas rectangulares (te sugerimos que

en tu cuaderno elabores la representación gráfica de estos ejercicios).

Núm. Vector Componente x Componente y Cuadrante

1 340 m/s a 98°

2 1920 N a 320°

3 2.8 km/h a 40°

4 15 m/s 2 a 215°

5 75 N a 239°

6 5.4 m/s 2 a 270°

7 590 m/s al SE

8 945 dinas al O

Veamos ahora el procedimiento para convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares.

1.4. Componentes polares de un vector

(transformación de coordenadas rectangulares a polares)

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

El caso inverso a transformar las coordenadas de un vector de rectangulares a polares,

considera la utilización de una herramienta matemática muy empleada en la

resolución de triángulos rectángulos que seguramente ya conoces. Se trata del conocido

Teorema de Pitágoras, el cual establece lo siguiente: “La suma de los cuadrados

de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”.

En el caso de los triángulos rectángulos, se les llama catetos a los lados que forman

el ángulo recto del triángulo; y el otro lado, que es el mayor de los tres, es la hipotenusa.

Observa la figura 1.6.

Hipotenusa

Cateto

θ

90 o

Cateto

Figura 1.6. Triángulo rectángulo y sus lados


10 La Mecánica y el Entorno

Luego, escribiendo el enunciado del teorema en forma matemática, tenemos la siguiente

fórmula:

Además, los catetos toman diferentes nombres, que dependen del ángulo formado

por alguno de ellos y la hipotenusa. Se le llama cateto adyacente al lado del triángulo

que es parte de un ángulo formado por esta y la hipotenusa, y cateto opuesto al que

se encuentra frente a dicho ángulo. Observa la figura 1.7.

θ

Hipotenusa

Cateto opuesto

Hipotenusa

Cateto adyacente

θ

Cateto adyacente

Cateto opuesto

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Figura 1.7.

Es muy importante que sepas identificar los catetos opuesto y adyacente observando

el ángulo correspondiente.

Una vez que hemos recordado estos conceptos del triángulo rectángulo, podemos

realizar las transformaciones de coordenadas rectangulares a polares. Veamos el siguiente

ejemplo con atención.

EJEMPLO 1.2

Encuentra las coordenadas polares de un vector cuyas componentes rectangulares son v x = 96 N y v y = 72 N.

Solución

Tenemos las componentes rectangulares de un vector, es decir, conocemos sus coordenadas rectangulares.

Datos:

v x = 96 N

v y = 72 N

Ahora, deseamos conocer sus coordenadas polares, esto es, la magnitud del vector; para ello, aplicamos el teorema

de Pitágoras tomando como catetos las componentes del mismo y adaptando la expresión del teorema a la

simbología de vectores, es decir:


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 11

Sacando raíz cuadrada, obtenemos nuestro vector:

Sin embargo, recordemos que un vector tiene dirección, la cual podremos obtener aplicando la trigonometría;

en este caso, con la función tangente:

En este caso, lo que deseamos conocer es la dirección, es decir, el ángulo θ, por tanto, se despeja de la expresión

anterior:

Entonces, se sustituyen TD&IS en la Training expresión Distribution anterior los valores and Integrated de las componentes Services x y y del vector:

Con esto, ya hemos completado la transformación de coordenadas. Esto es, un vector cuyas coordenadas

rectangulares son las siguientes:

v x = 96 N y v y = 72 N

Corresponde a un vector cuyas coordenadas polares son…

v = 120 N a 36.86°

Es el mismo vector expresado en sistemas de coordenadas diferentes. Te toca ahora practicar algunas transformaciones

de coordenadas rectangulares a polares.


12 La Mecánica y el Entorno

■ Actividad 2 Transformación de coordenadas rectangulares a polares

De la misma forma que la actividad anterior, transforma las coordenadas rectangulares de los siguientes vectores

a coordenadas polares. Te sugerimos dibujar la representación gráfica de estos ejercicios en tu cuaderno.

Núm. Componente x (v x ) Componente y (v y )

1 -48 m/s -26 m/s

2 230 km/h -150 km/h

3 -64 N 86 N

4 76 m 98 m

5 -150 km/h -50 km/h

6 2000 N -3000 N

7 -33 m/s 29 m/s

8 340 km 340 km

Vector

(magnitud y dirección)

Cuadrante

Veamos ahora el método de las componentes para la suma de vectores.

1.5. Método de las componentes para la suma de vectores

Las cantidades escalares no se suman o restan de la misma forma que las cantidades

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

vectoriales. Para la suma o resta de estas últimas, se requiere de un procedimiento que

toma en cuenta la dirección de los vectores para llegar al resultado correcto, comúnmente

llamado vector resultante.

Existen varias formas de sumar vectores, un par de ejemplos son los métodos gráficos,

como el del triángulo o el del polígono, que seguramente conociste en la escuela

secundaria. También existen métodos analíticos, los cuales requieren del uso de

fórmulas y cálculos matemáticos para llegar al resultado. Nosotros nos enfocaremos

a la descripción y aplicación del método analítico, denominado método de las componentes,

con el cual podrás sumar cualquier cantidad de vectores. Recuerda que en

la Física se trabaja con muchas cantidades vectoriales, por lo que es importante que

conozcas esta forma de análisis vectorial.

Pasos del método de las componentes:

1. Transformar las coordenadas polares de cada uno de los vectores a coordenadas

rectangulares, es decir, obtener con las siguientes fórmulas las componentes x y

y de cada uno de los vectores:


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 13

2. Obtener las sumatorias de las componentes x y y con las siguientes fórmulas:

3. Es preciso mencionar que las sumatorias de las componentes x y y obtenidas

en el paso anterior son las componentes o coordenadas rectangulares del vector

suma o resultante y, para obtener su magnitud, se combinan mediante el teorema

de Pitágoras con la siguiente expresión:

4. Una vez que hemos obtenido la magnitud del vector resultante, procedemos a

calcular su dirección mediante la función tangente:

Nota: en estas fórmulas utilizamos la letra v de forma genérica para representar

cualquier vector, sin embargo, al realizar ejercicios o resolver problemas, es común

utilizar otras letras como TD&IS la F Training para representar Distribution fuerzas, and w para Integrated representar Services pesos, a

para representar aceleraciones, etc. Esto no modifica la esencia ni la estructura de las

fórmulas, únicamente cambian los símbolos.

Enseguida, resolveremos algunos ejemplos de sumas de vectores utilizando este método;

analízalos detenidamente para que los comprendas perfectamente y puedas

resolver algunos ejercicios posteriores.

EJEMPLO 1.3

Encuentra el vector resultante y su dirección de acuerdo con el siguiente sistema de vectores:

F 1 = 65 N a Ɵ 1 = 30°

F 2 = 70 N a Ɵ 2 = 135°

F 3 = 50 N a Ɵ 3 = 270°

Incógnitas: F R y Ɵ R

Utilizaremos el método de las componentes descrito anteriormente:


14 La Mecánica y el Entorno

1. Como una forma de visualizar el sistema de vectores, es conveniente realizar una representación gráfica

de los mismos (figura 1.8):

y

F2

F1

270 o 135 o 30 o

x

F3

Figura 1.8

2. Utilicemos las fórmulas para obtener las componentes rectangulares de cada uno de los vectores:

Fx = F cos θ

Fy = F cos θ

F 1x = 65 N cos30° = 56.3 N

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

F 1y = 65 N sen30° = 32.5 N

F 2x = 70 N cos135° = - 49.5 N

F 2y = 70 N sen135° = 49.5 N

F 3x = 50 N cos270° = 0 N

F 3y = 50 N sen270° = - 50 N

3. A continuación, se suman las componentes x para obtener (∑F x ) y las componentes y para encontrar (∑F y ).

∑Fx = 56.3 N – 49.5 N + 0 = 6.8 N

∑Fy = 32.5 N + 49.5 N – 50 N = 32 N

4. Para determinar la magnitud de la resultante, se utiliza el teorema de Pitágoras.


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 15

5. Para determinar la dirección de la resultante, se utiliza la función tangente:

6. Por lo tanto, nuestro vector resultante sería el siguiente:

F R = 32.7 N con una dirección θ = 78°

7. Por último, para observar gráficamente el vector resultante, utilizamos los valores de las sumatorias (∑F x y

∑F y ) y realizamos la gráfica correspondiente (figura 1.9).

y

∑Fy

FR

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

∑Fx

θ

x

Figura 1.9

EJEMPLO 1.4

Con los siguientes datos, encuentra la fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas.

F 1 = 80 N a 45°

F 2 = 70 N a 120°

F 3 = 90 N a 210°


16 La Mecánica y el Entorno

De nuevo, las incógnitas que se desea calcular son F R y θ R .

Pasos que debemos seguir para la solución del problema:

1. Dibujamos una representación gráfica del sistema de vectores:

y

F2

F1

120 o

210 o 45 o

x

F3

Figura 1.10

2. A diferencia del ejemplo 1.3, ahora vamos a utilizar una tabla para acomodar los datos y operaciones para

obtener las componentes x y y de cada uno de los vectores.

Fuerza (F) Ángulo (θ) Fx = Fcos (θ) Fy = Fsen (θ)

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

F 1 = 80 N θ 1 = 45̊ 80 N cos 45̊ = 56.56 N 80 N sen 45̊ = 56.56 N

F 2 = 70 N θ 2 = 120̊ 70 N cos 120̊ = -35 N 70 N sen 120̊ = 60.6 N

F 3 = 90 N θ 3 = 210̊ 90 N cos 210̊ = -77.9 N 90 N sen 210̊ = -45 N

∑F x = -56.3 N

∑F y = 72.1 N

3. Con los resultados de las sumatorias (ΣFx y ΣFy), realizamos los cálculos correspondientes para determinar

la magnitud de la fuerza resultante mediante el teorema de Pitágoras.

4. Calculemos ahora la dirección de la fuerza resultante:


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 17

5. Ubiquemos el vector resultante en el sistema de coordenadas y determinemos el ángulo resultante respecto

al eje x (figura 1.11).

y

FR

∑Fy

θ

α

x

∑Fx

Figura 1.11

Como se puede observar, el vector resultante queda en el segundo cuadrante; y sabemos que…

θ R = 180 - θ

θ R = 180 - 52° = 128°

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

6. Concluimos, entonces, que en el problema, expresando la fuerza resultante será…

F R = 91.47 N con una dirección θ R = 128°


18 La Mecánica y el Entorno

■ Actividad 3 Suma de vectores, método de las componentes

Utilizando el método de las componentes, suma los siguientes vectores y encuentra

el vector resultante:

1. F 1 = 68 N a 100° F 2 = 70 N a 30° F 3 = 40 N a 320°

a) Fuerza F Ángulo (θ) Fx = Fcos(θ) Fy = F sen(θ)

F 1 =

F 2 =

F 3 =

∑F x = ∑F y =

b) Teorema de Pitágoras:

c)

d) Representación gráfica:

TD&IS e) Vector Training resultante: Distribution and Integrated Services

2. F 1 = 120 N a 75° F 2 = 80 N a 130° F 3 = 400 N a 220°

a) Fuerza F Ángulo (θ) Fx = Fcos(θ) Fy = F sen(θ)

F 1 =

F 2 =

F 3 =

∑F x = ∑F y =

b) Teorema de Pitágoras:

c)

d) Representación gráfica:

e) Vector resultante:


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 19

3. F 1 = 190 N a 200° F 2 = 270 N a 330° F 3 = 40 N a 20°

a) Fuerza F Ángulo (θ) Fx = Fcos(θ) Fy = F sen(θ)

F 1 =

F 2 =

F 3 =

∑F x = ∑F y =

b) Teorema de Pitágoras:

c)

d) Representación gráfica:

e) Vector resultante:

4. F 1 = 30 N a 150° F 2 = 370 N a 80° F 3 = 470 N a 220°

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

a) Fuerza F Ángulo (θ) Fx = Fcos(θ) Fy = F sen(θ)

F 1 =

F 2 =

F 3 =

∑F x = ∑F y =

b) Teorema de Pitágoras:

c)

d) Representación gráfica:

e) Vector resultante:


20 La Mecánica y el Entorno

Con esto concluimos el tema de vectores, en el cual vimos cómo expresarlos en coordenadas

polares y en coordenadas rectangulares, además del método de las componentes

para efectuar sumas de vectores. El conocimiento y dominio de este método es importante,

en particular cuando analizamos el movimiento en dos o tres dimensiones, puesto que

las magnitudes vectoriales tendrán sus componentes en cada una de esas dimensiones.

Vamos ahora a continuar el desarrollo de esta etapa profundizando en el tema del

análisis del movimiento en una dimensión, siguiendo la línea temática trazada desde

la unidad de aprendizaje “La ciencia del movimiento” del segundo semestre.

1.6. Movimiento en una dimensión

Después de haber conceptualizado las magnitudes básicas de la cinemática, estamos

en condiciones de analizar el movimiento de los cuerpos en una dimensión.

Al hablar de movimiento en una dimensión, nos referimos al movimiento que tiene

un cuerpo cuando su trayectoria es una línea recta. También se le conoce como movimiento

rectilíneo.

Nos remitiremos, en el caso del movimiento acelerado, al análisis de situaciones con

aceleración constante, ya sea en el plano horizontal o en el plano vertical.

Algunos autores hacen una distinción del movimiento rectilíneo en dos tipos, a saber:

1. El movimiento rectilíneo uniforme, aquel en el que el cuerpo se mueve a velocidad

y rapidez Training constantes; Distribution y and Integrated TD&IS Services

2. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, aquel en el que el cuerpo se

mueve en línea recta con aceleración constante.

Sin embargo, pensamos que dicha distinción o clasificación es innecesaria, puesto

que la esencia de la Física es describir y explicar la mayor cantidad de hechos con

la menor cantidad de leyes o modelos matemáticos. La forma en que vamos a tratar

este tema resulta mucho más accesible a la comprensión y el entendimiento del estudiante

de nivel medio superior.

1.6.1. Posición, distancia y desplazamiento en una dimensión

Para determinar la posición de un cuerpo, nuestro sistema de referencia será un

eje (horizontal o vertical) con divisiones que representen los valores de distancia a

partir del origen de dicho sistema; es decir, un eje de coordenadas, como se muestra

en la figura 1.12.

-5

-4

-3

-2

-1

0 1 2 3 4 5

Figura 1.12


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 21

En dicho sistema de referencia, el cuerpo ocupará diferentes posiciones durante el

movimiento, pero debemos indicar cuál es la posición inicial y cuál es la posición

final. Ten en cuenta que dichas posiciones pueden estar en cualquiera de los puntos

del eje de coordenadas: en el origen (posición 0), en el lado positivo o en el negativo.

Recuerda también que estamos representando distancias o desplazamientos de

un objeto, que se miden en unidades de longitud como metros o centímetros, por

mencionar solo algunos.

EJEMPLO 1.5

Un muchacho monta su patineta cuando se encuentra a 45 m a la izquierda de su casa y luego se mueve en

línea recta hasta llegar a un punto situado a 20 m a la derecha de su casa.

¿Qué distancia recorrió? ¿Cuánto se desplazó?

CASA

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Posición en metros con respecto a la casa

Solución

Figura 1.13

Datos:

Posición inicial: x i

= -45 m (45 m a la izquierda de la casa)

Posición final: x f = 20 m (20 m a la derecha de la casa)

¿Cómo lo vamos a resolver? Para calcular la distancia recorrida, vamos a obtener la diferencia entre la

posición final y la posición inicial de la siguiente manera:

Distancia recorrida = x f - x i

Distancia recorrida = 20 m - (- 45 m)

Distancia recorrida = 65 m


22 La Mecánica y el Entorno

Para encontrar el desplazamiento, calculamos la diferencia entre la posición final y la posición inicial, teniendo

en cuenta la dirección del movimiento:

Desplazamiento =

Desplazamiento = 20 m - ( -45 m)

Desplazamiento = 65 m hacia la derecha

Interpretación del resultado:

Observa que, al considerar que el movimiento sigue una trayectoria recta, el valor de la distancia recorrida

coincide con la magnitud del desplazamiento. Esto se cumplirá siempre, aun en movimientos a intervalos,

con la condición de que sean todos en la misma dirección. En este caso, tuvimos que la distancia recorrida

fue de 65 m y el desplazamiento fue de 65 m hacia la derecha de su posición inicial.

Como ya vimos en temas anteriores, se utiliza el símbolo ∆ (delta) para representar un cambio, incremento

o diferencia entre una cantidad final y una cantidad inicial. También podemos utilizar ese símbolo para representar

la distancia recorrida o el desplazamiento:

∆ x = distancia recorrida = x f - x i

∆ x = desplazamiento =

Sin embargo, en muchas ocasiones se tiene que la posición inicial del cuerpo bajo análisis está en el origen

del sistema de coordenadas TD&IS (x i = 0). Training Cuando eso Distribution sucede: and Integrated Services

∆ x = distancia recorrida = x f

y

∆ x = desplazamiento =

1.7. Ecuaciones del movimiento rectilíneo

Cuando se analiza el movimiento de un objeto en una dimensión, el problema fundamental

consiste en determinar, a partir de su posición inicial, la posición o posiciones

en el futuro. Para resolverlo, se requiere de la comprensión y el manejo de las

siguientes variables:

x i = posición inicial

x f = posición final

v i = velocidad inicial

v f = velocidad final

a = aceleración

t = intervalo que transcurre en el cambio de posición


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 23

Todos los cálculos que tienen que ver con las variables que describen dicho movimiento

se pueden hacer con las siguientes dos ecuaciones, que tomaremos como

base; posteriormente, veremos de dónde proceden:

1. Ecuación de la posición

2. Ecuación de la velocidad

(ecuación 1)

(ecuación 2)

Debes desarrollar la capacidad de interpretar los datos con que cuentas y aplicar

las ecuaciones anteriores de acuerdo con dichos datos. Se pueden reconocer algunos

casos comunes, a saber:

• cuando el cuerpo parte del origen del sistema de coordenadas (x i = 0),

• cuando el cuerpo parte del reposo, la velocidad inicial es cero (v i = 0),

• cuando la velocidad es constante (a = 0).

Veamos algunos ejemplos.

EJEMPLO 1.6

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Un conductor viaja a una velocidad constante de 43.2 km/h al pasar por un crucero (x i = 0), y a partir de ahí

sigue conduciendo en línea recta durante dos minutos más. ¿Cuál es su posición respecto al crucero al final

de ese tiempo?

Solución

¿Qué tenemos que hacer? Determinar la posición del automovilista respecto al crucero al término de

2 minutos.

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando la ecuación de la posición, considerando que se mueve a velocidad

constante durante 2 minutos.

Datos:

x i

= 0

v i

= 43.2 km/h

a = 0

Incógnita:

x f = ?

t = 2 minutos


24 La Mecánica y el Entorno

Antes de aplicar la ecuación del movimiento, tenemos que transformar todos los datos a unidades consistentes,

es decir, a unidades del Sistema Internacional de Unidades (SI); en este caso, la velocidad y el tiempo:

Ahora, aplicamos la ecuación de la posición (ecuación 1):

En este ejemplo, la posición inicial es x i = 0. Como el automovilista viaja a velocidad constante, la aceleración

es igual a cero (a = 0); entonces, sustituyendo los datos, tenemos que…

x f = 1440 m con respecto al crucero

Interpretación del resultado:

En este ejercicio, estamos ante un caso de movimiento rectilíneo con velocidad constante y el automovilista

avanzó casi un kilómetro y medio en esos dos minutos de tiempo transcurrido.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

EJEMPLO 1.7

Un lanzador arroja la bola con una rapidez de 95 mi/h al receptor que se encuentra a 18 m del home.

¿Cuánto tarda la bola en llegar al receptor?

Solución

¿Qué tenemos que hacer? Calcular el tiempo que viaja la bola de béisbol desde que el lanzador la arroja

hasta que el receptor la atrapa.

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando la ecuación de la posición, considerando que la bola se mueve a

velocidad constante, es decir, aceleración igual a cero, y tomando la posición del lanzador como x i = 0.

Datos:

x i = 0

v i = 95 mi/h

x f = 18 m

a = 0

Incógnita:

t = ?


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 25

Al igual que en el ejemplo anterior, tenemos que transformar los datos a unidades del SI; en este caso, solamente

la velocidad de la bola:

Aplicamos la ecuación de la posición (6). En este ejercicio es más conveniente simplificarla antes de sustituir

los datos, como se ve enseguida.

Como x i = 0 y a = 0, se eliminan el primero y el último término, y tenemos que…

y despejando el tiempo, nos queda…

Sustituimos los datos en la ecuación despejada:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Interpretación del resultado:

Al simplificar la ecuación de posición, nos queda una expresión que matemáticamente es muy sencilla

de utilizar para despejar la incógnita (el tiempo). El resultado es lógico, dado que la velocidad es alta y la

distancia que debe recorrer la bola es pequeña. Por lo tanto, esta tarda menos de medio segundo en llegar al

receptor. Si el bateador no reacciona a tiempo, le marcarían probablemente un strike.

Directrices que te ayudarán a dar solución a los problemas:

• Identifica todos los datos que tengas (las unidades de medida te darán buena idea

de lo que representan).

• Un dibujo de la situación que el ejercicio plantea es de gran ayuda para encontrar

la solución.

• Convierte los datos a unidades de un solo sistema de medida. El más utilizado es

el Sistema Internacional (SI).

• Si lo que vas a calcular es la posición final (x f ) o la velocidad final (v f ), es mejor

que trabajes con las ecuaciones completas y sustituyas todos los datos en ellas

para luego realizar las operaciones necesarias y obtener el resultado (o incógnita).

Si lo que vas a calcular es alguna de las variables que se encuentran en el

miembro derecho de alguna de las dos ecuaciones, es más conveniente simplifi-


26 La Mecánica y el Entorno

carla primero, realizar el despeje de la incógnita correspondiente y, hecho esto,

sustituir los datos que tengas en la o las ecuaciones ya despejadas.

• Nunca olvides que en Física los datos numéricos representan cantidades físicas

concretas; por lo tanto, los resultados que obtengas también tienen una representación

real que debe incluir sus unidades de medición. Si vas a calcular la

posición, el resultado debe expresarse en unidades de longitud. Si vas a calcular

rapidez o velocidad, el resultado debe estar en unidades de velocidad; y así debes

hacerlo con las demás variables de la cinemática, como el tiempo, la aceleración

y la velocidad final.

• Haz una interpretación de los resultados; es decir, que las cantidades que obtengas

sean lógicamente correctas aplicando el sentido común.

EJEMPLO 1.8

En las Olimpiadas de Londres 2012, el corredor jamaiquino Usain Bolt

rompió el récord de velocidad en los 100 m planos con un tiempo de 9.58

segundos. Considerando que partió del reposo, contesta lo siguiente:

a) ¿Cuál fue su aceleración?

b) ¿A qué velocidad cruzó la meta?

Solución

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

En este caso, la posición inicial es cero. Consideramos que el corredor tuvo una aceleración constante

durante toda la carrera (lo cual es una simplificación para resolver este ejemplo, pues, en realidad, la aceleración

difícilmente es constante en este tipo de competencias).

¿Qué tenemos que hacer? Calcular la aceleración del corredor y la velocidad final.

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando las ecuaciones de la posición (ecuación 1) y de la velocidad

(ecuación 2).

Datos:

x i = 0

v i = 0

x f = 100 m

t = 9.58 s

Incógnitas:

a = ?

v f = ?


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 27

Para obtener el valor de la aceleración, aplicamos la ecuación de la posición, ya que contamos con los datos

necesarios: posición inicial, velocidad inicial, posición final y tiempo. La simplificamos antes de sustituir

los datos y eliminamos el primero y el segundo términos, ya que tienen un valor de cero.

x

1

f

= x i

+ v t + at 2

i 2

x f

= 1 at 2

2

Luego, se despeja la aceleración de la ecuación simplificada, quedando…

a = 2x f

t 2

Y ahora se sustituyen los datos en la ecuación despejada:

Para obtener la velocidad a la que Bolt cruzó la meta, aplicamos ahora la ecuación de la velocidad (ecuación

2) y sustituimos datos:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Interpretación de los resultados:

El resultado de la aceleración nos indica que el corredor Usain Bolt cambió la magnitud de su velocidad en

2.18 m/s durante cada uno de los 9.58 s que duró la carrera, de tal manera que él ya había alcanzado una

velocidad de 20.88 m/s al cruzar la meta.


28 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 1.9

Un avión comercial aterriza a una velocidad de 150 km/h y tarda 1.4 minutos en llegar al reposo total.

Considerando que la aceleración (desaceleración) es constante, responde lo siguiente:

a) ¿Cuál fue su desaceleración?

b) ¿Qué distancia recorrió desde que tocó tierra hasta que se detuvo?

Solución

¿Qué vamos a hacer? Calcular la aceleración del avión y la distancia que recorre desde que toca tierra hasta

detenerse (posición final).

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando las ecuaciones de la posición (ecuación 1) y de la velocidad (ecuación

2), considerando como posición inicial el punto donde el avión tocó tierra (x i = 0) y como posición final

la distancia a la que se detuvo (x f ).

Datos:

x i = 0

v i = 150 km/h

t = 1.4 minutos

v f = 0

Incógnitas:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

a = ?

x f = ?

De nuevo, convertimos los datos (la velocidad inicial y el tiempo) a unidades consistentes:

En este ejercicio aplicamos, primero, la ecuación de la velocidad para calcular la aceleración, ya que contamos

con los datos necesarios (v i , v f y t). Cuando despejamos la aceleración de la fórmula, queda de la

siguiente manera:


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 29

Ahora, se sustituyen los datos en la ecuación:

Luego, aplicamos la ecuación de la posición y sustituimos los datos para encontrar la posición final:

Interpretación de los resultados:

Como vemos, este es un caso de movimiento “retardado”, es decir, aquel cuya aceleración es negativa, ya

que el avión, al aterrizar, emplea los frenos para disminuir su velocidad hasta llegar al estado de reposo,

recorriendo para ello

TD&IS

un total

Training

de 1771.56

Distribution

m.

and Integrated Services

■ Actividad 4 Movimiento en una dimensión

I. Investiga en otros libros de Física o en internet lo que en la cinemática representan

los siguientes casos de combinaciones de los vectores de velocidad y

aceleración. Menciona un ejemplo de la vida diaria para cada uno de ellos.

v

a

v

a

v

a

v

a


30 La Mecánica y el Entorno

II. En equipos de tres personas, resuelvan los siguientes ejercicios usando las dos

ecuaciones de la cinemática; para ello, es necesario asignar roles que sirvan de

guía a los integrantes. Se busca que sean grupos heterogéneos en conocimiento,

en los que sus miembros se apoyen mutuamente. Recuerden aplicar las ecuaciones

de la cinemática.

1. Un cohete sale disparado verticalmente desde la plataforma de lanzamiento hacia

arriba con una aceleración neta de 20 m/s 2 . Si la atmósfera tiene un espesor

aproximado de 100 km, y considerando que la aceleración sea constante…

a) ¿cuál es el tiempo que le toma al cohete abandonar la atmósfera?

b) ¿qué velocidad alcanza el cohete en ese momento?

2. La ficha técnica del automóvil Golf GTI de última generación establece que

tiene una aceleración de 0 a 100 km/h en 6.2 s.

a) ¿Cuál es su aceleración expresada en m/s 2 ?

b) ¿Cuál es la distancia que recorre el auto en el tiempo en que acelera de

0 a 100 km/h?

3. Una camioneta sin tapa trasera en la caja avanza con una velocidad de 60

km/h sobre una calle recta y, al pasar por un bache, deja caer un bulto que

transportaba en la caja. El bulto tarda 4 s en detenerse. Calcula…

a) la aceleración (desaceleración) del bulto.

b) la distancia recorrida por el bulto desde que cayó hasta que se detuvo.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

4. Desde un avión que se encuentra a 10000 pies de altura, se suelta una caja

con suministros para una aldea. El paracaídas tarda 8 s en abrir y desciende

a velocidad constante hasta llegar al suelo. Suponiendo que la aceleración

al saltar es de 10 m/s 2 y que se mueve en línea recta verticalmente hacia

abajo sin resistencia del aire, determina lo siguiente:

a) La velocidad que alcanza la caja en el momento en que se abre el paracaídas.

b) La distancia que recorre en ese lapso de tiempo.

c) El tiempo que tarda en llegar al suelo desde que se lanzó del avión.

5. Una persona que se encuentra a 50 m de un taxi estacionado en la avenida corre

con una rapidez constante de 3.7 m/s para alcanzarlo, pero, cuando pasan 2.5

s, otro hombre que está a 30 m del mismo vehículo se dispone a alcanzarlo

acelerando a 0.4 m/s2. ¿Cuál de los dos hombres llegará primero al taxi?

1.8. Análisis gráfico del movimiento en una dimensión

Otra forma de describir el movimiento en una dimensión es el análisis gráfico. Este

consiste en interpretar, a partir de una gráfica, los cambios de posición o de velocidad

de un cuerpo al moverse de un punto a otro.

Estudiaremos tres gráficas fundamentales para analizar y describir el movimiento.

Estas son las gráficas de…

• posición contra tiempo,


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 31

• velocidad contra tiempo,

• aceleración contra tiempo.

¿Por qué estas gráficas? Cuando se realiza un análisis gráfico, es necesario especificar

qué variables vamos a observar; es decir, cómo se comportan. Entonces, lo que nos

interesa en cinemática es conocer la posición adquirida por el cuerpo, cómo se comporta

su velocidad y cuál es su aceleración. Todos estos cambios suceden a través del

tiempo; es por ello que en todas esas gráficas la variable independiente es el tiempo.

El tiempo transcurre y los cuerpos que se mueven y que queremos estudiar cambian

o no de posición, cambian o no de velocidad y aceleran o no aceleran. A estas variables

que analizamos se les llama variables dependientes, pues cambian al pasar el

tiempo; de acuerdo con el tiempo transcurrido, adquirirán una posición, una velocidad

y una aceleración determinadas. Las variables independientes, por regla, se grafican

en el eje horizontal, y las variables dependientes, por lo tanto, en el eje vertical.

1.8.1. Gráfica de posición contra tiempo (x vs t)

Consideremos una gráfica de posición contra tiempo de un ratón que se desplaza por

una tubería recta; tenemos los siguientes datos:

Tabla 1.1 Posición y tiempo

Posición (x) metros Tiempo (t)segundos

0 0

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

4 1

8 2

12 3

16 4

20 5

Para elaborar la gráfica, se requiere la observación y el registro de los datos de la

posición que va tomando el ratón al transcurrir el tiempo. Es común elaborar una

tabla de registro con los datos recolectados por observación.

Enseguida, se grafican los pares ordenados y se obtiene la gráfica que discutiremos

a continuación.

Posición ( x ) en metros

20

16

12

8

4

0 1 2 3 4 5 6

Posición ( t ) en segundos

Figura 1.15


32 La Mecánica y el Entorno

¿Qué información podemos obtener de la gráfica de posición contra tiempo?

La posición del cuerpo en diferentes momentos

• El tiempo que tarda en llegar a una posición dada

La magnitud de la velocidad del cuerpo

• Predecir la posición en momentos distintos de los datos recolectados

(extrapolación)

En este ejemplo, podemos contestar preguntas como las siguientes:

a) ¿Qué posición tenía el ratón cuando el tiempo era de 3.5 s?

En la gráfica, nos movemos en el eje del tiempo hasta la posición de 3.5 s y,

enseguida, de forma paralela al eje de la posición hasta llegar a la línea. A continuación,

nos movemos en forma horizontal hasta el eje de la posición para ver

en qué posición se encontraba el ratón en ese momento, que es 14 m.

b) ¿En qué momento el ratón había avanzado 18 m?

Ahora, procedemos en forma inversa, es decir, nos movemos por el eje de la

posición hasta llegar a 18 m y en forma horizontal hasta llegar a la línea. Luego,

descendemos en forma paralela al eje de tiempo para encontrar el momento en

que ocupaba esa posición, que es 4.5 s.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

c) ¿Cuál fue la rapidez o la magnitud de la velocidad del ratón en el intervalo de

2 a 4 s?

En este caso, utilizamos los datos de la gráfica recordando que la rapidez se

obtiene dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Los datos

son los siguientes:

x f = 16 m

x i = 8 m

t = 4 s

t i = 2 s

v = ?

Sustituimos datos:


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 33

La rapidez o magnitud de la velocidad del ratón era de 4 m/s en ese intervalo de

tiempo.

d) ¿Qué posición tendrá el ratón en el sexto segundo?

En este caso, haremos una extrapolación, ya que el sexto segundo no forma parte

de los datos originales de la tabla ni de la gráfica. Aquí podemos prolongar la

recta obtenida suponiendo que seguirá con la misma tendencia del movimiento

anterior y, como hicimos en el inciso a), encontramos que la posición en el sexto

segundo es 24 m.

En este ejemplo, la gráfica obtenida fue una línea recta partiendo del origen del sistema

de ejes posición-tiempo. Una gráfica como esta tiene la particularidad de que,

si obtenemos la magnitud de la velocidad en cualquiera de los diferentes intervalos

de tiempo, tal como lo hicimos en el inciso c), obtendremos exactamente la misma

rapidez; razón por la cual podemos decir que el cuerpo se desplaza con velocidad

constante o uniforme.

■ Actividad 5 Análisis gráfico del movimiento en una dimensión

Tomando como base la gráfica del ejemplo anterior, calcula la velocidad del ratón en

los siguientes intervalos:

a) de 0 a 2 s

b) de 3 a 4 s

c) de 4 a 5 s

d) de 0 a 5 s

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

¿Cuál es la conclusión acerca de los resultados anteriores?

Es importante reflexionar sobre lo que se ha hecho al resolver este ejemplo: como en

este tipo de movimiento, podemos describir gráficamente muchos otros de diferentes

cuerpos y obtener conclusiones similares bajo las mismas condiciones; ahí radica

la riqueza de los métodos de la Física: hacer generalizaciones utilizando los mismos

principios que rigen los fenómenos estudiados.

Ahora, pasemos a estudiar la gráfica de velocidad contra tiempo.


34 La Mecánica y el Entorno

1.8.2. Gráfica de velocidad contra tiempo (v vs. t)

Ahora, se estudiará la gráfica de velocidad contra tiempo (v vs. t). Al igual que en

la anterior, cuando se construye una gráfica, la variable que se menciona en primer

término es siempre la variable dependiente; en este caso, la velocidad. Como se

estableció antes, esta se representa en el eje vertical. La siguiente variable es la independiente,

es decir, el tiempo; a la que le corresponde el eje horizontal.

