LIBRO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

julio.herbas

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

IO * INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

JULIO VARGAS HERBAS*1


IO * INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

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IO * INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Julio Vargas Herbas

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IO * INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Segunda Edición: 2015

Derechos Reservados © Julio Vargas Herbas

Lía Vargas Claros - Franz Ariel Vargas Claros

Santa Cruz-Bolivia

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier medio o método, sin la autorización del

autor o de los editores, los infractores serán sometidos a sanciones de acuerdo a la ley.

Pedidos e informes: Teléfono: 591-3-3245655 Celular: 72633488

Copyrigth©2015

Printed in Santa Cruz, Bolivia

JULIO VARGAS HERBAS*4


IO * INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

PRÓLOGO

Este texto de investigación de operaciones fue escrito para llenar en cometido de servir como texto de

investigación de operaciones en cursos de pregrado, nuestra meta u objetivo consiste en explicar e

interpretar las matemáticas de la investigación operacional para la toma de decisiones.

Al escribir este texto de investigación de operaciones, es que mi deseo es entregar a los estudiantes

universitarios un texto fácil de entender, a mayores niveles el rigor requerirá el empleo creciente de la

dedicación de los estudiantes universitarios, para lograr entender la enseñanza de aprendizaje en nuestro

texto de investigación de operaciones.

Indudablemente no debemos de dejar de hablar de modelos y de optimización, será muy adecuado utilizar la

ley de menor esfuerzo quiere decir hacer poco esfuerzo y ganar mucho, más. Podríamos optimizar tiempo,

recursos, la economía, el trabajo, los puntajes y los resultados. Tendríamos que utilizar modelos

matemáticos que será una herramienta esencial para desarrollar problemas de programación lineal y otros

elementos.

La utilización de las técnicas de la investigación de operaciones repercute en todas las áreas de nuestra

sociedad en que vivimos, las familias, tendríamos que poner como currículo de todas las carreras, el modelo

es sólo un instrumento de nuestro pensamiento, imaginación, nuestra inteligencia, sabiduría y nuestra

capacidad que siempre vamos a tener como herramienta clave para resolver cualquier problema o caos que

existiera en nuestra planeta.

Dedicamos este texto de investigación de operaciones a todos los estudiantes universitarios que se dedican

a superarse cada día y finalmente a todos los que valoran nuestro trabajo.

Julio Vargas Herbas

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IO * INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

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IO * INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

CONTENIDO

Capítulo 1

Introducción a la Investigación de Operaciones

Naturaleza de la investigación de operación…………………………………………………………………….9

Capítulo 2

Programación lineal-formulación de modelos lineales

Formulación de modelos lineales…………………………………………………………………………………11

Capítulo 3

Programación lineal-método gráfico

Método gráfico……………………………………………………………………………………………………….125

Capítulo 4

Programación lineal-método gráfico-Casos especiales

Casos especiales...………………………………………………………………………………………………….145

Capítulo 5

Programación lineal-método simplex

Método simplex………………………………………………………………………………………………………153

Capítulo 6

Programación lineal- método simplex -de 2 fases

Método simplex de 2 fases…....……………………………………………………………………………………167

Capítulo 7

Programación lineal- método simplex –de penalización o de la gran M

Método simplex de penalización..…………………………………………………………………………………189

Capítulo 8

Programación lineal- método simplex –Casos especiales

Método simplex –Casos especiales.………………………………………………………………………………196

Capítulo 9

Programación lineal-Teoría de dualidad

Teoría de dualidad…………………………………………………………………………………………….………201

Capítulo 10

Programación lineal-Análisis de sensibilidad

Análisis de sensibilidad por método gráfico y simplex……………………….……………………………….217

Capítulo 11

Programación lineal-Análisis de sensibilidad-por Solver/Excel

Solver/Excel…………………………………………………………………………………………………………….253

Capítulo 12

Algoritmo de transporte-Transbordo-Agente viajero-Asignación de tareas

Algoritmo de transporte……………………………………………………..……………………………………….265

Método de la esquina noroeste, costo mínimo y vogel, con prueba de optimalidad

Problemas de transbordo……………………………………………………………………………………………296

Problemas de agente viajero………………………………………………………………………………………..298

Asignación de tareas…………………………………………………………………………………………………302

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IO * INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Capítulo 13

Modelos de Inventarios

Modelo de análisis ABC de inventarios…………………………………………………………………………..312

Modelo de compra sin déficit……………………………………………………………………………………….313

Modelo de manufacturación sin déficit…………………………………………………………………………...318

Modelo de compra con déficit………………………………………………………………………………………321

Modelo de manufacturación con déficit…………………………………………………………………………..324

Modelo con descuentos por cantidad……………………………………………………………………………..327

Modelo de inventarios con incertidumbre, con demanda probabilística

Cuando no se conoce el costo de faltante, costos desconocidos…………………………………………..335

Cuando se conoce el costo de faltante, costos conocidos…………………………………………………...337

Modelos de inventarios con integrales……………………………………………………………………………338

Capítulo 14

Teoría de colas o líneas de espera

Teoría de colas…………………………………………………………………………………………………………339

Capítulo 15

Planificación de proyectos

PERT/CPM……………………………………………………………………………………………………..………..352

Capítulo 16

Teoría de juegos……………………………………………………………………………………………………….371

Apéndices

Glosario…………………………………………………………………………………………………………………390

Tablas de distribución normal……………………………………………………………………………………...393

Bibliografía..……………………………………………………………………………………………………………396

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IO * INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Un poco de historia de la investigación de operaciones, en el campo de administración para la toma de decisiones

surgió durante la segunda guerra mundial cuando había una gran necesidad de administrar los recursos escasos. La IO

es un enfoque científico de toma de decisiones y nace en la segunda guerra mundial cuyo objetivo era de asesorar a la

organización militar y de administración y este enfoque fue adoptado por grupos interdisciplinarios de hombres de

ciencias para resolver problemas de estrategias y táctica de manejo militar donde estaban los matemáticos, físicos,

psicólogos, ingenieros, contadores, administradores y otros profesionales.

La IO puede explicarse mejor considerando las siguientes fases de un estudio de la investigación de operaciones:

∎Formulación del problema.

∎Construcción de un modelo para representar el sistema bajo un estudio.

∎Deducción de una solución a partir de un modelo.

∎Prueba del modelo y de la solución deducida de este, establecimiento de controles sobre la solución.

∎Poner la solución a trabajar, en este caso hay que ejecutar.

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Es el uso de métodos cuantitativos podrá definirse en el siguiente esquema:

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IO * INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

QUE ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Es la ciencia de la administración y el uso de las matemáticas y las computadoras para ayudar a tomar decisiones

racionales frente a problemas de administración complejos, como ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos

matemáticos para resolver problemas de decisiones adecuados y como arte depende de la habilidad y creatividad de la

persona encargada que toma la decisión.

QUE ESTUDIA LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Estudia la optimización de los recursos escasos, comprar tiempo, mano de obra, materia prima y hay que utilizar los

recursos al óptimo no hay que desperdiciarlo, si no hay que utilizar el 100% de los recursos escasos disponibles.

La IO se ocupa de la distribución eficaz de los recursos limitados como ser recursos económicos, energía, humano y

otros. Para poder hacer un buen manejo y eficaz de cierto recurso es necesario desarrollar técnica de optimización.

QUE ES OPTIMIZACIÓN

Es utilizar los recursos necesarios no exageradamente.

Maximizar: utilidad, beneficios, réditos, rentabilidad, precio de venta, puntaje, ganancias, volúmenes de ventas, ingreso

por ventas, felicidad, riquezas, honestidad, verdad y sanidad.

Minimizar: costos, costos variables, costos fijos, perdida, riesgos, desperdicios, enfermedades, maldad, mentira.

PROGRAMACIÓN LINEAL

Es una técnica de modelado matemático diseñada para optimizar el empleo de los recursos limitados (recursos escasos)

donde todas las funciones, el objetivo y todas las restricciones son lineales y todas las variables son continuas. Es una

técnica y arte de optimización que consiste en maximizar las utilidades y minimizar los costos.

Es una técnica matemática utilizada para optimizar los recursos limitados de una compañía o de personas.

Es la técnica más importante de la IO es la programación lineal PL que se diseña para modelar con funciones objetivos y

restricciones estrictamente lineales PL esto es, en un problema en el que la función objetivo FO y todas las restricciones

son lineales y todas las variables son continuas. En PL el lado izquierdo y el lado derecho de las restricciones tienen

que estar en la misma proporción:Kilogramos ≤ kilogramos , si no hay que convertir haciendo operaciones

elementales.

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Paso1. Identificar las variables de decisiones:

Es la actividad económica de las personas y de las compañías, son elementos que no se conocen, son nuestras

incógnitas que no conocemos cuyo valor se puede controlar, lo que genera movimiento en una empresa, ¿?.

Paso2. Identificar la función objetivo:

Es la meta de la actividad económica, siempre la FO va a ser maximizar o minimizar, puede medir la efectividad de una

compañía tiene que estar relacionado con mis variables de decisión si tenemos 5 variables de decisiones los 5 variables

tienen que estar en mi FO.

∎Maximizar: utilidad, beneficios, réditos, rentabilidad, precio de venta, puntaje, ganancias, volúmenes de ventas, ingreso

por ventas, felicidad, riquezas, honestidad, verdad y sanidad.

∎Minimizar: costos, costos variables, costos fijos, perdida, riesgos, desperdicios, enfermedades, maldad, mentira.

Paso3. Restricciones o sujeto a.

Son los recursos a emplear, son las condiciones y limitaciones que necesita una empresa para poder producir sus

productos, pueden ser materias primas, mano de obra, horas maquinas, tiempo para fabricar un bien, y otras. Mientras

más restricciones estamos cerca a la realidad fijarme en mi entorno.

Cuando colocar ≥; ≤; = en las restricciones:

≤, Disponibilidad, capacidad, al máximo, a lo mucho, no debe superar, no todo el dinero se invierte, oferta. (FO max).