¿Qué información nos brinda esta gráfica?

La velocidad del cuerpo en diferentes tiempos

• El tiempo que le toma al cuerpo alcanzar una velocidad determinada

La aceleración del cuerpo

La distancia recorrida en un tiempo dado

La velocidad del cuerpo en momentos distintos de los registrados (suponiendo

que se comporta de la misma forma)

EJEMPLO 1.10

Consideremos el caso del récord olímpico en la competencia de 200 m planos que consiguió el atleta Usain

Bolt en Londres 2012. Él logró recorrer esa distancia en un tiempo impresionante de 19.19 s. Para nuestro

análisis, supongamos que TD&IS la carrera Training se llevó a Distribution cabo en una pista and recta Integrated y que la aceleración Services de Bolt fue constante

durante los 200 m. La tabla de velocidad contra tiempo es la siguiente:

Tabla 1.2 Velocidad y tiempo de Usain Bolt

Velocidad ( v ) metros

Tiempo ( t )segundos

0 0

2.17 2

4.34 4

6.52 6

8.69 8

10.86 10

13.03 12

15.21 14

17.38 16

19.55 18

21.72 20


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 35

La gráfica correspondiente es la siguiente:

25

20

Velocidad (m/s)

15

10

5

0

0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Tiempo (s)

Figura 1.16

Con esta gráfica responderíamos a preguntas como…

a) ¿Qué velocidad tenía Bolt en el tercer segundo?

De la misma forma en que obtuvimos la posición en la gráfica de x vs. t; moviéndonos sobre el eje de tiempo

hasta los 3 s, intersecando la línea de la gráfica y buscando en el eje de la velocidad, que es 3.26 m/s.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

b) ¿En qué instante adquirió Bolt una velocidad de 15 m/s?

Partimos ahora del eje de la velocidad en 15 m/s y buscamos el tiempo que corresponde a 13.8 s.

c) ¿Con qué aceleración se movió Usain en el intervalo de 0 a 2 s?

Recordamos la definición de la aceleración, y con los datos de la gráfica tenemos:

v i = 0

v f = 2.17 m/s

t i = 0 s

t f = 2 s

a = ?

Sustituimos datos:


36 La Mecánica y el Entorno

Su aceleración fue de 1.087 m/s 2 . Esto significa que su velocidad cambió 1.087 m/s en cada uno de los segundos

de ese intervalo de 0 a 2 s. De aquí podríamos deducir que, dado que la gráfica es una línea recta,

tenemos elementos suficientes para afirmar que dicha aceleración sería la misma en cualquier otro intervalo,

lo cual no sucedería si la forma de la gráfica fuera una curva.

d) ¿Qué distancia recorrió Bolt desde el inicio hasta el segundo 14?

En la gráfica de velocidad contra tiempo podemos determinar la distancia recorrida obteniendo el área bajo

la gráfica, que en este caso es un triángulo rectángulo cuya base es el tiempo de 14 s y la altura es la velocidad

correspondiente a ese tiempo, 15.21 m/s.

t = 14 s

v = 15.21 m/s

x = área bajo la gráfica (triángulo rectángulo)

x = 106.47 m

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

25

20

Velocidad (m/s)

15

10

5

0

0

Área=(Base X altura) /2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Tiempo (s)

Figura 1.17.

Interpretación del resultado:

Por lo tanto, Bolt recorrió 106.47 m desde el inicio hasta el catorceavo segundo. Así, también podemos determinar

la distancia en cualquier otro intervalo.


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 37

Repasando lo realizado hasta ahora, tenemos que, cuando la gráfica de velocidad

contra tiempo es una recta inclinada, se trata de un caso de movimiento con aceleración

constante, conocido también como movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado.

Piensa ahora en lo siguiente, ¿qué interpretación le daríamos a la gráfica si fuera una

línea recta horizontal y paralela al eje de tiempo, como la mostrada en la figura 1.18?

Tal gráfica representaría el movimiento de un cuerpo cuya velocidad no varía con

el tiempo, pues la recta es horizontal, lo que nos dice que la velocidad siempre tiene

el mismo valor; caso diferente al ejemplo del atleta Bolt, cuya gráfica v vs. t es una

recta inclinada (con pendiente positiva), lo que indica que la velocidad toma valores

crecientes a medida que el tiempo avanza. Como ejercicio mental, imagina cómo

sería la gráfica v vs. t para un cuerpo cuya velocidad va disminuyendo conforme

transcurre el tiempo. Coméntalo con tu profesor.

Velocidad

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Tiempo

Figura 1.18

1.8.3. Gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t)

Otra de las gráficas de movimiento rectilíneo es la de aceleración contra tiempo

(a vs. t). Para analizar esta gráfica, recordemos que, de acuerdo con los fines de este

curso, solamente estamos estudiando casos de movimiento rectilíneo con aceleración

constante. Esta puede ser igual a cero cuando el cuerpo se mueve con rapidez

constante, o bien, la aceleración puede ser positiva si el objeto aumenta su velocidad

al pasar el tiempo; o también puede ser negativa en el caso de que la velocidad del

cuerpo disminuya con el paso del tiempo.

Retomemos los dos ejemplos anteriores: el del movimiento de un ratón por una

tubería recta y el del atleta Usain Bolt en la competencia olímpica de 200 m planos.

Gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t) para un ratón que se mueve por

una tubería recta

En ese ejemplo llegamos a la conclusión de que el ratón se mueve con rapidez constante

(recuerda que, en el movimiento rectilíneo, la rapidez toma el mismo valor que

la velocidad, por lo que podemos hablar indistintamente de una o de otra) y al calcularla

obtuvimos un valor de 4 m/s. Un cuerpo que se mueve con velocidad o rapidez


38 La Mecánica y el Entorno

constante no sufre cambios en la misma y, por ello, su aceleración es nula (cero), de

tal forma que la gráfica a vs. t para este caso es la siguiente (fig. 1.19):

Aceleración (m/s 2 )

0

Tiempo (s)

Figura 1.19

Como vemos, la línea obtenida es una recta horizontal que coincide con el eje de

tiempo, ya que, al ser nula la aceleración, el cuerpo no cambiará su velocidad en

ningún momento.

Gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t) para el caso del atleta Usain Bolt

en la competencia de 200 m planos de Londres 2012

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Aquí tenemos una situación diferente: el atleta, como sabemos, partió de la meta desde

el reposo (v i = 0) y, al llegar a la meta, alcanzó una rapidez de v f = 20.88 m/s

(figura 1.20); es decir, si consideramos la aceleración constante, su velocidad cambió

uniformemente durante la carrera. En el ejemplo se obtuvo dicha aceleración y su

valor era de 1.087 m/s 2 . Entonces, tomamos ese valor de aceleración para realizar la

gráfica, que es la siguiente:

Aceleración (m/s 2 )

1.0

0.5

0

Tiempo (s)

1.087

Figura 1.20

Al moverse con aceleración constante, se mantendrá siempre en el mismo valor al

transcurrir el tiempo desde el inicio hasta el término de la carrera, en 1.087 m/s 2 .


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 39

¿Qué información podemos extraer de esta figura?

• El cambio de velocidad en intervalos establecidos como el área bajo la gráfica;

un rectángulo, en este caso.

Concluimos el tema del análisis gráfico del movimiento rectilíneo diciendo que has adquirido

pautas generales que pueden aplicarse a otros contextos y escenarios de movimiento

rectilíneo con velocidad constante o movimiento rectilíneo con aceleración

constante. Te corresponde ahora poner en práctica los conocimientos adquiridos en esta

importante etapa del curso, desarrollando las actividades de competencias que te presentamos

enseguida y, más adelante, resolviendo los ejercicios de la autoevaluación.

■ Actividad 6 Posición, velocidad y aceleración

Para cada uno de los siguientes casos, completa la gráfica correspondiente de posición

contra tiempo, velocidad contra tiempo y aceleración contra tiempo, e indica claramente

cuál variable representa cada uno de los ejes. Haz todas las suposiciones necesarias.

1. Grafica el movimiento de un barco de papel que se deja en la corriente de un

río en un tramo recto y que avanza sobre el agua con velocidad constante, desde

una posición inicial x i = 0 hasta una posición final de x f = 40 m, en un intervalo

de tiempo de 20 s (figura 1.21).

Gráfica x vs. t Gráfica v vs. t Gráfica a vs. t

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Figura 1.21

2. Grafica el movimiento de un avión que parte del reposo desde la sección inicial

de la pista hasta que despega; este recorre 1200 m en 30 s con aceleración constante

(figura 1.22).

Gráfica x vs. t Gráfica v vs. t Gráfica a vs. t

Figura 1.22


40 La Mecánica y el Entorno

3. Grafica el movimiento de un automóvil que viaja a una velocidad inicial de

15 m/s, se aproxima a un semáforo en luz roja a 45 m (x f = 0) y aplica el freno

uniformemente hasta que se detiene por completo (figura 1.23).

Gráfica x vs. t Gráfica v vs. t Gráfica a vs. t

Figura 1.23

4. Grafica el movimiento de una patrulla que viaja con velocidad constante de 10

m/s durante 5 s desde una posición inicial de 20 m y que, después, aumenta su

velocidad uniformemente durante otros 5 s hasta alcanzar una posición final de

120 m (figura 1.24).

Gráfica x vs. t Gráfica v vs. t Gráfica a vs. t

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Figura 1.24

5. Responde las siguientes preguntas respecto a la gráfica (figura 1.25).

a) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento A-B?

b) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento B-C?

c) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento C-D?

d) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento D-E?

e) ¿Cuál es la velocidad media desde la posición A hasta la posición E?

x (m)

30

C

D

20

10

B

E

0

A

10

20 30 40 50

t (s)

Figura 1.25


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 41

6. De acuerdo con la figura 1.26, contesta las preguntas.

a) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 0 a 5 s?

b) ¿Cuál fue el desplazamiento del cuerpo en ese mismo intervalo de tiempo?

c) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 5 a 9 s?

d) ¿Cuál fue el desplazamiento del cuerpo en ese mismo intervalo de tiempo?

e) ¿Cuál fue el desplazamiento total del cuerpo en el intervalo de tiempo de 0 a 9 s?

v (m/s)

20

5 9

t (s)

Figura 1.26

7. Con base en la figura 1.27, calcula lo que se te pide.

a) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 0 a 125 s?

b) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 125 a 250 s?

c) ¿Cuál fue el desplazamiento total de 0 a 250 s?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

v (m/s)

100

125

250

t (s)

Figura 1.27

¿SABÍAS QUE…

Se venden viajes a Marte

… a raíz del éxito que se ha tenido con la llegada de los Explorers,

se han programado viajes tripulados a Marte y muchas

personalidades adineradas del mundo han reservado ya sus

lugares.

Del mismo modo, Estados Unidos ha anunciado que pronto

podrá hombres en la Luna en cápsulas parecidas a las que se

utilizaron en la década de 1960.

Para saber más, te sugerimos visitar:

http://www20minutos.es/noticia/127557/0/NASA/proyecto/marte/


42 La Mecánica y el Entorno

1.9. Análisis del movimiento en una dimensión desde el punto de

vista de las leyes de Newton

El estudio del movimiento de los cuerpos se profundiza aún más cuando lo relacionamos

con las causas que lo generan, es decir, cuando explicamos el movimiento con

base en las leyes que se han establecido a lo largo de los años por personajes como

Galileo Galilei e Isaac Newton, quienes pasaron gran parte de su existencia tratando de

comprender el comportamiento de los cuerpos cuando se mueven.

Como vimos en La ciencia del movimiento, Newton enunció sus tres leyes describiendo

este fenómeno a través de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Aquí las

reproducimos una vez más:

Primera ley de Newton: “Todo cuerpo permanecerá en estado de reposo o de

movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza externa actúe sobre él”.

Segunda ley de Newton: “Cuando un cuerpo se encuentra bajo la acción de una

fuerza neta no balanceada, la aceleración producida es directamente proporcional

a la fuerza, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”.

Tercera ley de Newton: “A toda fuerza de acción, corresponde otra fuerza igual y

contraria llamada reacción”.

¿Cómo relacionamos el estudio de la cinemática que hemos visto en el

movimiento TD&IS Training en una Distribution dimensión con and las Integrated leyes de Newton? Services

Consideremos la primera ley escribiéndola de otra forma:

“El vector velocidad de un objeto permanecerá constante, si y solo sí la fuerza neta

(o resultante) que actúa sobre él es igual a cero”.

Esto significa que, cuando la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual

a cero, su velocidad permanece constante o uniforme sin importar la magnitud de

la velocidad, incluso cuando su velocidad es cero (estado de reposo). Nota que esto

no significa que el cuerpo se encuentre libre de fuerzas, ya que esta condición es

prácticamente imposible o, por lo menos, es muy difícil hallar un cuerpo en el universo

entero sobre el que no actúe ningún tipo de fuerza. Lo que sí significa es que

la fuerza neta de todas las que se ejercen sobre él es cero. Esta condición es la que

habíamos denominado estado de equilibrio, puede ser estado de equilibrio estático

cuando el cuerpo permanece en reposo, o bien, estado de equilibrio dinámico, que

se verifica cuando el cuerpo se desplaza con velocidad constante, recordando que

velocidad constante implica aceleración cero.

Veamos ahora la relación con la segunda ley de Newton escribiéndola de esta otra manera:

“Cuando una fuerza neta diferente de cero actúa sobre un objeto, su velocidad cambia,

es decir, el objeto está acelerado y esta aceleración es directamente proporcional

a la fuerza neta e inversamente proporcional a la masa del mismo.”

Observemos que, en este caso, la fuerza neta o resultante que actúa sobre el cuerpo

no es igual a cero, y lo que establece la segunda ley de Newton, en estas condiciones,


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 43

es que el cuerpo se mueve con un movimiento acelerado, lo cual significa que el

cuerpo no se encuentra en equilibrio.

Los siguientes ejemplos te darán una mejor idea de la relación que existe entre la

cinemática y las leyes del movimiento de los cuerpos.

EJEMPLO 1.11

Se acelera un automóvil de 800 kg a partir del reposo hasta alcanzar una velocidad de 16 m/s en 3 s.

¿De qué magnitud es la fuerza que se debe aplicar para producir esta aceleración?

Solución

¿Qué tenemos que hacer? Obtener la fuerza necesaria para que el carro se acelere.

¿Cómo lo vamos a resolver? Determinando la aceleración del carro para que obtengamos la fuerza necesaria.

Datos:

m = 800 kg

v i = 0

v f = 16 m/s

t = 3 s

Incógnita:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

F = ?

Obtendremos la aceleración generada por el automóvil con la fórmula:

Despejemos la aceleración de la fórmula:

Sustituyamos los valores y realicemos las operaciones:

Utilicemos esta aceleración y la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza necesaria

Interpretación del resultado:

La fuerza necesaria para acelerar el auto es…


44 La Mecánica y el Entorno

Ejemplo 1.12

Un automóvil que viaja a 25 m/s a lo largo de un camino recto y plano se detiene uniformemente en

una distancia de 50 m. Si el automóvil pesa 9200 N, ¿cuál es la magnitud de la fuerza para detener el

automóvil?

Solución

¿Qué tenemos que hacer? Obtener la fuerza necesaria para que el automóvil se detenga.

¿Cómo lo vamos a resolver? Determinando el tiempo necesario, la aceleración y la masa que necesita el

automóvil para detenerse, esto para luego obtener la fuerza necesaria para dicho movimiento.

Datos:

w = 9200 N

v i = 25 m/s

v f = 0

x i = 0

x f = 50 m

Incógnita:

F = ?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Para obtener la fuerza hay que calcular primero la aceleración mediante el siguiente procedimiento:

Despejemos la aceleración de la fórmula:

Pero como la velocidad final es cero, simplificamos la expresión anterior quedando:

Ahora se sustituye en la ecuación de la posición sabiendo que x i = 0

Se simplifica eliminando el cuadrado del tiempo y efectuando la suma algebraica:


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 45

Con lo cual podemos obtener el tiempo de detención del automóvil y luego la aceleración:

Calculemos la masa del automóvil con la siguiente fórmula:

Despejemos m de la fórmula:

Sustituyamos valores y realicemos operaciones:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Utilicemos esta aceleración y la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza necesaria:

Interpretación del resultado:

La fuerza necesaria para detener el auto es…

F = - 5866.8 N

El signo negativo de la fuerza indica que se está aplicando en dirección opuesta al movimiento.


46 La Mecánica y el Entorno

Ejemplo 1.13

Calcula la distancia que recorrerá un cuerpo de 5 kg de masa partiendo del reposo cuando sobre este actúa

una fuerza constante de 4 N durante 10 s.

Solución

¿Qué tenemos que hacer? Obteniendo la distancia que recorre el cuerpo durante 10 s.

¿Cómo lo vamos a resolver? Determinando la aceleración del cuerpo para después encontrar la distancia

que recorre.

Datos:

m = 5 kg

v i = 0

F = 4 N

t = 10 s

Incógnita:

x = ?

Obtendremos la aceleración del objeto con la fórmula:

Despejemos la aceleración de la fórmula:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Sustituyamos los valores y realicemos las operaciones:

Obtendremos la distancia recorrida por el objeto con la fórmula:

Sustituyamos los valores y realicemos las operaciones:

Interpretación del resultado:

La distancia recorrida por el objeto es de 40 m.


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 47

■ Actividad 7 Aplicación de la segunda ley de Newton

Resuelve los siguientes problemas utilizando la segunda ley de Newton y las fórmulas de la cinemática:

Problema

1. ¿Cuál debe ser la fuerza necesaria para detener

en una distancia de 25 m un objeto de 30 kg que

se mueve inicialmente a 20 m/s?

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

2. Determina la aceleración y la velocidad que

obtiene un automóvil de 600 kg que se mueve a

10 m/s al recibir un empuje mediante una fuerza

de 6000 N durante 3 s.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


48 La Mecánica y el Entorno

Problema

3. Un automóvil que viaja a 70 km/h a lo largo de

un camino recto y plano se detiene uniformemente

en una distancia de 80 m. Si el automóvil pesa

8500 N, ¿qué fuerza se necesita para detener al

automóvil?

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

4. Calcula la distancia que recorrerá un cuerpo de

8 kg que se mueve a 15 m/s cuando sobre este

actúa una fuerza constante de 30 N durante 8 s.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 49

Actividades y ejercicios complementarios

1. Elabora en tu cuaderno un glosario con el significado de todos los conceptos, términos, leyes y principios

estudiados a lo largo de esta etapa. Recuerda que el glosario debe estar escrito en orden alfabético.

2. Elabora una sección de comentarios. Esta consiste en que anotes en tu cuaderno las características que

te resultaron más relevantes de un tema y que te sirvieron para comprenderlo mejor. Procura abarcar

todos los temas vistos en la etapa.

Análisis de conceptos

Contesta las siguientes preguntas y explica tus respuestas.

1. Observando el movimiento de un jugador de futbol se demostró que durante el partido recorrió, aproximadamente,

13 km. ¿Cómo nombrar la magnitud recorrida: módulo del desplazamiento o camino recorrido?

2. Un navegante, al determinar la posición del barco por la mañana, descubrió que se encontraba en un punto

distante 100 m al sur del punto en el cual estaba la noche anterior. ¿Qué expresa este número: el valor del

desplazamiento o la longitud de la trayectoria?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

3. Un chofer de taxi, al concluir su trabajo, observó que el contador de kilómetros de su auto indicaba un

aumento de 300 km respecto al día anterior. ¿Qué representa este aumento: la longitud de la trayectoria o

el módulo del desplazamiento?

4. Una persona se encuentra en el interior de un automóvil cuyo velocímetro indica 90 km/h. ¿Con qué velocidad

esta persona observaría...

a) …un automóvil que viaja a su lado en el mismo sentido a 90 km/h?

b) …un poste situado en la acera de la calle?

5. ¿Qué registra el velocímetro de un automóvil: una cantidad vectorial o escalar?


50 La Mecánica y el Entorno

6. Supón que te encuentras exactamente en el polo norte de la Tierra, luego caminas 100 km hacia el sur,

50 km hacia el oeste y por último 100 km al norte. ¿En qué lugar terminarías?

7. La rapidez del sonido en el aire, en promedio, es de 340 m/s. Durante la próxima tormenta eléctrica, prueba

a estimar la distancia entre tu posición y un rayo, midiendo el tiempo que transcurre entre tu observación

del relámpago y el sonido del trueno. Puedes hacer caso omiso del tiempo en que la luz del rayo llega

hacia ti, ¿por qué?

8. ¿Qué indica la pendiente de una gráfica de desplazamiento contra tiempo?

9. ¿Qué cantidad representa el área bajo la gráfica de velocidad contra tiempo?

10. Si una gráfica de velocidad contra tiempo es una línea recta paralela al eje del tiempo, ¿qué puedes decir

respecto a la velocidad?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

11. Para las siguientes combinaciones de signos y valores para la velocidad y la aceleración de una partícula

respecto al eje x (una dimensión), describe qué es lo que hace la partícula en cada caso y cita un ejemplo

real para un motociclista en un eje x unidimensional, considerando el este como la dirección positiva.

Velocidad Aceleración Descripción y ejemplo de la vida real

+ +

+ –

+ 0

– +

– –

– 0

0 +

0 –

12. Moy manejó su automóvil alrededor de la manzana a velocidad constante. ¿El enunciado es verdadero o

falso?


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 51

13. ¿Puede la velocidad de un objeto estar alguna vez en dirección diferente de la dirección de su aceleración?

14. ¿Puede un objeto tener rapidez constante y, sin embargo, tener velocidad variable?

15. ¿Puede un objeto tener rapidez variable y, sin embargo, tener velocidad constante?

16. Si la velocidad de una partícula es diferente de cero, ¿puede ser que su aceleración sea igual a cero?

17. Si la velocidad de una partícula es cero, ¿puede ser que su aceleración sea igual a cero?

18. Si un automóvil está viajando hacia el norte, ¿puede ser que su aceleración sea hacia el sur?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

19. Si la gráfica de posición contra tiempo para un objeto muestra una pendiente cuyo valor es igual a cero,

¿qué representa dicha pendiente? ¿Cómo describiríamos el movimiento de este cuerpo?

20. ¿Qué indica la pendiente de una gráfica de velocidad contra tiempo?

21. ¿Qué cantidad representa el área bajo la gráfica velocidad contra tiempo?

22. ¿Qué cantidad representa el área bajo la gráfica aceleración contra tiempo?

23. Si una gráfica de velocidad contra tiempo es una línea recta paralela al eje del tiempo, ¿qué puedes decir

respecto a la aceleración?


52 La Mecánica y el Entorno

Preguntas

Responde subrayando en cada caso la opción correcta.

1. Si un móvil con movimiento rectilíneo uniforme recorre 60 m en 12 s, 25 m los recorrió en…

a) 6 s.

b) 5 s.

c) 4 s.

d) 4.5 s.

2. Si un móvil con movimiento rectilíneo uniforme recorre en 8 s 40 m, en 4.5 s recorrió…

a) 17.5 m.

b) 27.5 m.

c) 20.5 m.

d) 22.5 m.

3. La pendiente en el gráfico v vs. t (velocidad contra tiempo) que muestra la velocidad de un móvil en

función del tiempo representa…

a) el desplazamiento realizado por el móvil.

b) el tiempo transcurrido. TD&IS Training Distribution and Integrated Services

c) la aceleración del móvil.

d) la velocidad del móvil.

4. Si un móvil se desacelera, significa que…

a) su desplazamiento es negativo.

b) la distancia que recorre en cada segundo es cada vez menor.

c) la distancia que recorre en cada segundo es cada vez mayor.

d) la distancia que recorre cada segundo es la misma.

5. Un móvil se acelera a razón de 4 m/s 2 , esto significa que el móvil…

a) recorre 4 m cada segundo.

b) tarda 4 s en recorrer 1 m.

c) su velocidad cambia 4 m/s cada segundo.

d) recorre 4 m cada s 2 .


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 53

6. Un cuerpo que se desplaza con aceleración constante debe experimentar cambios en…

a) la velocidad.

b) la masa.

c) la aceleración.

d) el peso.

7. La rapidez de un cuerpo que se mueve en línea recta con aceleración positiva constante aumenta proporcionalmente

respecto a…

a) la distancia recorrida.

b) el tiempo transcurrido.

c) el desplazamiento realizado.

d) el cuadrado de la distancia recorrida.

8. Un ratón corre a lo largo de un túnel recto y angosto. Si su gráfica velocidad contra tiempo (v vs. t) es

una recta paralela al eje del tiempo, la aceleración es…

a) constante y diferente de cero.

b) cero.

c) variable.

d) negativa.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problemas

1. Un avión vuela con una rapidez de 998 km/h. ¿Qué distancia en m recorre en 30 segundos?

2. La luz proveniente del Sol tarda 8.3 minutos en llegar a la Tierra. Si la velocidad de la luz es de 30 × 10 8 ,

¿cuál es la distancia de la Tierra al Sol en m/s y km/h?

3. Calcula el tiempo en segundos que tardará un tren en recorrer 3 km en línea recta hacia el sur con una

velocidad de 90 km/h.

4. En un parque de béisbol, la distancia de la loma de lanzar al plato es de 18.5 m. Si el pitcher puede lanzar

la pelota a razón de 40 m/s, y considerando esta velocidad como constante, ¿cuánto tiempo tarda la

pelota en llegar al plato?

5. En una carretera cuya velocidad máxima permitida es de 70 km/h se ha instalado una cámara que toma

32 imágenes por segundo para determinar la rapidez de los vehículos. Si un automóvil cuya longitud es

2.50 m ocupa 5 imágenes en su movimiento total ante la cámara, ¿está infringiendo la ley? ¿A qué velocidad

va?


54 La Mecánica y el Entorno

6. En la línea de producción de una maquiladora de ropa se coloca una banda transportadora por donde

va pasando la ropa; por su lado, cada uno de los operadores realiza un proceso diferente en las prendas,

como coserlas, pegar botones, etc. Si la banda debe moverse con una rapidez de 0.5 m/s y cada

operador tarda 12 s en realizar su trabajo, ¿a qué distancia se debe colocar un operador de otro para

realizar su labor a tiempo? Si los rodillos de la banda transportadora miden 18 cm de diámetro, ¿cuál

debe ser la rapidez con la que deben girar para que la banda se mueva con la rapidez requerida?

7. Dos carros marchan en un mismo punto: uno a 60 km/h y otro a 80 km/h. (fig. 1.28) ¿A qué distancia se

encontrarán uno del otro al cabo de 50 minutos si viajan en el mismo sentido?

Figura 1.28.

8. Dos trenes parten de dos ciudades (A y B) distantes entre sí 400 km con velocidades de 100 km/h y 70

km/h, respectivamente , figura 1.29. Determina cuándo se encontrarán y a qué distancia de A estarán si

ambos parten al mismo tiempo y se mueven uno hacia el otro.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Figura 1.29.


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 55

9. Un automóvil marcha a 30 m/s por una carretera paralela a la vía del tren (figura 1.30). ¿Cuántos segundos

tardará el auto en pasar a un tren de 300 m de largo que marcha a 16.6 m/s en la misma dirección y sentido?

Análisis gráfico del MRU

Figura 1.30.

10. La siguiente tabla se obtuvo midiendo las distancias y los tiempos en que un carrito recorre un riel sin

fricción. Con la ayuda de papel milimétrico o una computadora con Excel obtén la gráfica, la pendiente y la

ecuación de la misma.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Prueba x (cm) t (s)

1 24 5.71

2 36 8.57

3 48 11.43

4 60 14.28

5 72 17.14

11. Un carrito de baterías se mueve en línea recta recorriendo 6 m cada 2 s. Calcula su velocidad y completa

la tabla de datos.

Tabla de datos

Tiempo (s) 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

Posición (cm) 0.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0

Velocidad

a) Traza la gráfica de posición contra tiempo para el movimiento descrito.

b) Construye la gráfica de velocidad contra tiempo.

c) ¿Qué tipo de movimiento caracterizan a estas gráficas?


56 La Mecánica y el Entorno

12. Una partícula se mueve a lo largo de una recta y ocupa las siguientes posiciones en varios instantes:

Tabla de datos

Tiempo (s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Posición (cm) 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Velocidad

a) Utiliza los datos de la tabla para construir una gráfica de posición contra tiempo.

b) ¿Qué representa la pendiente de la recta?

c) Completa la tabla y construye una gráfica de velocidad contra tiempo del movimiento de la partícula

durante los primeros 5 s.

d) Calcula el área bajo la gráfica anterior y la distancia recorrida en los primeros 5 s.

e) ¿A qué conclusiones llegas sobre las dos gráficas?

13. La figura 1.31 es una gráfica de posición contra tiempo para un objeto en movimiento.

Tabla de datos

Tiempo (s) 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Posición (cm) 0.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0

Velocidad

a) Describe el movimiento del cuerpo.

b) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo?

c) ¿Qué representa el valor de x (la posición) en la gráfica?

Posición (m)

10.0

8.0

6.0

4.0

2.0

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

Tiempo (s)

Figura 1.31


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 57

14. La figura 1.32 es una gráfica de la distancia total recorrida por un perro en una pradera.

x (m)

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

t (s)

Figura 1.32

a) ¿Cuál es la velocidad del perro en los primeros 2 segundos?

b) ¿Qué se puede decir del desplazamiento del perro en cualquier momento?

c) ¿Cuál fue la TD&IS distancia Training total recorrida? Distribution and Integrated Services

d) En qué intervalo de tiempo se movió con mayor rapidez?

15. En la figura 1.33 se muestra la gráfica de posición vs. tiempo del movimiento de tres cuerpos (1, 2 y 3) con

diferentes velocidades. Las rectas correspondientes a los cuerpos 2 y 3 muestran que estos se mueven en la

dirección del eje x y en el mismo sentido, en este caso, el sentido adoptado como positivo.

x (m)

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

Cuerpo 2 v 2

Cuerpo 1 v 1

Cuerpo 2 v 3

1

2

3

4

5

6

7

t (s)

-2

Figura 1.33


58 La Mecánica y el Entorno

a) ¿En qué sentido se mueve el cuerpo 1?

b) Usando la gráfica de la figura 1.33 encuentra la distancia entre los cuerpos 1 y 3 en el instante de 2 s.

c) ¿Cuáles son las magnitudes de las velocidades de los cuerpos 1, 2 y 3 en un tiempo de 3 segundos??

16. La figura 1.34 muestra la gráfica de la posición en función del tiempo de dos autos (1 y 2) que viajan por

una misma carretera.

x (km)

70

60

50

40

30

20

10

0

A

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

2

1

t (h)

Figura 1.34

a) En relación con el comienzo de la carretera (x = 0 km), ¿cuál es la posición del auto 1 en t = 0?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

b) Determina las velocidades de los dos autos en t = 2 horas.

c) ¿Qué significado físico tiene el punto de intersección A?

d) Determina las velocidades de los dos autos en el punto A.

17. La figura 1.35 muestra la gráfica de la posición en función del tiempo de dos autos (1 y 2) que viajan por

una misma carretera.

x (km)

70

60

50

40

30

20

10

A

1

2

0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

t (h)

Figura 1.35


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 59

a) ¿Qué distancia recorren cada uno de los autos en t = 2 horas?

b) Determina la magnitud de la velocidad de los dos autos en t = 2 horas.

c) ¿Cómo son las magnitudes de cada uno de los autos? ¿Por qué?

d) En el instante t = 0, ¿cuáles son las posiciones de los autos 1 y 2?

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

1. La velocidad de despegue de un avión es de 300 km/h . Si la longitud de la pista es de 1500 m…

a) ¿qué aceleración debe producir el motor?

b) ¿cuánto tardará el avión en despegar?

2. ¿Qué aceleración desarrollará un automóvil en una distancia de 1000 m si los recorre en 10 s y parte

del reposo? ¿Qué velocidad tendrá al cabo de los 10 segundos.?

3. Un autobús parte del reposo y se mueve con una aceleración constante de 5.0 m/s 2 . Encuentra su rapidez y la

distancia recorrida después de transcurridos 4 segundos..

4. Una caja se desliza hacia abajo sobre un plano con aceleración uniforme. Parte del reposo y alcanza

una rapidez de 2.7m/s en 3 s. Encuentra la aceleración y la distancia a la que se mueve en los primeros

6 segundos. TD&IS Training Distribution and Integrated Services

5. Un cuerpo que se acelera a 2 m/s 2 va, en cierto instante, a una velocidad de 20 m/s. Si parte del reposo,

¿cuánto tiempo ha sido acelerado? ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?

6. En un tubo de imágenes típico para televisión a color los electrones se mueven 40 cm desde la pistola de

electrones hasta la pantalla, chocando con ella con una rapidez de 8 × 10 7 m/s. ¿Cuál es la aceleración de

los electrones? y ¿qué tiempo les toma a los electrones recorrer los 40 cm si parten del reposo?

7. La velocidad de un vehículo se incrementó uniformemente de 6 m/s a 20 m/s al recorrer una distancia de

70 m en línea recta. Calcula la aceleración y el tiempo transcurrido.

8. Un automóvil acelera uniformemente mientras pasa por dos puntos marcados que están separados 30 m.

El tiempo que tarda en recorrer la distancia es de 4 s y su rapidez en el primer punto marcado es de 5 m/s.

Calcula la aceleración y la rapidez al llegar al segundo punto marcado.

9. Un aeroplano parte del reposo y acelera sobre el piso antes de elevarse, recorriendo 600 m en 12 s. Calcula

la aceleración y la rapidez al final de los 12 s.

10. Un auto viajando a una velocidad de 72 km/h es frenado a fondo y se detiene en un tiempo de 5 s. Determina

su aceleración y la distancia que recorre antes de detenerse.

11. El velocímetro de un auto marca 45 km/h cuando se aplican los frenos. Si el auto se detiene en 2.8 s, ¿cuál

es la aceleración? y ¿cuál es la distancia recorrida?


60 La Mecánica y el Entorno

12. Un tren que viaja a 30 m/s frena uniformemente hasta detenerse en 44 s. Determina la aceleración y la

distancia recorrida hasta que se detiene.

13. Un auto que se mueve a 13 m/s frena uniformemente a razón de 2 m/s por cada segundo durante 6 s. Encuentra

su rapidez al final de los 6 s y la distancia recorrida en ese tiempo.