≥, requerimiento, al mínimo, como mínimo, debe superar, no debe ser inferior, demanda, debe suministrar. (FO min).

=, tiene que producirse, todo el dinero se invierte, no debe quedar dinero sin invertir. (FO max, y la FO min).

Paso4. Y las condiciones de no negatividad, nunca podríamos fabricar productos negativos de -100 cajas de zapatos eso

nunca podemos producir bienes negativos.

x j ≥ 0∀j Condiciones de no negatividad CNN.

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PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

CAPÍTULO 2

PROGRAMACIÓN LINEAL

FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

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PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #1 Disponemos de 210000 Bolivianos para invertir en una bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones.

Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130000 bolivianos

en las del tipo A y como mínimo 60000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor

igual que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés

anual?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de Bolivianos que debemos invertir en acciones del tipo A.

x 2 = Cantidad de Bolivianos que debemos invertir en acciones del tipo B.

Máximox: Z = 0, 10x 1 + 0, 08x 2 ❶ (Función Objetivo es máximizar el rendimiento)

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 210000 (Disponibilidad de Capital)❷ ; x 1 ≤ 130000 (Inversión máxima en tipo A) ❸

x 2 ≥ 60000 (Inversión mínima en el tipo B)❹ ; x 1 ≤ 2x 2 (Condiciones de relación de inversiones) ❺

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (Condiciones de no negatividad CNN)❻ }

PROBLEMA #2 En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: Cruceña y Camba. Cada torta Cruceña necesita un cuarto

de relleno por cada Kilogramo de bizcocho y produce un beneficio de 250 Bs, mientras que una torta Camba necesita

medio Kilogramo de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 400 Bs. En la pastelería se pueden

hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer

más de 125 tortas de cada tipo. ¿Cuántas tortas Cruceñas y cuantas Cambas deben vender al día para que sea máximo

el beneficio?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de tortas a producir y vender de Cruceña.

x 2 = Cantidad de tortas a producir y vender de Camba.

Max: Z = 250x 1 + 400x 2 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 150❷ ; 0, 250x 1 + 0, 500x 2 ≤ 50❸ ; x 1 ≤ 125 ❹ ; x 2 ≤ 125❺

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

PROBLEMA #3 Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 flotas de 40

asientos y 10 flotas de 50 asientos, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de una flota grande cuesta 800 Bs y

el de uno pequeño, 600 Bs. Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más

económica posible para la escuela.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de flotas de 40 asientos que alquila la escuela.

x 2 = Cantidad de flotas de 50 asientos que alquila la escuela.

Min: Z = 600x 1 + 800x 2 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 9❷ ; 40x 1 + 50x 2 ≥ 400❸; x 1 ≤ 8 ❹; x 2 ≤ 10 ❺

{ con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

PROBLEMA #4 Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3

toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres

calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200

de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operación es de 2000 bolivianos en cada mina ¿cuántos días debe

trabajar cada mina para que el costo sea mínimo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de días que debemos trabajar en la mina A.

x 2 = Número de días que debemos trabajar en la mina B.

Min: Z = 2000x 1 + 2000x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + 2x 2 ≥ 80 ❷ ; 3x 1 + 2x 2 ≥ 160 ❸ ; 5x 1 + 2x 2 ≥ 200 ❹

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❺ }

PROBLEMA #5 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos.

Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el

número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20

mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 Bs por electricista y 200 Bs por mecánico. ¿Cuántos

trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de electricistas(trabajadores) a elegir.

x 2 = Número de mecánicos(trabajadores) a elegir.

Max: Z = 250x 1 + 200x 2 ❶

Sujeto a: x 2 ≥ x 1 ❷ ; x 2 ≤ 2x 1 ❸; x 1 ≤ 30 ❹ ; x 2 ≤ 20 ❺

{ con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

JULIO VARGAS HERBAS*12


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #6 Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 asientos de

dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente por cada asiento de tipo T es de 300 Bs, mientras que la

ganancia del tipo P es de 400 Bs. El número de asientos tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como

máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que

las ganancias sean máximas.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de asientos que se deben ofertarse del tipo T(turista).

x 2 = Número de asientos que se deben ofertarse del tipo P(primera).

Max: Z = 300x 1 + 400x 2 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 5000 ❷ ; x 1 ≤ 4500 ❸ ; x 2 ≤ x 1

3

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA #7 Un herrero con 80 kilogramos de acero y 120 kilogramos de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y

de montaña que quiere vender, respectivamente a 20000 y 15000 Bolivianos cada una para sacar el máximo beneficio.

Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kilogramos de aluminio, y para la de montaña 2 kilogramos de ambos

metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de bicicletas de Paseo a hacer para vender.

x 2 = Número de bicicletas de Montaña a hacer para vender.

Max: Z = 20000x 1 + 15000x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + 2x 2 ≤ 80 ❷ ; 3x 1 + 2x 2 ≤ 120 ❸

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

PROBLEMA #8 Un autobús que trabaja en la ruta Cochabamba-Santa Cruz ofrece asientos para fumadores al precio de

10000 Bolivianos y a no fumadores al precio de 6000 Bolivianos. Al no fumador se le deja llevar 50 kilogramos de peso y

al fumador 20 kilogramos. Si el autobús tiene 90 asientos y admite un equipaje de hasta 3000 kg. ¿Cuál ha de ser la

oferta de asientos de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de asientos a ofertar para pasajeros de tipo Fumadores.

x 2 = Número de asientos a ofertar para pasajeros de tipo No Fumadores.

Max: Z = 10000x 1 + 6000x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 90❷ ; 20x 1 + 50x 2 ≤ 3000 ❸

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

PROBLEMA #9 A una persona le tocan 10 millones de bolivianos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos

tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más

seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en

la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A

sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de millones de bolivianos a invertir en acciones del tipo A.

x 2 = Cantidad de millones de bolivianos a invertir en acciones del tipo B.

Max: Z = 0, 10x 1 + 0, 07x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 10000000❷; x 1 ≤ 6000000 ❸ ; x 2 ≥ 2000000 ❹ ; x 1 ≥ x 2 ❺

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❻ }

PROBLEMA #10 Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de bolivianos y el

coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al

menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una

de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de viviendas construidas del tipo A de casas .

x 2 = Cantidad de viviendas construidas del tipo B de casas .

Max: Z = (16000000 − 13000000 )x 1 + (9000000 − 8000000 )x 2 = 3000000x 1 + 1000000x 2 ❶

Sujeto a:

13000000x 1 + 8000000x 2 ≤ 600000000 ❷

x 1 ≥ 0, 40( x 1 + x 2 ) ↔ x 1 ≥ 0, 40 x 1 + 0, 40x 2 ↔ x 1 − 0, 40 x 1 − 0, 40x 2 ≥ 0 ↔ 0, 60 x 1 − 0, 40x 2 ≥ 0 ↔ 3x 1 − 2x 2 ≥ 0❸

x 2 ≥ 0, 20( x 1 + x 2 ) ↔ x 2 ≥ 0, 20 x 1 + 0, 20x 2 ↔ −0, 20x 1 − 0, 20 x 2 + x 2 ≥ 0 ↔ −0, 20 x 1 + 0, 80x 2 ≥ 0 ↔ x 1 − 4x 2 ≤ 0❹

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ Respuesta: x 1 = 40; x 2 = 10; Max: Z = 130000000❻ }

JULIO VARGAS HERBAS*13


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #11 Un estudiante de la UAGRM dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La

empresa A le paga 5 Bs. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso.

El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben

100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es:

¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de impresos ó folletos a repartir para empresa A de tipo A.

x 2 = Cantidad de impresos ó folletos a repartir para empresa B de tipo B.

Max: Z = 5x 1 + 7x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 150❷; x 1 ≤ 120 ❸ ; x 2 ≤ 100 ❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❺ }

PROBLEMA #12 Un comerciante acude al mercado popular de Abasto a comprar naranjas con 50000 Bs. Le ofrecen dos

tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta

con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 Bs. y

el kg. de tipo B a 90 Bs. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de kilogramos de naranjas de tipo A a comprar para vender.

x 2 = Cantidad de kilogramos de naranjas de tipo B a comprar para vender.

Max: Z = (58 − 50 )x 1 + (90 − 80 )x 2 = 8x 1 + 10x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 700❷ ; 50x 1 + 80x 2 ≤ 50000 ❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

PROBLEMA #13 Un sastre tiene 80 m 2 de tela de algodón y 120 m 2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m 2 de algodón y 3

m 2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m 2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que

debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de trajes que debe confeccionar el sastre.

x 2 = Cantidad de vestidos que debe confeccionar el sastre.

Max: Z = ax 1 + ax 2 = 1000x 1 + 1000x 2 ❶

a = 1000 bolivianos

{ Sujeto a: x 1 + 2x 2 ≤ 80 ❷ ; 3x 1 + 2x 2 ≤ 120 ❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❹ }

PROBLEMA #14 Cierta persona dispone de 10 millones de bolivianos como máximo para repartir entre dos tipos de

inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo,

tanta cantidad de dinero como a la B. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el

problema. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad

debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?, ¿A cuánto ascenderá?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de millones de bolivianos a invertir en acciones del tipo A.

x 2 = Cantidad de millones de bolivianos a invertir en acciones del tipo B.

Max: Z = 0, 09x 1 + 0, 12x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 10000000❷ ; 2000000 ≤ x 1 ≤ 7000000 ❸ ; x 1 ≥ x 2 ❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA #15 Una refinería de YPFB de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35

dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles

de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras

que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha

contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de

crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de barriles comprados de petroleo crudo ligero.

x 2 = Número de barriles comprados de petroleo crudo pesado.

Min: Z = 35x 1 + 30x 2 ❶

Sujeto a: 0, 3x 1 + 0, 3x 2 ≥ 900000 ↔ 3x 1 + 3x 2 ≥ 9000000❷

0, 2x 1 + 0, 4x 2 ≥ 800000 ↔ x 1 + 2x 2 ≥ 4000000 ❸ ; 0, 3x 1 + 0, 2x 2 ≥ 500000 ↔ 3x 1 + 2x 2 ≥ 5000000 ❹

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❺ }

PROBLEMA #16 Un ganadero utiliza un pienso que tiene una composición mínima de 12 unidades de una sustancia A y otras 21 de

una sustancia B. En el mercado solo encuentra dos tipos: uno con 2 unidades de A y 7 de B, cuyo precio es de 15 Bs; y otro con 6

unidades de A y 3 de B, cuyo precio es de 25 Bs. ¿Qué cantidad ha de comprar de cada uno de modo que el costo sea mínimo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad a comprar del primer tipo de composición .

x 2 = Cantidad a comprar del segundo tipo de composición .

Min: Z = 15x 1 + 25x 2 ❶

{

Sujeto a: 2x 1 + 6x 2 ≥ 12❷ ; 7x 1 + 3x 2 ≥ 21❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹

}

JULIO VARGAS HERBAS*14


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #17 Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de

yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogurt de limón necesita para su

elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se

dispone de 9 kg de ese producto para fermentación. El costo de producción de un yogurt de fresa es el doble que el de

un yogurt de limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de yogures de sabor a limon producidos para promocionar en el mercado.

x 2 = Número de yogures de sabor a fresa producidos para promocionar en el mercado.

Min: Z = ax 1 + 2ax 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≥ 30000❷ ; 5x 1 + 2x 2 ≤ 90000❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹

}

PROBLEMA #18 La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al público de una

mesa es de 2700 Bs. y el de una silla 2100Bs. LA MUNDIAL S.A. Estima que fabricar una mesa supone un gasto de 1000

Bs. de materias primas y de 1400 Bs. de costos laborales. Fabricar una silla exige 900 Bs. de materias primas y 1000 Bs

de costos laborales. La construcción de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso

final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1

hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el

proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede

contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado.

Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL S.A. Fábrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No ocurre así con las

sillas, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas. Determinar el número

de mesas y de sillas que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de mesas que fabricara la empresa.

x 2 = Número de sillas que fabricara la empresa.

Max: Z = (2700 − 1000 − 1400)x 1 + (2100 − 900 − 1000)x 2 = 300x 1 + 200x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 80❷ ; 2x 1 + x 2 ≤ 100❸ ; x 1 ≤ 40 ❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA #19 Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la

carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En la nave

B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y

maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen

por cada camión son de 6 millones de Bs y de 3 millones por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben

producir para maximizar las ganancias?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de camiones fabricados.

x 2 = Número de autos fabricados.

Max: Z = 6000000x 1 + 3000000x 2 ❶

{

Sujeto a: 7x 1 + 2x 2 ≤ 300❷ ; 3x 1 + 3x 2 ≤ 270 ❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❹ }

PROBLEMA #20 Un pastelero fabrica dos tipos de tortas T 1 y T 2 , para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de

150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una torta T 1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C,

mientras que para hacer una torta T 2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C. Si se venden las tortas T 1 a 1000

bolivianos la unidad y las T 2 a 2300 bolivianos. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de tortas de T1 a fabricados.

x 2 = Número de tortas de T2 a fabricados..

Max: Z = 1000x 1 + 2300x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + 5x 2 ≤ 150❷ ; x 1 + 2x 2 ≤ 90 ❸ ; 2x 1 + x 2 ≤ 150❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA #21 Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca

conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a 250 Bs. el litro de aceite C y a 125 Bs. el litro de aceite D

siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada de aceite C esté comprendida entre la

mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si disponemos de un máximo de 3125 Bolivianos, se pide:

Representa gráficamente los modos de acogerse a la oferta. Acogiéndonos a la oferta, ¿Cuál es la mínima cantidad de

aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima de C?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de litros comprados de aceite conocida C para promocionar.

x 2 = Cantidad de litros comprados de aceite desconocida D para promocionar.

Min: Z = 250x 1 + 125x 2 ❶

Sujeto a: 250x 1 + 125x 2 ≤ 3125❷ ; 0, 50x 2 ≤ x 1 ≤ 2x 2 ❸ ; x 1 + x 2 ≥ 6 ❹

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*15


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #22 Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la

producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir

una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir

ninguna. La máquina de teñir se puede usar durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica

es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ¿Cómo

emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de chaquetas fabricados.

x 2 = Número de pantalones fabricados .

Max: Z = 8x 1 + 5x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 ≤ 3❷ ; 3x 1 + x 2 ≤ 12❸ ; x 1 + x 2 ≤ 7❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA #23 La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio

de 1,5 millones de bolivianos, y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 autos

del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos

de esa campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones de bolivianos ¿Cuántos automóviles

de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de autos vendidos del modelo A.

x 2 = Cantidad de autos vendidos del modelo B.

Max: Z = 1500000x 1 + 2000000x 2 ❶

Sujeto a: 1500000x 1 + 2000000x 2 ≥ 6000000❷ ; x 1 ≤ 20 ❸ ; x 2 ≤ 10 ❹ ; x 1 ≥ x 2 ❺

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❻ }

PROBLEMA #24 En una explotación agrícola de 25 Ha pueden establecerse dos cultivos A y B. El beneficio de una

Hectárea de A es de 20000 Bs. y el de una Ha de B de 30000 Bs. Las disponibilidades de trabajo de explotación son de 80

jornadas, una Ha de A precisa 4 jornadas, mientras que una de B precisa sólo 2 jornadas. La subvención de ministerio

de tierras de INSA de Bolivia es de 5 Bs por Ha. de A y de 10 Bs por Ha. de B, siendo la subvención máxima por

explotación agrícola de 200 Bs. Representar el conjunto factible. Calcular el beneficio máximo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de hectarias(Ha) a cultivar el cultivo A.

x 2 = Cantidad de hectarias(Ha) a cultivar el cultivo B.

Max: Z = 20000x 1 + 30000x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 25❷ ; 4x 1 + 2x 2 ≤ 80 ❸ ; 5x 1 + 10x 2 ≤ 200 ❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA #25 Las restricciones pesqueras impuestas por la CAN obligan a cierta empresa a pescar como máximo

2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden

pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1000 Bs/tm y el precio del rape es de 1500 Bs/tm, ¿qué

cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de toneladas(TM)a pescar de pescado tipo de merluza.

x 2 = Cantidad de toneladas(TM)a pescar de pescado tipo de rape.

Max: Z = 1000x 1 + 1500x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 3000❷ ; x 1 ≤ 2000❸ ; x 2 ≤ 2000❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❺ }

PROBLEMA #26 Una excursionista planea salir de campamento. Hay cinco artículos que desea llevar consigo, pero entre

todos sobrepasan las 60 Libras que considera que puede cargar. Para auxiliarse en la selección, ha asignado un valor a

cada artículo en orden ascendente de importancia:

Articulo 1 2 3 4 5

Peso,(libras) 52 23 35 15 7

Valor 100 60 70 15 15

¿Qué artículos deberá llevar para maximizar el valor total, sin sobrepasar la restricción de peso?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad a llevar del artículo 1.

x 2 = Cantidad a llevar del artículo 2.

x 3 = Cantidad a llevar del artículo 3.

x 4 = Cantidad a llevar del artículo 4.

x 5 = Cantidad a llevar del artículo 5.

Max: Z = 100x 1 + 60x 2 + 70x 3 + 15x 4 + 15x 5 ❶

Sujeto a:

52x 1 + 23x 2 + 35x 3 + 15x 4 + 7x 5 ≤ 60❷

x 1 ≤ 1❸ ; x 2 ≤ 1❹ ; x 3 ≤ 1❺ ; x 4 ≤ 1 ❻ ; x 5 ≤ 1❼

{ con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❽ }

JULIO VARGAS HERBAS*16


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #27 Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de p y un

40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes

restricciones: La cantidad de A es mayor igual que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30

gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. ¿Qué mezcla contiene la mayor cantidad del

pigmento p? ¿Qué mezcla hace q mínimo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de gramos de la pintura A.

x 2 = Cantidad de gramos de la pintura B.

Max: Z p = 0, 3x 1 + 0, 5x 2 ↔ también podemos minimizar la F. O. ❶

Min: Z q = 0, 4x 1 + 0, 2x 2 ↔ también podemos maximizar la F. O. ❷

{ Sujeto a: x 1 ≥ x 2 ❸ ; 30 ≥ x 1 − x 2 ≥ 10 ❹ ; 30 ≥ x 2 ≥ 10 ❺ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❻ }

PROBLEMA #28 En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades

de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo

X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una

de B. El precio del tipo X es de 1000 Bs y el del tipo Y es de 3000 Bs. Se pregunta:

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de kilogramos a comprar del compuesto X.

x 2 = Cantidad de kilogramos a comprar del compuesto Y.

Min: Z = 1000x 1 + 3000x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + 5x 2 ≥ 15❷ ; 5x 1 + x 2 ≥ 15❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❹ }

PROBLEMA #29 Una compañía fábrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L 2 . Para su fabricación se necesita un

trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el L 2 ; y un trabajo de máquina para L 1 y de 10

minutos para L 2 . Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo

que el beneficio por unidad es de 15 y 10 Bs para L 1 y L 2 , respectivamente, planificar la producción para obtener el

máximo beneficio.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de lamparas de L1 a fabricar.

x 2 = Cantidad de lamparas de L2 a fabricar.

Max: Z = 15x 1 + 10x 2 ❶

1

{

Sujeto a:

3 x 1 + 1 2 x 2 ≤ 100 ❷ ; 1 3 x 1 + 1 6 x 2 ≤ 80❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❹ }

PROBLEMA #30 Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren

ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el

primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1

bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6,5 y 7 Bs, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada

tipo para obtener el máximo beneficio?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de paquetes a poner en oferta de P1.

x 2 = Cantidad de paquetes a poner en oferta de P2.

Max: Z = 6, 5x 1 + 7x 2 ❶

{

Sujeto a: 2x 1 + 3x 2 ≤ 600❷ ; x 1 + x 2 ≤ 500 ❸ ; 2x 1 + x 2 ≤ 400 ❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❺

}

PROBLEMA #31 Se dispone de 600 gramos (gr) de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas.