14. ¿Cuánto tiempo invierte un automóvil, viajando a 90 km/h, en detenerse si su aceleración negativa es

de 4 m/s 2 ?

15. Un camión viajando inicialmente a 60 km/h va frenando con una aceleración negativa de 2 m/s 2 . Determina

cuánto tiempo invierte en detenerse y qué distancia recorre en ese tiempo.

16. La siguiente es una lista o ficha técnica del nuevo auto Seat Ibiza “Bocanegra”, publicada en la sección

“Automotriz” del periódico El Norte:

Vista rápida

Carrocería tipo: Hatchback 3 puertas, 4 plazas

Precio: 297 mil 500 pesos

Motor: L4 TSI Turbocargador, supercargador, inyección directa de combustible

Desplazamiento: 1.4 L

Potencia: 150 hp

Par motor: 220 Nm

Transmisión: DSC 7 velocidades con mandos al volante

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Tracción: Delantera

Suspensión: Delantera McPherson, barra estabilizadora; trasera eje autoportante, barra estabilizadora

Frenos: Disco ventilado en las 4 ruedas, antibloqueo y distribución de fuerza de frenado

Rines y llantas: 215/40 R17

Equipo de seguridad activa y pasiva

Bolsas de aire frontales y laterales

Control de estabilidad y tracción (XDS)

Frenos de disco en las 4 ruedas con abs

Desempeño

0-100 km/h: 7.2 s

Velocidad máxima: 212 km/h

Consumo mixto aproximado: 15 km/l

Puntos a favor

Diseño exterior

Desempeño del motor

Está bien equipado

Puntos en contra

Precio elevado

Algunos plásticos interiores

Pronto llegará el Audi Al (misma plataforma y tren motriz) a menor precio.


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 61

Preguntas

a) Teniendo en cuenta los datos de la sección “Desempeño”, calcula la aceleración de este auto en m/s2.

b) Considerando esa misma aceleración como constante, ¿cuánto tiempo le tomaría a este auto alcanzar su

velocidad máxima?

c) ¿Qué distancia recorre el auto cuando acelera desde el reposo hasta llegar a los 100 km/h?

d) ¿Qué distancia recorre el auto cuando acelera desde el reposo hasta alcanzar su velocidad máxima?

17. Un automóvil de la marca Audi modelo TT Quattro puede acelerar de 0 a 100 km/h en 6.4 s. Calcula la

aceleración de ese automóvil en m/s 2 .

a) ¿Qué distancia recorrerá en 3 s?

b) Si la velocidad máxima que puede alcanzar el TT Quattro es de 243 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en

llegar a esa velocidad tope suponiendo que su aceleración sea siempre la misma?

18. El fabricante de automóviles de la marca Volkswagen especifica en una de sus pruebas que el modelo Jetta

puede frenar de 80 km/h a 0 recorriendo una distancia de 28.7 m. Calcula la aceleración de frenado con los

datos anteriores, en m/s 2 .

Una vez que calcules la aceleración de frenado, determina la distancia recorrida por el Jetta y el tiempo

transcurrido cuando frena hasta el reposo, con las siguientes velocidades iniciales:

a) 100 km/h

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

b) 120 km/h

c) 150 km/h

d) 180 km/h

Comenta en clase con tu maestro y tus compañeros los resultados anteriores y sobre los riesgos de

manejar a altas velocidades.

19. Un cuerpo se mueve durante 3 s con MRUA recorriendo 45 m. Deja entonces de acelerar y durante 3 s

recorre 72 m con velocidad constante. Calcula la velocidad inicial y la aceleración.

20. Un tranvía que parte del reposo se mueve durante 15 s con aceleración de 1m/s 2 . Se suprime la corriente

eléctrica y continúa moviéndose durante 10 s desacelerado a causa de la fricción, con una aceleración de

0.05 m/s 2 . Finalmente, se aplican los frenos y se detiene en 5 s. Calcula la distancia total recorrida.


62 La Mecánica y el Entorno

21. Un camión se mueve a 144 km/h acercándose a un automóvil que se traslada en la misma dirección a

72 km/h. Cuando la separación entre los dos vehículos es de 20 m, el conductor del camión aplica los frenos.

Determina…

a) cuál será el tiempo que tarda el camión en alcanzar al automóvil, suponiendo que puede disminuir

su velocidad con una desaceleración de 6 m/s 2 y que la velocidad del automóvil no cambia.

b) cuál es la distancia que recorre el automóvil en ese tiempo.

144 Km/h

20 m

72 Km/h

22. Un automóvil parte del reposo con una aceleración de 1.2 m/s 2 en el momento en que la luz del semáforo

cambió a verde. En ese TD&IS instante, Training un camión Distribution que se mueve con and velocidad Integrated constante Services de 30 m/s se encuentra

a 45 m del mismo semáforo.

a) ¿Alcanzará el camión al automóvil?

b) Si esto sucede, ¿a qué distancia y en qué tiempo?

30 m/s 45m 0 Km/h


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 63

Análisis gráfico del MRUA

23. Completa los valores de la siguiente tabla de datos para un objeto que parte del reposo y describe un movimiento

rectilíneo uniformemente acelerado.

t (s)

x (m)

0 0

1 0.4

2 1.6

3 3.6

4 6.4

5 10.0

6 14.4

a) Construye la gráfica de posición contra tiempo (x vs. t).

b) Traza la gráfica de velocidad contra tiempo (v vs. t), calcula la pendiente para dos intervalos y determina

el área bajo la recta.

c) Construye la gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t).

d) Calcula la TD&IS distancia Training recorrida y Distribution la aceleración and del Integrated objeto con las Services fórmulas correspondientes y compáralas

con los resultados de los incisos b) y c).

24. En la figura 1.39 están representadas las gráficas que muestran las velocidades del movimiento de dos

cuerpos (A y B).

a) ¿Cuál de los dos cuerpos parte del reposo (v o = 0)?

b) ¿Cuáles son las magnitudes de las velocidades de los cuerpos A y B en t = 6 s?

c) Determina la aceleración para cada uno de los cuerpos desde t 1 = 0 s hasta t 2 = 6 s.

v (m/s)

8

6

B

A

4

2

0

2 4 6 8 10

t (s)


64 La Mecánica y el Entorno

Figura 1.39

25. En la figura 1.40 están representadas las gráficas de la velocidad en función del tiempo que muestran las

velocidades del movimiento de tres cuerpos.

a) ¿Qué características tiene el movimiento de cada uno de ellos?

b) ¿Qué se puede decir acerca de las velocidades del movimiento de los cuerpos en los instantes que corresponden

a los puntos A y B?

c) Determina la aceleración de cada uno de estos cuerpos.

v (m/s)

7

6

3

5

4

2

3

A

B

1

2

1

t (s)

TD&IS Training 0 1Distribution 2 3 5 and 6 Integrated 7 Services

Figura 1.40

26. Utilizando las gráficas de las velocidades de tres cuerpos (figura 1.41), realiza las siguientes tareas:

a) Determina la aceleración de cada uno de los cuerpos.

b) ¿En qué coinciden y en qué se diferencian los movimientos representados por las líneas de color rojo 1 y 2?

v (m/s)

7

6

3

2

5

4

3

2

1

0

1

2

3

1

4 5 6 7

t (s)

Figura 1.41


Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 65

27. En la figura 1.42, se muestran las gráficas de las velocidades del movimiento de tres cuerpos, según estas

gráficas…

a) determina qué significan los segmentos 0A, 0B y 0C sobre los ejes de coordenadas.

b) determina las aceleraciones con las cuales se mueven los cuerpos.

c) determina en qué coinciden y en qué se diferencian los movimientos representados por las líneas de

color rojo 1 y 2.

v (m/s)

Cuerpo 1

7

6

B

Cuerpo 2

5

4

3

2

A

1

0

1

C

Cuerpo 2

2 3 4 5 6 7

t (s)

Figura 1.42

28. Analiza la la gráfica de la figura 1.43 de velocidad contra tiempo para un auto en movimiento rectilíneo

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

y contesta las preguntas en clase con tus compañeros y tu maestro. Para resolver esta actividad, es conveniente

que relaciones los conceptos teóricos de la cinemática con las ecuaciones del MRUA y también

relacionarlos con los conceptos de geometría (áreas) y matemáticos (pendiente de una recta) vistos en otras

unidades de aprendizaje.

25

Velocidad (m/s)

20

10

3

5

15 20 25 30 35

Tiempo (s)

Figura 1.43

a) ¿Cuál es la aceleración del auto en el intervalo de 0 a 5 s?

b) Calcula la distancia recorrida por el auto en ese mismo intervalo de tiempo.

c) ¿Cuál es la aceleración del auto en el intervalo de 5 a 10 s?, ¿qué tipo de movimiento tiene el auto

en ese tiempo?


66 La Mecánica y el Entorno

d) Determina la distancia recorrida por el auto en ese intervalo de 5 a 10 s.

e) Explica de manera verbal lo que sucede en el intervalo de 15 a 20 s y también en el intervalo de 20 a 25 s.

f ) ¿Qué tipo de movimiento presenta el auto en el siguiente intervalo de tiempo de 25 a 30 s?

g) Calcula de nuevo la aceleración y la distancia recorrida para ese intervalo.

h) Calcula ahora la aceleración del auto en el último intervalo de 30 a 34 s.

i) Ahora, determina la distancia total recorrida por el auto desde el inicio de su recorrido.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services


ETAPA

2

CINEMÁTICA:

MOVIMIENTO

EN UNA Y DOS DIMENSIONES

TD&IS Training Distribution and Integrated Services


CONTENIDO CONCEPTUAL:

• Aceleración de la gravedad

• Caída libre

• Tiro vertical

• Principio de independencia del movimiento

según Galileo

• Tiro horizontal

• Tiro parabólico

CONTENIDO

PROCEDIMENTAL:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

• Resuelve problemas teóricos o de la vida

cotidiana acerca del movimiento en una o dos

dimensiones de un cuerpo, utilizando modelos

matemáticos, gráficos, analíticos y el análisis

vectorial.

• Sigue instrucciones para armar un prototipo

para demostrar experimentalmente una

hipótesis de trabajo sobre las características del

tiro horizontal.

• Realiza mediciones, obtiene resultados para

probar su validez y llega a conclusiones a partir

de ellos.


70 La Mecánica y el Entorno

Introducción

Para continuar con el estudio del movimiento, analizaremos ahora los casos de

objetos que son lanzados al aire, esto para tratar de describir sus características

de cambio de posición, velocidad, aceleración, tiempo de vuelo, etcétera.

Para TD&IS llevar Training a cabo esto, Distribution vamos a designar and Integrated con el nombre Services genérico de proyectil a

todo cuerpo que se mueva bajo estas condiciones, es decir, cualquier objeto que

sea lanzado al aire y luego de ello siga moviéndose bajo la acción de la fuerza de

gravedad. Este movimiento puede presentarse en una o en dos dimensiones (en

realidad hasta en las tres dimensiones, caso que no abordaremos en este curso),

tanto en el eje horizontal como en el eje vertical, o en ambos ejes a la vez. Iniciaremos

con dos lecturas que nos dan una idea de lo que aportaron los grandes

pensadores Aristóteles y Galileo Galilei sobre este tema. Léelas con atención.

2.1. Caída de los cuerpos

Concepción aristotélica y galileana sobre la caída de los cuerpos. Aristóteles

Las ideas de Aristóteles sobre el movimiento son, a primera vista, razonables y cercanas

al sentido común. Sin embargo, como veremos a continuación, la intuición y el

“sentido común” fueron sufriendo innumerables golpes en el desarrollo de la Física.

Figura 2.1.

Aristóteles

(384-322 a.C.)

En la doctrina aristotélica, todas las cosas están constituidas por cuatro elementos

fundamentales: fuego, agua, tierra y aire. Aristóteles sostenía que cada uno de estos

cuatro elementos que forman el mundo posee afinidad entre sí y, por lo tanto,

estos tienen una tendencia a unirse, y que solo era posible evitar esta preferencia por


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 71

agruparse con otros elementos similares mediante la acción de alguna fuerza que se

les opusiera.

El peso de un cuerpo está determinado por la proporción que contiene de cada uno

de ellos. Por otra parte, el peso determina el estado de movimiento “natural” de las

cosas: hacia abajo los más pesados (compuesto principalmente por tierra y agua),

hacia arriba los más livianos (cuyos principales componentes son el fuego y el aire).

Por ejemplo, dado que el humo está principalmente formado de aire, es natural que

se eleve para ponerse en contacto con el aire que forma el cielo.

Él también era de la opinión de que los objetos y la materia solo se podían desplazar

siempre y cuando una forma de energía los estuviera empujando en una dirección

dada. Por lo tanto, si se eliminaran todas las fuerzas que están aplicadas sobre la

Tierra, como el lanzar una piedra, entonces el movimiento no se produciría. Mucha

gente ponía en duda esta idea, preguntando cómo era posible que un objeto como

una flecha pudiera seguir moviéndose hacia adelante una vez que había dejado atrás

el impulso que le había transferido la cuerda del arco. Aristóteles propuso la idea de

que las flechas y otros objetos creaban una especie de vacío en su parte posterior que

resultaba en una fuerza que los hacía desplazarse hacia adelante, lo cual era consistente

con su interpretación del movimiento como una interacción del objeto que se

desplaza y el medio a través del cual se mueve.

Dado que Aristóteles colocaba el medio en el centro de su teoría del movimiento,

no podía comprender las ideas del vacío que eran básicas para la teoría atómica de

Demócrito. Un vacío TD&IS es un espacio Training sin Distribution contenido, y dado and Integrated que Aristóteles Services aseveraba

que el movimiento requiere de un medio, él concluía que el vacío era una idea

incomprensible. Aristóteles creía que el movimiento de un objeto es inversamente

proporcional a la densidad del medio. Cuanto más tenue es el medio, más rápido

será el movimiento. Si un objeto se moviera en el vacío, Aristóteles creía que debía

desplazarse en forma infinitamente rápida, de modo que la materia rellenara todo

espacio vacío en el instante en que se produce.

Figura 2.2.

Galileo

(1564-1642)

Uno de los aspectos más criticables de la doctrina aristotélica es su descripción de

la caída de los cuerpos en las cercanías de la Tierra. Este problema interesó a los

filósofos desde la Antigüedad, y tuvo un papel fundamental en el desarrollo de la

Física. Aristóteles afirmaba que los cuerpos caen con una velocidad proporcional a

su peso, es decir, soltando objetos de distinto peso desde una misma altura; por su

lado, el tiempo de caída sería inversamente proporcional a su peso. Si bien prestó

mucha atención a las observaciones experimentales para otros fenómenos naturales,

en este caso, hubo que esperar muchos años hasta que alguien se planteara la validez

experimental de esta afirmación. ¡Hubiese sido muy sencillo demostrar claramente

su inexactitud, dejando caer cuerpos de igual forma, pero de peso diferente!

El reinado de los conceptos físicos de Aristóteles duró acaso dos milenios, y fue

la primera teoría especulativa de la Física de la que se tenga noticia. Luego de los

trabajos de Galileo, Descartes, Newton y muchos otros, se aceptó que la Física de

Aristóteles no era correcta o factible. Aun así, esta fue capaz de sobrevivir hasta el

siglo XVII, y probablemente más, ya que se enseñaba todavía en las universidades

de la época.

Figura 2.3.

Torre de Pisa


72 La Mecánica y el Entorno

Galileo

Galileo Galilei vivió entre 1564 y 1642. En 1581 ingresó a la Universidad de Pisa,

y luego de comenzar sus estudios en Medicina se volcó a la Matemática, la Física y

la Astronomía.

En Europa, la teoría sobre la caída de los cuerpos de Aristóteles fue desacreditada

por primera vez en forma convincente por los trabajos de Galileo Galilei. Según

la leyenda, Galileo dejó caer bolas de distintas densidades desde la torre de Pisa y

descubrió que, sin importar su peso, todas llegaban al suelo al mismo tiempo; sin

embargo, sus experimentos cuantitativos más trascendentales los realizó haciendo

rodar bolas por un plano inclinado, una forma de caída que es lo suficientemente

lenta como para ser medida con los instrumentos de la época.

Realizando muchas medidas de bolas cayendo por planos inclinados, se dio cuenta

de que caían casi al mismo tiempo, así que determinó que la velocidad de caída de

los cuerpos no dependía del peso de los cuerpos, como había enunciado Aristóteles,

sino que era independiente de este.

Para investigar y comprender la caída de los cuerpos, Galileo mandó construir un

riel de madera de unos 7 m muy bien pulido para que hubiera poco rozamiento, y por

el cual poder tirar bolas y estudiar su movimiento.

Según él, si se dejaban caer dos bolas desde la misma altura, las dos caerían al

mismo tiempo, ya que el peso es independiente de la velocidad. Así, usando el riel

de TD&IS madera, Training tiró muchas Distribution bolas de distinto and Integrated tamaño y midió Services el espacio que recorrían

marcando puntos sobre el riel. En esa época el tiempo era algo difícil de medir y Galileo

utilizaba, sobre todo, un reloj de agua. A partir de sus experimentos con planos

inclinados, Galileo llegó a la conclusión de que todos los cuerpos caen a la misma

velocidad si no se considera la fricción.

El procedimiento usado por Galileo con el tiempo fue evolucionando hasta lo que

se conoce hoy como el método científico, ya que, a la hora de investigar, primero

observaba, luego formulaba hipótesis, experimentaba y, en último lugar, llegaba a

conclusiones y enunciaba leyes, y aplicó este método al estudio de la caída de los

cuerpos.

En julio de 1971, en la superficie de la Luna, el astronauta David Scott, comandante

del Apolo 15 repitió el famoso experimento de Galileo dejando caer una pluma y

un martillo simultáneamente. En ausencia de una atmósfera que opusiera fuerzas de

rozamiento, los dos objetos cayeron e impactaron en la Luna al mismo tiempo.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 73

2.2. Aceleración gravitacional

En esta sección abordaremos algunos casos del movimiento acelerado, que han sido

ampliamente estudiados desde la época aristotélica hasta nuestros días sin dejar de

ser partes importantes y fundamentales del aprendizaje de la Física.

Estamos ante los casos comúnmente conocidos como caída libre y tiro vertical.

¿Cuántas veces hemos dejado caer por accidente algún objeto que traemos en la

mano? ¿Cuántas veces hemos lanzado hacia arriba alguna pelota para atraparla instantes

después?

Este tipo de movimientos pueden describirse bajo las mismas consideraciones que

hemos estudiado en el movimiento rectilíneo.

Ambos movimientos naturales de los cuerpos se gobiernan por las leyes de la dinámica,

como se verá en la etapa 4 de este mismo curso. Sin embargo, podemos estudiarlos

aquí porque se trata de movimientos rectilíneos cuya aceleración es constante. Esa

aceleración natural es la misma para todos los cuerpos cuando se dejan caer desde una

cierta altura o también cuando son arrojados hacia arriba para, posteriormente, regresar

al suelo. Se le conoce como aceleración gravitacional y corresponde al italiano Galileo

Galilei la formulación de las leyes que rigen la caída de los cuerpos. Galileo demostró

que todos los cuerpos, independientemente de su masa, cuando se dejan caer desde

una altura conocida, describen un movimiento uniformemente acelerado en línea recta

hacia la superficie de la Tierra. Cuenta la historia que Galileo subió hasta lo alto de

la torre de Pisa, en Italia, TD&IS y desde Training ahí dejo Distribution caer dos balas and de Integrated cañón de diferente Services peso.

Observó que ambas llegaban al suelo prácticamente en el mismo tiempo. Él concluyó

que, si se despreciaban los efectos del rozamiento del aire, ambas balas caerían exactamente

al mismo tiempo sin importar su peso. Este hecho provocó reacciones entre

los sabios y religiosos de aquella época, quienes aseguraban que los cuerpos pesados

deberían caer en menos tiempo que los ligeros.

La aceleración de la gravedad se ha medido y registrado en diferentes puntos de la

superficie terrestre y se ha encontrado que tiene ligeras variaciones debido a que la

Tierra ni es homogénea en su composición ni es perfectamente esférica. Su valor

promedio se considera de 9.81 m/s 2 y, al ser una magnitud vectorial, tiene una dirección

que, en este caso, apunta directamente hacia el centro de la Tierra.

2.2.1. Caída libre

Se le llama caída libre al movimiento que describe un cuerpo cuando se mueve libremente

bajo la influencia de la gravedad. Dicho movimiento tiene las siguientes

características:

• Es un movimiento con una trayectoria vertical rectilínea (dirigida hacia abajo).

• Es un movimiento con aceleración constante: a g = -9.8 m/s 2 (tiene signo negativo

ya que es un vector dirigido hacia el centro de la Tierra).

• Es un movimiento que parte del reposo (v i = 0).


74 La Mecánica y el Entorno

• Es un caso ideal, ya que se maneja bajo el supuesto de que la influencia del aire

atmosférico no afecta el desarrollo del movimiento.

y i

0

0

y f

a) b)

Figura 2.4

Hay que determinar el origen de nuestro sistema de referencia. Podemos establecerlo en

el punto desde donde se deja caer el cuerpo, o bien, en el lugar a donde llega el cuerpo

al chocar con la superficie terrestre. Es una práctica común elegir este último como el

origen del sistema de referencia, el punto en donde el cuerpo que cae toca la Tierra, y

especificar que las distancias por arriba del origen son positivas y por abajo del mismo

son negativas. La figura 2.4a ilustra el caso en que establecemos el origen del sistema de

referencia en el piso, o sea, en el punto donde el objeto que cae toca la tierra. Por su lado,

la

TD&IS

figura 2.4b

Training

muestra

Distribution

el origen del sistema

and Integrated

de referencia

Services

en el punto de lanzamiento.

EJEMPLO 2.1

Un muchacho situado en la azotea de un edificio de departamentos de 45 m de altura deja caer una pelota y

observa su movimiento rectilíneo hasta que choca contra el suelo (figura 2.5). Responde lo siguiente:

a) ¿Cuánto tiempo tardó la pelota en llegar al suelo?

b) ¿Cuál fue su velocidad al momento de chocar contra el piso?

Solución

y i

= 45m

v i

= 0

¿Qué tenemos que hacer? Calcular el tiempo de caída y la velocidad final de la

pelota.

¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicando las ecuaciones de la cinemática ajustadas al

movimiento de caída libre.

Datos:

v i = 0 (debido a que se “deja” caer y no se lanza hacia abajo)

0

t = ?

v f

= ?

y i = 45 m (le llamaremos y i a la altura desde la cual el objeto se deja caer y corresponde a la distancia recorrida

por el objeto hasta que llega al suelo)

y f = 0


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 75

a = -9.8 m/s 2 (es la aceleración con que se mueve al ir descendiendo, es decir, la aceleración de la gravedad,

que es un dato previamente conocido)

Incógnitas:

t = ?

v f = ?

Procedimiento:

a) Cálculo del tiempo de caída. En este inciso vamos a aplicar la ecuación de la posición (1), pero la

vamos a transformar o ajustar al caso específico de la caída libre:

Observa que es exactamente la misma ecuación. Lo único que se hizo fue cambiar los símbolos de las

variables, ya que las alturas o, en general, las distancias y los desplazamientos en el eje vertical se representan

con la letra y. Como se va a calcular el tiempo, es preferible simplificar la ecuación antes de sustituir los

datos. Entonces, eliminamos el término vit, pues es igual a cero, y nos queda:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Se despeja el tiempo y obtenemos:

Eliminando el exponente cuadrático:

Ahora, se sustituyen los datos:

t = 3.03 s

b) Para calcular la velocidad con que choca con el piso, aplicamos la ecuación de la velocidad (2) sustituyendo

los datos que tenemos:


76 La Mecánica y el Entorno

Interpretación de los resultados:

En este tipo de movimiento se requiere considerar su carácter vectorial. ¿Por qué? Porque nuestro sistema de

referencia considera que las magnitudes representadas en el eje vertical (o eje y) son positivas del origen hacia

arriba y negativas del origen hacia abajo. En nuestro ejemplo, tenemos, en primer lugar, un desplazamiento

negativo, ya que el cuerpo bajo estudio cambia de una posición inicial de mayor altura y i = 45 m) a otra posición

final de menor altura (y f = 0). Además, la aceleración de la gravedad, como ya se mencionó, también tiene

signo negativo. En este ejemplo, el tiempo de caída de la pelota es de 3.03 s y la velocidad con la que choca

con el piso es de -29.69 m/s. El signo negativo de la velocidad nos indica su dirección hacia abajo.

EJEMPLO 2.2

Una persona que se encuentra sobre un puente deja caer una pequeña

piedra que tarda 2.1 s en llegar al río.

a) ¿Cuál es la altura del puente respecto al río?

b) ¿A qué velocidad choca la piedra contra el agua?

Solución

¿Qué tenemos que hacer? Calcular la altura de un puente y la

velocidad de una piedra al chocar con el agua del río.

¿Cómo lo vamos a resolver? TD&IS Aplicando Training las Distribution ecuaciones de and la Integrated Services

cinemática ajustadas a la caída libre.

Datos:

v i = 0 (debido a que se deja caer y no se lanza hacia abajo)

t = 2.1 s

a = -9.8 m/s 2

y f = 0

Incógnitas:

y i = ?

v f = ?

Aplicamos la ecuación de la posición (1) transformada para la caída libre; esto para encontrar la altura del

puente:

Eliminamos el término de v i t , pues es igual a cero, y nos queda:


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 77

Sustituimos los datos que tenemos, y resulta:

-y i = - 10.29 m

Eliminamos signos multiplicando ambos miembros de la igualdad por -1 tenemos:

y i = 10.29 m

Aplicamos la ecuación de la velocidad para obtener la velocidad final al momento de chocar con el agua del río:

v f = -20.58 m/s

Interpretación de los resultados:

Gracias a las ecuaciones de la cinemática pudimos encontrar la altura de un puente (10.29 m), y la velocidad

con que la piedra choca con el río es de -20.58 m/s, el signo negativo de la velocidad nos indica su dirección

hacia abajo.

2.2.2. Tiro vertical

Se le llama tiro vertical TD&IS al movimiento Training Distribution que describe and un cuerpo Integrated cuando Services se lanza

verticalmente hacia arriba o hacia abajo para después moverse bajo la acción de la

gravedad. Este movimiento, al igual que el de caída libre, es gobernado por la acción

de la fuerza gravitacional y de la aceleración que esta produce. Así como aquel, lo

podemos describir con las mismas ecuaciones de la cinemática que hemos utilizado.

De nuevo, en este tipo de movimiento debemos tener en cuenta su carácter vectorial

con el objetivo de realizar el análisis de manera consistente y obtener resultados

congruentes con el sistema de referencia que hemos elegido.

v f

= ?

v = 0 v = 0

Tiro vertical

hacia arriba

Figura 2.6.


78 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 2.3

¿Cómo se describe el tiro vertical hacia arriba? Nuestra descripción: se lanza un

objeto en dirección vertical hacia arriba; este adquiere una velocidad de lanzamiento

(v i ) y, debido a ello, puede subir hasta cierta altura, pero en el trayecto la aceleración

de la gravedad actúa en sentido contrario al movimiento, lo que provoca una disminución

en la velocidad del cuerpo hasta que, al llegar a su altura máxima, la velocidad

es igual a cero, y a partir de ahí el cuerpo inicia el movimiento descendente hasta

llegar de nuevo al punto de partida.

También el movimiento de tiro vertical se estudia aquí como un modelo ideal en donde

no se consideran los efectos de la resistencia del aire; como si este no existiera.

Una persona arroja una pelota de golf directamente hacia arriba con una velocidad de 25 m/s. Calcula lo siguiente:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota de

golf?

c) ¿Qué velocidad tiene la pelota cuando llega de nuevo

al origen de lanzamiento?

Solución

v = 0

v = 0

¿Qué tenemos que hacer? Calcular la altura máxima, el tiempo

y la velocidad de una pelota

TD&IS

de golf en

Training

tiro vertical.

Distribution and Integrated Services

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando las ecuaciones de la

cinemática en diferentes momentos del movimiento.

v 0

= 25 m/s

v f

= -25 m/s

Datos:

y i = 0

v i = 25 m/s

a = -9.8 m/s 2

Incógnitas:

t = ?

y f = ? (altura máxima)

v f = ? (cuando llega de nuevo al origen)

Procedimiento:

Para calcular el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, tenemos los siguientes datos:

y i = 0

v i = 25 m/s

v f = 0 (es la velocidad de la pelota al momento de alcanzar la altura máxima)

a = -9.8 m/s 2 a) Movimiento ascendente a) Movimiento descendente


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 79

Aplicamos la ecuación de la velocidad (2) y despejamos el tiempo:

Sustituimos los valores:

El t = 2.55 s (el tiempo que obtuvimos) lo podemos utilizar como un dato adicional para calcular la altura

máxima.

Aplicamos la ecuación de la posición (1), de acuerdo con los datos que tenemos y ajustada al movimiento

de tiro vertical.

Sustituimos los datos para calcular y:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Estos dos resultados los obtuvimos considerando solamente el movimiento de la pelota hacia arriba. Ahora, analizaremos

el objeto mientras desciende y calcularemos la velocidad a la que llega al punto de lanzamiento v f .

En este caso, vamos a considerar qué valores tenemos, ya que ahora la pelota está de regreso al origen; los

datos son los siguientes:

v i = 25 m/s

a = -9.8 m/s 2 (la aceleración de la gravedad actúa durante todo el recorrido)

t = (2) (2.55 s) = 5.1 s (el tiempo que le toma a la pelota llegar al origen es el doble del tiempo que tarda en

alcanzar la altura máxima; esta es una característica del tiro vertical hacia arriba)

v f = ?

Aplicamos la ecuación de la velocidad y sustituimos:


80 La Mecánica y el Entorno

Interpretación de los resultados:

Otra de las características del tiro vertical es la simetría; es decir, el movimiento de subida o ascendente es

simétrico al movimiento descendente, así como el tiempo en que el objeto tarda en subir es igual al tiempo

que tarda en bajar; las velocidades que va adquiriendo también son similares al ascender y al descender,

como lo podemos observar con la velocidad final. Veamos la figura 2.8 para darnos una idea más clara de

lo que se trata.

v = 0

v = 0

v 0

= 25 m/s

v f

= -25 m/s

a) Movimiento ascendente a) Movimiento descendente

Figura 2.8.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

EJEMPLO 2.4

Una canica se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 39.2 m/s. Responde las siguientes

preguntas.

a) ¿Qué altura ha subido en el primer segundo?

b) ¿Cuál es su velocidad en el primer segundo?

c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la máxima altura?

d) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la canica?

e) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire hasta que llega de nuevo al punto de partida?

Solución

¿Qué tenemos que hacer? Determinar los valores de las variables de la cinemática de un cuerpo que se

mueve en tiro vertical en diferentes momentos de su recorrido.

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando las ecuaciones de la cinemática y analizando los datos que se proporcionan

para cada uno de esos momentos.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 81

Datos:

y i = 0

v i = 39.2 m/s

a = -9.8 m/s 2

Incógnitas:

a) y i = ? (en el tiempo de 1 segundo)

b) v i = ? (en el tiempo de 1 segundo)

c) t y f = ? (tiempo en que alcanza la altura máxima)

d) y máx = ? (altura máxima)

e) t t = ? (tiempo de vuelo)

a) Vamos primero a calcular la altura que ha alcanzado la canica en el primer segundo transcurrido desde

que se lanzó.

Datos:

y i = 0

v i = 39.2 m/s

t = 1 s

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

a = -9.8 m/s 2

Aplicamos la ecuación de la posición y sustituimos todos estos datos:

Sustituimos los datos para calcular y 1 .

b) Aplicamos la ecuación de la velocidad para encontrar la velocidad en 1 s:

Se sustituyen los datos y obtenemos:

c) Para encontrar el tiempo ( t y f = ? ) que tarda la canica en alcanzar la máxima altura tenemos:


82 La Mecánica y el Entorno

Datos:

v i = 39.2 m/s

v f = 0 (la canica tiene una velocidad igual a cero al momento de alcanzar la altura máxima)

a = -9.8 m/s 2

Aplicamos la ecuación de la velocidad, despejamos el tiempo, sustituimos los datos y tenemos:

d) Los datos que se tienen para encontrar la altura máxima ( y máx = ?) son los siguientes:

Datos:

v i = 39.2 m/s

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

v f = 0 (la canica tiene una velocidad igual a cero al momento de alcanzar la altura máxima)

a = -9.8 m/s 2

t = 4 s

Se aplica la ecuación de posición (1) y obtenemos la altura máxima de la canica utilizando el tiempo que

calculamos para llegar a dicha altura

Sustituimos los datos para calcular y máx :

e) Para encontrar el tiempo total de vuelo, se decir desde el inicio hasta de regreso al punto de lanzamiento.

Datos:

v i = 39.2 m/s

a = -9.8 m/s

v f = -39.2 m/s (debido a la simetría del tiro vertical, la velocidad de regreso es la misma que la velocidad

de lanzamiento, pero al tener un movimiento descendente su signo es negativo)


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 83

Aplicamos la ecuación de la velocidad, despejamos el tiempo y sustituimos los datos:

t =

39.2 - 39.2 m/s

-9.8 m/s 2

Como puedes observar, el tiempo total de vuelo es el doble del tiempo en que llega a su altura máxima

(t s = t b ).

Interpretación de los resultados:

En la siguiente figura se muestran los resultados de tiempo,

posición y velocidad de la canica que se solicitaron en el

ejemplo. Obsérvalos, analízalos y deduce, sin realizar cálculos,

la posición y la velocidad de la canica en el séptimo

segundo. Anota los resultados en la posición que corresponda

en la figura y coméntalos con tu profesor.

t = 4 s, y = 78.4m

v = 0

v = 0

TD&IS Training Distribution and Integrated t = 1s, y = 34.3m Services

v = 29.4 m/s

t = 0, y = 0

v i

= 39.2m/s

t = 8s, y = 0

v f

= -39.2m/s

Figura 2.9.

■ Actividad 1 Caída libre

Lee el tema “2.1. Caída de los cuerpos” que se encuentra al inicio de la presente

etapa y elabora un reporte en donde compares las ideas sobre la caída de los cuerpos

que defendieron ambos personajes (Aristóteles y Galileo Galilei) y las razones que

uno y otro tuvieron para sostenerlas. El reporte debe tener una cuartilla de extensión

e incluir tus comentarios personales acerca de lo que pensaban.