Las grandes pesan 40 gr y las pequeñas 30 gr. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de

pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 Bs y la pequeña de 1 Bs. ¿Cuántas

pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de pastillas grandes a elaborar.

x 2 = Cantidad de pastillas pequeñas a elaborar.

Max: Z = 2x 1 + 1x 2 ❶

{

Sujeto a: 40x 1 + 30x 2 ≤ 600❷ ; x 1 ≥ 3❸ ; x 2 ≥ 2x 1 ❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❺

}

PROBLEMA #32 Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para

ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 300 Bs; la

oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 500 Bs. No se desea ofrecer menos de 20

lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de lotes a vender de oferta A.

x 2 = Cantidad de lotes a vender de oferta B.

Max: Z = 300x 1 + 500x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + 3x 2 ≤ 200❷ ; x 1 + x 2 ≤ 100❸ ; x 1 ≥ 20❹ ; x 2 ≥ 10❺ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❻ }

JULIO VARGAS HERBAS*17


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #33 Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con una

combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le

cuesta a la tienda 80Bs por libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60Bs por libra. ¿Qué

cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón, si se desea minimizar el costo y

mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?

SOLUCIÓN:

x 1 = Numeros de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de albondigon.

x 2 = Numeros de libras de carne de molida de cerdo empleadas en cada libra de albondigon.

Min: Z = 80x 1 + 60x 2 ❶

Sujeto a: 0, 20x 1 + 0, 32x 2 ≤ 0, 25❷ ; x 1 + x 2 = 1❸

0, 80x 1 + 0, 68x 2 ≥ 0, 75(esta restriccion no se incluye el objetivo es minimizar el contenido de grasa y este es carne pura)❹

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺

PROBLEMA #34 La Boliviana de Aviación BOA, es una compañía aérea que tiene dos aviones, A y B, para cubrir un

determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B, pero no puede sobrepasar 120 viajes.

Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos, pero menos de 200. En cada vuelo, A consume 900 litros de

combustible y B 700 litros. ¿Cuántos vuelos deben hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de vuelos que debe realizar el avión tipo A.

x 2 = Número de vuelos que debe realizar el avión tipo B.

Min: Z = 900x 1 + 700x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 200❷ ; x 1 + x 2 ≥ 60❸ ; x 1 ≤ 120❹ ; x 1 ≥ x 2 ❺

{ con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❻ Respuesta: x 1 = 30; x 2 = 30; Min: Z = 48000❼ }

PROBLEMA #35 En una urbanización se van a construir casas de dos tipos; A y B. La empresa constructora dispone

para ello de un máximo de 18 millones de Bs, siendo el costo de cada tipo de casa de 300000 Bs y 200000 Bs,

respectivamente. El Ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio

obtenido por la venta de una casa de tipo A es de 40000 Bs y de 30000 Bs por una del tipo B, ¿cuántas casas deben

construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de Casas a construir de tipo A.

x 2 = Número de Casas a construir de tipo B.

Max: Z = 40000x 1 + 30000x 2 ❶

{

Sujeto a: 300000x 1 + 200000x 2 ≤ 18000000❷ ; x 1 + x 2 ≤ 80❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

PROBLEMA #36 Minas Universal opera tres minas en ORURO-BOLIVIA. El mineral de cada una se separa, antes de

embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las mismas así, como sus costos diarios de operación

son los siguientes:

Mineral de grado alto Mineral de grado bajo, Costo de operación,

tonelada/día

tonelada/día

Bs1000/día

Mina I 4 4 20

Mina II 6 4 22

Mina III 1 6 18

La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo

para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos de trabajo que garantizan a los trabajadores de ambas minas

el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté abierta. Determínese el número de días que cada

mina debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total

mínimo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de días a trabajar en la mina I.

x 2 = Número de días a trabajar en la mina II

x 3 = Número de días a trabajar en la mina III

Min: Z = 20x 1 + 22x 2 + 18 x 3 ❶

Sujeto a: 4x 1 + 6x 2 + 1 x 3 ≥ 54❷ ; 4x 1 + 4x 2 + 6 x 3 ≥ 65 ❸

{ x 1 ≤ 7❹ ; x 2 ≤ 7❺ ; x 3 ≤ 7❻ ; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❼}

PROBLEMA #37Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 gr de oro y 1,5 gr de plata, vendiéndolas a 40

Bs cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 gr de oro y 1 gr de plata, y las vende a 50 Bs. El orfebre tiene solo

en el taller 750 gr de cada uno de los metales. Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio

máximo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de joyas del tipo A a fabricar .

x 2 = Cantidad de joyas del tipo B a fabricar .

Max: Z = 40x 1 + 50x 2 ❶

{ Sujeto a: 1x 1 + 1, 5x 2 ≤ 750❷ ; 1, 5x 1 + 1x 2 ≤ 750❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

JULIO VARGAS HERBAS*18


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #38 Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay

una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de

cada artículo que debe fabricarse con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de

transformación o sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto.

PRODUCTO

Componentes

P1

P2

Disponibilidad(Kilogramos)

A 1 3 15000

B 2 1 10000

C 2 2 12000

D 1 1 10000

Beneficios(Bs/unidad) 4 3

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades a elaborar del producto P1.

x 2 = Número de unidades a elaborar del producto P2.

Máximo: Z = 4x 1 + 3x 2 ❶

Sujeto a: 1x 1 + 3x 2 ≤ 15000 (Componente A)❷ ; 2x 1 + 1x 2 ≤ 10000 (Componente B)❸

{ 2x 1 + 2x 2 ≤ 12000 (Componente C)❹ ; 1x 1 + 1x 2 ≤ 10000 (Componente D)❺ ; x 1 , x 2 ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)❻}

PROBLEMA #39 En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 0,5 Bs/litro y

0,3 Bs/litro, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5000 y 2000 bolivianos de

materias primas por cada 10000 litros. La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y 10000 bolivianos para

materias primas, y desea maximizar su beneficio. ¿Cuántos litros debe producir de cada tipo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de litros a producir de cervez Rubia.

x 2 = Número de litros a producir de cervez Negra.

Máximo: Z = 5000x 1 + 3000x 1 ❶

Sujeto a: 3x 1 + 5x 2 ≤ 15 (Empleados Disponibles)❷ ; 5000x 1 + 2000x 2 ≤ 10000 (Capital para Materia Prima)❸

{

x 1 , x 2 ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)❹ }

PROBLEMA #40 (JVH, 1979). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de

alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus

características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por

ejemplo:

SOLUCIÓN:

Leche(litros) Legumbre

(1porcion)

Naranjas

(unidad)

Niacina 3,2 4,9 0,8 13

Tiamina 1,12 1,3 0,19 15

Vitamina C 32 0 93 45

Costo 2 0,2 0,25

Requerimientos

nutricionales

x 1 = Litros de leche utilizados en la dieta.

x 2 = Porciones de legumbres utilizados en la dieta.

x 3 = Unidades de naranjas utilizadas en la dieta.

Min: Z = 2x 1 + 0, 2x 2 + 0, 25 x 3 ❶

Sujeto a: 3, 2x 1 + 4, 9x 2 + 0, 8x 3 ≥ 13 ❷ ; 1, 12x 1 + 1, 3x 2 + 0, 19x 3 ≥ 15❸ ; 32x 1 + 0x 2 + 93 x 3 ≥ 45❹

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA #41 Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel de vaca. El cinturón A es de alta calidad, y el

cinturón B es de baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón es de Bs 40 y Bs 30. Cada cinturón de tipo A requiere

el doble de tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la compañía podría fabricar

1000 día, el abastecimiento de piel de vaca es suficiente únicamente para 800 cinturones diarios (A y B combinados) el

cinturón A requiere una hebilla elegante, de las que solamente se dispone 400 diarias. Se tiene únicamente 700 hebillas

al día para el cinturón B. Establezca las ecuaciones o inecuaciones de programación lineal para el problema.

SOLUCIÓN:

{ Sujeto a:

x 1 = Número de cinturones de A, producidos por día de alta calidad.

x 2 = Número de cinturones de B, producidos por día de baja calidad.

tiempo ↔ t A = 2t B

Máximo: Z = 40x 1 + 30x 2 ❶

2x 1 + 1x 2 ≤ 1000❷ ; 1x 1 + 1x 2 ≤ 800❸ ; x 1 ≤ 400❹ ; x 2 ≤ 700❺ ; x 1 , x 2 ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)❻}

JULIO VARGAS HERBAS*19


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #42 Julio Vargas Herbas dispone de Bs 120 para gastar en libros y discos. A tienda donde acude, el precio

de los libros es de Bs 4 y el de los discos es de Bs 12. Suponiendo que desea comprar como mucho el doble número de

libros que de discos. Se pide cuántos libros y cuantos discos puede comprarse.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de libros comprados .

x 2 = Cantidad de discos comprados .

Min: Z = 4x 1 + 12x 2 ❶

{

Sujeto a: 4x 1 + 12x 2 ≤ 120❷ ; x 1 ≤ 2x 2 ❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹

}

PROBLEMA #43 El dueño de un restaurante necesitará en 3 días sucesivos 40, 60 y 70 manteles. Él puede adquirir

manteles a un costo de Bs 20 cada una y después de haberlos usado, puede mandar manteles sucios a lavar, para lo

cual tiene 2 servicios de lavandería disponibles: uno rápido (el lavado tarda 1 día) que cuesta Bs 15 por cada mantel y

uno normal (tarda 2 días) que cuesta Bs 8 por mantel. Formule un modelo que permita conocer al dueño del restaurante

que número de manteles debe comprar inicialmente y que número debe mandar a lavar cada día para minimizar sus

costos.

SOLUCIÓN:

{

x 1 = Cantidad de Manteles comprados(sólo se puede comprar el primer dia).

x 2 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio rápido el primer dia.

x 3 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio normal el primer dia.

x 4 = Cantidad de Manteles mandados a lavar en servicio rápido el segundo dia).