■ Actividad 2 Aplicaciones de la caída libre

Reúnete con un compañero y resuelvan los siguientes ejercicios. Analicen cada paso,

elaboren un dibujo que represente la situación planteada y den las razones de sus

cálculos, deducciones y conclusiones.


84 La Mecánica y el Entorno

Problema

1. Un trabajador de la construcción deja caer

accidentalmente un martillo desde la parte

superior del edificio donde se encuentra. Este

impacta en el suelo con una velocidad de

-64 m/s. Contesta lo siguiente:

Procedimiento

a) ¿Cuánto tiempo se mantuvo en el aire?

b) ¿Cuál es la altura del edificio?

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

2. Se lanza verticalmente hacia abajo un dardo

con una velocidad de -29.4 m/s y llega al suelo

a una velocidad de -58.8 m/s. Encuentra…

Procedimiento

a) el tiempo que tarda en llegar al piso.

b) la altura desde la que se lanzó.

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 85

Problema

3. Al estar por iniciar un juego de futbol, el

árbitro lanza una moneda verticalmente hacia

arriba y la atrapa un segundo más tarde.

a) ¿Con qué velocidad lanzó la moneda

hacia arriba?

b) ¿Qué altura máxima alcanzó la moneda

respecto de la mano del árbitro?

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

4. Una flecha se lanza verticalmente hacia arriba

y alcanza una altura máxima de 90 m.

Determina…

a) el tiempo que tarda en alcanzar la máxima

altura.

b) la velocidad con que fue lanzada.

c) el tiempo total de vuelo.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


86 La Mecánica y el Entorno

2.3. Movimiento en dos dimensiones

Enseguida realizaremos el análisis del movimiento de proyectiles lanzados al aire en

cualquier dirección. Imagina algunos casos de este tipo de proyectiles, puede ser un

balón de futbol americano lanzado por el quarterback hacia el receptor, un golfista

golpeando la bola con un bastón, una piedra arrojada horizontalmente desde lo alto

de una azotea, un arquero lanzando una flecha, por mencionar solo algunos.

Con las herramientas que ya hemos visto, es posible realizar la descripción matemática

de estos tipos de movimientos, que es a lo que nos dedicaremos en este apartado.

Dado que estamos hablando de movimiento en dos dimensiones, vamos a recurrir

a otra de las aportaciones del gran Galileo Galilei; el conocido como “Principio de

independencia de los movimientos”, que establece los siguiente:

“Cualquier movimiento en la naturaleza puede analizarse como la combinación

de dos o más movimientos rectilíneos independientes entre sí”.

Es decir, cuando abordemos la resolución de un problema de movimiento en dos

dimensiones, debemos tener la capacidad de abstracción necesaria para imaginar ese

movimiento como el resultado de dos movimientos rectilíneos combinados: uno de

ellos en dirección horizontal y otro en dirección vertical, considerando que ambos

son independientes uno del otro y que cada uno tiene sus características propias.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

a)

b)

Ejemplos de tiro parabólico

a) Trayectoria que describe el lanzamiento de

una pelota y cae al suelo.

b) Trayectoria que describe un chorro de agua.

c) Trayectoria de una pelota cuando la golpea

un jugador.

c)

Figura 2.10

Un caso particular de este movimiento en dos dimensiones, y que abordaremos primero

por su simplicidad, es el tiro horizontal, que se refiere a cuando se lanza horizontalmente

un objeto desde una determinada altura y con una velocidad inicial. Al estudiar el movimiento

de un proyectil, el caso más general corresponde al tiro parabólico, en el cual se

lanza un objeto hacia arriba a un cierto ángulo de inclinación y a determinada velocidad.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 87

■ Actividad 3 Tipos de movimientos en dos dimensiones

Registra en la siguiente tabla tres ejemplos de tiro horizontal y tres ejemplos de tiro parabólico. Agrega una

explicación de por qué los clasificaste en ese rubro.

Movimiento Ejemplos Descripción

1.

1.

2.

2.

Tiro horizontal

3.

3.

1.

1.

2.

2.

Tiro parabólico

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

3.

3.

2.2.3. Tiro horizontal

En Física, se le llama tiro horizontal al movimiento de un cuerpo que es lanzado,

desde cierta altura, en dirección horizontal. Su trayectoria es el resultado de la combinación

de dos movimientos independientes: uno horizontal, en el que el cuerpo

avanza hacia el frente con velocidad constante, ya que, una vez que el cuerpo está en

movimiento, no hay ninguna fuerza horizontal que actúe sobre él; y otro movimiento

vertical, en el cual actúa la fuerza de la gravedad, es decir, su velocidad vertical

va aumentando 9.8 m/s durante cada segundo de tiempo a medida que el objeto va

descendiendo. Estas características se pueden apreciar en la figura 2.11; en ella se

observan dos objetos que se encuentran inicialmente en la misma posición. Uno de

ellos (el de la izquierda), que tendrá un movimiento rectilíneo en caída libre, mientras

que el otro se lanzará hacia la derecha horizontalmente en el mismo instante y

desde la misma altura con velocidad de 8 m/s. Observemos lo que pasa.

Al término de un segundo, ambos objetos han recorrido 4.9 m en el movimiento de

caída y el objeto de la derecha se ha desplazado 8 m en dirección horizontal a partir

de su posición inicial. A los 2 s, ambos objetos han recorrido 19.6 m en su desplazamiento

vertical hacia abajo y el objeto de la derecha se ha desplazado 16 m en


88 La Mecánica y el Entorno

dirección horizontal. A los 3 s, los objetos han descendido 44.1 m y el objeto de la

derecha se ha desplazado 24 m en dirección horizontal.

De aquí podemos observar que el objeto de la derecha, que se lanzó horizontalmente,

tendrá una velocidad constante en la dirección horizontal, independientemente de su

desplazamiento vertical originado por la acción de la gravedad. El desplazamiento

vertical inicia a partir del reposo (v iy = 0) y va aumentando la velocidad a razón de

9.8 m/s conforme el objeto va descendiendo; su velocidad horizontal permanece

constante, ya que su aceleración horizontal es cero, a x = 0.

4.9 m

19.6 m

y

v 0y

= 0

v 0x

= 8m/s

v y

v y

t = 1 s

v x

= 8m/s

t = 2 s

Comparación del movimiento

de dos objetos; uno que se

suelta y otro que se lanza

horizontalmente con una

velocidad inicial de 8 m/s.

v x

= 8 m/s

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

44.1 m

v y

8 16 24 θ

x

v

v y

t = 3 s

v x

= 8 m/s

Figura 2.11

Para efectuar el cálculo de la posición y la velocidad en el eje x y en el eje y se utilizan

las siguientes ecuaciones:

Componente de la velocidad en el eje x (v x ):

El movimiento vertical tiene una aceleración constante e igual a a y .

Componente de la velocidad en el eje y (v y ):


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 89

Si se desea calcular la velocidad del proyectil en un determinado punto de su trayectoria,

se combinan v x y v y utilizando el teorema de Pitágoras que ya hemos manejado:

La dirección del objeto se obtiene mediante esta expresión:

Donde θ es el ángulo entre el vector (v) y su eje x positivo (figura 2.12).

v 0y

= 0

v 0x

El tiro horizontal es una combinación

de dos desplazamientos:

• Horizontal a velocidad constante, y

• Vertical uniformemente acelerado.

El tiempo es común en ambos.

y

v x

θ

v

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

v y

x

Figura 2.12.

En la tabla 2.1 se presenta un resumen de las fórmulas del tiro horizontal para el

movimiento en los ejes x, y. En el eje x la aceleración es igual a 0, por lo tanto, se elimina

el último término de la ecuación (1). Igualmente, en la ecuación (2) el término

at se elimina, entendiéndose con esto que la velocidad en x es constante.

Tabla 2.1. Fórmulas de tiro horizontal

Ecuaciones del movimiento en el eje x

Ecuaciones del movimiento en el eje y

Magnitud de la velocidad del proyectil en un determinado punto de su trayectoria y su dirección


90 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 2.5

Es recomendable tratar el movimiento de proyectiles en tiro horizontal como la

combinación de dos desplazamientos: uno horizontal a velocidad constante y otro

vertical uniformemente acelerado similar al de la caída libre de un cuerpo. Estos

dos desplazamientos deben considerarse independientes uno del otro, con el tiempo

como la única variable común a ambos desplazamientos. Vamos a ilustrar lo anterior

mediante los siguientes ejemplos.

Un avión vuela a una velocidad de 750 km/h en

dirección horizontal. Si deja caer un proyectil

desde una altura de 440 m sobre el nivel del

suelo (figura 2.13),

v 0

= 750 km h

a) ¿qué tiempo le llevará al proyectil chocar

contra el suelo?

y 0

= 440 m

x

v y

v x

v y

v y

v y

v

v x

b) ¿qué distancia horizontal recorrerá el

proyectil desde el momento en que se deja

caer del avión hasta el instante en que

choca contra el suelo?

c) ¿Cuál será la velocidad del proyectil al

chocar contra el suelo?

Solución

¿Qué queremos hacer? Responder las preguntas planteadas:

a) El tiempo hasta el instante que el proyectil choque contra el suelo.

b) El alcance horizontal del proyectil desde el inicio de su caída.

y = 0 m

TD&IS Training Distribution and Integrated figura 2.13 Services

v x

v x

c) La velocidad con la cual choca el proyectil contra el suelo.

¿Cómo lo vamos a hacer? Considerando que se deben encontrar tres incógnitas, se empezará por buscar el

tiempo que tarda el proyectil en caer, para lo cual se toma como referencia el suelo y la aceleración negativa

debida a la gravedad (a y ); además, después se tendrá que encontrar la distancia horizontal que recorre el

proyectil y, por último, calcular la velocidad que lleva el proyectil al momento de impactar el suelo.

Datos:

v i = 750 km/h (velocidad del avión) = 208.33 m/s (se transforman las unidades a las del SI)

y i = 440 m

y f = 0 m

a y = -9.8 m/s 2 (en eje vertical la aceleración es negativa, ya que va dirigida hacia abajo)

Incógnitas:

t = ?

x = ?

v = ?


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 91

Calculemos primeramente las componentes v ix y v iy de la velocidad inicial:

Verticalmente, encontraremos el tiempo que tarda el proyectil al llegar al suelo a partir de la fórmula:

Datos:

v iy = 0 (componente vertical)

y i = 440 m

a y = -9.8 m/s 2

t = ?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Observa que se simplifica la fórmula, ya que la velocidad inicial en el eje y es igual a cero; luego, despejando

el tiempo, tenemos:

Sustituyendo los datos:

Donde,

Ahora calcularemos el alcance horizontal del proyectil utilizando el tiempo que obtuvimos en el punto anterior

Datos:

x i = 0

v ix = 208.33 m/s (componente horizontal)

t = 9.47 s

x f = ?

x f = x i + v ix t

x f = v ix t


92 La Mecánica y el Entorno

x f = (208.33 m/s) (9.47 s)

x f = 1972.9 m

La velocidad de choque contra el suelo tiene dos componentes: una vertical y otra horizontal (v fx y v fy ).

a) De la tabla 2.1, tenemos que la v fx = v ix , por lo tanto, v fx = 208.33 m/s.

b) La velocidad final en y la obtendríamos con la fórmula:

Dado que la velocidad inicial en el eje y es igual a cero, entonces simplificamos y sustituimos los datos:

Donde el signo negativo de la velocidad indica que el proyectil tiene un movimiento descendente.

Obtendremos ahora la velocidad neta final de choque usando el teorema de Pitágoras.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Al sustituir datos, tenemos:

v f = 228.06 m/s

Adicionalmente, se puede determinar la dirección del proyectil al momento de impacto, por lo que utilizamos

la fórmula siguiente:

Y se obtiene

Interpretación del resultado:

El proyectil avanzó horizontalmente una distancia de 1972.9 m desde su lanzamiento y tardó 9.47 s en impactar

contra el suelo; en ese momento llevaba una velocidad de 228.06 m/s y un ángulo de inclinación de

-24.01° o 335.99°.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 93

EJEMPLO 2.6

Una persona que se encuentra sobre una plataforma lanza una pelota horizontalmente a velocidad de

3.7 m/s, como se muestra en la figura 2.14. Si la pelota cae al suelo a una distancia de 3 m de la base del

lanzamiento, ¿en cuánto tiempo llegó ahí y desde qué altura se lanzó?

y i

= ?

x

v x

v y

Plataforma

y = 0

Base de lanzamiento

x = 3 m

Figura 2.14.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Solución

¿Qué queremos hacer? Encontrar…

a) cuánto tiempo tarda en caer la pelota al suelo (t = ?).

b) de qué altura se lanzó (y i =?).

¿Cómo lo vamos a hacer?

Se empezará por buscar el tiempo que tarda la pelota en caer, para lo cual se calcularán las componentes de

la velocidad inicial. Después se tendrá que encontrar la altura desde donde se lanzó la pelota.

Calculemos primeramente las componentes v ix y v iy de la velocidad inicial:

Ya que conocemos el alcance total de la pelota, calcularemos el tiempo que permanece en el aire de la

siguiente forma.


94 La Mecánica y el Entorno

Datos:

v ix = 3.7 m/s (componente horizontal de la velocidad)

x i = 0

x f = 3 m (alcance total de la pelota)

Dado que x i = 0, nos queda de la siguiente manera:

Se despeja el tiempo de la ecuación, y queda:

Al sustituir datos queda:

Donde,

Ese tiempo calculado es el mismo tiempo que la pelota tarda en chocar con el piso, es decir, es el tiempo

que la pelota avanza verticalmente desde la altura en la que estaba inicialmente hasta llegar al suelo, por lo

tanto, lo usaremos para hallar TD&IS esa altura Training como Distribution sigue: and Integrated Services

Datos:

y i = ?

t = 0.81 s

v iy = 0

y f = 0

Simplificamos la fórmula eliminando el término de la velocidad inicial en el eje y, pues es igual a cero y nos queda:

Ahora se despeja la posición inicial y i , que corresponde con la altura que estamos buscando:

Interpretación de los resultados:

La pelota tardó 0.81 s en llegar al suelo y fue lanzada desde una altura de 3.21 m.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 95

■ Actividad 4 Ejercicios de tiro horizontal

Considerando los datos que se te proporcionan, lee, analiza y resuelve los siguientes ejercicios. No olvides

interpretar claramente tus resultados.

Problema

1. Una roca se lanza horizontalmente desde lo

alto de un edificio a una velocidad de 15 m/s.

El edificio tiene una altura de 50 m.

Procedimiento

Datos

a) ¿Cuánto tiempo tardará la roca en llegar

al suelo?

b) ¿Qué distancia horizontal recorre el proyectil

desde el momento en que es lanzado

hasta que choca contra el suelo?

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

2. Se lanza una piedra horizontalmente con una

velocidad de 25 m/s desde una altura de 60 m.

Calcula…

Procedimiento

a) el tiempo que tarda en llegar al suelo.

b) la velocidad vertical que lleva a los 2 s.

c) la distancia a la que cae la piedra.

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


96 La Mecánica y el Entorno

Problema

3. Un avión que vuela horizontalmente a una

velocidad de 300 km/h, deja caer un proyectil

desde una altura de 700 m respecto al suelo.

a) ¿Cuánto tiempo tardará el proyectil en

llegar al suelo?

b) ¿Qué distancia horizontal recorre el proyectil

desde el momento que es lanzado

hasta que choca con el suelo?

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

Problema

TD&IS Training Distribution Procedimiento and Integrated Services

4. Un muchacho que está de pie sobre un puente

a 100 m por encima del agua lanza una piedra

horizontalmente a lo lejos con una velocidad

de 14 m/s. Encuentra…

a) el tiempo que tarda la piedra desde que es

lanzada hasta que toca el agua.

b) la distancia que recorrerá la piedra desde

que es lanzada del puente hasta que toca

el agua.

c) la componente vertical de la velocidad

adquirida.

d) la velocidad resultante final.

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 97

Problema

5. Una manguera a 18 m sobre el suelo lanza un

chorro de agua horizontal a una velocidad de

20 m/s. Encuentra…

Procedimiento

a) el tiempo que tarda el agua en tocar el

suelo.

b) la distancia horizontal recorrida.

c) las componentes finales de la velocidad (y).

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

6. Una pelota rueda sobre el borde de una mesa

con una velocidad de 8 m/s. Si llega a 10 m

del punto donde termina la mesa, ¿desde qué

altura se lanzó?

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


98 La Mecánica y el Entorno

Problema

7. Se lanza un disco metálico horizontalmente

a una velocidad de 30 m/s desde una altura

de 80 m.

Procedimiento

a) ¿A qué distancia, en línea horizontal del

punto de lanzamiento, caerá el disco metálico

a tierra?

b) ¿Cuál será la velocidad en el momento de

tocar tierra?

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

8. Se lanza horizontalmente un dardo a la pared

con una velocidad inicial de

20 m/s y llega al suelo en 1.1 s.

Determina la altura desde donde se lanzó y a

qué distancia llegó.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 99

Problema

9. En el borde de la mesa hay un marcador que

el maestro lanzó en dirección perpendicular al

pizarrón. La huella del marcador en el pizarrón

se encuentra 20 cm abajo de la superficie

de la mesa. La distancia del pizarrón a la mesa

es de 1 m. Determina la velocidad inicial del

marcador.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

10. Al disparar su rifle, un cazador de venados

que se encontraba a 10 m de su presa se dio

cuenta de que su tiro llegó 5 cm por debajo

del blanco.

Procedimiento

Datos

¿A qué distancia estaba el cazador?

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


100 La Mecánica y el Entorno

2.2.4. Tiro parabólico

Este movimiento representa el caso más común en el movimiento de proyectiles y

consiste en lanzar un objeto en una dirección que forma un ángulo (θ) con la horizontal

a una determinada velocidad, como se muestra en la figura 2.15.

y

v y

= 0

v

v y

θ

v 0 v 0x

v 0y

θ 0

v 0x

g

v 0x

θ

v

v y

v 0x

x

v 0y

v 0x

θ 0

v

Figura 2.15.

El estudio del tiro parabólico se simplifica recordando que este tipo de movimiento

tiene lugar en dos dimensiones; es decir, tiene un movimiento horizontal, pues

el proyectil se desplaza lateralmente hasta regresar a tierra, y simultáneamente se

desplaza en el eje vertical; primero, elevándose hasta alcanzar la altura máxima y,

enseguida, baja hasta el mismo nivel desde donde se lanzó, u otro nivel diferente.

El principio de independencia de Galileo posibilita el análisis de ese movimiento descomponiéndolo

TD&IS Training

sobre

Distribution

cada uno de los

and

ejes

Integrated

y tratando cada

Services

una de las componentes como

movimientos rectilíneos independientes. De esta forma, al trabajar con dos o tres movimientos

rectilíneos, se puede prescindir del análisis vectorial, siempre y cuando se tomen

los convenios de signos adecuados (referencia) para las diferentes magnitudes cinemáticas

que reflejen el sentido positivo del eje sobre el cual se analiza el movimiento.

Dado que un proyectil se lanza a velocidad inicial (v i ), necesita obtener las componentes

horizontal y vertical de esta con las siguientes ecuaciones, que ya hemos

manejado en el tema de vectores:

v ix = v i cosθ es la componente horizontal de la velocidad inicial

v iy = v i senθ es la componente vertical de la velocidad inicial

Este tipo de movimiento, al igual que el tiro horizontal, tiene velocidad horizontal

constante, ya que en esa dirección no hay ningún agente externo que haga que la

velocidad cambie; esto es…

v ix = v i

Pero, al ir ascendiendo, la componente vertical de la velocidad (v y ) va disminuyendo

debido a la acción de la gravedad hasta obtener el valor de cero cuando alcanza el

punto más alto (altura máxima). Inmediatamente, el objeto inicia su movimiento

de descenso e incrementa la magnitud de su velocidad, de tal forma que, al llegar

al nivel de lanzamiento, tendrá el mismo valor de la velocidad con la que se lanzó.

Este movimiento es equivalente al tiro vertical hacia arriba, pues los tiempos de

ascenso y descenso son iguales.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 101

Como horizontalmente (v x ) no hay ninguna aceleración, entonces, el desplazamiento

en esa dirección tiene velocidad constante durante todo el tiempo que el proyectil

permanezca en el aire. Como recordarás, cuando tenemos las componentes rectangulares

de un vector (v x y v y ), podemos obtener la magnitud y la dirección de nuestro

vector resultante (v ) con el teorema de Pitágoras y con la función trigonométrica

tangente, de tal modo que tendríamos:

En la siguiente figura se representa el movimiento de un proyectil en el cual la magnitud

de la velocidad de lanzamiento permanece constante y se ve el alcance en el

eje x para diferentes ángulos de lanzamiento. Como se puede observar, el máximo

alcance se obtiene a 45°. Al analizar esta gráfica, se observa que, para 15° y 75° el

alcance es el mismo; así también para 30° y 60°. En general, el alcance es el mismo

para cualesquiera dos ángulos cuya suma sea igual a 90°.

y (m)

150

v i

= 50 m/s

75˚

100

60˚

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

45˚

50

30˚

15˚

x (m)

50 100 150 200 250

Figura 2.16.

Recordemos la tabla 2.1 donde se muestra un resumen de las fórmulas de la cinemática

para el movimiento en los ejes x y y. Como puedes ver, estas son exactamente las

mismas ecuaciones que hemos estado manejando desde la etapa 1 y que se representaron

en el tiro horizontal. El objetivo no es que memorices muchas fórmulas, sino

que aprendas a aplicarlas en situaciones específicas.

Tabla 2.1. Fórmulas de tiro parabólico

Ecuaciones del movimiento en el eje x

Ecuaciones del movimiento en el eje y

Magnitud de la velocidad del proyectil en un determinado punto de su trayectoria y su dirección


102 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 2.7

Un jugador golpea una pelota de golf con su bastón y le da una velocidad de 30 m/s con un ángulo de 64°

respecto al eje horizontal, como muestra la figura 2.17. Calcula…

a) el tiempo para alcanzar el punto más alto,

b) la altura máxima alcanzada,

c) el alcance.

t

y

v 0y

v 0

θ

v 0x

x

Solución

Figura 2.17.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

¿Qué queremos hacer? Encontrar…

a) el tiempo para alcanzar el punto más alto (t),

b) la altura máxima alcanzada (y máx ),

c) el alcance (x)

¿Cómo lo vamos a hacer?

Considerando que se tiene la velocidad de la pelota cuando se lanza, así como el ángulo de lanzamiento,

se empezará por buscar el tiempo que tarda en llegar al punto más alto. Después, se tendrá que retomar

la ecuación de distancia en el eje y para encontrar la altura máxima y, posteriormente, el alcance máximo

utilizando la ecuación de distancia en el eje x, teniendo en cuenta que el tiempo de vuelo es el doble del

tiempo en subir a su altura máxima.

Calculemos primeramente las componentes v ix y v iy de la velocidad inicial:


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 103

Verticalmente encontraremos el tiempo que tarda el proyectil a su punto más alto, a partir de la fórmula

. Para calcular el tiempo que tarda la pelota en alcanzar el punto más alto, debemos tener en cuenta

que justamente en ese punto la pelota alcanza la altura máxima. Es el punto donde la velocidad vertical es nula

(v fy = 0)

Datos:

v iy = 26.96

(componente vertical)

v fy = 0

a y = -9.8 m/s 2

t = ?

v f y = v iy + a y t

Despejando el tiempo:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Donde,

t = 2.75 s

Verticalmente calculemos la altura máxima alcanzada por la pelota, aplicando la ecuación de la posición vertical:

Datos:

y i = 0

v iy = 26.96

(componente vertical)

t = 2.75 s (tiempo en llegar a su altura máxima)

a y = -9.8 m/s 2

y máx =?

Sustituyendo los datos:

y = 0 + (26.96 m/s) (2.75 s) + (-9.8 m/s 2 ) (2.75 s) 2


104 La Mecánica y el Entorno

Donde,

y máx = 37.08 m

Horizontalmente, calcularemos el alcance de la pelota aplicando la ecuación de posición para ese eje:

Datos:

x i = 0

v ix = 13.15

(componente horizontal)

t = 5.5 s (ya que el tiempo de vuelo es el doble del tiempo en subir a su altura máxima)

x f = ?

x f = x i + v ix t

Ahora, sustituyendo los datos en la ecuación de posición

Interpretación del resultado:

x f = 0 + (13.15 m/s) (5.5 s)

x f = 72.32 m

La pelota tardó 2.75 s en alcanzar el punto más alto y permaneció en el aire 5.5 s. La altura máxima que alcanzó

fue de 37.09 m y su máximo alcance fue de 72.32 m.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 105

■ Actividad 5 Velocidad y sus componentes

En el siguiente ejercicio calcularás las componentes rectangulares de la velocidad inicial, las componentes de

la velocidad y de la velocidad resultante durante el tiempo en que el cuerpo se mantiene en el aire. Observa la

variación de dichos vectores y obtén tus propias conclusiones.

v y

=

v y

=

v y

=

v x

=

θ =

θ =

v x

=

v y

=

v x

=

θ=

v = v = v = v = v =

v 0y

=

v x

=

y máx

v y

=

v 0

= 30 m/s

θ= 78.53º

v 0x

=

θ=

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

θ =

v x

=

v x

=

θ =

t = 0 s t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s t = 5 s t = 6 s

v y

=

Figura 2.18.

Problema

Identificaciónde datos y

equivalencias

Factores de conversión y

operaciones

Resultado e

interpretación

1. ¿Cuál es el valor de la componente

de la velocidad vertical cuando

alcanza su altura máxima?

2. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar

el punto más alto en relación con el

tiempo que tarda en caer?

3. ¿Cuál es la velocidad con la que el

objeto llega al suelo respecto a la

velocidad con la que se lanzó?

4. ¿Cuál es su dirección?


106 La Mecánica y el Entorno

■ Actividad 6 Alcance y altura

En el siguiente ejercicio, calcularás el alcance y la altura que logra el cuerpo durante el tiempo que se mantiene

en el aire.

Realiza las operaciones en tu cuaderno o donde lo indique tu maestro.

y =

y =

y =

y =

y =

v 0y

=

v 0

= 30 m/s

θ= 78.53º

v 0x

=

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

y =

t = 0 s t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s t = 5 s t = 6 s

x = x = x = x = x = x = x =

Figura 2.19.

Problema

Identificaciónde datos y

equivalencias

Factores de conversión y

operaciones

Resultado e

interpretación

1. ¿Qué distancia recorre a los 6 s

respecto a la distancia que recorre

a los 3 s?

2. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar

el punto más alto en relación con el

tiempo que tarda en caer?


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 107

■ Actividad 7 Ejercicios de tiro parabólico

Considerando los datos que se te proporcionan, resuelve los siguientes ejercicios en

tu libreta o donde lo indique tu maestro.

Problema

Procedimiento

1. Se dispara un proyectil a una velocidad de

50 m/s y un ángulo de 30°. Encuentra…

a) el tiempo total de vuelo.

b) el alcance máximo.

c) el alcance si el proyectil se hubiera disparado

con un ángulo de 60°.

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

Procedimiento

2. Un proyectil se lanza a una velocidad de

220 m/s y un ángulo de 52°. Encuentra…

a) el tiempo que tarda en alcanzar su altura

máxima.

b) la altura máxima.

c) el tiempo total de vuelo.

d) el alcance máximo.

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


108 La Mecánica y el Entorno

Problema

Procedimiento

3. Una flecha se dispara a 60 m/s y alcanza una

altura de 150 m. Encuentra…

a) el ángulo de elevación.

b) el tiempo que tardó en alcanzar su altura

máxima.

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

Problema

4. Un proyectil se dispara de tal forma que su

componente vertical inicial es de 27 m/s y su

componente horizontal inicial es de 34 m/s.

Encuentra…

a) la velocidad inicial del proyectil (magnitud

y dirección).

b) el tiempo que permanece en el aire el proyectil.

c) la distancia horizontal recorrida.

Datos

Procedimiento

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 109

Problema

5. Se desea lanzar un proyectil sobre una cerca

que está a 8 m de distancia y tiene una altura de

13 m sobre el suelo. Si el ángulo de lanzamiento

es de 70°, ¿cuál es la magnitud de la velocidad

inicial necesaria para que rebase la cerca?

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

■ Actividad 8 Deducción de fórmulas

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Para simplificar las operaciones en problemas de tiro parabólico, deduce una fórmula para obtener el tiempo

total de vuelo, el alcance y la altura máxima (ver el ejemplo 2.8).

Fórmula

Tiempo total

Procedimiento

Alcance

Altura máxima


110 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 2.8

Aquí te mostramos un ejemplo para obtener la fórmula del tiempo total de vuelo de un proyectil. Partimos

de la ecuación de la velocidad vertical debido a que el tiempo de vuelo depende únicamente de la componente

y de la velocidad inicial.

Despejando:

Como:

v fy = -v iy

v iy = v i senθ

a y = g

Se sustituyen en la ecuación, quedando:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Agrupando términos semejantes nos queda:

Con lo cual deducimos la fórmula para obtener el tiempo total de vuelo de un proyectil. Nota que, al momento

de sustituir en la ecuación el valor de la gravedad, de -9.8 , el signo negativo se eliminará.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 111

Análisis de conceptos

1. Una persona que está al borde de un acantilado, a cierta altura del suelo, arroja una pelota verticalmente

hacia arriba con una velocidad inicial de 8 m/s y después arroja otra pelota directamente hacia abajo con

la misma velocidad inicial. ¿Cuál de las dos pelotas, si así es el caso, tiene mayor velocidad al llegar al

suelo? ¿O ambas tienen la misma velocidad? No tomes en cuenta la resistencia del aire.

2. Cuando un muchacho lanza una pelota verticalmente hacia arriba y la atrapa nuevamente al caer, su

velocidad vectorial media durante el recorrido es 0; ¿por qué?

¿La rapidez media también es igual a cero?

3. Un hombre deja caer una moneda de su mano cuando está en un ascensor que cae libremente. Describe

el movimiento de la moneda respecto a la mano.

4. Si dejas caer un objeto, su aceleración hacia el suelo es de 9.8 m/s 2 . Si, en cambio, el objeto es arrojado hacia

abajo, ¿su aceleración después de haber sido arrojado sería mayor que 9.8 m/s 2 ? Explica tu respuesta.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

5. En la pregunta anterior, ¿puedes pensar en una razón de por qué la aceleración de un objeto arrojado

hacia abajo a través del aire en realidad sería menor que 9.8 m/s 2 ?

Caída libre

6. Si se desprecia la fuerza de fricción del aire y dos esferas del mismo tamaño (una de plástico y otra de

plomo) se dejan caer desde la misma altura de la superficie terrestre, entonces…

a) la de plomo tarda menos tiempo en caer. b) la velocidad final de la de plomo será mayor.

c) ambas esferas llegarán al suelo con la misma d) la de plástico se acelera menos.

velocidad.

7. Si se desprecia la fuerza de fricción del aire y dos esferas del mismo tamaño (una de hule y otra de

acero) se dejan caer desde la misma altura de la superficie terrestre, entonces…

a) tardarán el mismo tiempo en llegar al suelo. b) llegarán al suelo con la misma velocidad.

c) tendrán la misma aceleración. d) Todas las opciones son correctas

8. En el vacío, el valor de g en la superficie terrestre es de aproximadamente 9.8 m/s 2 , esto significa que, si

un objeto que cayera en estas condiciones desde cerca de esta superficie…

a) recorrería 9.8 m cada segundo. b) se desplazaría con una velocidad de 9.8 m/s.

c) disminuiría su velocidad 9.8 m/s cada segundo. d) aumentaría su velocidad 9.8 m/s cada segundo.


112 La Mecánica y el Entorno

9. El valor de g en la superficie lunar es de aproximadamente 1.6 m/s 2 , esto significa que, si un objeto que

cayera cerca de tal superficie…

a) recorrería 1.6 m cada segundo. b) se desplazaría con una velocidad de 1.6 m/s.

c) disminuiría su velocidad 1.6 m/s cada segundo. d) aumentaría su velocidad 1.6 m/s cada segundo.

10. Si se desprecia la fuerza de fricción con la atmósfera y dos objetos son dejados caer desde la misma

altura, pero uno en la Luna y otro en la Tierra, entonces.

a) el objeto en la Tierra llegaría al suelo en

mayor tiempo.

c) el objeto en la Tierra llegaría con menor

velocidad al suelo.

b) el objeto en la Luna llegaría al suelo en

mayor tiempo,

d) el objeto en la Luna llegaría con mayor

velocidad al suelo

11. Si se desprecia la fuerza de fricción con la atmósfera y dos objetos se dejan caer desde la misma altura,

pero uno en la Luna y otro en la Tierra (la g lunar es aproximadamente 1/6 del valor de la g terrestre),

entonces…

a) el objeto en la Tierra llegará en mayor tiempo

al suelo.

c) el objeto en la Luna llegará con mayor velocidad

al suelo.

b) el objeto en la Luna llegará en menor tiempo

al suelo.

d) el objeto en la Tierra llegará con mayor

velocidad al suelo.

12. Si se desprecia la fricción con el aire y un objeto B es dejado caer desde el doble de altura que otro

objeto A respecto a la TD&IS superficie Training terrestre, Distribution entonces… and Integrated Services

a) el objeto B tardará el doble de tiempo en caer

que el objeto A.

c) el objeto B sufre la misma aceleración que el

objeto A.

b) el objeto B llegará al suelo con el doble de

velocidad que el objeto A..

d) el objeto B experimenta el doble de aceleración

que el objeto A.

13. Si se desprecia la fricción con el aire y un objeto A se deja caer desde la mitad de la altura que otro

objeto B respecto a la superficie terrestre, entonces…

a) el objeto A tardará la mitad de tiempo en caer

que el objeto B.

c) el objeto A sufre la mitad de la aceleración

que el objeto B.

b) el objeto A llegará al suelo con la mitad

de velocidad que el objeto B.

d) el objeto A sufre la misma aceleración que el

objeto B.

14. Un saco de arena se deja caer desde un globo con aire caliente que se encuentra en reposo y llega al

suelo con cierta rapidez (v). El globo se eleva lentamente y se detiene. Si entonces se deja caer un

segundo saco idéntico al primero y llega al suelo con una rapidez doble en comparación con la del primero

(2v), ¿qué altura tenía el globo al soltar el segundo saco en comparación con la que tenía al soltar

el primero? (se desprecia la resistencia del aire)…

a) 12 de la altura. b) 2 veces la altura.

c) 8 veces la altura. d) 4 veces la altura.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 113

15. Dos esferas, E 1 y E 2 de radio 0.1 m y de pesos P 1 y P 2 , se dejan caer desde una altura de 3 m en el mismo

lugar y al mismo tiempo. Se puede afirmar (si se desprecia la resistencia del aire) que…

a) E 1 y E 2 llegarán juntas al suelo solamente si P 1

y P 2 son iguales.

c) E 1 y E 2 llegarán juntas al suelo, a pesar de que

sus pesos son diferentes.

b) si P 1 fuera mayor que P 2 , E 1 llegará primero

al suelo.

d) si P 1 fuera menor que P 2 , E 2 llegará primero

al suelo.

16. Desde lo alto de una torre se deja caer un cuerpo A; 2 s después se deja caer otro cuerpo, B. Despreciando

la fricción del aire se puede afirmar que la distancia entre los dos cuerpos…

a) permanecerá constante durante la caída de b) disminuirá si B pesa más que A.

ambos.

c) disminuirá aunque B y A pesen lo mismo. d) aumentará continuamente sin importar los

pesos de A y B.

Tiro vertical hacia arriba

17. Se arroja una pelota verticalmente hacia arriba en un lugar donde la aceleración de la gravedad es

9.8 m/s 2 y la fricción con el aire es despreciable. En el punto más alto de su trayectoria la velocidad es

igual a 0. En ese punto, la aceleración de la pelota es…

a) también 0. b) vertical hacia arriba y vale 9.8 m/s 2 .

c) vertical hacia abajo y mayor que 9.8 m/s 2 . d) vertical hacia abajo y vale 9.8 m/s 2 .

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

18. En un experimento se verificó que la velocidad inicial necesaria para que un cuerpo alcance una altura

y cuando es lanzado verticalmente hacia arriba era igual a v i . Si el mismo cuerpo fuera lanzado con una

velocidad inicial igual a 2v i , la nueva altura alcanzada (despreciando la resistencia del aire) sería…

a) 2y b) y/2

c) 3y c) vertical hacia abajo y mayor que 9.8 m/s 2 . d) 4y

Problemas

Caída libre

En los siguientes problemas no se tiene en cuenta la resistencia del aire.

1. Una botella que se deja caer desde un globo alcanza el piso en 20 s. Determina la altura a la que se

encuentra el globo si está en reposo en el aire.

2. Un cuerpo que se deja caer libremente llega al suelo con una velocidad de 29.4 m/s. Determina el tiempo

de caída y la altura desde la cual se dejó caer.

3. Si un cuerpo tarda en caer 4 s partiendo del reposo, calcula la velocidad con la que llega al suelo y la

altura desde la que se dejó caer.

4. Se deja caer un objeto desde un módulo de aterrizaje sobre la superficie de la Luna.

a) ¿Cuál es la velocidad al cabo de 3 s? b) ¿A qué distancia cayó durante ese tiempo?

Nota: g Luna = 1.6 m/s 2 .


114 La Mecánica y el Entorno

5. Una piedra es lanzada dentro de un pozo con una velocidad inicial de 60 m/s, llega al fondo con una

velocidad de 87.93 m/s. Encuentra el tiempo que tarda en llegar al fondo y la profundidad del pozo.

6. Desde un globo aerostático, que se encuentra a cierta altura sobre el suelo, se deja caer un cuerpo.

Calcula la velocidad que tendrá el cuerpo y qué distancia habrá caído al cabo de 10 s si…

a) el globo se encuentra en reposo en el aire. b) si el globo desciende verticalmente a razón de

12 m/s.

7. Un cuerpo se deja caer y recorre 68.3 m en el último segundo de su caída. Halla…

a) la altura desde donde cayó. b) el tiempo que duró la caída.

8. Se dejan caer dos pelotas al piso desde diferentes alturas. Una se deja caer 1.5 s después de la otra, pero

ambas golpean el piso 5 s después de dejar caer la primera.

a) ¿Cuál es la diferencia de alturas a la cual se

dejaron caer?

b) ¿Desde qué altura se dejó caer la primera

pelota?

9. Una persona suelta una pelota de béisbol desde la ventana de un edificio y 1 s después lanza otra pelota

de béisbol verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 13 m/s.

a) ¿Qué tiempo después de que se arrojó la b) ¿A qué altura?

segunda pelota alcanzará a la primera?

10. Una piedra cayó en el fondo de un desfiladero al cabo de 3 s. ¿Qué profundidad tiene el desfiladero?

11. ¿Cuánto demora en caer una piedra desde el punto más alto de una torre de televisión (540 m)?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

¿Cuál sería su velocidad al llegar al suelo?

12. ¿Cuánto demorará un cuerpo que comienza su caída en estado de reposo para recorrer 4.9 m?

¿Cuál será su velocidad al final del recorrido?

13. De pie sobre un puente de 180 m de altura sobre la tierra, un niño dejó caer una piedra. Después de

transcurrido un segundo, lanzó hacia abajo otra piedra. ¿Qué velocidad inicial le comunicó a la segunda

piedra si ambas llegaron a Tierra al mismo tiempo?

Tiro vertical hacia arriba

14. Una flecha es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 49 m. Determina…

a) a qué altura logrará subir. b) cuánto tardará en llegar al suelo.

15. Desde lo alto de un edificio, un hombre tira una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de

12.5 m/s. La pelota llega a la tierra 4.25 s después. ¿Con qué velocidad llega la pelota al suelo?

16. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s.

a) ¿En qué instante (al subir) su velocidad será

de 6 m/s?

b) ¿A qué altura se encontrará en ese instante?

17. Una piedra lanzada linealmente hacia arriba por un muchacho alcanza una altura de 12 m. Calcula…

a) el tiempo para alcanzar el punto más alto. b) su velocidad de llegada al suelo.

c) su posición al término del primer segundo.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 115

18. Una flecha disparada verticalmente hacia arriba llega a una altura máxima de 490 m. Calcula…

a) el tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto. b) su velocidad de llegada al suelo.

c) su velocidad a los 5 s.

19. Una pelota de béisbol tirada de forma recta hacia arriba es recobrada 9 s después por el cátcher. Encuentra…

a) la altura máxima alcanzada. b) la velocidad que tenía al dejar el bate.

20. Una flecha disparada en línea recta hacia arriba sube una altura máxima de 78.4 m en 2 s. Encuentra…

a) el tiempo total de vuelo. b) la velocidad de lanzamiento.

21. Una pelota es arrojada desde el piso verticalmente hacia arriba por medio de un dispositivo y choca con

este 3 s después.

a) ¿Con qué velocidad se arrojó la pelota? b) ¿Hasta qué altura llegó?

22. Una flecha es lanzada por un arco verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s.

¿Qué altura alcanzará?

23. Una botella que se deja caer desde un globo alcanza el piso en 20 s. Determina la altura a la que se

encuentra el globo si ascendiera a una velocidad de 50 m/s cuando se deja caer la botella.

24. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba desde la Tierra cayó al cabo de 9 s. Calcula la altura que

alcanzó y cuál fue su velocidad inicial.

25. Un globo asciende a 8 m/s. Suelta un saco de arena cuando el globo se encuentra a 40 m sobre el piso.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

a) ¿Qué tiempo tarda el saco de arena en chocar b) ¿Cuál será su velocidad un instante antes de

con el piso?

chocar con el piso?

26. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s.

a) ¿A qué altura se encontrará transcurridos 3 s? b) ¿Y transcurridos 5 segundos?

c) ¿Qué valor tendrá la velocidad en esos

instantes?

27. Con una pistola de resorte que se encuentra a una altura de 2 m sobre la Tierra se dispara verticalmente

hacia arriba una esfera con una velocidad de 50 m/s. Determina la altura máxima que alcanzó y qué

velocidad tendrá al llegar a la Tierra.

a) ¿Qué tiempo estuvo la esfera en vuelo? b) ¿Cuál es su posición al cabo de los primeros

0.2 s de vuelo?

28. Al lanzar hacia arriba un cuerpo, este pasa frente al centro de una ventana con una velocidad de

12 m/s. ¿Con qué velocidad cruzará frente al centro de la misma ventana cuando baje?

29. Dos cuerpos son lanzados verticalmente hacia arriba con velocidades iniciales diferentes. El primero

alcanzó cuatro veces más altura que el segundo. ¿Cuántas veces es mayor su velocidad inicial respecto

al segundo?


116 La Mecánica y el Entorno

Preguntas

Tiro horizontal

1. Si un objeto A se lanza horizontalmente y al mismo tiempo se deja caer libremente un objeto B, en

ausencia de la fricción del aire…

a) el tiempo que tarda en caer el objeto A es

mayor que el que tarda en caer el objeto B.

c) el tiempo que tarda en caer el objeto A es el

negativo del que tarda en caer el objeto B.

b) el tiempo que tarda en caer el objeto B es

mayor que el que tarda en caer el objeto A.

d) el tiempo que tarda en caer el objeto A es

igual al que tarda en caer el objeto B.

2. De no tomar en cuenta la fricción con el aire, un proyectil lanzado desde cierta altura y paralelamente a

la superficie terrestre caerá al suelo describiendo una trayectoria parabólica: el movimiento del proyectil

en estas condiciones debe ser…

a) en el eje x con velocidad variable, en el eje y

con velocidad constante. a) el tiempo que tarda

en caer el objeto A es

mayor que el que tarda en caer el objeto B.

c) en el eje x con velocidad constante, en el eje y

con aceleración constante.

b) en el eje x con velocidad constante, en el eje y

con aceleración variable.

d) en ambos ejes con velocidad constante.

3. Si un proyectil A es lanzado horizontalmente y desde cierta altura con una determinada velocidad, y

otro proyectil B es lanzado también horizontalmente y desde la misma altura, pero con el triple de velocidad

que el proyectil

TD&IS

A, entonces…

Training Distribution and Integrated Services

a) los dos tardan el mismo tiempo en caer. b) el proyectil A tardará el triple de tiempo en

caer que lo que tarda el B.

c) el proyectil B tardará el triple de tiempo en caer

que lo que tarda el A.

d) el proyectil B tardará 9.8 veces más de tiempo

en caer que lo que tarda el A.

4. Si un proyectil A es lanzado horizontalmente y desde cierta altura con una determinada velocidad, y

otro proyectil B es lanzado también horizontalmente y desde la misma altura, pero con el doble de

velocidad que el proyectil A, entonces…

a) el proyectil A tardará el doble de tiempo en

caer que lo que tarda el B.

c) el proyectil A tardará 9.8 veces más de tiempo

en caer que lo que tarda el B.

b) el proyectil B tardará el doble de tiempo en

caer que lo que tarda el A.

d) tardan los dos el mismo tiempo en caer.

5. Una piedra se lanza horizontalmente desde una barraca de 20 m de altura con una velocidad inicial de

10 m/s. Una segunda piedra se deja caer simultáneamente desde esa barraca. ¿Cuál de las afirmaciones

siguientes es la correcta?

a) Ambas chocan al suelo con la misma velocidad. b) Las dos llegan al suelo con la misma rapidez.

c) Durante el vuelo es igual el cambio de velocidad

de ambas piedras.

d) Durante el vuelo, es igual el cambio de rapidez

de ambas piedras.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 117

6. Dos pelotas se lanzan horizontalmente desde un edificio alto al mismo tiempo, con una velocidad v i y

la otra con una velocidad (v i /2).

a) La pelota con velocidad inicial v i llega primero

al suelo.

b) La pelota con velocidad inicial v i /2 llega primero

al suelo..

c) Ambas pelotas llegan al mismo tiempo. d) No se puede saber cuál llega primero si no se

conoce la altura del edificio.

7. En el análisis del movimiento en un plano, si el ángulo de lanzamiento es igual a 0°, se considera que

la velocidad vertical…

a) se inicia desde el reposo. b) es constante.

c) tiene una aceleración igual a cero. d) tiene una velocidad inicial de 9.8 m/s.

Tiro parabólico

8. Es la fuerza que actúa sobre el movimiento de un proyectil al ser lanzado “libremente”.

a) Fuerza de fricción a) se inicia desde el reposo. b) Fuerza resultante

c) Fuerza normal d) Fuerza de la gravedad

9. Es el tipo de trayectoria que describe un cuerpo al ser lanzado con un ángulo mayor que 0° y menor

que 90°.

a) Línea recta vertical b) Elipse

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

c) Parábola d) Línea recta horizontal

10. ¿Qué tipo de trayectoria sigue una pelota de béisbol al ser bateada por un jugador antes de caer al suelo?

a) Una elipse b) Una línea recta

c) Un círculo d) Una parábola

11. El movimiento de un proyectil, en ausencia del aire, se puede analizar considerando por separado…

a) un desplazamiento horizontal a velocidad

constante y un desplazamiento vertical también

a velocidad constante.

c) un desplazamiento horizontal con aceleración

constante y un desplazamiento vertical a velocidad

constante.

b) un desplazamiento horizontal a velocidad

constante y un desplazamiento vertical con

aceleración constante e igual a g.

d) tanto en el eje x como en el eje y el desplazamiento

es con aceleración constante e igual a g.

12. Al analizar el movimiento de un proyectil, en ausencia del aire, el desplazamiento horizontal tiene…

a) aceleración constante. b) velocidad igual a cero.

c) velocidad constante. d) aceleración igual a g.

13. En el tiro parabólico, el valor de la velocidad vertical en el punto más alto de su trayectoria es…

a) mayor que cero. b) igual a cero.

c) menor que cero. d) igual a g.


118 La Mecánica y el Entorno

14. El máximo alcance de un proyectil se obtiene cuando el ángulo de inclinación es…

a) 0° b) 90°

c) 30° d) 45°

15. En el tiro parabólico, al despreciar la fricción del aire, se tiene que…

a) el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar

el punto más alto es mayor que el tiempo que

tarda en regresar.

c) el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar el

punto más alto es igual que el tiempo que tarda

en regresar.

b) el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar

el punto más alto es menor que el tiempo que

tarda en regresar.

d) el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar el

punto más alto es menor que cero.

16. Si se desprecia la fricción con el aire, un proyectil que sea lanzado con un cierto ángulo de elevación

respecto a la superficie terrestre describirá con su movimiento una trayectoria parabólica; la magnitud de

la componente horizontal y vertical de la velocidad del proyectil durante el recorrido se caracteriza por…

a) la horizontal uniformemente variada, la vertical

constante.

c) la horizontal uniformemente variada, la vertical

sin valor.

b) la horizontal constante, la vertical uniformemente

variada.

d) la horizontal constante, la vertical sin valor.

17. Al despreciar la fricción del aire, un proyectil alcanzaría una mayor altura si fuera lanzado con un

ángulo de elevación de…

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

a) 45° b) 90°

c) 80° d) 20°

18. Al despreciar la fricción del aire, un proyectil permanecería un mayor tiempo “volando” si fuera lanzado

con un ángulo de elevación de…

a) 45° b) 30°

c) 60° d) 70°

19. Dos proyectiles A y B se disparan desde un plano horizontal con velocidades iniciales idénticas. La

velocidad inicial de A se hace a un ángulo θA con la horizontal, y B hace un ángulo θB también con

la horizontal. Si θA < θ B < 90°…

a) el proyectil B permanece más tiempo en el aire

y viaja más lejos que A.

c) el proyectil B permanece más tiempo en el aire

y alcanza mayor elevación que A.

b) el proyectil B permanece más tiempo en el

aire y no llega más lejos que A.

d) tanto a) como b) son correctas.

20. En ausencia de aire, tres proyectiles son lanzados con la misma velocidad, pero uno de ellos a 30°, otro

a 45° y el tercero a 80° de elevación respecto al suelo; de ellos tres, el que retornaría con mayor velocidad

al suelo sería el que fuese lanzado a…

a) 30° b) 80°

c) 45° d) los tres retornarían con la misma velocidad.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 119

21. En ausencia de aire, tres proyectiles son lanzados con la misma velocidad, pero uno de ellos a 25°, otro

a 45° y el tercero a 75° de elevación respecto al suelo; sin embargo, el que retornaría con mayor velocidad

al suelo sería el que fuese lanzado a…

a) 25° b) 75°

c) 45° d) los tres retornarían con la misma velocidad.

22. Si la aceleración debida a la gravedad (g) se duplica, el alcance logrado por un proyectil tendría una

magnitud (comparándolo con el que ocurre normalmente cuando g = 9.8 m/s 2 )…

a) dos veces mayor que el alcance normal. b) 9.8 veces mayor que el alcance normal.

c) 19.6 veces menor que el alcance normal. d) la mitad que el alcance normal.

23. Si la aceleración de la gravedad (g) se redujera a la mitad, el alcance logrado por un proyectil tendría

una magnitud (comparándolo con el que ocurre normalmente cuando g = 9.8 m/s 2 )…

a) dos veces mayor que el alcance normal. b) 4.9 veces mayor que el alcance normal.

c) 9.8 veces mayor que el alcance normal. d) la mitad que el alcance normal.

24. Una pelota de béisbol, al ser golpeada por un bateador, viaja a los jardines. La aceleración de la pelota

durante el vuelo…

a) es la misma durante todo el trayecto. b) depende de si la pelota va hacia arriba o hacia

abajo.

c) es la máxima en la cúspide de su trayectoria. d) depende de cómo se le pegó a la pelota.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

25. La figura 2.20 muestra la trayectoria de una pelota. En el punto A, de altura máxima…

a) la velocidad es cero, pero la aceleración es

diferente de cero.

b) la velocidad, no es cero, pero la aceleración es

cero.

c) la aceleración es mayor en B. d) la velocidad y la aceleración son perpendiculares

entre sí.

A

B

Figura 2.20


120 La Mecánica y el Entorno

26. Un cazador le tira a un pato que vuela horizontalmente a una altura H. El intervalo de tiempo entre

acertar al pato y el momento en que este llega al suelo depende de…

a) qué tan rápido volaba el pato. b) cuán rápido volaba el pato y cuál era la altura H.

c) la altura H. d) la altura H y la distancia entre el cazador y el

pato cuando lo alcanzó la bala.

27. En ausencia de la fricción del aire, considere la trayectoria del balón en la figura 2.21 ¿En qué punto(s)

su velocidad es máxima?

a) En el punto c b) En el punto a

c) En el punto d d) En los puntos a y e

28. ¿En qué punto es máxima la velocidad horizontal?

a) En el punto c b) En el punto a

c) En el punto d d) En cualquier punto

29. ¿En qué punto de la trayectoria su velocidad vertical es igual a cero?

a) En el punto b b) En el punto c

c) En el punto d d) En el punto a

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

C

D

B

A

E

Figura 2.21


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 121

Problemas

Considerando los datos que se te proporcionan, resuelve los siguientes problemas.

Tiro horizontal

1. Una roca se lanza horizontalmente desde lo alto de un edificio con una velocidad de 15 m/s. El edificio

tiene una altura de 50 m.

a) ¿Cuánto tiempo tardará la roca en llegar al b) ¿A qué distancia de la base del edificio caerá?

suelo?

2. Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/s desde una altura de 60 m. Calcula…

a) el tiempo que tarda en llegar al suelo. b) la velocidad vertical que lleva a los 2 s.

c) la distancia a la que cae la piedra.

3. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 300 km/h y deja caer un proyectil desde una

altura de 700 m respecto al suelo.

a) ¿Cuánto tiempo tardará el proyectil en llegar al

suelo?

b) ¿Qué distancia horizontal recorre el proyectil

después de iniciar su caída?

4. Un muchacho que está de pie sobre un puente a 100 m por encima del agua lanza una piedra horizontalmente

a lo lejos con una velocidad de 14 m/s. Encuentra…

a) el tiempo que tarda en tocar el agua. b) la distancia que recorrerá del puente cuando

TD&IS Training Distribution and Integrated

toque el agua.

Services

c) la componente vertical de la velocidad adquirida. d) la velocidad resultante final.

5. Una manguera a 18 m sobre el suelo lanza un chorro de agua horizontal con una velocidad de 20 m/s.

Si alcanza una distancia de 12 m, encuentra…

a) el tiempo que tarda el agua en tocar el suelo. b) la distancia horizontal recorrida.

c) las componentes finales de la velocidad

(v x y v y ).

6. Una pelota rueda sobre el borde de una mesa con una velocidad de 8 m/s. Si al caer llega a 10 m del

borde de la mesa, ¿desde qué altura fue lanzada?

7. Un cuerpo es lanzado horizontalmente con una velocidad de 30 m/s desde una altura de 80 m.b) cuánto

tiempo tardará en caer.

8. Desde el mástil de un buque, a una altura de 10 m sobre la cubierta, se deja caer una pelota. La velocidad

del buque es de 18 km/h.

a) ¿Qué distancia recorrerá el buque mientras cae

la pelota?

c) ¿Cuál será la velocidad de la pelota al tocar la

cubierta?

b) ¿Cuál será la trayectoria del movimiento de la

pelota en relación con la superficie del mar?


122 La Mecánica y el Entorno

9. En el borde de una mesa hay un gis. El gis es lanzado con un impulso horizontal y en dirección perpendicular

al pizarrón. La huella del gis en el pizarrón se encuentra 20 cm por debajo de la superficie de la

mesa. La distancia del pizarrón a la mesa es de 1 m. Determina la velocidad inicial del gis.

10. Si tenemos que lanzar un paquete de medicamentos desde un avión de salvamentos que vuela horizontalmente

con una velocidad de 360 km/h a una altura de 2 km, de tal forma que caiga en una aldea, ¿a

qué distancia del lugar, medida por la horizontal, debemos dejar caer el paquete?

Tiro parabólico

1. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo y la altura máxima de un proyectil que es lanzado con una velocidad

inicial de 400 m/s y un ángulo de elevación de 40°.

2. Un futbolista golpea el balón con un ángulo de 37° respecto al plano horizontal, comunicándole una

velocidad inicial de 15 m/s. Calcula el alcance, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal.

3. Una flecha disparada con una velocidad de 60 m/s alcanza una altura máxima de 5 m. Calcular el ángulo

de elevación, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal,

4. Un proyectil es disparado al aire con una velocidad de 50 m/s. Si alcanza una altura máxima de 120 m,

calcular el ángulo de elevación, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal.

5. Un proyectil se dispara con un ángulo tal que la componente vertical de su velocidad inicial (v i y) es de

27 m/s y la componente horizontal de su velocidad inicial (v i x) es de 36 m/s.

a) ¿Cuál será la velocidad inicial del proyectil b) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire el

(magnitud y dirección)?

proyectil?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

c) ¿Qué distancia horizontal recorrerá?

6. Un proyectil es lanzado con un ángulo de 53° respecto a la horizontal desde un acantilado de 150 m de

altura. Si el proyectil sale de un cañón con una velocidad inicial de 300 m/s. Calcula… b) cuánto tiempo

tardará en caer.

a) a qué distancia horizontal de la base del acantilado

caerá el proyectil.

b) cuánto tiempo tardará en caer.

7. Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 200 m/s y un ángulo de elevación de 30°. Determinar

lo siguiente:

a) La velocidad del proyectil cuando alcanza la

máxima altura.

c) La altura máxima alcanzada.

b) La distancia horizontal que ha recorrido hasta

ese instante.

8. Un competidor del lanzamiento de bala logra una longitud de 22.3 m. Si el lanzamiento fue a 45°,

cuáles eran…

a) la velocidad inicial, b) la altura máxima alcanzada, y

c) el tiempo total de vuelo.


Etapa 2 Cinemática: movimiento en una y dos dimensiones 123

9. Un proyectil fue lanzado con una velocidad inicial de 300 m/s con un ángulo de tiro de 60°. Calcula, al

cabo de 10 s, lo siguiente:

a) La componente horizontal de la velocidad, b) La componente vertical de la velocidad,

c) El valor absoluto de la velocidad y la dirección d) La distancia horizontal recorrida,

que esta forma con la horizontal,

e) La altura a la que se encuentra,

10. Se lanza una piedra desde una altura de 1 m sobre el suelo con una velocidad de 40 m/s formando un

ángulo de 30° con la horizontal, sabiendo que a una distancia de 120 m del punto de lanzamiento se

encuentra un muro de 2 m. Determina a qué altura por encima de este pasará la piedra.

11. Se desea lanzar un proyectil sobre una cerca que está a 8 m de distancia y tiene una altura de 12 m

sobre el suelo. Si el proyectil se encuentra a 1 m sobre el suelo y el ángulo de lanzamiento es de 70°,

¿cuál es la magnitud de la velocidad inicial para que pase la cerca?

12. Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 50° y una velocidad inicial de 400 m/s

sobre un terreno horizontal. Sabiendo que a una distancia de 1000 m existe una pared vertical. Calcula

la altura del punto de la pared sobre el cual choca el proyectil.

13. Un proyectil, al ser lanzado en la Tierra con una velocidad (v iy ) a un ángulo (θ) con la horizontal, tiene

un alcance de 320 m. Si el proyectil fuera lanzado en la Luna con la misma velocidad inicial y ángulo,

¿qué alcance se obtendría?

14. ¿Cuáles son los dos ángulos relativos a la horizontal a que deberá apuntarse un cañón para que el alcance

horizontal sea de 1000 m? La velocidad en la boca del cañón es de 140 m/s.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

15. Un jugador de béisbol batea una pelota con una velocidad de 45 m/s formando un ángulo de 30° respecto

a la horizontal. Si la bola salió dirigida hacia el jardín derecho y la barda (que tiene 2 m de altura)

se encuentra a 100 m del home, contesta lo siguiente:

a) ¿pasará la pelota por encima de la barda? b) ¿a qué altura estará la pelota a esa distancia?


ETAPA

3

CINEMÁTICA:

MOVIMIENTO CIRCULAR

TD&IS Training Distribution and Integrated Services


CONTENIDO CONCEPTUAL:

• Desplazamiento lineal y angular

• El radián, la revolución y el grado sexagesimal

como medidas angulares

• Velocidad lineal y angular

• Periodo y frecuencia

• Fuerza y aceleración centrípeta

CONTENIDO

PROCEDIMENTAL:

• Efectúa una analogía entre las magnitudes

lineales y las magnitudes angulares,

TD&IS Training Distribution reconociendo and Integrated las Services equivalencias y los factores de

conversión pertinentes.

• Aplica la primera y segunda leyes de Newton

para visualizar que el movimiento circular

uniforme es un movimiento acelerado.

• Calcula desplazamientos angulares a partir de

distancias lineales y viceversa.

• Calcula velocidades angulares la relación

entre desplazamiento angular y el tiempo

transcurrido y también a partir de velocidades

lineales, y viceversa.

• Calcula la aceleración centrípeta a partir de la

velocidad angular o de la velocidad lineal.

• Aplica la segunda ley de Newton para el cálculo

de la fuerza centrípeta.

• Relaciona la velocidad angular con la frecuencia

y el periodo de objetos que presentan un

movimiento circular uniforme.

• Utiliza simuladores (TIC) para obtener datos

experimentales de las magnitudes angulares.


126 La Mecánica y el Entorno

Introducción

En general se podría decir que en el entorno existen tantos movimientos circulares

como rectilíneos, por ejemplo, las manecillas del reloj, las llantas de las bicicletas,

patines y automóviles; la mayoría de los juegos mecánicos, las herramientas

como el taladro, la pulidora, etc. Se podría decir que un objeto gira cuando el

eje de rotación está dentro del cuerpo, y que da vuelta cuando el eje está afuera

del cuerpo, como ejemplo tenemos que la Tierra gira sobre su eje, generando el

día y la noche, y que además da vueltas al Sol cada determinado tiempo, dando

lugar a las estaciones del año.

Cada partícula formadora de un cuerpo sólido que gira sobre su propio eje describe

trayectorias circulares en torno al centro de rotación. Por ejemplo, en la

Tierra, nosotros, pequeñas partículas que vivimos en el planeta, nos encontramos

circulando alrededor de su eje.

El movimiento circular es un movimiento en dos dimensiones que relacionaremos

con lo estudiado en otras etapas: el movimiento rectilíneo. En este sentido, a

partir TD&IS de coordenadas Training Distribution rectangulares, and se Integrated hará una correlación Servicescon

la terminología

de cantidades angulares del movimiento circular para el estudio de la rotación de

los cuerpos rígidos.


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 127

3.1. Desplazamiento lineal y angular

En el entorno no solo existen movimientos rectilíneos, sino que también se pueden

observar objetos que giran, rodean y rotan, como el ventilador de techo o la canasta

de la lavadora, los cuales describen movimientos circulares.

Consideremos una partícula que viaja por una trayectoria circular, como se muestra

en la figura 3.1. En un instante dado, la posición de la partícula (P) podría indicarse

con las coordenadas cartesianas x y y, lo que se enuncia como P(x,y), pero también

podría indicarse con las coordenadas polares r y y . La distancia r se extiende desde

el origen hasta el punto P (radio de un círculo), y el ángulo θ indica la amplitud entre

el eje x y la línea r, que comúnmente se mide en sentido antihorario a partir del eje x.

y

r

P

(x, y)

o

(r, θ)

θ

x

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Figura 3.1

Si utilizamos las ecuaciones trigonométricas para relacionar las coordenadas rectangulares

(x, y) y las coordenadas angulares o polares (r, θ), tendríamos…

x = r cosθ

y = r senθ

Si r es la misma para cualquier punto de un círculo dado, entonces, se dice que

r es constante y lo que cambia con el tiempo para un movimiento circular es θ, a

lo que podemos decir que el movimiento circular se puede describir con una sola

coordenada angular (θ) que cambia con el tiempo. Esta magnitud física se denomina

desplazamiento angular y se define como el ángulo descrito por un cuerpo que se

encuentra en movimiento circular.

De manera análoga al movimiento rectilíneo, se puede decir que el desplazamiento

angular de una partícula en una trayectoria circular es…

∆θ = θ – θ o


128 La Mecánica y el Entorno

Si en todos los casos se considera que θ o = 0° tendremos que ∆θ = θ. Una de las

unidades que se utiliza comúnmente para expresar el desplazamiento angular es el

grado sexagesimal (°); y es conocido que en un círculo completo existen 360°.

En términos de describir el movimiento circular tangencialmente,

se tiene que relacionar el desplazamiento

angular con la longitud del arco s, como se

muestra en la figura 3.2. La longitud del arco (s) es la

distancia recorrida a lo largo de una trayectoria circular;

nota que, si se suman todas las distancias s, se

obtendrá la circunferencia.

Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a introducir otra

Figura 3.2

unidad de medida de desplazamiento angular. Esta se

conoce con el nombre de radián. Un radián se define como un ángulo formado en el

centro de un círculo por un arco de circunferencia cuya longitud mide lo mismo que

el radio del círculo.

Un radián es una importante relación entre la longitud del arco circular, s, y el radio

del círculo, r. Vemos entonces que el ángulo en radianes es el cociente de dos longitudes:

Tanto la longitud del arco s como el radio de la circunferencia r son magnitudes de

longitud,

TD&IS Training

y cuando estas

Distribution

miden exactamente

and Integrated

lo mismo,

Services

entonces el ángulo que se

genera es de 1 radián.

¿Cuántas veces cabe un radián en una circunferencia completa y cuál es su equivalencia

en grados?

Para obtener una relación entre radianes y grados, se tendrá que considerar la distancia

total de un círculo en grados, es decir, θ = 360°. Asimismo, recordemos que el

perímetro de un círculo está dado por s = 2π r, dado que tenemos:

(1)

-1

1

-1

θ

s

1

Sustituimos en ambos lados de la ecuación θ y s:

Por lo que obtenemos:

Esta relación será útil para realizar fácilmente las conversiones entre ángulos y radianes.

Por lo que, al despejar 1 radián en grados, obtenemos:

1 radián = 57.3˚


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 129

Es importante hacer notar que en este tipo de operaciones

es necesario utilizar cuatro cifras significativas

para redondear al siguiente dígito de peso,

además de utilizar el valor completo de π en la calculadora.

Se puede ver en la tabla 3.1 las equivalencias

más comunes entre radianes y grados, expresadas

en términos de π para mayor facilidad e

identificación.

Otra forma de transformar de grados a radianes es…

Tabla 3.1 Medidas

equivalentes en grados y

radianes

Grados

Radianes

360° 2 π

270°

180° π

90°

60°

57.3° 1

45°

30°

EJEMPLO 3.1

Considera un sistema de riego circular que tiene una longitud máxima 200 m desde

el pivote central hasta el final del brazo (figura 3.3). Se le han colocado diversos

aspersores para el TD&IS riego del Training terreno, cada Distribution uno de ellos and instalado Integrated a 3.6 Services m uno del

otro hasta llegar a 54 m en el extremo desde del pivote central. Si solo se desea

irrigar un cuarto del total de la circunferencia del terreno, ¿qué distancia recorren

el primer y el último aspersor para ese tramo?

Solución

Consideremos que, de ¼ de circunferencia partiendo de una referencia (figura 3.4),

se puede determinar el ángulo del segmento que se regará, que es de 90°.

Datos:

r 1 = 3.6 m (primer aspersor)

Figura 3.3

r 14 = 54 m (último aspersor)

θ = 90° =

radianes

B

Incógnitas:

s 1 = ?

r

θ

A

s 14 = ?

Figura 3.4


130 La Mecánica y el Entorno

¿Qué vamos hacer? Calcular la longitud del arco (s) que recorre cada aspersor utilizando la distancia de

cada aspersor desde el pivote central hasta su ubicación sobre el brazo.

¿Cómo lo vamos hacer? Se tendrá que encontrar la distancia utilizando la ecuación 1 y los datos proporcionados.