Notar también podríamos haber definido entre otras

x 5 = Cantidad de Manteles no usados el primer dia.

x 6 = Cantidad de Manteles no usados el segundo dia.

Sin embargo, esto no es necesario pues:

x 5 = x 1 − 40

x 6 = x 1 − 40 − 70

Mínimo: Z = 20x 1 + 15x 2 + 8x 3 + 15x 4 ❶

Sujeto a:

x 1 ≥ 40 (Satisfacción de la necesidad de manteles al primer día)❷

(x 1 − 40) + x 2 ≥ 60 ↔ x 1 + x 2 ≥ 100 (Satisfacción de la necesidad de manteles al segundo día)❸

(x 1 − 40) + x 2 − 60 + x 3 + x 4 ≥ 70 ↔ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≥ 170(Satisfacción de la necesidad de manteles al tercer día)❹

x 2 + x 3 ≥ 40(El número de manteles mandados a lavar el primer día,

puede a lo más ser igual al número de manteles usados ese día )❺

x 2 + x 3 + x 4 ≥ 40 + 60 ↔ x 2 + x 3 + x 4 ≥ 100 (El número de manteles mandados a lavar hasta el segundo día,

puede a lo más ser igual al número de manteles usados hasta ese día)❻

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)no negatividad❼ }

PROBLEMA#44 Una empresa de muebles fabrica armarios y estanterías, siendo los costos de producción de 20000 Bs

para los armarios y de 5000 Bs para las estanterías, vendiéndose estos artículos a 25000 y 8000 Bs respectivamente. Si

solamente disponemos de 170000 Bs para la realización de ambos muebles, a) determinar cuál será la distribución de

producción para obtener un beneficio máximo si el número de armarios ha de ser como mínimo el cuádruple del número

de estanterías, b) ¿Cuál será el valor de dichos beneficios?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades de armarios a producir.

x 2 = Número de unidades de estanterias a producir.

Maximizar: Z = 5000x 1 + 3000x 2 ❶

Sujeto a: 20000x 1 + 5000x 2 ≤ 170000❷ ; x 1 ≥ 4x 2 ❸

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

JULIO VARGAS HERBAS*20


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #45 El Real Hotel opera los 7 días a la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar seis horas

diarias. El contrato colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2 días. Todas

las mucamas reciben el mismo sueldo semanal. El Real hotel requiere como mínimo las horas de servicio. Lunes 150,

Martes 200, Miércoles 400, Jueves 300, Viernes 700, Sábado 800 y Domingo 300. El administrador desea encontrar un

plan de programación de empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mínimo. Formule este problema

como un modelo de programación lineal. El gerente le solicita a usted el programa óptimo de compra y venta para el

trimestre.

SOLUCIÓN:

L Ma Mi J V S D L Ma Mi J V S D L Ma Mi J

X L

X Ma

X Mi

X J

X V

X S

X D

X L

X Ma

X Mi

X J

X V

X S

{

x i = Número de mucamas que empiezan a trabajar el día i durante cinco dias consecutivos.

Max: Z = x L + x Ma + x Mi + x J + x V + x S + x D ❶

Sujeto a:

x J + x V + x S + x D + x L ≥ 150

6

x D + x L + x Ma + x Mi + x J ≥ 300

6

❷ ; x V + x S + x D + x L + x Ma ≥ 200

6

❺ ; x L + x Ma + x Mi + x J + x V ≥ 700

6

JULIO VARGAS HERBAS*21

❸ ; x S + x D + x L + x Ma + x Mi ≥ 400

6

❻ ; x Ma + x Mi + x J + x V + x S ≥ 800

6

x Mi + x J + x V + x S + x D ≥ 300

6

❽ ; con: x L, x Ma , x Mi , x J , x V , x S , x D ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)❾

PROBLEMA #46 A un joven matemático se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. Él

pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al estudiante Bs 50. Además sabía que al

visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y

24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6 minutos por cada vaso de

ginebra, 7 y 4 minutos por cada vaso de whisky y martínis. Los precios de las bebidas eran: Cerveza Bs 1 el vaso,

Ginebra Bs 2 el vaso, Whisky Bs 2 el vaso, Martinis Bs 4 el vaso. El matemático pensaba que el objetivo era maximizar el

consumo alcohólico durante los 90 minutos que tenía que entretener a su huésped. Logro que un amigo químico le diese

el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de cerveza,

ginebra, whisky y martínis, 17, 15, 16 y 7 por vaso respectivamente. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 whiskys.

¿Cómo resolvió el matemático el problema?

SOLUCIÓN:

x i = Número de vasos del tipo i(i = 1, 2, 34).

1 = Cerveza; 2 = Ginebra; 3 = Whisky; 4 = Martinis

Max: Z = 17x 1 + 15x 2 + 16x 3 + 7x 4 ❶

Sujeto a: 1x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 4x 4 ≤ 50❷ ; x 1 ≤ 8❸ ; x 2 ≤ 10❹ ; 2 ≤ x 3 ≤ 12❺ ; x 4 ≤ 24❻

{

15x 1 + 6x 2 + 7x 3 + 4x 4 ≤ 90❼ ; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)❽ }

PROBLEMA#47 Una persona dispone de Bs 250000 para invertir. Encuentra 2 activos financieros (AF) interesantes: “L”

y “T”. El AF “L” promete un retorno del 8% y el AF “T” el 12%. La persona decide invertir más del 30% en la compra del

AF “L”, a lo sumo 60% en la compra de AF “T” y lo invertido en “T” debe ser más que lo invertido en “L”. Formule el

Modelo de Programación Lineal.

x 1 = Cantidad de dinero (Bs) a invertir en AF de “L”.

x 2 = Cantidad de dinero (Bs) a invertir en AF de “T”.

Max: Z = 0, 08x 1 + 0, 12x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 250000❷ ; x 1 ≥ 0, 30(x 1 + x 2 ) ↔ 0, 70x 1 − 0, 30x 2 ≥ 0❸

x 2 ≤ 0, 60(x 1 + x 2 ) ↔ −0, 60x 1 + 0, 40x 2 ≤ 0❹ ; x 2 ≥ x 1 ❺

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

}

X D


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#48 La Refinería YPFB produce dos tipos de gasolina sin plomo, Especial y Premium los cuales vende a su cadena de

estaciones de servicio en Bs 12 y Bs 14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de la YPFB de petróleo

nacional refinado y de petróleo importado refinado, y deben cumplir con las siguientes especificaciones:

Gasolina Presión máxima de Octanaje mínimo Demanda máxima, Entregas mínimas

Sin plomo

vapor

barriles/semana

barriles/semana

Especial 23 88 100000 50000

Premium 23 93 20000 5000

Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes:

Petróleo Presión de vapor Octanaje Inventario, barriles Costo Bs/barriles

nacional 25 87 40000 8

importado 15 98 60000 15

¿Qué cantidades de los dos petróleos (nacional e importado) deberá mezclar la YPFB en ambas gasolinas, a fin de maximizar la

ganancia semanal?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de barriles de petróleo Nacional mezclado en la gasolina Especial.

x 2 = Cantidad de barriles de petróleo Importado mezclado en la gasolina Especial.

x 3 = Cantidad de barriles de petróleo Nacional mezclado en la gasolina Premium.

x 4 = Cantidad de barriles de petróleo Importado mezclado en la gasolina Premium.

Se producirá una cantidad de x 1 + x 2 de gasolina especial y x 3 + x 4 de gasolina premium.

Máximo: Z = 12( x 1 + x 2 ) + 14(x 3 + x 4 ) − 8( x 1 + x 3 ) − 15( x 2 + x 4 )

Máximo: Z = 12x 1 + 12x 2 + 14x 3 + 14x 4 − 8x 1 − 8x 3 − 15x 2 − 15x 4 = 4x 1 − 3x 2 + 6x 3 − x 4 → ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 100000 (demanda máxima de gasolina Especial) → ❷

x 3 + x 4 ≤ 20000 (demanda máxima de gasolina premium) → ❸

x 1 + x 2 ≥ 50000 (requerimiento mínimo de gasolina Especial) → ❹

x 3 + x 4 ≥ 5000 (requerimiento mínimo de gasolina premium) → ❺

x 1 + x 3 ≤ 40000 (inventario de barriles de petróleo Nacional) → ❻

x 2 + x 4 ≤ 60000 (inventario de barriles de petróleo Importado) → ❼

x 1

x 2

Octanaje de gasolina Especial es: 87 + 98 ≥ 88 ↔

87x 1

+

98x 2

≥ 88 ↔ 87x 1 + 98x 2

≥ 88

x 1 + x 2 x 1 + x 2 x 1 + x 2 x 1 + x 2 x 1 + x 2

87x 1 + 98x 2 ≥ 88(x 1 + x 2 ) ↔ 87x 1 + 98x 2 ≥ 88x 1 + 88x 2 ↔ 87x 1 + 98x 2 − 88x 1 − 88x 2 ≥ 0

−1x 1 + 10x 2 ≥ 0 (−1) ↔ x 1 − 10x 2 ≤ 0 → ❽

x 3

x 4

Octanaje de gasolina Premium es: 87 + 98 ≥ 93 ↔

87x 3

+

98x 4

≥ 93 ↔ 87x 3 + 98x 4

≥ 93

x 3 + x 4 x 3 + x 4 x 3 + x 4 x 3 + x 4 x 3 + x 4

87x 3 + 98x 4 ≥ 93(x 3 + x 4 ) ↔ 87x 3 + 98x 4 ≥ 93x 3 + 93x 4 ↔ 87x 3 + 98x 4 − 93x 3 − 93x 4 ≥ 0