Procedimiento:

Utilizamos la ecuación 1:

Despejando s, tenemos:

Sustituyendo para cada valor de r:

s = θ · r

Interpretación del resultado:

El primer aspersor riega la tierra recorriendo una distancia de 5.655 m, y el último aspersor, ubicado a

54 m del pivote central, recorre una distancia de 87.823 m, ambos desde su referencia hasta cubrir solo

¼ de la circunferencia del TD&IS terreno Training (figura 3.4); Distribution es decir, ambos and aspersores Integrated (y Services también los demás) tuvieron

exactamente el mismo desplazamiento angular, pero diferente desplazamiento lineal.

y

3.2. Velocidad lineal y angular

0

B ,t

f

r

θ f

θ i

A ,t i

x

Con anterioridad se ha descrito el concepto de velocidad relacionado con

el movimiento rectilíneo, el cual se define como la razón de cambio de

posición con el tiempo (v = Δx/Δt). De manera análoga, se puede decir

que, si una partícula o un objeto se desplaza en una trayectoria circular

∆θ (figura 3.5) en un intervalo de tiempo Δt, definirá la razón de rotación,

a lo que llamaremos velocidad angular y se utilizará la letra del

alfabeto griego omega (ω) para representarla:

(2)

En resumen, la velocidad angular es la magnitud de desplazamiento angular

divida entre el tiempo que se tardó en recorrer dicho ángulo. Las

unidades de la velocidad angular en el sistema internacional están dadas

en radianes por segundo, pero también se puede escribir s -1 , dado que el

radián es una unidad adimensional.


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 131

Recuerda que, en muchos casos, consideramos el desplazamiento

angular inicial como θ i = 0, así como también t i = 0, por lo que la

ecuación (2) se puede escribir simplemente como…

(x)

(x)

Como vemos, la velocidad angular y el desplazamiento angular están

relacionadas, sin embargo, la velocidad angular es considerada

una magnitud vectorial. Para determinar la dirección del vector velocidad

angular, se utiliza la regla de la mano derecha (figura 3.6),

donde se colocan los dedos de la mano derecha siguiendo el sentido

de giro, y el pulgar extendido apuntará hacia a donde se dirige

el vector velocidad angular. El movimiento circular solo tiene dos

sentidos: a favor o en contra de las manecillas del reloj.

(x)

(+)

(-)

(x)

(x)

(x)

a)

b)

EJEMPLO 3.2

Un automóvil se desplaza por una carretera en las

montañas que tiene diversas curvas debido a la topografía

del lugar, y una de esas curvas tiene un

ángulo de 180° (figura 3.7). El auto toma la curva;

luego, avanzó hasta terminarla en un tiempo de 5s.

¿Qué velocidad angular llevó al transitar la curva?

Solución

Primero, identificamos los datos que tenemos:

Datos:

θ f = 180°

θ i = 0°

∆t = 5s

Incógnita:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Figura 3.6. Regla de la mano derecha: al cerrar los dedos

de la mano derecha en la dirección del movimiento circular

que sigue el objeto, el pulgar apuntará en la dirección

del vector de la velocidad. Los signos positivos y negativos

del sentido o dirección se muestran en las figuras a) y b).

ω = ?

¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad angular que lleva el carro en su trayectoria de la curva.

¿Cómo lo vamos hacer? Se tendrán que realizar las conversiones para cada uno de los ángulos y, luego, se

sustituirán los datos en la ecuación 2.


132 La Mecánica y el Entorno

Procedimiento:

Se realizan las conversiones para cada uno de los ángulos:

θ f = 180° = π rad

θ i = 0° = rad

Utilizamos la ecuación 4:

Sustituimos los valores:

ω =

rad - 0 rad

5 s - 0 s

ω =

3.1416 rad

5 s

Interpretación del resultado:

El auto lleva una velocidad angular de 0.628 rad/s al transitar por la curva.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

3.3. Relación entre velocidad angular y velocidad tangencial

Dentro del movimiento circular, todas las partes que contiene el objeto se comportan

como un único punto (partícula única) que sigue la trayectoria de una circunferencia,

manteniendo una trayectoria perpendicular al radio de esta circunferencia, por lo que

la velocidad lineal también recibe el nombre de velocidad tangencial (figura 3.8).

Δs

v 1

v 2

r

Δθ

Figura 3.8


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 133

La velocidad tangencial está dada por la ecuación que ya conocemos:

Se despeja s de la ecuación 1 y nos queda:

s = r * θ

Por otro lado, despejando desde la fórmula de la velocidad angular, tenemos:

θ = ωt

Sustituyendo:

s = r * ωt

Trasponiendo t al miembro izquierdo de la igualdad, tenemos:

Por lo que podemos calcular la velocidad lineal o tangencial a partir de la velocidad

angular con la siguiente ecuación:

v = rω (3)

EJEMPLO 3.3

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Dos ciclistas recorren una pista circular y ambos dan una vuelta en el mismo tiempo (40 s); el ciclista A se

encuentra a 20 m del centro de la pista y el ciclista B se encuentra a 30 m del centro (figura 3.9). Calcula

lo siguiente:

a) El desplazamiento angular de ambos ciclistas expresado en radianes.

b) La distancia recorrida por cada uno de los ciclistas a lo largo de la trayectoria circular.

c) La velocidad angular de ambos ciclistas.

d) La velocidad tangencial de cada uno de ellos.

Solución

Identificar los datos que tenemos:

Ciclista A

Datos:

θ = 1 vuelta o revolución

∆t = 40 s

r A = 20 m

r B = 30 m

Ciclista B

Figura 3.9


134 La Mecánica y el Entorno

Incógnitas:

a) θ A = ?; θ B = ?

b) s A = ?; s B = ?

c) ω A = ?; ω B = ?

d) v A = ?; v B = ?

¿Qué vamos hacer? Primero se realizará una conversión de unidades para encontrar el desplazamiento

angular y con ese dato se podrá obtener la distancia recorrida para cada uno de los ciclistas. Utilizando la

ecuación 2, se calcula la velocidad angular que lleva cada ciclista; por último, con la ecuación 3 se obtendrá

la velocidad tangencial.

¿Cómo lo vamos hacer? Para encontrar el desplazamiento angular, lo único que haremos es una conversión

de unidades para convertir revoluciones a radianes, y, dado que ambos ciclistas recorren una sola vuelta a

la pista, entonces ambos tendrán el mismo desplazamiento angular.

Procedimiento:

a) Se realizarán las conversiones de revoluciones a radianes.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

θ A = 6.28 rad

θ B = 6.28 rad

b) Utilizamos la ecuación 1 para calcular la distancia recorrida por cada ciclista:

Se despeja y calcula s para cada ciclista:

s = θ · r

s A = (6.28 rad) (20 m)

s A = 125.66 m

s B = (6.28 rad) (30 m)

s B = 188.49 m

c) Para encontrar la velocidad angular, aplicamos la ecuación 2, recordando que ambos ciclistas recorren

el mismo desplazamiento angular:


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 135

d) Por último, aplicamos la ecuación 3 para obtener la velocidad tangencial:

v A = 3.14 m/s

Interpretación de los resultados:

v B = 4.71 m/s

a) Ambos ciclistas recorren una vuelta (1 revolución) a la pista circular, por lo tanto, ambos recorren el

mismo desplazamiento angular (2π = 6.28 rad).

b) En este caso, el desplazamiento lineal es diferente, ya que la distancia de cada ciclista hacia al centro

de la pista es diferente y, por lo tanto, el ciclista B recorre una distancia mayor (188.49 m) que el

ciclista A que se encuentra más cerca del centro (125.66 m).

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

c) Para la velocidad angular, encontramos que ambos ciclistas tienen exactamente la misma, pues ellos

recorren el mismo desplazamiento angular (6.28 rad = 1 rev) en el mismo tiempo (40 s).

d) En el caso de la velocidad tangencial, tenemos que también es diferente, ya que esta depende de la

distancia del ciclista al centro de la pista o centro de rotación, es decir, depende del radio de giro, el

cual, para el ciclista A, es de 20 m, y para el ciclista B es de 30 m, dando como resultado una mayor

velocidad angular para el ciclista B (4.71 m/s) que para el ciclista A (3.14 m/s).

Como conclusión, podemos decir que las magnitudes angulares no dependen del radio de giro, mientras que

las magnitudes lineales sí dependen de él, y mientras mayor sea este radio de giro, mayor será la magnitud

angular a que nos refiramos.

3.4. Frecuencia y periodo

Cuando existe un movimiento circular, también se hace referencia a dos conceptos

relacionados con este, que son frecuencia y periodo.

En general, se le llama frecuencia al número de ciclos por unidad de tiempo que

efectúa un cuerpo en movimiento vibratorio, ondulatorio, o bien, como en nuestro

caso, movimiento circular. La frecuencia se representa con la letra f.

Para el movimiento circular, la frecuencia se expresa en revoluciones o vueltas alrededor

del centro de rotación. Por su parte, las unidades de tiempo pueden ser horas,


136 La Mecánica y el Entorno

minutos, segundos o cualquier otra unidad de tiempo. Como ejemplos de frecuencias

podemos mencionar los siguientes:

• Frecuencia de rotación de la Tierra: 1 revolución/día

• Frecuencia de traslación de la Tierra: 1 revolución/año

• Frecuencia del minutero de un reloj analógico: 1 revolución/hora

• Frecuencia de un disco vinílico LP: 33 revoluciones/minuto

La frecuencia representa la cantidad de veces que se repite un evento por cada unidad

de tiempo transcurrido. Para el caso del movimiento circular, la frecuencia por

unidad de tiempo representa el número de vueltas o revoluciones que un objeto da

alrededor de un eje.

Podemos calcular la frecuencia mediante la siguiente expresión:

(4)

Veamos TD&IS el Training siguiente Distribution ejemplo: and Integrated Services

EJEMPLO 3.4

La rueda de una bicicleta gira 230 vueltas en 1.5 min (figura 3.10).

¿Cuál es la frecuencia de la rueda?

Solución

Inicialmente, identificamos los datos que tenemos.

Datos:

Núm. de revoluciones = 230 rev

t = 1.5 min

Incógnita:

Figura 3.10

f = ?

¿Qué vamos hacer? Calcular la frecuencia con la que se mueve la rueda de la bicicleta.

¿Cómo lo vamos hacer? Se realiza la sustitución de los datos y se hace la referencia a la cantidad de vueltas

que se dan por minuto.


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 137

Procedimiento:

Aplicamos la ecuación 4 sustituyendo los datos que tenemos:

f = 153.33 rev/min

f = 153.33 rpm

Interpretación del resultado:

Donde rpm significa “revoluciones por minuto”, es decir, representa el número de vueltas que la rueda da

alrededor de su eje cada minuto, o sea, 153.33 vueltas por cada minuto que transcurre.

Es importante mencionar que tanto las revoluciones como los ciclos no son unidades de medición, sino que

son términos descriptivos.

EJEMPLO 3.5

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Un disco vinílico se coloca en una tornamesa para escucharlo; el

disco efectúa 66 vueltas completas en 120 s. Determina la frecuencia

en a) rev/s, b) ciclos por segundo, c) 1/s (s -1 ) y d) Hertz.

Solución

Primero, identificamos los datos que tenemos.

Datos:

Núm. de revoluciones = 66 vueltas = 66 ciclos = 66 revoluciones

Figura 3.11

t = 120 s

Incógnita:

f = ? (en diferentes términos y unidades)

¿Qué vamos hacer? Calcular la frecuencia con el que se mueven el disco vinílico en sus diferentes términos.

¿Cómo lo vamos hacer? Se realiza la sustitución de los datos y se hace la referencia para cada término utilizando

la siguiente ecuación:


138 La Mecánica y el Entorno

Procedimiento:

Sustituimos los valores:

Frecuencia en rev/s:

Frecuencia en ciclos/s:

Frecuencia en 1/s:

Frecuencia en Hertz:

Interpretación del resultado:

La frecuencia se puede referenciar en diferentes formas, ya sea en términos descriptivos (revoluciones o ciclos)

o en unidades del sistema internacional (1/s o s -1 o Hertz). Estos discos vinílicos, que en su época fueron

muy populares, salieron a la venta con la característica de que giraban a 33 rpm (revoluciones por minuto).

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Definiremos ahora como periodo al tiempo que tarda un objeto en movimiento

circular en efectuar una revolución completa, se representa con la letra T.

Por ejemplo, se puede mencionar que la Tierra se encuentra rotando sobre su

propio eje y que lo hace en 24 horas, es decir, que tarda 24 horas en pasar nuevamente

por un punto de referencia (en Sol), por lo que su periodo es de 24 horas.

Además, de todos es conocido que la Tierra se tarda en promedio 365 días en

darle la vuelta el Sol, por lo que podemos decir que su periodo, en general, es de

un año en hacer un ciclo completo, una revolución completa.


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 139

Te sugerimos ingresar al link https://giphy.com/gifs/motion-jITxxiqdKCCbK para

observar el archivo animado de cómo un ciclo corresponde a una revolución completa,

es decir, 360° o, lo que es lo mismo, 2π (figura 3.12).

Figura 3.12

1 ciclo

2 ciclos

π

2

+

π




0 180 o

360 o 540 o 720 o

θº

π


-

1 T

2T


2

Tanto la frecuencia como el periodo son recíprocos uno del otro y se relacionan con

la siguiente fórmula:

La frecuencia también puede relacionarse con la velocidad tangencial. En el caso del

movimiento circular TD&IS uniforme, Training la velocidad Distribution tangencial se and puede Integrated escribir como… Services

(5)

Es decir, se trata de la distancia recorrida de 2π r (una revolución) alrededor de un

círculo de radio r, dividida entre el tiempo de un periodo (T). Recordando que en

términos de velocidad angular se tiene:

Sustituyendo:

Por lo que nos queda:

Sustituyendo la fórmula de frecuencia:

Por lo que nos queda:

ω = 2π f (6)

Estas fórmulas están describiendo la velocidad angular en términos de periodo y de frecuencia

respectivamente, recordando que las unidades de la velocidad angular son rad/s.


140 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 3.6

Si se tiene un CD-ROM que está girando a 2 500 rpm.

¿Cuál será su frecuencia y periodo? ¿Cuál será su velocidad angular?

Solución

Primero, identificamos los datos que tenemos. En este ejemplo ya nos dan el dato de frecuencia:

Datos:

f = 2500 rpm

Incógnitas:

f = ?

T = ?

ω = ?

¿Qué vamos hacer? Obtener la frecuencia y el periodo con el que gira el CD-ROM, así como calcular la

velocidad angular.

¿Cómo lo vamos resolver? Dado que ya contamos con la frecuencia, únicamente la convertimos a revoluciones

por segundo, y, posteriormente, calculamos el periodo.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Procedimiento:

Llevamos a cabo la conversión de unidades:

Despejando T y sustituyendo en la ecuación 5:


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 141

Se aplica ahora la ecuación 6 y se calcula la velocidad angular con la frecuencia en rps:

ω = (2π)(41.67

rev s )

Interpretación del resultado:

La velocidad angular del CD ROM es de 261.8 rad/s.

3.5. Fuerza y aceleración centrípeta

En la etapa 1 de este curso se analizó el movimiento en una dimensión y se definió

la aceleración como el cambio en la velocidad (o la rapidez) de un cuerpo respecto

al tiempo durante su movimiento, es decir, la razón de cambio de la velocidad. Por

su lado, en el movimiento circular uniforme la velocidad del objeto no cambia en

su magnitud, pues siempre es la misma, pero sí existe un cambio en la dirección del

movimiento, por lo que podemos decir que este tipo de movimiento es acelerado

(figuras 3.13 y 3.14). TD&IS Training Distribution and Integrated Services

ΔV

V 2

= V 1

+ΔV

V 2

V 3

V 1

V 1

V 2

ΔV

V 3 = V 2 +ΔV

La velocidad es diferente porque

cambia la dirección

V ₁≠

V ₂≠

V₃

Figura 3.13


142 La Mecánica y el Entorno

v

v

R

R

v

v

Δv

Figura 3.14

El movimiento circular, ya sea uniforme o no uniforme, se puede explicar desde el

punto de vista de la primera y segunda leyes de Newton.

La primera ley de Newton establece que el movimiento natural de un cuerpo debe

ser en línea recta y con velocidad constante, esto quiere decir que la velocidad no

debe cambiar de magnitud ni de dirección; sin embargo, en el movimiento circular,

el objeto que gira cambia se dirección constantemente, por lo que debe haber algo

que provoque ese cambio.

Por TD&IS otra parte, Training la segunda Distribution ley de Newton and Integrated establece que, Services cuando un cuerpo no está en

equilibrio, entonces está acelerado.

En una trayectoria circular, la aceleración apunta directamente hacia el centro del

círculo; a esta se le llama aceleración centrípeta, la cual se dirige radialmente hacia

el centro de rotación y es la que provoca

V el movimiento en una trayectoria circular

1

y no en forma recta.

r

Δθ Δs

V

2

La magnitud de la aceleración centrípeta

puede deducirse de los pequeños triángulos

sombreados de la figura 3.15 si se

tiene en cuenta que el intervalo de tiempo

para la distancia recorrida es muy pequeño

(casi tendiendo a cero), por lo que…

Si tenemos que…


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 143

Sustituyendo:

Reacomodando los términos:

Obtenemos la aceleración centrípeta en términos de velocidad tangencial, que es…

(7)

Si queremos la aceleración centrípeta en términos de velocidad angular, se utiliza la

ecuación 3 para sustituir la velocidad tangencial:

(3)

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

(8)


144 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 3.7

Si se tiene en cuenta un CD que gira a 500 rpm y que su diámetro es de 12 cm, encuentra la aceleración

centrípeta y la velocidad tangencial. Si se desplaza una partícula en el extremo durante 3 s, encuentra la

distancia recorrida.

Solución

Identificamos los datos que tenemos.

Datos:

f = 500 rpm

d = 12 cm, por lo tanto, r = 6 cm

t = 3 s

Incógnitas:

a c = ?

v = ?

s = ?, para t = 3 s

¿Qué vamos hacer? Encontrar la aceleración centrípeta utilizando las ecuaciones para el movimiento circular

uniforme y la velocidad. TD&IS Si pasan Training 3 s con Distribution esa velocidad, and se podrá Integrated encontrar Services la distancia que recorre una

partícula ubicada al extremo del centro del CD.

¿Cómo lo vamos hacer? Calculando la velocidad angular del CD a partir de la frecuencia, pasando a SI la

distancia del radio del CD y encontrando la aceleración con la que gira el CD. Posteriormente, encontrando

la velocidad y utilizando este dado para hallar el desplazamiento a los 3 s.

Procedimiento:

Se convierte la frecuencia a revoluciones por segundo:

Se calcula la velocidad angular:


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 145

Se aplica la ecuación 8 para calcular la aceleración centrípeta:

Para encontrar de velocidad tangencial, se utiliza la ecuación 5:

Se sustituyen los datos:

v = rw

Recordando la ecuación:

Se despeja la distancia s:

Se sustituyen los datos:

s = 9.425 m

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Interpretación del resultado:

La aceleración centrípeta del CD es de 164.49 m/s 2 y la partícula ubicada a 6 cm del centro del CD recorre

9.425 m a lo largo de una trayectoria circular con una velocidad lineal de 3.142 m/s.

Todos los objetos que giran en una trayectoria curva tienen un movimiento acelerado,

es decir, presentan aceleración, que, como ya vimos, se llama aceleración

centrípeta. Este movimiento acelerado requiere, por lo tanto, una fuerza dirigida

hacia el centro de rotación. A dicha fuerza se le llama fuerza centrípeta, que significa

“buscando el centro”; de esta manera, tenemos que la fuerza centrípeta siempre es

perpendicular a la dirección del movimiento. ¿Cómo se obtiene?

Por la segunda ley del movimiento de Newton tenemos que…

F c = ma c

Sustituyendo la ecuación de aceleración centrípeta en función de la velocidad tangencial,

tenemos que…

(9)

O, por otro lado, podemos utilizar la ecuación de la aceleración centrípeta en función

de la velocidad angular; en dicho caso, tenemos que…

(10)


146 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 3.8

Una persona gira una piedra de 350 g con una cuerda de 60 cm de longitud atada a ella con una frecuencia

de 50 rpm (figura 3.16). Determina la fuerza centrípeta que se ejerce sobre la piedra.

Solución

Primero, identificamos los datos que tenemos.

Datos:

m = 350 gr = 0.35 kg

r = 60 cm = 0.6 m

n = 50 rpm

Incógnita:

F C = ?

Fuerza centrípeta (Fc)

¿Qué vamos hacer? Encontrar la fuerza centrípeta utilizando las ecuaciones para el movimiento circular

uniforme.

¿Cómo lo vamos hacer? Convirtiendo la velocidad en radianes por segundo y, posteriormente, encontrando

la aceleración para obtener la fuerza centrípeta.

Procedimiento:

Calculemos primero la velocidad

TD&IS

angular

Training

de

Distribution

la piedra:

and Integrated Services

Calculemos ahora la aceleración centrípeta utilizando la ecuación 9:

Calculemos ahora la fuerza centrípeta:

a c = (5.23 rad/s) 2 (0.6 m)

a c = 16.45 m/s 2

Interpretación del resultado:

La persona ejerce una fuerza de 5.76 N para que la piedra gire a 50 rpm con una aceleración de 16.45 m/s 2 .


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 147

Ahora, en el siguiente ejemplo, podemos calcular todo lo que hemos visto:

EJEMPLO 3.9

La Tierra, con una masa de 6×1024 kg y un radio aproximado de 6 375 km, gira sobre su propio eje

(rotación) (figura 3.17). Determina el periodo, frecuencia, velocidad angular, velocidad tangencial, aceleración

y fuerza centrípeta.

Solución

Identificamos los datos que tenemos.

Datos:

m = 6×10 24 Kg

r = 6 375 km

Incógnitas:

T = ?

f = ?

ω = ?

v = ?

a c =?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

F c = ?

¿Qué vamos hacer? Pensar en una estrategia para ir poco a poco encontrando los valores para cada incógnita

utilizando las ecuaciones del movimiento circular.

¿Cómo lo vamos hacer? Partiremos con datos generales que todos conocemos, como el tiempo que tarda la

Tierra en girar en su propio eje, que es de 24 horas. Este dato lo convertiremos en segundos y utilizaremos

fórmulas del tema para encontrar la frecuencia. Con el dato del radio de la Tierra, encontraremos la velocidad

angular. Para conocer la velocidad tangencial, utilizaremos los datos del periodo y el radio de la Tierra.

Posteriormente, se encontrará la aceleración para así obtener el dato de la fuerza centrípeta.

Procedimiento:

Recordemos que la Tierra se tarda en girar en su propio eje 24 horas, por lo que es necesario convertirlo en

segundos para determinar el periodo de rotación:


148 La Mecánica y el Entorno

De la siguiente manera, este dato se transforma en frecuencia de rotación:

f = 1.15 × 10 -5 Hz

Podemos utilizar la ecuación 7 con la frecuencia, o bien, se puede usar el dato del periodo para encontrar

la velocidad angular:

ω = 2πf ω = 2π (1.15 × 10 -5 )

ω = 7.27 × 10 -5 rad/s

Se puede observar que, con ambas ecuaciones, se llega al mismo resultado.

Calculemos ahora la velocidad tangencial de un punto en el ecuador:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Podemos encontrar la aceleración centrípeta:

Ahora, para la fuerza centrípeta, tenemos:

a c = 0.0299 m/s 2

F c = 2.02 ×10 23 N


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 149

Interpretación del resultado:

La fuerza centrípeta que se ejerce de la Tierra hacia el centro de su eje de rotación es de 2.02 × 10 23 N cada

día con una frecuencia de rotación de 1.15 × 10 -5 Hz y con una aceleración angular de 0.0299 m/s 2 .

Para concluir este tema, recordemos que la fuerza centrípeta es la que provoca que un cuerpo que gira en

torno a un eje de rotación no siga una trayectoria recta. Esta puede ser la tensión de una cuerda, la fricción

entre las llantas de un automóvil y el pavimento, la gravedad, etc. Pero, ¿cómo aplica la tercera ley de

Newton en el movimiento circular? Esta ley establece que “para toda fuerza de acción hay una fuerza de

reacción igual y opuesta”. A la reacción de la fuerza centrípeta se le conoce como fuerza centrífuga y está

dirigida en dirección contraria, es decir, hacia afuera del centro de rotación. En realidad, la fuerza centrífuga

es una fuerza aparente, a veces llamada pseudo fuerza, ya que su efecto “centrífugo” se debe a la inercia del

movimiento del cuerpo, pues no debemos olvidar que la primera ley de Newton establece que el movimiento

de un cuerpo debe ser rectilíneo y uniforme.

■ Actividad 1 Movimiento circular uniforme

Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las ecuaciones del movimiento circular uniforme.

Ejercicio 1

Procedimiento

Se hace girar un trompo que tiene un diámetro en lo más ancho

(6 cm) durante 4 s; este lleva una rapidez constante de 1.96 m/s.

Encuentra la aceleración centrípeta y la distancia recorrida.

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Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


150 La Mecánica y el Entorno

Ejercicio 2

El “brinca-brinca” es un juguete que consiste en una pelota unida a

una cuerda y a su otro extremo con un círculo que se introduce en

el pie; al empezar a girar, la pelota describe un círculo. Teniendo

en cuenta que el largo de la cuerda mide 1.2 m y lleva una rapidez

constante de 5.3 m/s, determina la aceleración centrípeta, la

velocidad angular, el periodo y la frecuencia de la pelota.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

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Ejercicio 3

Una revolvedora es una máquina que tiene las siguientes

medidas: diámetro de la olla, 87 cm; diámetro de la boca, 52 cm.

Si su velocidad es de 37 rpm, encuentra la aceleración centrípeta,

la velocidad tangencial y la distancia recorrida de una partícula

pegada a la pared de la olla a 5 min de que esté funcionando.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 151

Ejercicio 4

Mercurio, con una masa de 3.285 × 1023 kg, gira alrededor del

Sol (centro a centro) con un radio aproximado de 57.91 × 106

km. Si tarda 88 días terrestres en hacer el giro. Determinar el

periodo, frecuencia, velocidad angular, velocidad tangencial,

aceleración y fuerza centrípeta.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Ejercicio 5

La Estación Espacial Internacional (ISS, por sus siglas en

inglés) es una plataforma de 420 ton, en la que se lleva a cabo

investigación multidisciplinaria. Se encuentra ubicada a unos

408 km de la superficie de la Tierra y en un día realiza 16 vueltas

completas con una velocidad promedio de 7.67 km/s.

Determina el periodo, frecuencia, velocidad angular, aceleración

y fuerza centrípeta.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


152 La Mecánica y el Entorno

Preguntas conceptuales del mcu

1. ¿A qué se le llama movimiento circular uniforme?

2. ¿De qué manera se representa el movimiento circular en la vida cotidiana?

3. ¿Cuántos tipos de movimiento circular existen? Descríbelos.

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4. Describe la diferencia entre velocidad angular y velocidad lineal.

5. ¿Cuántas clases de velocidades hay en el movimiento circular uniforme? ¿Cuáles son sus magnitudes?

6. ¿Cuál es la causa por la cual una piedra que hacemos girar mediante una cuerda sale tangencialmente y

no radialmente al soltarse la cuerda?


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 153

7. Dos ciclistas recorren una pista circular en la posición mostrada en la figura figura

3.18. ¿Cuál de ellos tendrá la mayor velocidad angular? ¿Cuál tendrá la mayor

aceleración centrípeta? Justifica tu respuesta.

8. Una mosca está parada en un disco que gira junto con ella (figura 3.19). Los vectores

V 1 y V 2 representan dos magnitudes de este tipo de movimiento. Describe cada

uno de ellos y justifica tu respuesta.

V 1

V 2

Fuerza centrípeta (Fc)

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9. Una persona gira en movimiento circular una piedra atada a una cuerda, como

se muestra en la ella figura 3.20. Si la cuerda llegara a reventarse. ¿Qué fuerza hará

que la piedra salga en línea recta: la fuerza centrípeta, la fuerza centrífuga o ninguna

de ellas? Justifica tu respuesta.

B

10. Dos corredores, A y B, recorren una pista circular en la posición que se muestra

en la figura 3.21. El corredor A lleva una velocidad angular de 0.03 rad/s y el corredor

B, una velocidad angular de 0.02 rad/s. ¿Cuál de ellos tiene un mayor periodo?

Según su posición relativa respecto al centro de la pista, ¿cuál llevaría la mayor

velocidad tangencial? Justifica tus respuestas.

A


154 La Mecánica y el Entorno

Preguntas de opción múltiple

1. En el movimiento circular uniforme…

a) los vectores posición, velocidad y aceleración cambian con el tiempo.

b) el vector velocidad es constante y la posición es variable.

c) el vector velocidad y la aceleración son constantes y la posición es variable.

d) los vectores posición, velocidad y aceleración son constantes.

2. El tiempo que demora un objeto en completar una vuelta en un movimiento circular se llama…

a) periodo.

b) frecuencia.

c) frecuencia angular.

d) velocidad lineal.

3. Para un movimiento circular uniforme, el objeto debe experimentar una aceleración dirigida. ¿Cuál es?

a) Radial hacia adentro

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b) Radial hacia afuera

c) Tangencial a la trayectoria

d) Perpendicular al radio de la curva

4. El peralte de las carreteras ayuda a disminuir…

a) la velocidad de los autos.

b) el esfuerzo de las llantas.

c) la aceleración.

d) el peso del auto.

5. Un juego mecánico de la feria consta de una plataforma giratoria de 8 m de diámetro y gira con un

periodo de 2 s. La velocidad de una persona que se encuentra a 3 m del centro es…

a) 1.5 m/s

b) 9.42 m/s

c) 4.0 m/s

d) 37.7 m/s


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 155

6. Respecto a la pregunta anterior:

a) todas las personas a bordo tienen la misma velocidad angular, aunque se encuentren a diferentes

distancias del centro.

b) entre más cerca del centro esté la persona, menos demora en dar una vuelta.

c) entre más cerca esté del centro, mayor velocidad tendrá.

d) entre más lejos esté del centro, más demorará en dar una vuelta.

7. Si la velocidad de un auto es 20 m/s, la frecuencia de sus ruedas de 50 cm es…

a) 10 Hz

b) 6.34 Hz

c) 0.002 Hz

d) 0.4 Hz

8. Imagina que haces girar tu brazo extendido. ¿Qué parte tendrá mayor velocidad angular: el codo o la

mano?

a) El codo

b) La mano

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c) Las dos por igual

d) Ninguna de las anteriores

9. ¿Cómo dibujarías el vector velocidad en un movimiento circular uniforme?

a) Apuntando hacia el centro de la curvatura

b) Hacia afuera

c) El vector forma un ángulo de 90° con el radio de giro en el punto de la trayectoria

d) No se puede dibujar

10. ¿Por qué existe aceleración en un movimiento circular uniforme?

a) Porque cambia la dirección y el sentido del vector velocidad, aunque no cambie el módulo.

b) Porque cambia la dirección del vector velocidad, aunque no cambie el sentido ni el módulo.

c) Porque cambia el sentido del vector velocidad, aunque no cambie el módulo ni la dirección.

d) Ninguna es cierta.


156 La Mecánica y el Entorno

Problemas de movimiento circular

1. Un cuerpo en rotación tiene una frecuencia de 50 rev/min.

a) ¿Cuál es su velocidad angular en rad/s?

b) ¿Cuál es su desplazamiento angular en radianes al transcurrir 2.5 s?

2. Una rueda de alfarero gira con una frecuencia de 0.35 rev/s. Determina su velocidad angular en radianes

por segundo.

3. Una bicicleta con ruedas de 66 cm de diámetro viaja a una velocidad de 16 m/s. ¿Cuál es la velocidad

angular de las ruedas de esta bicicleta?

4. Las hélices de un helicóptero giran a 120 rpm,

a) ¿cuál es su velocidad angular en radianes por segundo?

b) Si el diámetro de la hélice es de 5 m, ¿cuál es la velocidad tangencial en el extremo de la misma?

5. ¿Cuál es la velocidad tangencial de un disco LP en su perímetro? El diámetro del disco es de 12 pulgadas

y su frecuencia es de 33.3 rpm.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

6. Una partícula que gira por una trayectoria circular da 18 vueltas en 4 s. Determina…

a) la velocidad angular.

b) el desplazamiento angular en 1.5 s.

c) el tiempo necesario para girar un ángulo de 900°.

7. Marte, con una masa de 6.42 × 10 21 kg, tiene un radio promedio de 3 370 km y tarda 1.0257 días terrestres

en girar sobre su eje. Determina…

a) el periodo de rotación.

b) la frecuencia de rotación.

c) la velocidad angular.

d) su velocidad tangencial en la superficie en m/s y km/h.

e) la aceleración centrípeta.

f) la fuerza centrípeta.


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 157

8. La Luna, con una masa de 7.36 × 10 22 kg, órbita alrededor de nuestro planeta a una distancia promedio

de 3.84 × 10 8 m y tarda 27.32 días terrestres en orbitar alrededor de la Tierra. Determina…

a) el periodo de traslación.

b) la frecuencia de traslación.

c) la velocidad angular alrededor de la Tierra.

d) la velocidad tangencial alrededor de la Tierra en m/s y km/h.

e) la aceleración centrípeta.

f) la fuerza centrípeta.

9. Un volante de 30 cm de radio posee una velocidad tangencial de 17.5 m/s. Encuentra…

a) ¿cuál es su velocidad angular?

b) ¿cuál es su frecuencia en rpm?

10. Un automóvil de 750 kg toma una curva de 45 m de radio a una velocidad de 90 km/h. Calcula la fuerza

centrípeta.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

11. La fuerza centrípeta de un automóvil es de 20000 N al tomar una curva de 30 m de radio con una velocidad

de 80 km/h. ¿Cuál es la masa del automóvil?

12. Un cuerpo de 450 g se encuentra rotando en un plano horizontal a la velocidad de 6 m/s. Si el radio de

giro es de 60 cm, calcula…

a) el periodo.

b) la aceleración centrípeta.

c) la fuerza centrípeta.


ETAPA

4

DINÁMICA:

APLICACIONES

DE LAS LEYES DE NEWTON

TD&IS Training Distribution and Integrated Services


CONTENIDO CONCEPTUAL:

Leyes de Newton

• Conceptos de fuerza, inercia, masa, peso,

aceleración, fuerza normal y fuerza de fricción

• Sumatorias de fuerzas en los ejes del sistema de

coordenadas

• Diagrama de cuerpo libre

CONTENIDO

PROCEDIMENTAL:

• Aplica las leyes de Newton para la explicación

científica de diversas situaciones hipotéticas o

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

reales.

• Utiliza el diagrama de cuerpo libre (cuando lo

requiera) para el análisis de las fuerzas.

• Encuentra la magnitud y dirección de la fuerza

resultante realizando los cálculos matemáticos

correspondientes.

• Concluye con una interpretación del

resultado en cada uno de los diversos tipos de

situaciones, como es en el plano horizontal y

plano inclinado.