−6x 3 + 5x 4 ≥ 0 (−1) ↔ 6x 3 − 5x 4 ≤ 0 → ❾

x 1

x 2

Presion de vapor de gasolina Especial es: 25 + 15 ≤ 23 ↔

25x 1

+

15x 2

≤ 23 ↔ 25x 1 + 15x 2

≤ 23

x 1 + x 2 x 1 + x 2 x 1 + x 2 x 1 + x 2 x 1 + x 2

25x 1 + 15x 2 ≤ 23(x 1 + x 2 ) ↔ 25x 1 + 15x 2 ≤ 23x 1 + 23x 2 ↔ 25x 1 + 15x 2 − 23x 1 − 23x 2 ≤ 0 ↔ 2x 1 − 8x 2 ≤ 0 → ❿

x 3

x 4

Presión de Vapor de gasolina Premium es: 25 + 15 ≤ 23 ↔

25x 3

+

15x 4

≤ 23 ↔ 25x 3 + 15x 4

≤ 23

x 3 + x 4 x 3 + x 4 x 3 + x 4 x 3 + x 4 x 3 + x 4

25x 3 + 15x 4 ≤ 23(x 3 + x 4 ) ↔ 25x 3 + 15x 4 ≤ 23x 3 + 23x 4 ↔ 25x 3 + 15x 4 − 23x 3 − 23x 4 ≤ 0 ↔ 2x 3 − 8x 4 ≤ 0 → ❶❶

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN); j = 1, 2, 3, 4. ❶❷

Resumiendo el ejercico tenemos asi:

Máximo: Z = 4x 1 − 3x 2 + 6x 3 − x 4 → ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 100000 (demanda máxima de gasolina Especial) → ❷

x 3 + x 4 ≤ 20000 (demanda máxima de gasolina premium) → ❸

x 1 + x 2 ≥ 50000 (requerimiento mínimo de gasolina Especial) → ❹

x 3 + x 4 ≥ 5000 (requerimiento mínimo de gasolina premium) → ❺

x 1 + x 3 ≤ 40000 (inventario de barriles de petróleo Nacional) → ❻

x 2 + x 4 ≤ 60000 (inventario de barriles de petróleo Importado) → ❼

x 1 − 10x 2 ≤ 0 → ❽

6x 3 − 5x 4 ≤ 0 → ❾

2x 1 − 8x 2 ≤ 0 → ❿

2x 3 − 8x 4 ≤ 0 → ❶❶

{

x j ≥ 0∀j; j = 1, 2, 3, 4. ❶❷ }

JULIO VARGAS HERBAS*22


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #49 (Julio Vargas, 1979). Consiste en hallar una política óptima de producción para satisfacer demandas

fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar los costos de producción e inventario, considerando la disponibilidad de

recursos escasos. Considere que una fábrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que

se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información:

Periodos

Demandas

(unidades)

Costo Producción

(US$/unidad)

Costo de Inventario

(US$/unidad)

1 130 6 2

2 80 4 1

3 125 8 2,50

4 195 9 3

Adicionalmente considere que se dispone de un Inventario Inicial de 15 unidades y no se acepta demanda pendiente o

faltante, es decir, se debe satisfacer toda la demanda del período.

SOLUCIÓN:

x t = Número de unidades elaboradas en el periodo t (t = 1, 2, 3 , 4).

I t = Número de unidades en inventario al final del periodo t (t = 1, 2, 3, 4).

Minimo: Z = 6x 1 + 4x 2 + 8x 3 + 9x 4 + 2I 1 + I 2 + 2, 5I 3 + 3I 4 ❶

Sujeto a: x t ≤ 150 (t = 1, 2, 3, 4)❷ ; x 1 + I 0 − I 1 = 130 (I 0 = 15) → (periodo 1)❸ ; x 2 + I 1 − I 2 = 80 → (periodo 2)❹

{ x 3 + I 2 − I 3 = 125 → (periodo 3)❺ ; x 4 + I 3 − I 4 = 195 → (periodo 4)❻ ; (x t ≥ 0∀t) y (I t ≥ 0∀t)❼ ; nota: I = inventario}

PROBLEMA #50 Una industria de muebles requiere de 350 barras de 2x4x20 cm. y de 200 barras de 2x3x20 cm., si dicha

empresa dispone de barras cuyas dimensiones son 7x5x20 cm., cuál debe ser el programa que debe seguir para

minimizar desperdicios sabiendo que el máximo debe ser de 140 cm3.

SOLUCIÓN:

x i = Cantidad de barras a obtenerse en la modalidad de corte i.

140cm 2

20cm

= 7cm2

350 barras → 2 ∗ 4 ∗ 20

200 barras → 2 ∗ 3 ∗ 20

Mínimo: Z = 100x 1 + 60x 2 + 140x 3 ❶

{ Sujeto a: 0x 1 + 1x 2 + 2x 3 ≥ 350❷; 5x 1 + 4x 2 + 2x 3 ≥ 200❸; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)❹ }

NOTA x 1 x 2 x 3

2 ∗ 4 ∗ 20 0 1 2

2 ∗ 3 ∗ 20 5 4 2

PROBLEMA#51 La Cámara de Industriales de la región periódicamente promueve servicios públicos, seminarios y

programas. Actualmente los planes de promoción para este año están en marcha. Los medios alternativos para realizar

la publicidad así como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, además de la cantidad máxima de

unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestran a continuación.

Restricciones Televisión Radio Prensa

Audiencia por unidad de publicidad 100000 18000 40000

Costo por unidad de publicidad Bs 2000 Bs 300 Bs 600

Uso máximo del medio 10 20 10

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el 50% del total de unidades de

publicidad autorizados. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total

autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a Bs 18500.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de publicidad a contratar en Televisión.

x 2 = Cantidad de publicidad a contratar en Radio.

x 3 = Cantidad de publicidad a contratar en Prensa.

Max: Z = 100000x 1 + 18000x 2 + 40000x 3 ❶

Sujeto a:

2000x 1 + 300x 2 + 600x 3 ≤ 18500❷

x 1 ≤ 10❸

x 2 ≤ 20❹

x 3 ≤ 10❺

x 2 ≤ 0, 50(x 1 + x 2 + x 3 ) ↔ −0, 50x 1 + x 2 − 0, 50x 3 ≤ 0❻

x 1 ≥ 0, 10(x 1 + x 2 + x 3 ) ↔ 0, 90x 1 − 0, 10x 2 − 0, 10x 3 ≥ 0❼

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❽ }

JULIO VARGAS HERBAS*23


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#52 Un destacamento militar formado por 40 soldados de Ingenieros, 36 especialistas dinamiteros, 88

antiguerrilleros, y 120 infantes como tropa de apoyo, ha de transportarse hasta una posición estratégica importante. En

el parque de la base se dispone de 4 tipos de vehículos A, B, C, y D, acondicionados para transporte de tropas. El

número de personas que cada vehículo puede transportar es 10, 7, 6, y 9, de la forma en que se detalla en la siguiente

tabla:

Ingenieros Dinamiteros Antiguerrillas Infantes

A 3 2 1 4

B 1 1 2 3

C 2 1 2 1

D 3 2 3 1

Los gastos de gasolina de cada vehículo hasta el punto de destino se estiman en 160, 80, 40, y 120 litros

respectivamente. Si queremos ahorrar gasolina, ¿cuántos vehículos de cada tipo habrá que utilizar para que el gasto de

combustible sea el mínimo posible?

x 1 = Numeros de vehiculos a utilizar de tipo A.

x 2 = Numeros de vehiculos a utilizar de tipo B.

x 3 = Numeros de vehiculos a utilizar de tipo C.

x 4 = Numeros de vehiculos a utilizar de tipo D.

Minimo: Z = 160x 1 + 80x 2 + 40x 3 + 120x 4 ❶

Sujeto a: 3x 1 + 1x 2 + 2x 3 + 3x 4 ≥ 40 ❷ ; 2x 1 + 1x 2 + 1x 3 + 2x 4 ≥ 36 ❸ ; 1x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 ≥ 88❹

{

4x 1 + 3x 2 + 1x 3 + 1x 4 ≥ 120❺ ; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

PROBLEMA#53 Un fabricante desea despachar varias unidades de un artículo a tres tiendas T1, T2, y T3. Dispone de dos

almacenes desde donde realizar el envío, A y B. En el primero dispone de 5 unidades de este artículo y en el segundo 10.

La demanda de cada tienda es de 8, 5, y 2 unidades respectivamente. Los gastos de transporte de un artículo desde cada

almacén a cada tienda están expresados en la tabla:

T1 T2 T3

A 1 2 4

B 3 2 1

¿Cómo ha de realizar el transporte para que sea lo más económico posible?

SOLUCIÓN:

x 1 = Numero de unidades transportadas desde el almacen A hasta la tienda T1.

x 2 = Numero de unidades transportadas desde el almacen A hasta la tienda T2.

x 3 = Numero de unidades transportadas desde el almacen A hasta la tienda T3.

x 4 = Numero de unidades transportadas desde el almacen B hasta la tienda T1.

x 5 = Numero de unidades transportadas desde el almacen B hasta la tienda T2.

x 6 = Numero de unidades transportadas desde el almacen B hasta la tienda T3

Minimo: Z = 1x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 + 2x 5 + 1x 6 ❶

Sujeto a: 1x 1 + 1x 2 + 1x 3 = 5❷ ; x 4 + 1x 5 + 1x 6 = 10❸ ; 1x 1 + 1x 4 = 8❹ ; 1x 2 + 1x 5 = 5❺ ; 1x 3 + 1x 6 = 2❻

{

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❼ }

PROBLEMA#54 Un agricultor tiene una parcela de 640m² para dedicarla al cultivo de árboles frutales: naranjos, perales,

manzanos y limoneros. Se pregunta de qué forma debería repartir la superficie de la parcela entre las variedades para

conseguir el máximo beneficio sabiendo que: cada naranjo necesita un mínimo de 16m², cada peral 4m², cada manzano

8m² y cada limonero 12m². Dispone de 900 horas de trabajo al año, necesitando cada naranjo 30 horas al año, cada peral

5 horas, cada manzano 10 horas, y cada limonero 20 horas. A causa de la sequía, el agricultor tiene restricciones para el

riego: le han asignado 200m³ de agua anuales. Las necesidades anuales son de 2m³ por cada naranjo, 1m³ por cada

peral, 1m³ por cada manzano, y 2m³ por cada limonero. Los beneficios unitarios son de 50, 25, 20, y 30 bolivianos por

cada naranjo, peral, manzano y limonero respectivamente.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de arboles frutales a cultivar de Naranjos..

x 2 = Cantidad de arboles frutales a cultivar de Perales.

x 3 = Cantidad de arboles frutales a cultivar de Manzanos.

x 4 = Cantidad de arboles frutales a cultivar de Limoneros.