160 La Mecánica y el Entorno

Introducción

En esta última etapa del curso, nos vamos a centrar en el estudio de la Dinámica,

que, como ya se definió anteriormente, trata del estudio de las causas del

movimiento y sus cambios. En esta parte es en donde vamos a aplicar con mayor

énfasis las leyes de Newton que hemos estado abordando desde el curso de La

Ciencia del Movimiento. Todos los conceptos y toda la infraestructura teórica que

has adquirido, se tendrá que poner en práctica para afrontar esta última parte

del curso, ya que es importante que tengas en mente los significados de masa,

aceleración, inercia, peso, fuerza, equilibrio, no equilibrio, diagrama de cuerpo

libre, movimiento uniforme, etcétera.

4.1. Aplicaciones de las leyes de Newton

Objetivos:

• Comprender las leyes de Newton para su aplicación en situaciones problemáticas

relacionadas con los conceptos del movimiento, empleando suma de vectores.

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• Comprender cómo se manejan los vectores en la resolución de los sistemas de

fuerzas.

• Elaborar los diagramas de cuerpo libre necesarios para la resolución de problemas.

4.1.1. Movimiento sobre un plano sin fricción

y

x

a)

b)

F N

w

F

En la parte final de la Etapa 1, vimos cómo se relacionan

las leyes de Newton, en especial la segunda

ley con la cinemática. Asimismo, analizamos casos

de movimiento en donde se consideraba solamente

una fuerza actuando sobre un cuerpo; sin embargo,

es común que sobre un cuerpo actúen varias fuerzas

simultáneamente, las cuales es necesario tener

en cuenta para realizar un análisis más acertado y

más cercano a la realidad. Para solucionar este tipo

de problemas, siempre es conveniente tener ciertas

consideraciones. También, es útil elaborar un diagrama

de cuerpo libre, que consiste en la representación

gráfica, en un sistema de coordenadas, de todas las

fuerzas que actúan sobre el objeto (figura 4.1). Este

diagrama es fundamental para realizar el análisis de

fuerzas y determinar si el cuerpo que analizamos está


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 161

en equilibrio; asimismo, nos permite conectar, de una manera sistemática y estructurada,

nuestra percepción de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo con las expresiones

algebraicas y/o vectoriales utilizadas para los cálculos de las mismas (no olvides

que las fuerzas tienen carácter vectorial y que requieren de un tratamiento algebraico

especial).

Enseguida describiremos un procedimiento general para el análisis vectorial de las

fuerzas y la resolución de problemas.

1. Identificar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y determinar si el movimiento

es sobre el plano horizontal (eje x) o sobre el plano vertical (eje y).

2. Dibujar el diagrama del cuerpo libre con las fuerzas identificadas en el paso

anterior.

3. Si existen fuerzas en alguno de los cuadrantes, se descomponen en sus componentes

rectangulares (F x y F y ).

4. Una vez elaborado el DCL (diagrama del cuerpo libre), se establecen las sumatorias

de fuerzas en cada uno de los ejes, es decir:

∑F x = F 1x + F 2x +… + F nx

∑F y = F 1y + F 2y +… + F ny

5. Podemos encontrar TD&IS la fuerza Training resultante Distribution de un conjunto and de Integrated fuerzas aplicadas Services a un

objeto mediante dos fórmulas:

• Utilizando la segunda ley de Newton:

• Utilizando el método de las componentes:

F R

= (ΣF x

) 2 + (ΣF y

) 2

Ambas fórmulas se refieren a la misma fuerza resultante, por lo cual estas expresiones

se pueden igualar:

F R

= (ΣF x

) 2 + (ΣF y

) 2 = ma

6. Se sustituyen las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y del paso 4 en la expresión

anterior, y se resuelve para la incógnita que se desea calcular. En este

punto, debemos tener claro en cuál de los ejes se verifica el movimiento del

cuerpo, ya que este método permite que una de las dos sumatorias de fuerzas

se elimine de la fórmula, puesto que, en ese eje, el sistema está en equilibro,

y dicha sumatoria es igual a cero. Veamos la aplicación de este procedimiento

con los siguientes ejemplos.


162 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 4.1

Una fuerza de 60 N, que forma un ángulo de 45° con la horizontal, se aplica sobre un cuerpo cuya masa es

de 9 kg, el cual está colocado sobre una superficie horizontal. Despreciando la fuerza de fricción, calcula

la aceleración producida y la magnitud de la fuerza normal (figura 4.2).

F

45º

Antes de realizar cualquier cálculo o escribir alguna fórmula para resolver el problema, debemos pensar

en la física de esta situación:

¿En cuál de los dos ejes se mueve el cuerpo? En este caso, el cuerpo se mueve sobre el eje x, por lo tanto,

en el eje y el sistema está en equilibrio:

TD&IS Training Distribution (∑Fy = 0) and Integrated Services

¿El cuerpo se mueve con velocidad constante o está acelerado? El ejemplo no especifica que el objeto se

mueve a velocidad constante, por lo que hay que calcular la aceleración.

Teniendo claro esto, ahora sí procedemos a resolver el problema.

Solución

¿Qué queremos hacer? Encontrar…

Figura 4.2

a) la aceleración producida (a).

b) la magnitud de la fuerza normal (F N ).

¿Cómo lo vamos a hacer? Primeramente, identificamos los datos que tenemos y las incógnitas que vamos

a calcular:

Datos:

F = 60 N (fuerza aplicada)

θ = 45 ˚(ángulo que existe entre el vector Fuerza y el vector Desplazamiento)

m = 9 kg (masa)


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 163

Incógnitas:

a = ?

F N = ?

Procedimiento:

1. A partir de la figura 4.2, elaboramos el diagrama de cuerpo libre del sistema, que quedó como se muestra

en la figura 4.3.

F N

F

y

F N

45º

Fy

0

θ

Fx

x

w

a)

w

b)

Figura 4.3

2. Partiendo del diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 4.3b, calculemos las componentes x y y

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

de la fuerza aplicada, utilizando las fórmulas Fx = F cosθ y Fy = F senθ, tenemos:

F x = F cosθ = 60 N cos 45° = 42.42 N

F y = F senθ = 60 N sen 45° = 42.42 N

3. Teniendo como positiva la dirección a favor del movimiento, establecemos las sumatorias de fuerzas en

los ejes x y y como sigue:

∑F x = F x

∑F y = F N + F y - w

Dado que en el eje y de este problema no hay movimiento, entonces, en ese eje el sistema está en equilibrio,

por lo tanto, la sumatoria de fuerzas en y es igual a cero.

4. La fuerza resultante se obtiene con la siguiente expresión:

F R

= (ΣF x

) 2 + (ΣF y

) 2

y como la sumatoria de fuerzas en y es igual a cero, entonces esta expresión se simplifica:

F R

= (ΣF x

) 2


164 La Mecánica y el Entorno

Pero, además, la fuerza resultante, de acuerdo con la segunda ley de Newton, es…

Igualamos las expresiones, dado que es la misma fuerza resultante:

(ΣF x

) 2 = ma

Esta última expresión se simplifica eliminando el radical y el exponente cuadrático, ya que se anulan

entre sí, y nos queda lo siguiente:

ΣF x

= ma

Dado que la sumatoria de fuerzas en x es igual a la componente x de la fuerza aplicada, tenemos:

F x

= ma

Se despeja la aceleración de esta última expresión y, como la única componente de la sumatoria en el eje

x es Fx, queda:

a = F x

m

Se sustituyen los datos para calcular la aceleración

42.42 N

TD&IS Training

a =

Distribution 9 kg

= 47

and

m/s 2

Integrated Services

5. Vamos a calcular ahora la fuerza normal, tomando como base la sumatoria de fuerzas en el eje y:

ΣF y

= F N

+ F y

- w

Como mencionamos, en el eje y el sistema está en equilibrio, por lo tanto:

En esta expresión se despeja F N :

y procedemos a calcular F N :

Interpretación del resultado:

ΣF y

= 0

F N

+ F y

- w = 0

F N

= w - F y

F N

= (9 kg)(9.8 m/s 2 ) -42.42 N

F N = 45.78 N

La aceleración producida es de 4.7m/s 2 debido a la aplicación de la fuerza de 60 N, produciendo una fuerza

normal al plano de 45.78 N.


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 165

EJEMPLO 4.2

En la figura 4.4, un objeto con una masa de 12 kg desciende deslizándose por un plano inclinado 30° con

la horizontal. ¿Cuál es la aceleración del objeto y la fuerza normal al plano si no existe fricción alguna?

Solución

¿Cómo lo vamos a hacer? Una vez más, identificamos los datos proporcionados y las incógnitas que se van

a calcular.

Datos:

m =12 kg

θ = 30°

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Incógnitas:

a = ?

F N = ?

Procedimiento:

1. Partiendo de la figura 4.5, y considerando que se trata de un plano inclinado, se efectúa una rotación de ejes y

elaboramos el diagrama de cuerpo libre del sistema, quedando como se muestra en la figura 4.5b.

F N

y

y

F N

w

x

θ

w y

0

θ

w

w x

x

a) b)


166 La Mecánica y el Entorno

Podemos encontrar las componentes del peso con las siguientes fórmulas para el plano inclinado

(considerando θ como el ángulo del plano).

w x = w senθ

w y = w cosθ

w = mg = 12 kg (9.8 m/s 2 ) = 117.6 N

w x = w senθ = 117.6 N sen(30°) = 58.8 N

w y = w cosθ = 117.6 N cos(30°) = 101.8 N

2. Ahora, se establece las sumatoria de fuerzas en los ejes x y y:

ΣF x

= w x

ΣF y

= F N

- w y

F R

= (ΣF x

) 2 + (ΣF y

) 2

Debido a que la sumatoria de fuerzas en y es igual a cero, entonces esta expresión se simplifica:

TD&IS Training Distribution F R

= (ΣFand x

) 2

Integrated Services

Pero, además, la fuerza resultante, de acuerdo con la segunda ley de Newton es…

F R

= ma

Igualamos las expresiones, dado que es la misma fuerza resultante:

(ΣF x

) 2 = ma

Esta última expresión se simplifica eliminando el radical y el exponente cuadrático, ya que se anulan

entre sí, y nos queda lo siguiente:

ΣF x

= ma

Dado que la sumatoria de fuerzas en x es igual a la componente x del peso del cuerpo, tenemos:

Despejando la aceleración y sustituyendo:

Obtenemos una aceleración de…


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 167

3. La suma de las fuerzas en el eje y es igual a cero, entonces:

ΣF y

= 0

A partir del diagrama de cuerpo libre, tenemos que las fuerzas que están sobre el eje y son la

fuerza normal F N y la componente vertical w y . Al realizar la suma de estas fuerzas, nos da la

ecuación siguiente:

Despejando la fuerza normal:

Por lo tanto,

F N

= 101.8 N

4. Los resultados del problema son…

Interpretación del resultado:

La aceleración producida cuando el cuerpo se desliza en el plano inclinado es de 4.9 m/s 2 y la

fuerza normal al plano es de 101.8 N.

EJEMPLO 4.3

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Se desea subir un cuerpo de 8 kg a través de un plano inclinado de 30° (figura 4.6).

a) ¿Cuál es la fuerza necesaria para subir el cuerpo con velocidad constante?

b) ¿Cuál es el valor de la fuerza normal?

F

Solución

De la misma forma que los ejemplos anteriores, identificamos los datos que nos dan y las incógnitas que

se van a calcular.

Datos:

m = 8 kg

θ = 30°

a = 0 (debido a que la velocidad es constante)


168 La Mecánica y el Entorno

Incógnitas:

F = ?

F N = ?

Procedimiento:

1. De igual forma que en el ejemplo anterior, observamos que se trata de un cuerpo sobre un plano inclinado y

procedemos a elaborar el diagrama de cuerpo libre del sistema, tal como se muestra en la figura 4.7.

y

F N

F N

F

w x

F

0

x

θ

θ

θ

w

w

w y

a) b)

2. Encontremos las componentes del peso con las siguientes fórmulas:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

3. Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y:

ΣF x

= F - w x

ΣF y

= F N

- w y

F R

= (ΣF x

) 2 + (ΣF y

) 2

En este ejemplo, es muy importante observar que el movimiento del cuerpo tiene velocidad constante, por

lo tanto, el cuerpo se encuentra en equilibrio:

Entonces, la sumatoria de fuerzas en x es…


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 169

Se despeja la fuerza F y queda:

4. La suma de las fuerzas en el eje y también es igual a cero, entonces:

ΣF y

= 0

F N

- w y

= 0

Despejando la fuerza normal:

F N

= w y

Por lo tanto,

F N

= 67.9 N

El resultado del problema es …

F = 39.2 N y F N

= 67.9 N

Interpretación del resultado:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

La fuerza necesaria para subir el cuerpo con velocidad constante es de 39.2 N y la fuerza normal es de 67.9 N.


170 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 4.4

Un elevador y su carga pesan 5200 N, como se muestra en la figura 4.8. Calcula la tensión en el cable si el

elevador se mueve hacia arriba con una aceleración de 1.5 m/s 2 y hacia abajo con una aceleración de 1.5 m/s 2 .

Solución

T

Ahora nos encontramos ante un caso de movimiento sobre el plano vertical (eje y),

sin embargo, el procedimiento es similar a los anteriores. Identificamos los datos y

las incógnitas que se van a calcular:

Motor

Datos:

w= 5200 N

a = 1.5 m/s 2

Incógnita:

a) T = ?

Procedimiento:

Figura 4.9

w

1. Elaboramos el diagrama del cuerpo libre para esta situación (figura 4.9) (observa que en este ejemplo no

existe movimiento horizontal ni ninguna fuerza que actúe sobre el eje x):

y

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

2. Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y:

ΣF x

= 0

ΣF y

= T - w

Del teorema de Pitágoras obtenemos F R :

T

w

a

x

Como la sumatoria de fuerzas en x es igual a cero, entonces, se simplifica la expresión:

F R

= (ΣF y

) 2

Además, la fuerza resultante, de acuerdo con la segunda ley de Newton es…

F R

= ma

Igualamos las expresiones, dado que es la misma fuerza resultante:


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 171

Esta última expresión se simplifica eliminando el radical y el exponente cuadrático, ya que se anulan entre

sí; tras lo que nos queda lo siguiente:

Sustituimos la sumatoria de fuerzas en y y nos queda:

T - w = ma

Al despejar T de la expresión anterior, nos queda:

T = ma + w

El peso es un dato conocido, pero, además, necesitamos la masa del elevador; entonces, procedemos a calcular

la masa a partir de la fórmula del peso de un cuerpo.

Despejemos m de la fórmula:

Sustituimos valores TD&IS y realizamos Training operaciones: Distribution and Integrated Services

Ahora, calculemos la tensión del cable sustituyendo los datos al subir el elevador:

T = (530.6 N) (1.5 m/s 2 ) + 5 200 N

T = 5 995.9 N

Ahora, cuando el elevador se mueve hacia abajo, la aceleración se considera negativa (a = -1.5 m/s 2 ), entonces:

T = (530.6 N) (-1.5 m/s 2 ) + 5 200 N

T= 4 404.1 N

Interpretación del resultado:

La tensión que soporta el cable al subir el elevador es de T = 5995.9 N, y la tensión que soporta el cable al

bajar es de T= 4 404.1 N.


172 La Mecánica y el Entorno

■ Actividad 1. Aplicaciones de las leyes de Newton

Resuelve los siguientes problemas utilizando las leyes de Newton.

Problema

1. Una fuerza de 80 N que forma un ángulo de 50° con la

horizontal se aplica sobre un cuerpo de 15 kg de masa colocado

sobre una superficie horizontal. Despreciando la fuerza de

fricción, calcula la aceleración producida y la magnitud de la

fuerza normal.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

2. Una fuerza de 150 N paralela con la horizontal se aplica

sobre un cuerpo de 30 kg de masa colocado sobre una superficie

horizontal. Despreciando la fuerza de fricción, calcula la

aceleración producida y la magnitud de la fuerza normal.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 173

Problema

3. Un objeto con una masa de 20 kg desciende deslizándose por

un plano inclinado 40° con la horizontal. ¿Cuál es la aceleración

del objeto y la fuerza normal al plano si no existe fricción

alguna?

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

4. Un objeto con una masa de 30 kg desciende deslizándose por

un plano inclinado 50° con la horizontal. ¿Cuál es la aceleración

del objeto y la fuerza normal al plano si no existe fricción

alguna?

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


174 La Mecánica y el Entorno

Problema

5. Mediante la aplicación de una fuerza paralela al plano, se sube

un cuerpo de 15 kg de masa sobre un plano inclinado 50° con

la horizontal. Si el movimiento tiene velocidad constante y se

desprecia la fuerza de fricción, calcula la fuerza aplicada sobre el

cuerpo y la fuerza normal al plano.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

6. Mediante la aplicación de una fuerza paralela al plano, se sube

un cuerpo de 12 kg de masa sobre un plano inclinado a 25° con

la horizontal. Si el objeto se acelera a 1.5 m/s 2 y se desprecia la

fuerza de fricción, calcula la fuerza aplicada sobre el cuerpo y la

fuerza normal al plano.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 175

Problema

7. Un elevador y su carga pesan 7000 N. Calcula la tensión en el

cable si el elevador se mueve hacia arriba con una aceleración de

2 m/s 2 .

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

8. Del problema anterior, calcula la tensión si el elevador se

mueve hacia abajo con una aceleración de 2 m/s 2 .

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


176 La Mecánica y el Entorno

4.1.2. Fuerza de fricción

En este apartado vamos a introducir formalmente el concepto

y la aplicación de lo que conocemos como fuerza

de fricción o, simplemente, fricción. Este término se utiliza

comúnmente pensando que es otro tipo de fuerza de

la naturaleza, sin embargo, la fuerza de fricción se debe

a una resistencia natural constante al deslizamiento entre

materiales en contacto o dentro de un medio. Esta fuerza

se presenta en los diferentes medios: sólido, líquido y

gaseoso. Por ejemplo, los automóviles se construyen teniendo

en cuenta el efecto de la fricción del aire, de ahí

sus formas aerodinámicas; un buzo al nadar se impulsa

utilizando pies y brazos por la fricción de estos con el

agua; al caminar nos impulsamos hacia adelante gracias

a la fuerza de fricción entre el piso y nuestros pies (figura

4.10). Podemos afirmar que la fricción es una fuerza

de origen electromagnético, pues interactúan muy de

cerca los átomos o moléculas del cuerpo que se desliza y

los átomos de la superficie en contacto con el cuerpo.

¿Puedes imaginar lo que pasaría si no existieran las fuerzas

de fricción? Difícilmente caminaríamos, los automóviles

patinarían y los aviones probablemente no existirían, ya

que estos basan su movimiento,

TD&IS

en

Training

buena medida,

Distribution

en el efecto

and

de

Integrated

la fricción del

Services

aire. Un efecto de la fuerza

de fricción es el desgaste que sufren las partes internas que están en constante movimiento en un motor de

automóvil. Para disminuir el desgaste de estas partes del motor, se utiliza el aceite lubricante. Otra forma de

evitar este desgaste es mediante el pulido de las superficies de las piezas en contacto. Lo expuesto nos da una

idea de la importancia de tener en cuenta los efectos de la fuerza de fricción, la cual estudiaremos considerando

solamente la fuerza de fricción por deslizamiento.

La fuerza de fricción (f) se opone al movimiento de deslizamiento entre las superficies en contacto y sigue

una dirección paralela a ellas.

El origen físico de la fuerza de fricción es la irregularidad en las superficies en contacto. Las asperezas de

la superficie de un material hacen contacto con las asperezas de la superficie del otro, de tal forma que, para

efectuar un movimiento entre las superficies en contacto, habrá que aplicar una fuerza que supere esta fuerza

de fricción que se genera al deslizar las superficies.

Como ya se dijo, si tenemos un cuerpo (en reposo o en movimiento) que se encuentra colocado sobre una

superficie plana, este ejerce sobre dicha superficie una cierta fuerza de compresión, que es la fuerza aplicada

por el cuerpo sobre la superficie, la cual actúa perpendicularmente a las superficies en contacto, manteniéndolas

unidas. Por otra parte, la fuerza normal (F N ) es la que ejerce la superficie sobre el cuerpo que se desliza

o está en reposo sobre ella. Como ya vimos, esta fuerza es perpendicular a la superficie. Tanto la compresión

que ejerce un cuerpo sobre una superficie en la cual se encuentra colocado, como la normal, son las fuerzas

de acción y reacción que actúan en la interacción entre la superficie y el cuerpo. La fuerza que ejerce el objeto

sobre el plano (la compresión) es la fuerza que presiona para que estas superficies estén en contacto y es igual

en magnitud, pero en dirección opuesta a la fuerza normal que ejerce el plano sobre el objeto.

F

Fuerza ejercida

por el pie sobre

el suelo

f

Fuerza de

fricción ejercida

por el suelo

sobre el pie

Figura 4.10 Fricción al caminar. Se muestra la fuerza de fricción f, en la

dirección del movimiento de caminata. A primera vista podría parecer

la dirección equivocada, pero no lo es. La fuerza de fricción impide que

el pie se deslice hacia atrás mientras el otro pie se lleva hacia adelante.

Si caminamos sobre la alfombra mullida, F se hace evidente porque sus

hebras se doblan hacia atrás.


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 177

¿Pero qué tiene que ver esto con la fuerza de fricción? Dado que la Física es una

ciencia eminentemente experimental, los físicos, con base en pruebas y análisis experimentales,

han llegado a la conclusión de que, si aumenta la compresión que

ejerce el cuerpo sobre la superficie donde se encuentra, la fuerza de fricción también

aumenta, y viceversa: si disminuye la compresión del objeto sobre la superficie, la

fuerza de fricción también disminuye. De lo anterior se tiene que…

f α (a la compresión)

Es decir, la fuerza de fricción es proporcional a la fuerza de compresión y, como vimos,

esta compresión es numéricamente igual a la fuerza normal. Ahora, para que la

expresión anterior sea de utilidad práctica y se convierta en una igualdad, hay que introducir

una constante de proporcionalidad, con lo cual resulta la siguiente fórmula:

f= μ (F N )

En este caso, μ es la constante de proporcionalidad que llamaremos coeficiente de

fricción. Este coeficiente es característico de los materiales en contacto, carece de

unidades, por lo que es adimensional.

La fuerza de fricción no solo aparece cuando hay movimiento, sino que también

existe cuando un cuerpo se encuentra en reposo y tiende a deslizarse sobre otro. Esta

fuerza depende de la naturaleza de las superficies en contacto (rugosidad y tipo de

material) y de la compresión

TD&IS Training

que las mantiene

Distribution

unidas.

and Integrated Services

Coeficiente de fricción estática (μ s )

Si a un objeto se le aplica una fuerza F y este no se mueve, se debe a la fuerza de

fricción estática (f s ) que se opone al movimiento (figura 4.11). Si se analiza mediante

una sumatoria de fuerzas en el eje x, tenemos la siguiente expresión:

ΣF x

= F - f s

= 0

F = f s

Si se aumenta la fuerza aplicada y el cuerpo no se mueve, es porque también aumenta

la fuerza de fricción estática. El objeto se moverá cuando la fuerza aplicada iguale

o supere ligeramente a la fuerza de fricción estática máxima.

V = 0

f s

F


178 La Mecánica y el Entorno

Esta fuerza máxima de fricción estática viene dada por…

f s

= μ s

(F N

) (1)

En este caso, μ s se conoce como el coeficiente de fricción estática. Como ya se explicó,

si al aumentar la fuerza aplicada el objeto no se mueve, es porque la fuerza de

fricción estática se opone al movimiento. Al aumentar la fuerza aplicada, aumenta

la fricción estática, lo que sucede hasta que se inicia el movimiento. Esto significa

que la fricción estática es variable y toma diferentes valores; por su lado, el cuerpo

permanece en reposo (desde cero) cuando no hay ninguna tendencia a mover el cuerpo,

sin embargo, alcanza su valor máximo cuando empieza a moverse. En nuestro

estudio, consideraremos la fuerza de fricción estática obtenida (fs) con la ecuación

(1) como el máximo valor que puede tomar esta fuerza justo al momento que se da

inicio al movimiento.

Coeficiente de fricción cinética (μ k )

Cuando la fuerza (F) aplicada a un objeto es superior a la fuerza de fricción estática

máxima (f s ), el objeto se mueve, pero la fuerza de fricción no desaparece, sino que

ahora actúa en el movimiento y, entonces, la fuerza que se opone al movimiento se

llama fricción cinética (f k ). De nuevo, si realizamos una sumatoria de fuerzas en x,

será similar a la anterior si el cuerpo se desplaza con velocidad constante (figura 4.12).

TD&IS Training Distribution

ΣF

and x

=

Integrated

F - f k

= 0

Services

F = f k

V = constante

f k

F

La fuerza de fricción cinética es proporcional a la compresión, la cual es igual en

magnitud a la fuerza normal (F N ) ejercida por el plano sobre el objeto que se desliza

sobre él, por lo que…

En donde μ k es el coeficiente de fricción cinética y la fuerza de fricción cinética es,

para fines prácticos, constante y toma un valor único, independientemente de la velocidad

con que se mueva el objeto.

(2)


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 179

Hemos encontrado estas dos expresiones muy útiles en el análisis de fuerzas, las cuales nos ayudan a resolver

ejercicios y problemas de aplicación de las leyes de Newton y que se acercan a la obtención de resultados más

acordes con la realidad, pues ahora estamos incluyendo esta fuerza de rozamiento, que en los casos anteriores

no habíamos considerado. Recuerda que el método de análisis de la Física inicia con las situaciones más

simples para después ir agregando aspectos complementarios y de mayor complejidad, pero, si seguimos un

orden sistemático en nuestro análisis, resulta una forma muy práctica y sencilla de llegar a la comprensión de

este tipo de ejercicios.

Vamos ahora a analizar estas dos fuerzas: se ha encontrado, que, por regla general, si deseamos empujar un

cuerpo para desplazarlo por el piso, se requiere aplicar una mayor fuerza para iniciar el movimiento de este

cuerpo que para mantenerlo en movimiento. En otras palabras, la fuerza necesaria para que inicie el movimiento

debe ser igual a la fuerza de fricción estática máxima, y esta fuerza es menor que la que se requiere

para seguir el movimiento del cuerpo una vez que ya se inició, siendo esta última igual a la fricción cinética.

Entonces, tenemos…

Dado que las fuerzas de fricción (tanto estática como cinética) dependen de los coeficientes de fricción y de la

fuerza normal, y esta última es la misma, se concluye que lo que hace la diferencia deben ser los coeficientes

de fricción, por lo tanto…

Estos coeficientes de

TD&IS

fricción

Training

son característicos

Distribution

de los

and

tipos

Integrated

de materiales

Services

que se ponen en contacto, pues cada

uno presenta diferentes fricciones con otros materiales. En la tabla 4.1, se reportan los valores de coeficientes

de fricción de algunos casos comunes de materiales en contacto.

Tabla 4.1. Coeficientes de fricción

Materiales μ s μ k

Acero sobre acero 0.76 0.42

Madera sobre madera 0.58 0.40

Madera sobre acero 0.50 0.30

Hule sobre concreto (seco) 0.90 0.70

Hule sobre concreto (húmedo) 0.70 0.56

Vidrio sobre vidrio 0.89 0.44

Hielo sobre hielo 0.1 0.03

Estos valores son aproximados y dependen del pulido de las superficies, de la lubricación de las mismas y, en

general, de las condiciones climatológicas del medio.


180 La Mecánica y el Entorno

f f máx

= F - f f

F

F

F

Movimiento

a

F N

F N

f s

F

f k

F

f f máx

f

f s

< μ s

( f N

)

f s máx

= μ s

( f N

)

f k

= μ k

( f N

)

F = f s

Fricción cinética

a)

b)

c)

a)

b)

c) f k

= μ k

F N

Fricción estática

Fuerza aplicada - fuerza friccional estática

F = f s

< f s máx

= μ s

F N

F

f smáx

0

F

mg

mg

a) b)

f s

= F N

(μs)

Fricción estática

f k

= F N

(μs)

F

Fricción cinética

Figura 4.13 Fuerza de fricción contra fuerza aplicada.

a) En la región estática de la gráfica, a medida que aumenta la fuerza aplicada F, tambien

aumenta f, es decir, F = f s < μ s F N .

b) Cuando la fuerza aplicada excede f s máx = μ s F N el pesado objeto se pone en moviendo.

c) Una vez que el objeto está en movimiento, la fuerza de fricción disminuye, pues la fricción

cinética es menor que la fricción estática f s < f s máx . Por ejemplo si se mantiene la fuerza

aplicada, habrá una fuerza neta y el objeto se moverá con velocidad constante, la fuerza

aplicada deberá reducirse hasta igualar la fuerza de fricción cinética f k =μ k F N .

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

A continuación, resolvemos algunos ejemplos del movimiento de los cuerpos, en donde se considera el efecto

de la fuerza de fricción.

Movimiento sobre un plano con fricción

EJEMPLO 4.5

Si se aplica una fuerza de 200 N sobre una caja de madera de 50 kg para deslizarla a velocidad constante

sobre un piso de madera, calcula el coeficiente de fricción cinética (figura 4.15).

Solución

¿Qué queremos hacer? Calcular el coeficiente de fricción cinética de la caja de madera.


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 181

¿Cómo lo haremos? Primero elaboramos el diagrama de cuerpo libre para luego analizar la situación en la

que nos encontramos y, partiendo de ahí, resolver el problema identificando los siguientes datos.

Datos:

F = 200 N

m = 50 kg

a = 0

Incógnita:

μ k = ?

Procedimiento:

1. Realizamos el diagrama de cuerpo libre, como se muestra en la figura 4.16.

TD&IS Training Distribution and a) Integrated Services

y

F N

b)

f k

F

x

w

Figura 4.16

2. Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y, considerando que la caja se mueve con velocidad

constante (a = 0):

Por lo tanto:

Despejando F, tenemos:

∑F x = F - f k = 0

F - f k = 0

F = f k

f k = 200 N


182 La Mecánica y el Entorno

Por otra parte, en el eje y, la suma de las fuerzas también es igual a cero, puesto que la caja no se mueve

en dirección vertical, entonces:

Despejando F N de la sumatoria anterior, obtenemos:

Como:

∑F y = F N - w = 0

F N = w

Entonces:

Por lo tanto:

w = (50 kg)(9.8 m/s 2 )

w = 490 N

F N = 490 N

3. Ahora, aplicamos la fórmula de fricción cinética y despejamos el coeficiente de fricción, que es lo que

estamos buscando:

Sustituyendo datos:

TD&IS Training Distribution f k = μ k F N and Integrated Services

µ k

= f k

F N

4. El resultado del problema es…

µ k

= 200 N

490 N

μ k = 0.408

Interpretación del resultado:

El coeficiente de fricción cinético entre las superficies es de 0.408. Recuerda que los coeficientes de fricción

no tienen unidades de medición, ya que estas se cancelan al sustituir los datos para realizar el cálculo.


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 183

EJEMPLO 4.6

Una fuerza horizontal de 400 N tira de un bloque de 20 kg colocado sobre el piso. Si el coeficiente de fricción

cinética es μ k 0.45, ¿cuál es la aceleración del bloque? (figura 4.17).

Solución

¿Qué queremos hacer? Encontrar la aceleración del bloque.

¿Cómo lo haremos? Necesitamos analizar el sistema partiendo del diagrama de cuerpo libre, de donde

identificamos los datos que el problema nos proporciona.

Datos:

F = 200 N

m = 20 kg

μ k = 0.45

Incógnita:

a = ?

Procedimiento:

Realicemos el diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura 4.17.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

y

N

N

F f

f k

k

F

x

w

a)

w

b)

Figura 4.17

Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y:

∑F x = F - f k

∑F y = F N - w

La fuerza resultante de acuerdo con el método de las componentes es:

F R

= (ΣF x

) 2 + (ΣF y

) 2


184 La Mecánica y el Entorno

Pero el bloque se mueve sobre el piso en dirección horizontal con un movimiento acelerado, y en el eje y

no existe movimiento por lo que la sumatoria en el eje y es igual a cero, entonces:

Simplificando la expresión anterior obtenemos:

F R

= (ΣF x

) 2

F R

= ∑F x

= F - f k

Recordemos que la fuerza resultante también es igual al producto de la masa por la aceleración, de acuerdo

con la 2 a ley de Newton:

F R = ma

Ambas expresiones se refieren a la misma fuerza resultante por lo que podemos igualarlas para luego despejar

la aceleración que es la incógnita:

F - f k = ma

Despejando la aceleración queda:

a = F - f k

m

Observemos que en esta última expresión aparece la fuerza de fricción, la cual tenemos que calcular como

se muestra en el siguiente procedimiento:

De la sumatoria de fuerzas TD&IS en y, se Training despeja la Distribution fuerza normal: and Integrated Services

F N = w

Como: w = mg, entonces:

w = (20 kg)(9.8 m/s 2 ) = 196 N

por lo tanto:

F N = 196 N

Con la fuerza normal ya conocida y el coeficiente de fricción cinética, calculamos la fuerza de fricción cinética:

f k = μ k F N

f k = (0.45)(196 N)

f k = 88.2 N

Y ahora si podemos calcular la aceleración que se nos pide:

El resultado del problema es:

a =

200N - 88.2N

20 kg

a = 5.59 m s 2

Interpretación del resultado:

El bloque se mueve con una aceleración de 5.59 m/s 2 debido a la aplicación de la fuerza de 200 N.


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 185

EJEMPLO 4.7

Una caja de 7 kg se desliza a velocidad constante a lo largo de una superficie horizontal al aplicársele una fuerza

de 35 N con un ángulo de 45° respecto a la horizontal. Calcula el coeficiente de fricción cinética (figura 4.18).

F

Figura 4.18

Solución

¿Qué queremos hacer? Calcular el coeficiente de fricción cinética para esta situación.

¿Cómo lo haremos? Para encontrar el coeficiente de fricción, necesitamos conocer el valor de la fuerza de

fricción cinética y la fuerza normal. Estos valores se calculan considerando la figura 4.18, a partir de la cual

trazamos el diagrama de cuerpo libre, identificando los datos que nos proporcionan.

Datos:

F = 35 N

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

m = 7 kg

θ = 45°

a = 0 (la caja se mueve con velocidad constante)

Incógnita:

μ k = ?