Máximo: Z = 50x 1 + 25x 2 + 20x 3 + 30x 4 ❶

Sujeto a: 16x 1 + 4x 2 + 8x 3 + 12x 4 ≤ 640❷ ; 30x 1 + 5x 2 + 10x 3 + 20x 4 ≤ 900❸

{ 2x 1 + 1x 2 + 1x 3 + 2x 4 ≤ 200❹ ; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*24


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#55 Una inversora dispone de 50000 Bs para invertir entre las cuatro siguientes posibilidades: bolsa X, bolsa

Y, bonos X, y bonos Y, por el periodo de un año. Un máximo de 10500 Bs puede ser invertido en bonos X, y un máximo

de 10000 Bs en bonos Y. La inversión en la bolsa X conlleva un riesgo considerable por lo que se determina no invertir

más de un cuarto de la inversión total. La cantidad invertida en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad

invertida en la bolsa X. Además, la inversora requiere que la inversión en bonos sea al menos tan grande como la mitad

de la inversión en las bolsas. Los retornos netos anuales se estiman según se muestra en la siguiente tabla:

Bolsa X Bolsa Y Bonos X Bonos Y

20% 10% 9% 11%

¿Cuál es la forma óptima de realizar la inversión para conseguir las máximas ganancias?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de Bs a invertir en la Bolsa X.

x 2 = Cantidad de Bs a invertir en la Bolsa Y.

x 3 = Cantidad de Bs a inverir en Bonos X.

x 4 = Cantidad de Bs a invetir en Bonos Y.

Máximo: Z = 0, 20x 1 + 0, 10x 2 + 0, 09x 3 + 0, 11x 4 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 50000❷ ; x 3 ≤ 10500❸ ; x 4 ≤ 10000❹

x 1 ≤ 1 4 (50000) ↔ x 1 ≤ 12500❺ ; x 2 ≥ 3x 1 ↔ x 2 − 3x 1 ≥ 0(−1) ↔ 3x 1 − x 2 ≤ 0❻

x 3 + x 4 ≥ 1 2 (x 1 + x 2 ) ↔ x 3 + x 4 ≥ 0, 50x 1 + 0, 50x 2 ↔ x 3 + x 4 − 0, 50x 1 − 0, 50x 2 ≥ 0(−1) ↔ 0, 50x 1 + 0, 50x 2 − x 3 − x 4 ≤ 0❼

{

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❽ }

PROBLEMA#56 Julio Vargas debe trabajar cuando menos 20 horas a la semana para complementar sus ingresos, y al

mismo tiempo asistir a la Universidad Autónoma GRM. Tiene oportunidad de trabajar en dos tiendas de dependiente. En

la tienda A puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda B le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Las dos

tiendas le pagan el mismo sueldo por hora. Julio utiliza como criterio de decisión minimizar el factor de tensión en el

trabajo. Por diversas entrevistas mantenidas con los empleados de las dos tiendas, ha llegado a la conclusión de que

los factores de tensión de las tiendas A y B son 8 y 6, respectivamente. Puesto que la tensión total aumenta cada hora,

supone que la tensión total al final de la semana es proporcional a la cantidad de horas que trabaja en las tiendas.

¿Cuántas horas debería trabajar Julio Vargas en cada tienda?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de horas a trabajar en la tienda A.

x 2 = Número de horas a trabajar en la tienda B.

Mínimo: Z = 8x 1 + 6x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 20❷ ; 5 ≤ x 1 ≤ 12❸ ; 6 ≤ x 2 ≤ 10❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA#57 Un taller fabrica lavadoras y lavavajillas con una producción diaria máxima total de 180 unidades. El

beneficio obtenido con la producción y venta de cada lavadora es de 5000 Bs y 8000 Bs el obtenido con cada

lavavajillas. Sabiendo que por las limitaciones de la cadena de montaje no es posible fabricar diariamente más de 150

lavadoras ni más de 80 lavavajillas, se pide: a) Determinar la producción de cada artículo a fin de obtener un beneficio

máximo, teniendo en cuenta que el número de lavadoras ha de ser como mínimo el doble que el de lavavajillas, con

objeto de poder atender a la demanda existente. b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio? Justificar las respuestas.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades de lavadoras a producir.

x 2 = Número de unidades de lavajillas a producir.

Maximizar: Z = 5000x 1 + 8000x 2 ❶

{ Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 180 ❷ ; x 1 ≤ 150❸ ; x 2 ≤ 80❹ ; x 1 ≥ 2x 2 ❺ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

PROBLEMA#58 Usted compra cierta cantidad de 2 productos (A y B) con Bs 100000. El producto A le cuesta Bs 80 y el B

Bs 100. Luego de agregar el valor los vende en Bs 95 y Bs 120 respectivamente. Sabiendo que usted tiene capacidad

para trabajar (agregar valor) como máximo 700 unidades de producto, formule el MPL que maximice el beneficio.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de unidades a comprar del producto A.

x 2 = Cantidad de unidades a comprar del producto B.

Maximizar: Z = (95 − 80)x 1 + (120 − 100)x 2 = 15x 1 + 20x 2 ❶

Sujeto a:

{ 80x 1 + 100x 2 ≤ 100000❷ ; x 1 + x 2 ≤ 700❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹}

JULIO VARGAS HERBAS*25


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#59 Una empresa ha pre-seleccionado 5 candidatos para ocupar 4 puestos de trabajo en dicha empresa. Los

puestos de trabajo consisten en manejar 4 máquinas diferentes (un trabajador para cada máquina). La empresa puso a

prueba a los 5 trabajadores en las 4 máquinas, realizando el mismo trabajo todos ellos en cada una de las máquinas,

obteniendo los siguientes tiempos:

Máquina1 Máquina2 Máquina3 Máquina4

Candidato1 10 6 6 5

Candidato2 8 7 6 6

Candidato3 8 6 5 6

Candidato4 9 7 7 6

Candidato5 8 7 6 5

Determinar qué candidatos debe seleccionar la empresa y a qué máquinas debe asignarlos.

SOLUCIÓN:

x ij = Candidato(i) es asignado a la máquina(j) = acción de que el trabajador i es asignado a la

máquina j{(0)cero indica que el trabajador no ha sido asignado y (1)uno indica que si es asignado}

i = Candidato 1, 2, 3, 4, 5 y j = Máquina1, 2, 3, 4.

Minimizar: Z = 10x 11 + 8x 21 + 8x 31 + 9x 41 + 8x 51 + 6x 12 + 7x 22 + 6x 32 + +7x 42 + 7x 52 +

6x 13 + 6x 23 + 5x 33 + 7x 43 + 6x 53 + 5x 14 + 6x 24 + 6x 34 + 6x 44 + 5x 54 ❶

Sujeto a:

Cada trabajador(candidato)debe estar asignado a una sola máquina ó a ninguna si no se selecciona:

x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ≤ 1❷ ; x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 1❸ ; x 31 + x 32 + x 33 + x 34 ≤ 1❹

x 41 + x 42 + x 43 + x 44 ≤ 1❺ ; x 51 + x 52 + x 53 + x 54 ≤ 1❻

En cada máquina debe haber un trabajador: x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 = 1❼

x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 = 1❽; x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 = 1❾ ; x 14 + x 24 + x 34 + x 44 + x 54 = 1❿

{

Con: x ij ≥ 0∀j (CNN) → es booleano(0 y 1), 0 no se asigna y 1 se lo asigna. ❶❶ }

PROBLEMA#60 Una Empresa de informática especializada en auditoría de código fuente va a contratar dos tipos de

técnicos (con experiencia y sin experiencia) para atender el control de calidad del código Java realizado. Necesita

inspeccionar al menos 2100 clases por día laboral (7 horas). Los técnicos expertos son capaces de inspeccionan 30

clases a la hora con un nivel de seguridad del 98 %, mientras que los técnicos inexpertos sólo inspeccionan 18 clases a

la hora con un nivel de seguridad del 95 %. Los sueldos respectivos son de 50 y 30 Bs/horas y cada error de inspección

supone a la compañía un costo adicional de 5 Bs. Si se desea contratar a lo sumo 6 técnicos con experiencia y 10 sin

experiencia. ¿Cuántos técnicos de cada tipo tienen que contratar la compañía, a fin de minimizar el costo total?

SOLUCIÓN:

x 1 = Numero de programadores a contratar con experiencia.

x 2 = Numero de programadores a contratar sin experiencia.

Minimizar: Z = {(30 ∗ 0. 02)(7)(5) + (50 ∗ 7)}x 1 + {(18 ∗ 0. 05)(7)(5) + (30 ∗ 7)}x 2

Minimizar: Z = 371x 1 + 241. 5x 2 ❶

Sujeto a: (30 ∗ 7)x 1 + (18 ∗ 7)x 2 ≥ 2100 ↔ 210x 1 + 126x 2 ≥ 2100❷ ; x 1 ≤ 6❸ ; x 2 ≤ 10❹

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA#61 Un inversor que tiene Bs 100000 quiere determinar la mejor cartera de inversión en activos financieros.

La rentabilidad esperada seria: Letras del tesoro 4%, Renta fija 8%, Renta variable 10% y caja de ahorro 0,25%. Con el fin

de limitar los riesgos decide: Invertir no más del 10% en renta fija, a lo sumo 45% en renta variable, no superar el 80% en

letras del tesoro y renta fija, tener como mínimo el 4% en caja de ahorro. Formule MPL.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en AF, Letras del Tesoro LT.

x 2 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en AF, Renta Fija RF.

x 3 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en AF, Renta Variable RV.

x 4 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en AF, Caja de ahorro CdA.