Procedimiento:

1. Elaboramos el diagrama de cuerpo libre, como se muestra en la figura 4.19

y

F N

F N

Fy

F

f

θ

k

f k

Fx

F

x

w

w

a)

b)

Figura 4.19


186 La Mecánica y el Entorno

2. Calculamos las componentes x y y de la fuerza aplicada con las fórmulas:

F x = F cosθ y F y = Fsenθ

F x = 35 cos45̊ = 24.7 N

F y = 35 sen45̊ = 24.7 N

3. Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y de acuerdo con las fuerzas identificadas en el DCL:

∑F x = F x - f k

∑F y = F N + F y - w

Como la caja se mueve con velocidad constante sobre el eje x, esta se encuentra en equilibrio, por lo tanto,

la fuerza resultante es igual a cero, lo cual significa que tanto la sumatoria de fuerzas en x, como la sumatoria

de fuerzas en y, son iguales a cero, de esta deducción obtenemos las siguientes igualdades:

Despejando f k de la ecuación anterior, obtenemos:

La suma de las fuerzas en el eje y también es igual a cero, entonces:

TD&IS Training Distribution F N + F y - w = and 0 Integrated Services

Despejando F N de la ecuación, obtenemos:

F N = w - F y

Como:

w = mg

Entonces:

Se sustituyen los valores de F y y w para calcular F N :

w = 7 kg (9.8 m/s 2 ) = 68.6 N

F N = 68.6 N - 24.7 N = 43.9 N

Una vez conocidos los valores de f k y F N , recurrimos a la fórmula de la fuerza de fricción y despejamos

el coeficiente f k :

f k = μ k F N

μ k

= f k

F N

μ k

= 24.7 N

43.9 N

μ k = 0.563


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 187

Sustituyendo datos:

El resultado del problema es

μ k = 0.56

Interpretación del resultado:

El coeficiente de fricción cinético entre las superficies es

μ k = 0.56

■ Actividad 2. Fuerza de fricción

Resuelve los siguientes problemas de fricción utilizando la segunda ley de Newton y el diagrama de cuerpo libre.

Problema

1. Si se aplica una fuerza de 2350 N sobre una caja de madera de

30 kg (figura 4.20) para deslizarla a velocidad constante sobre un

piso de madera, calcula el coeficiente de fricción cinética.

Procedimiento

TD&IS Training F Distribution and Integrated Services

Figura 4.20

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


188 La Mecánica y el Entorno

Problema

2. Una fuerza horizontal de 200 N tira de un bloque de 250 N

colocado sobre el piso (figura 4.21). Si el coeficiente de fricción

cinética es μ k = 0.65, ¿cuál es la aceleración del bloque?

Procedimiento

F

Figura 4.21

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

Problema

3. Una fuerza horizontal de 280 N tira de un bloque de 450 N

colocado sobre el piso (figura 4.22). Si el bloque se acelera a

2 m/s 2 , calcula el coeficiente de fricción.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Procedimiento

F

Datos

Figura 4.22

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 189

Problema

Procedimiento

4. Una caja de 15 kg se desliza a velocidad constante a lo largo

de una superficie horizontal al aplicársele una fuerza de 80 N con

un ángulo de 55° respecto a la horizontal (figura 4.23). Calcula el

coeficiente de fricción cinética.

F

θ

Datos

Figura 4.23

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

5. Una caja de 9 kg se desliza con una aceleración de 1.5 m/s 2 a lo

largo de una superficie horizontal al aplicársele una fuerza de 50 N

con un ángulo de 35° respecto a la horizontal (figura 4.24). Calcula

el coeficiente de fricción cinética.

Procedimiento

F

θ

Figura 4.24

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


190 La Mecánica y el Entorno

Problema

6. Calcula la fuerza que se debe aplicar para subir un bloque de

20 kg sobre un plano inclinado a 25° (figura 4.25), con velocidad

constante, si el coeficiente de fricción cinética es μ k = 0.25.

Procedimiento

F

Datos

Figura 4.25

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

Problema

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

7. Calcula la fuerza que se debe aplicar para jalar hacia arriba un

bloque de 10 kg de masa sobre un plano inclinado a 30° con la

horizontal para que adquiera una aceleración de 1.5 m/s 2 (figura

4.26) si el coeficiente de fricción cinética es μ k = 0.25.

Procedimiento

F

Datos

Figura 4.26

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 191

4.2. Estática

En la última parte de esta etapa estudiaremos la estática, la cual se encuentra comprendida

dentro de la dinámica y se encarga de analizar el equilibrio de los cuerpos.

El tipo de problema que consideraremos es que la fuerza resultante que actúa sobre un

cuerpo es nula; es decir…

F R

= (ΣF x

) 2 + (ΣF y

) 2 = 0

Esto se cumple si…

ΣF x

= 0 y ΣF y

= 0

Como sabemos, la fuerza resultante es la que produce el mismo efecto que un sistema

de fuerzas actuando en conjunto. Cuando esta fuerza resultante es igual a cero,

se pueden presentar cualquiera de los siguientes casos:

a) El objeto se encuentra en reposo (equilibrio estático).

b) Describe un movimiento rectilíneo uniforme (equilibrio dinámico).

Lo anterior se puede sintetizar en la llamada primera condición de equilibrio:

Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si la resultante de todas las

fuerzas que actúan TD&IS sobre él Training es igual a Distribution cero. and Integrated Services

En la configuración de un sistema de fuerzas se dice que estas son coplanares si todas

se encuentran en el mismo plano y no-coplanares si se encuentran en el espacio

de tres dimensiones.

Cuando dos o más fuerzas están actuando sobre un mismo punto, reciben el nombre

de fuerzas concurrentes. En este punto, nos concretaremos al estudio del equilibrio

estático de un cuerpo, considerando además que las fuerzas que actúan sobre él son

coplanares y concurrentes.

Si sobre un objeto actúan dos o más fuerzas, estas producen una fuerza resultante. Si

queremos que este objeto quede en equilibrio, se aplica una fuerza de igual magnitud,

en la misma dirección y en sentido contrario a la resultante. A esta fuerza se le

llama fuerza equilibrante (figura 4.27).

A

R

Fuerza

Resultante

E

B

Fuerza

equilibrante

Figura 4.27


192 La Mecánica y el Entorno

Para resolver problemas de equilibrio estático, se sugiere utilizar el siguiente método:

1. Identificar el punto en donde concurren todas las fuerzas.

2. Realizar un diagrama de cuerpo libre de esas fuerzas.

3. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, establecer las sumatorias de fuerzas

en el eje x (ΣF x ) y en el eje y (ΣF y )

4. Aplicar la primera condición del equilibrio a las sumatorias de fuerzas ) y

(ΣF y = 0)

5. Resolver las ecuaciones obtenidas de las sumatorias para calcular las incógnitas,

es decir, hallar las magnitudes de las fuerzas que actúan en el sistema analizado

aplicando el método de ecuaciones simultáneas, también conocido como sistemas

de ecuaciones lineales.

Analicemos los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 4.8

Un cuerpo de 12 kg suspendido mediante una cuerda T 1 es estirado

hacia un lado en forma horizontal mediante una cuerda T 2 , y sujetado

de tal manera que la cuerda T 1 forma un ángulo de 60° con el muro

(figura 4.28). Determina las TD&IS tensiones Training de las cuerdas Distribution T 1 y Tand 2 : Integrated Services

T 1

60º

Solución

T 2

¿Qué queremos hacer? Calcular las tensiones uno y dos.

¿Cómo lo haremos? Partimos de la figura 4.28 del problema para luego

trazar el diagrama de cuerpo libre colocando los datos que el sistema

nos proporciona. Observa que, en este caso, nos dan el ángulo

que forma la cuerda con respecto a la pared (eje y), pero necesitamos

el ángulo respecto al eje horizontal (eje x), que en este caso sería 30°.

w

Datos:

m = 12 kg

θ =30°

Incógnitas:

T 1 = ?

T 2 = ?


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 193

Procedimiento:

1. Realicemos el diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura 4.29.

y

T 1

T 1y

30º

x

T 2

T 1x

Figura 4.29

w

2. Las componentes de la fuerza T 1 son donde:

T 1x = T 1 cos(30°) = T 1 (0.866)

TD&IS Training Distribution

T 1y = T 1 sen(30°)

and

=

Integrated

T 1 (0.5)

Services

3. Realizamos la suma de las fuerzas en el eje x y en el eje y a partir del diagrama de cuerpo libre aplicando la

primera condición de equilibrio:

ΣF x = 0 y ΣF y = 0

Por lo tanto,

Con la sumatoria de fuerzas en y, tenemos:

T 1x - T 2 = 0

T 1 (0.866) - T 2 = 0 (1)

T 1y - w = 0

T 1 (0.5) - w = 0 (2)

4. Observemos que en la ecuación (2) la única incógnita es T 1 , por lo cual la podemos despejar y calcular como

sigue:

T 1 (0.5) = w

T 1

= w 0.5


194 La Mecánica y el Entorno

Se sustituye en esta última expresión la fórmula del peso de un cuerpo:

Se calcula T 1 sustituyendo los datos conocidos:

T 1

= mg

0.5

m

12 kg 9.8 s

T 1

= 2

0.5

T 1 = 203.68 N

5. Una vez que calculamos el valor de T 1 , recurrimos a la ecuación (1) para obtener el valor de T 2 y terminar el

problema:

T 2 = T 1 (0.866)

T 2 = (235.2 N)(0.866)

T 2 = 203.68 N

6. Las respuestas del problema son las siguientes:

Interpretación del resultado:

T 1 = 235.2 N

TD&IS Training Distribution T 2 = 203.68 Nand Integrated Services

La tensión que presenta la cuerda en su sección horizontal (T 2 ) es de 204.68 N y la tensión en la parte que

sostiene en la pared (T 1 ) es de 235.2 N.

EJEMPLO 4.9

Un cuerpo de peso w está suspendido de una estructura, como se muestra en

la figura 4.30. Si la tensión de la cuerda es de 300 N y el ángulo de la misma

es de 30° respecto a la horizontal, ¿cuál es el peso de cuerpo y la fuerza de

empuje de la viga?

Solución

¿Qué queremos hacer? Calcular el peso del cuerpo (w) y la fuerza (F) que ejerce

la viga horizontal.

¿Cómo lo haremos? Inicialmente, identificamos los datos que nos proporciona

el problema.

Datos:

T = 300 N

θ = 30°

T

30º

F

w


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 195

Incógnitas:

w = ?

F = ?

Procedimiento:

1. Realicemos el diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura 4.31.

T

T y

30º

T x

w

Figura 4.31

2. Las componentes de la tensión son son T x y T y , donde:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

T x = 300 cos30° = 259.8 N

T y = 300 sen30° = 150 N

3. Realizamos las sumatorias de las fuerzas en los ejes x y y a partir del diagrama de cuerpo libre aplicando la

primera condición de equilibrio:

Por lo tanto:

ΣF x = 0 y ΣF y = 0

F - T x = 0 (1)

T y - w = 0 (2)

4. Sustituyendo el valor de T x en la ecuación (1) y despejando F, tenemos:

Donde:

F - 259.8 N = 0

F = 259.8 N

5. Sustituyendo T y en la ecuación (2) y despejando w, tenemos:

150 N - w = 0


196 La Mecánica y el Entorno

Donde:

6. La respuesta de nuestro problema es…

w = 150 N

F = 259.8 N

w = 150 N

Interpretación del resultado:

El peso del cuerpo es de 150 N y la fuerza que ejerce la viga horizontal es de 259.8 N.

EJEMPLO 4.10

Un semáforo que pesa 800 N está suspendido mediante dos cables de tensiones

T 1 y T 2 que forman cada uno un ángulo de 60° con la horizontal, como lo

indica la figura 4.32. Determina la tensión de los cables.

Solución

T 2

60º 60º

T 1

¿Qué queremos hacer? Determinar la tensión de los cables.

¿Cómo lo vamos a resolver? Tomando como base la figura del problema,

elaboramos el DCL e identificamos los datos que tenemos.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Datos:

w

w = 800 N

θ 1 = 60°

θ 2 = 60°

Incógnitas:

T 1 = ?

T 2 = ?


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 197

Procedimiento:

1. Dibujamos el diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura 4.33.

T 2

y

T 1y

T 2y

60º 60º

T 2x

T 1x

T 1

x

w

Figura 4.33

2. Las componentes de la tensión 1 son…

T 1x = T 1 cos60° = T 1 (0.5)

T 1y = T 1 sen60° = T 1 (0.866)

Las componentes de

TD&IS

la tensión

Training

2 son…

Distribution and Integrated Services

T 2x = T 2 cos60° = T 2 (0.5)

T 2y = T 2 sen60° = T 2 (0.866)

3. Establecemos las sumatorias de fuerzas en los ejes x y y y aplicamos la primera condición de equilibrio:

ΣF x = 0 y ΣF y = 0

Por lo tanto:

T 1x - T 2x = 0 (1)

T 1y + T 2y - w = 0 (2)

4. Despejando T 1x de la ecuación (1), tenemos: T 1x = T 2x , y sustituyendo los valores de sus componentes, obtenemos:

T 1 (0.5) = T 2 (0.5)

Donde:

T 1 = T 2

Sustituyendo T 2 por T 1 , los valores de las componentes T 1y, T 2y , y el peso w en la ecuación (2), obtenemos:

T 1 (0.5) + T 1 (0.866) - 8 N = 0


198 La Mecánica y el Entorno

Donde:

T 1 (1.366) = 8 N

5. El resultado del problema es…

T 1 = 585.65 N

T 2 = 585.65 N

Interpretación del resultado:

Como el sistema se encuentra en simetría, las tensiones 1 y 2 son de igual magnitud, con un valor de

585.65 N cada una.

■ Actividad 3 Estática

Resuelve los siguientes problemas de fricción utilizando la primera condición de equilibrio y el diagrama de

cuerpo libre.

Problema

1. Un cuerpo de 15 kg suspendido mediante una cuerda T 1 es

estirado hacia un lado en forma horizontal mediante una cuerda T 2 ,

y sujetado de tal manera que la cuerda T 1 forma un ángulo de 50°

con el muro (figura 4.34). Determina las tensiones T1 y T2.

Procedimiento

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

50º

T 1

T 2

0

w

Datos

Figura 4.34

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 199

Problema

2. Un cuerpo de w kg es suspendido mediante una cuerda T 1 y es

estirado hacia un lado en forma horizontal mediante una cuerda T 2 ,

y sujetado de tal manera que la cuerda T 1 forma un ángulo de 40°

con el muro (figura 4.35). Si T 2 = 300 N, calcula la masa del cuerpo.

Procedimiento

T 1

T 2

40º

0

w

Datos

Figura 4.35

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

3. Un cuerpo de peso w está suspendido de una armadura. Si la

magnitud de la tensión de la cuerda es de 400 N y el ángulo de la

misma es de 50° respecto a la horizontal (figura 4.36), determina la

magnitud del peso y el empuje de la barra.

Procedimiento

T

50º

w

Figura 4.36

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


200 La Mecánica y el Entorno

Problema

4. Un cuerpo de 150 N está suspendido de una armadura (figura

4.37). Determina la tensión de la cuerda y el empuje de la barra si

el ángulo de la misma es de 50° respecto a la horizontal.

Procedimiento

T

50º

w

Figura 4.37

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

Problema

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

5. Un cuerpo de 18 kg está suspendido de una armadura (figura

4.38). Determina la tensión de la cuerda y el empuje de la barra si

el ángulo de la misma es de 40° respecto a la horizontal.

Procedimiento

T

40º

w

Datos

Figura 4.38

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 201

Problema

Procedimiento

6. Un cuerpo de 200 N, suspendido mediante una cuerda T 1 , es

estirado hacia un lado en forma horizontal mediante una cuerda T 2 ,

y sujetado de tal manera que la cuerda T 1 forma un ángulo de 60°

con el muro (figura 4.39). Determina las tensiones T 1 y T 2 .

T 1

T 2

60º

0

w

Datos

Figura 4.39

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Problema

Procedimiento

7. Una piñata que pesa 20 N está suspendida mediante dos cables

de tensiones (T 1 y T 2 ) que forman cada uno un ángulo de 50° con la

horizontal (figura 4.40). Determina la tensión de los cables.

50º

50º

Figura 4.40

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


202 La Mecánica y el Entorno

Preguntas conceptuales de dinámica

1. Una fuerza resultante F produce a un automóvil una aceleración a. Si ahora se duplica la fuerza resultante

2F, ¿cuál será el cambio en la aceleración del automóvil?

2. Una fuerza resultante F produce a un camión una aceleración a. Si ahora se carga el camión en forma que

su masa se duplica (2 m), ¿cuál será el cambio en la aceleración del camión?

3. Un camión con carga completa puede acelerarse a 3 m/s 2 . Si luego pierde parte de la carga de tal forma

que su masa disminuye a 1/3 de la masa inicial (m/3), ¿qué aceleración puede desarrollar el camión

si la fuerza no cambia?

4. ¿Qué es lo que nos impulsa TD&IS para Training que podamos Distribution caminar? and Integrated Services

5. Si un cañón dispara un obús, ¿cómo comparas la magnitud de la fuerza que el cañón ejerce sobre el

obús con la de la fuerza que este ejerce sobre el cañón? ¿Cómo son las magnitudes de aceleraciones

del cañón y del obús?

6. Supón que te estás pesando junto a un lavabo. Utilizando la idea de acción y reacción, ¿por qué es

menor la lectura de la báscula cuando empujas el lavabo hacia abajo? ¿Por qué es mayor la lectura de

la báscula cuando tiras del lavabo hacia arriba por la parte inferior del lavabo?

7. Si se colocan dos pesas de 40 N en los extremos de un dinamómetro ubicado horizontalmente sobre una

mesa, ¿la lectura del dinamómetro será de 40 N o de 80 N?


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 203

8. ¿Tu peso cambia cuando viajas en un ascensor que se mueve con rapidez constante? Cuando se acelera,

¿cambia?

9. Un cuerpo sobre la Tierra tiene una masa de 30 kg, ¿cuál será la masa del cuerpo si se llevara a Saturno,

donde la gravedad es de 14 m/s 2 ?

10. Si un camión se acelera desde el reposo, un pasajero del mismo tiende a caer hacia atrás. ¿Por qué?

11. Si el conductor del camión frena, el pasajero tiende a caer hacia delante. ¿Por qué?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

12. Un auto gasta más gasolina cuando circula por la ciudad que cuando lo hace por una autopista. ¿Por qué?

13. Explica la diferencia entre peso y masa.


204 La Mecánica y el Entorno

Preguntas de opción múltiple

Leyes de Newton

1. La inercia que posee un cuerpo depende de…

a) su masa. b) su peso.

c) su volumen. d) su densidad.

2. Si L representa la longitud, T el tiempo y M la masa, las dimensiones de la fuerza son…

a) ML/T b) ML/T 2

c) ML 2 d) LT/M

3. Si para acelerar una masa de 3 kg por una superficie sin fricción aquí en la Tierra, se necesitan 15 N de

fuerza; para que la masa sufra la misma aceleración en un lugar del espacio, donde la atracción gravitacional

de la Tierra sobre ella sea prácticamente nula, se necesitaría una fuerza de…

a) 0 N b) 3 N

c) 15 N d) 29 N

4. Si un cierto cuerpo se acelera 6 m/s 2 al aplicarle una fuerza resultante de 30 N, para producirle una aceleración

de 4 m/s 2 , la fuerza resultante aplicada debe ser de…

a) 18 N

TD&IS Training Distribution

b) 16

and

N

Integrated Services

c) 20 N d) 21.5 N

5. Si actúa una fuerza neta horizontal constante sobre un cuerpo en reposo que es una mesa sin fricción,

el cuerpo…

a) siempre se moverá con rapidez constante. b) a veces acelerará.

c) siempre acelerará constantemente. d) acelerará siempre que la fuerza sea mayor que el

peso.

6. En la Luna, el valor de g es aproximadamente 1/6 del valor de la g terrestre; si en la Tierra un objeto tiene

una masa de 5 kg, en la Luna tendría…

a) una masa de 5 kg y un peso de 5 N. b) una masa de 5 kg y un peso de 8 N.

c) una masa de 0.51 kg y un peso de 0.82 N. d) acelerará siempre que la fuerza sea mayor que el

peso.

7. Si cuando no hay fricción una fuerza F produce una aceleración al actuar sobre un cuerpo de masa m,

entonces, al duplicar la masa, la aceleración resultante será…

a) a/2 b) 4a

c) 2a d) a/6


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 205

8. Si cuando no hay fricción una fuerza F produce una aceleración a al actuar sobre un cuerpo de masa m,

entonces, al aumentar la fuerza 3 veces la anterior, la aceleración resultante será…

a) a/2 b) 3a

c) 2a d) a/3

9. Si cuando no hay fricción una fuerza F produce una aceleración a al actuar sobre un cuerpo de masa m,

entonces, al triplicar la masa y aumentar la fuerza 6 veces la anterior, la aceleración resultante será…

a) a/2 b) 6a

c) 2a d) a/6

10. Un bloque de masa m se está resbalando por un plano inclinado sin

fricción, como se muestra en la figura. 4.41 La fuerza normal ejercida

por el plano sobre el bloque es…

M

a) mg cosβ b) g senβ

c) mg senβ d) mg tanβ

ß

11. El bloque que se muestra en la figura 4.42 se está deslizando sobre en

plano inclinado sin fricción; entonces, su aceleración es…

a) g senβ b) g

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

c) g tanβ d) g cosβ

M

ß

12. Teniendo en cuenta la gráfica aceleración-tiempo de un objeto de masa

m constante en la figura 4.43, ¿en qué intervalo de tiempo la fuerza

sobre el objeto es igual a cero? (recuerda: aceleración = m/s 2 )

a) De 2 s a 4 s b) De 0 s a 2 s

c) De 4 s a 8 s d) De 8 s a l0 s

aceleración(m/s²)

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 tiempo (s)

13. Teniendo en cuenta la gráfica de la figura 4.44, ¿en qué intervalo de

tiempo la fuerza sobre el objeto es constante y diferente de cero?

a) De 8 s a 10 s b) De 4 s a 8 s

c) De 0 s a 2 s d) De 2 s a 4 s

aceleración(m/s²)

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 tiempo (s)


206 La Mecánica y el Entorno

14. Teniendo en cuenta la gráfica de la figura 4.45, ¿en qué intervalo de

tiempo disminuye la fuerza sobre el objeto?

a) De 8 s a 10 s b) De 4 s a 8 s

c) De 0 s a 2 s d) De 2 s a 4 s

aceleración(m/s²)

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 tiempo (s)

15. La masa de un astronauta en un planeta en el que la aceleración de la gravedad es 10 veces mayor que la de

la Tierra es…

a) 10 veces mayor. b) igual.

c) 10 g veces menor d) 10 g veces mayor.

16. ¿Es posible inventar una técnica para empujar una mesa sin que ella regrese el empujón?

a) Sí, si algo también la empuja. b) Sí, en el espacio.

c) No. d) Una mesa nunca empuja.

17. Un hombre que pesa 700 N, parado sobre una báscula en un parque de diversiones, sujeta una bolsa con

50 N de tomate. Luego, arroja la bolsa al aire directo hacia arriba, sin embargo, antes de salir de sus manos,

sale expulsada, por una ranura de la báscula, una tarjeta con el peso y su horóscopo. La báscula indicará…

a) 700 N. b) más de 750 N.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

c) 750 N. d) menos de 750 N.

18. Imagina que estás parado sobre una caja de cartón que apenas te sostiene. ¿Qué le sucedería a la caja si

saltaras verticalmente hacia arriba?

a) Se movería hacia un lado. b) Se aplastaría.

c) No se afectaría. d) También saltaría.

19. Un cuerpo se suspende de una cuerda y se acelera hacia abajo con una aceleración igual a 0.7 g; entonces,

la tensión en la cuerda es…

a) igual al peso del cuerpo. b) mayor que el peso del cuerpo.

c) menor que el peso del cuerpo. d) igual a cero.

20. Una persona pesa 490 N parada sobre una báscula en un elevador.

I. ¿Cuál es la lectura de la báscula cuando el elevador esté en reposo?

a) 0 N b) 490 N

c) 980 N d) 590 N

II. Si el elevador empieza a ascender y acelera a la persona hacia arriba a 2 m/s 2 . ¿Cuál será la lectura de la

balanza?

a) 490 N b) 0 N

c) 590 N d) 390 N


Figura 4.45

Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 207

III. Cuando el elevador llega a una rapidez conveniente, deja de acelerar. ¿Cuál es la lectura de la balanza si el

elevador se eleva uniformemente?

a) 590 N b) 980 N

c) 0 N d) 490 N

IV. Si el cable se revienta y el elevador cae libremente, ¿cuál será la lectura de la balanza?

a) 980 N b) 490 N

c) 390 N d) 0 N

V. ¿Cuál será la lectura de la balanza si el elevador desciende con rapidez constante?

a) 490 N b) 590 N

c) 390 N d) 0 N

VI. Si el elevador desciende con una aceleración de 2 m/s 2 , ¿cuál será la lectura de la balanza?

a) 590 N b) 390 N

c) 0 N d) 980 N

Fuerza de fricción

21. ¿Por qué se necesita más fuerza para iniciar un movimiento que para seguir moviéndolo constantemente?

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

a) Porque el coeficiente de fricción cinética es b) Porque la resistencia del aire a la rapidez del

menor que el coeficiente de fricción estática. movimiento es mucho menor que la fuerza inercial

necesaria.

c) Lo que se plantea en la pregunta no es cierto. d) Nada de lo anterior.

22. Imagina una patineta baja con rodamientos bien aceitados. ¿Qué le sucedería si, estando parado sobre ella

en reposo, comienzas a caminar por su longitud?

a) Avanzaría junto contigo. b) Se movería hacia delante y después hacia atrás.

c) Permanecería en reposo. d) Se movería rápidamente en dirección opuesta.

23. Supón que el bloque de la figura resbala hacia abajo del plano a velocidad

constante. Entonces el coeficiente de fricción cinética, entre el

bloque y el plano, está dado por…

M

a) 1/2 cosβ b) tanβ

c) cos β 2 senβ d) μg senβ

T


208 La Mecánica y el Entorno

24. Un bloque de masa m se jala sobre una superficie como se ilustra en

la figura 4.46. La velocidad del bloque es constante. El coeficiente de

fricción cinética entre el bloque y la superficie es μ; entonces, la tensión

de la cuerda está dada por…

a) T = mg/μ b) T = mg

c) T = mgμ d) Ninguna de las anteriores

25. De las siguientes relaciones, la correcta es…

M

T

a) μ s > μ k b) μ s < μ k

c) μ s -μ k = 0 d) μ s = μ k = 0

Estática

26. Si la suma de fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, entonces el objeto podría estar…

a) en reposo. b) con velocidad constante.

c) con aceleración cero. d) todas las opciones son correctas.

27. Si un cuerpo posee equilibrio traslacional, entonces, el cuerpo podría estar…

a) en movimiento rectilíneo uniforme. b) en reposo.

c) en movimiento rectilíneo TD&IS uniformemente

Training Distribution d) a and y b son Integrated correctas. Services

acelerado.

28. Un objeto es arrojado verticalmente hacia arriba. En el punto más alto de su trayectoria, el objeto está…

a) en equilibrio instantáneo. b) ni en reposo ni en equilibrio.

c) instantáneamente en reposo y en equilibrio. d) en reposo instantáneo.

29. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones que describen un cuerpo en equilibrio no es cierta?

a) La suma vectorial de todas las fuerzas que b) El cuerpo permanece en reposo.

actúan sobre el cuerpo es igual a cero.

c) El cuerpo se mueve a rapidez constante. d) El cuerpo se mueve con aceleración constante.

30. Un objeto se está moviendo a velocidad constante. La fuerza total F que actúa sobre el objeto está

dada por…

a) F = 0 b) F = mg

c) F = mv d) F = ma


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 209

Problemas de dinámica

I. A partir de los efectos del movimiento…

1. En el saque, un jugador de tenis golpea la bola de 75 g de masa acelerándola desde el reposo hasta una

rapidez de 45 m/s. Suponiendo que la raqueta ejerce una fuerza constante sobre la pelota a lo largo de una

distancia de 0.85 m, ¿cuál es la magnitud de esta fuerza?

2. Un automóvil de 1600 kg de masa que viaja a 90 km/h en un camino plano y recto se lleva uniformemente

al reposo. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de frenado si esta se ejerce en…

a) un tiempo de 5 s?

b) una distancia de 50 m?

3. Un jet con un peso de 2.75 × 10 6 N está listo para despegar. Si los motores suministran 6.35 × 10 6 N de

empuje neto, ¿qué distancia necesitará el avión para alcanzar su rapidez mínima de despegue de 285 km/h?

4. Un automóvil que viaja a 72 km/h a lo largo de un camino recto y plano se detiene uniformemente en

una distancia de 40 m. Si el automóvil pesa 8 800 N, ¿cuál es la magnitud de la fuerza para detener el

automóvil?

5. Un automóvil de TD&IS 2300 kg Training que parte Distribution del reposo adquiere and una Integrated velocidad Services de 72 km/h al final de 10 s. Halla la

magnitud de la fuerza aplicada.

II. Movimiento sobre un plano horizontal y un plano inclinado sin fricción

6. Una fuerza de 30 N que forma un ángulo de 25° con la horizontal (figura)

4.47 se aplica sobre un cuerpo con una masa de 18 kg sobre una superficie

horizontal. Despreciando la fuerza de fricción, calcula… la aceleración

producida, y la fuerza normal.

U

25º

F

7. A un cuerpo de 30 kg de masa se le aplica una fuerza de 400 N para subirlo

por una pendiente de 45° de inclinación (figura 4.48). Si la fuerza es

paralela al plano y se desprecia la fuerza de fricción, calcula la aceleración

del cuerpo y la fuerza normal.

F

F

45º


210 La Mecánica y el Entorno

8. Un cuerpo de masa igual a 16 kg se desliza sin fricción sobre un plano

inclinado (figura 4.49) que tiene un ángulo de 53° con la

horizontal. Calcula…

a) la aceleración del cuerpo, y b) la fuerza normal.

a

F

53º

9. Sobre un cuerpo de 100 N se aplica una fuerza de 150 N que forma un ángulo de 30° con la horizontal.

Si el cuerpo se desliza sobre una superficie horizontal sin fricción, calcula la aceleración producida

y la fuerza normal.

10. Un objeto de 15 kg se mueve horizontalmente sobre un plano sin fricción por aplicación de una fuerza de

50 N que forma un ángulo de 45° con la horizontal. Calcula la aceleración producida y la fuerza normal.

11. A un cuerpo de 20 kg de masa se le aplica una fuerza de 160 N para subirlo por una pendiente de 40° de

inclinación. Si la fuerza es paralela al plano y se desprecia la fuerza de fricción, calcula la aceleración del

cuerpo y la fuerza normal.

12. Un cuerpo de masa igual a 12 kg se desliza sin fricción sobre un plano inclinado que tiene un ángulo de

37° con la horizontal. Calcula la aceleración del cuerpo y la fuerza normal.

III. Movimiento sobre un

TD&IS

plano

Training

horizontal

Distribution

y un plano inclinado

and Integrated

con fricción

Services

13. Se aplica una fuerza de 35 N sobre un cuerpo para deslizado a velocidad

constante sobre una superficie horizontal (ver figura 4.50). Si la masa del

cuerpo es de 12 kg, ¿cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el

objeto y la superficie?

v = cv

F

14. Sobre un bloque de 50 N de peso se aplica una fuerza de 18 N que

forma un ángulo de 37° con la horizontal (figura 4.51). Si el bloque

adquiere una aceleración de 2 m/s 2 , calcula el coeficiente de fricción

cinética.

u

37º

15. Una fuerza de 300 N, paralela a un plano inclinado de 40°, empuja

hacia arriba una caja de 25 kg y le produce una aceleración de 1.5 m/s 2

(figura 4.52). Calcula el coeficiente de fricción cinética entre la caja y

el plano.

a

F

F

40º


Etapa 4 Dinámica: aplicaciones de las leyes de Newton 211

16. Una caja de 55 N se empuja hacia arriba sobre una tabla que forma un

ángulo de 20° respecto a la horizontal (figura 4.53). Si el coeficiente

de fricción cinética es de 0.45, calcula la magnitud de la fuerza paralela

al movimiento que se debe aplicar a la caja para que se mueva

con velocidad constante.

F

v=cv

20º

17. Una caja de madera de 30 kg se empuja a lo largo de una superficie horizontal por una fuerza paralela

a la superficie de 135 N. Si la caja se desliza a velocidad constante, determina el coeficiente de fricción

cinética entre la caja y la superficie.

18. Un objeto de 40 kg se desliza sobre una superficie horizontal al aplicarle una fuerza de 150 N que forma

un ángulo de 50° con la horizontal. Si el coeficiente de fricción cinética es de 0.14, calcula la aceleración

del objeto.

19. Un esquiador de 80 kg se desliza hacia abajo por una pendiente de 37°. Si el coeficiente de fricción cinética

es de 0.12, calcula la aceleración del esquiador.

Estática

20. Un cuerpo cuyo peso es de 100 N está suspendido de una armadura, como se muestra en la figura 4.54.

Determina el valor de la tensión de la cuerda y el empuje de la barra.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

T

30º

w

Figura 4.54

21. Un cuerpo de 14 kg suspendido mediante una cuerda T 1 es estirado hacia un lado en forma horizontal

mediante una cuerda T 2 y sujetado de tal manera que la cuerda T 1 forma un ángulo de 50° con el muro

(figura 4.55). Determina las tensiones T 1 y T 2 .

T 1

50º

T 2

0

w

Figura 4.55


212 La Mecánica y el Entorno

22. Un cuerpo de peso w está suspendido de una armadura, como se muestra en la figura 4.56. Si la magnitud

de la tensión de la cuerda es de 500 N y el ángulo de la misma es de 35° respecto a la horizontal, determina

la magnitud del peso y el empuje de la barra.

T

35º

w

Figura 4.56

23. En una fiesta, dos jóvenes (gemelos) sostienen, con unas cuerdas que forman cada una de ellas un ángulo

de 30° con la horizontal, una piñata cuyo peso es de 30 N, como se muestra en la figura 4.57. Calcula la

fuerza aplicada por cada uno de ellos.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

30º

30º

Figura 4.57

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