Maximizar: Z = 0, 04x 1 + 0, 08x 2 + 0, 10x 3 + 0, 0025x 4 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 100000❷ ; x 2 ≤ 0, 10(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❸ ; x 3 ≤ 0, 45(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❹

{ x 1 + x 2 ≤ 0, 80(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❺ ; x 4 ≥ 0, 04(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❻ ; con: x j ≥ 0∀j (CNN)❼ }

JULIO VARGAS HERBAS*26


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#62 Una empresa financiera dispone de 100 millones de Bs para invertir. Su objetivo es maximizar la

ganancia esperada para el año que viene. Sus posibilidades de financiación son las siguientes:

Activo Financiero Rentabilidad (%) Inversión(millones)

Renta variable 14 40

Letras del tesoro 12 70

Bonos del tesoro 10 30

Renta fija privada 13 20

A parte de las condiciones de rentabilidad e inversión máxima se considera que por razones de riesgo se deben cumplir,

adicionalmente, con las siguientes condiciones:

Por lo menos el 30% de las inversiones deben quedar invertidos en renta variable y letras del tesoro.

No más del 45% deben quedar invertidos en bonos del tesoro y renta fija privada.

No más del 30% debe quedar invertidos en renta variable y renta fija privada.

No debe quedar dinero sin invertir.

SOLUCIÓN:

{

x 1 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en AF, Renta Variable RV.

x 2 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en AF, Letras del Tesoro LdT.

x 3 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en AF, Bonos del Tesoro BdT.

x 4 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en AF, Renta Fija Privada RFP.

Maximizar: Z = 0, 14x 1 + 0, 12x 2 + 0, 10x 3 + 0, 13x 4 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 100000000❷ ; x 1 + x 2 ≥ 30000000❸ ; x 2 + x 4 ≤ 45000000❹ ; x 1 + x 4 ≤ 30000000❺

x 1 ≤ 40000000❻ ; x 2 ≤ 70000000❼ ; x 3 ≤ 30000000❽ ; x 4 ≤ 20000000❾ ; x j ≥ 0∀j (CNN)❿ }

PROBLEMA#63 Usted es presidente de una microempresa de inversiones que dedica a administrar las carteras de

acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una

cartera de Bs 100000. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente,

como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule usted un modelo de programación lineal para mostrar cuantas

acciones de cada tipo tendría que comprar usted con el fin de maximizar el rendimiento anual total estimada de esa

cartera.

Acciones Precio(Bs) Rendimiento Anual estimada/acción(Bs) Inversión posible(Bs)

N 60 7 60000

T 25 3 25000

R 20 3 30000

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de acciones a comprar de N.

x 2 = Cantidad de acciones a comprar de T.

x 3 = Cantidad de acciones a comprar de R.

Maximizar: Z = 7x 1 + 3x 2 + 3x 3 ❶

Sujeto a: 60x 1 + 25x 2 + 20x 3 ≤ 100000❷ ; 60x 1 ≤ 60000❸ ; 25x 2 ≤ 25000❹ ; 20x 3 ≤ 30000❺

{

con: x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

PROBLEMA#64 Un fabricante de pizzas congeladas produce dos tipos de pizzas simple y de lujo. Se obtiene una

ganancia de 0,50 bolivianos por cada pizza simple y 0,75 bolivianos de lujo. Se dispone de 150 libras de harina, y

dispone de 800 onzas de cubierta. En cada pizza simple se emplea una libra de harina y 4 onzas de cubierta, mientras

que en cada pizza de lujo se emplea una libra de harina y 8 onzas de cubierta. Se puede vender a lo más 75 pizzas de

lujo y 125 pizzas de simple. ¿Cuántas pizzas debe producir para maximizar las utilidades?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de pizzas de simple a fabricar.

x 2 = Cantidad de pizzas de lujo a fabricar.

Maximizar: Z = 0, 50x 1 + 0, 75x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 150❷ ; 4x 1 + 8x 2 ≤ 800❸ ; x 1 ≤ 125❹ ; x 2 ≤ 75❺ ; con: x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

PROBLEMA#65 Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más

tiempo de mano que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la

compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo

tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es Bs 8 para el tipo 1 y Bs 5 para el

tipo 2. Determine el número de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para maximizar la ganancia.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de sombreros a ser elaborados del tipo 1.

x 2 = Número de sombreros a ser elaborados del tipo 2.

Max: Z = 8x 1 + 5x 2 ❶

{

Sujeto a: 2x 1 + 1x 2 ≤ 500❷ ; x 1 ≤ 150❸ ; x 2 ≤ 200❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*27


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#66 Se elabora cuatro productos en forma sucesiva en dos máquinas. Los tiempos de manufactura en horas

por unidad de cada producto se tabulan para las dos máquinas:

El costo total de producción de una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de la máquina.

Supóngase que el costo por horas de las maquinas 1 y 2 es Bs 10 y Bs 5 respectivamente. El total de horas

presupuestadas para todos los productos en las maquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de venta unitario de los

productos 1, 2 3, y 4 son Bs 65, Bs 70, Bs 55 y Bs 45, formule el problema como un modelo de programación lineal para

maximizar la ganancia neta total. Analice la solución óptima.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades producidas del producto 1.

x 2 = Número de unidades producidas del producto 2.

x 3 = Número de unidades producidas del producto 3.

x 4 = Número de unidades producidas del producto 4.

Max: Z = (65x 1 + 70x 2 + 55x 3 + 45x 4 ) − [10(2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 2x 4 ) + 5(3x 1 + 2x 2 + 1x 3 + 2x 4 )]

Max: Z = 30x 1 + 30x 2 + 10x 3 + 15x 4 ❶

{ Sujeto a: 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 2x 4 ≤ 500❷ ; 3x 1 + 2x 2 + 1x 3 + 2x 4 ≤ 380❸ ; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0; x j ≥ 0∀j (CNN)❹}

PROBLEMA#67 La Cámara de Industriales de la región periódicamente promueve servicios públicos, seminarios y

programas. Actualmente los planes de promoción para este año están en marcha. Los medios alternativos para realizar

la publicidad así como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, además de la cantidad máxima de

unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestran a continuación.

Restricciones Televisión Radio Prensa

Audiencia por unidad de publicidad 100000 18000 40000

Costo por unidad de publicidad Bs 2000 Bs 300 Bs 600

Uso máximo del medio 10 20 10

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el 50% del total de unidades de

publicidad autorizados. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total

autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a Bs 18500.

SOLUCIÓN:

x 1 = Unidades de publicidad a contrar en television.

x 2 = Unidades de publicidad a contrar en radio.

x 3 = Unidades de publicidad a contrar en prensa.

Maximo: Z = 100000x 1 + 18000x 2 + 40000x 3 ❶

Sujeto a: 2000x 1 + 300x 2 + 600x 3 ≤ 18500❷ ; x 2 ≤ 0, 50(x 1 + x 2 + x 3 )❸ ; x 1 ≥ 0, 10(x 1 + x 2 + x 3 )❹

{

x 1 ≤ 10❺ ; x 2 ≤ 20❻ ; x 3 ≤ 10❼ ; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0; x j ≥ 0∀j (CNN)❽ }

PROBLEMA#68 Un fabricante de muebles tiene 18 unidades de madera y 70 horas de mano de obra, durante de las cuales

fabricara biombos decorativos, con anterioridad, se han vendido bien dos modelos de manera que se limitara a producir estos

dos modelos. Estima que el modelo 1 requiera 4 unidades de madera y 10 horas de mano de obra del tiempo disponible,

mientras que el modelo 2 requiere 2 unidades de madera y 13 horas de mano de obra. Los precios de los modelos son 240 y 190

bolivianos respectivamente, y cada unidad de madera cuesta 7 bolivianos y cada hora de mano de hora cuesta 4,5 bolivianos.

¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar sus utilidades?

SOLUCIÓN:

Maquina

Tiempo por unidad (hr)

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

1 2 3 4 2

2 3 2 1 2

x 1 = Cantidad de biombos a fabricar del modelo1 .

x 2 = Cantidad de biombos a fabricar del modelo2.

Maximo: Z = (240 − 73)x 1 + (190 − 72, 50)x 2 = 167x 1 + 117, 50x 2 ❶

{ Sujeto a: 4x 1 + 2x 2 ≤ 18❷ ; 10x 1 + 13x 2 ≤ 70❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

PROBLEMA#69 Una compañía elabora dos productos, A y B. el volumen de ventas del producto A es cuando menos el 60% de

las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria está

limitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima a los índices o tasas de 2 lb/unidad y 4 lb/unidad,

respectivamente. El precio de venta de los dos productos es Bs 200 y Bs 400 por unidad. Determine la asignación óptima de la

materia prima a los dos productos.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de volumenes de ventas del producto A.

x 2 = Cantidad de volumenes de ventas del producto B.

Maximizar: Z = 200x 1 + 400x 2 ❶

{

Sujeto a: 2 x 1 + 4x 2 ≤ 100❷ ; x 1 ≥ 0, 60( x 1 + x 2 )❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

JULIO VARGAS HERBAS*28


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#70 Una persona tiene que desplazarse a diario de un pueblo 1 a otro pueblo 7. Está estudiando cuál es el

trayecto más corto usando un mapa de carreteras. Las carreteras y sus distancias están representadas en la figura

siguiente:

SOLUCIÓN:

x ij = Acción de desplazarse del pueblo i al pueblo j.

(0 indica que no hay desplazamiento y 1 que si hay desplazamiento)

Minimizar: Z = 12x 12 + 4x 13 + 5x 24 + 3x 25 + 2x 34 + 10x 36 + 5x 42 + 2x 43 + 10x 45 + 3x 52 + 10x 54 + 2x 57 + 10x 63 + 4x 67 ❶

Sujeto a:

x 12 + x 13 = 1(balance de caminos del pueblo 1)❷

x 24 + x 25 − x 12 − x 42 − x 52 = 0(balance de caminos del pueblo 2)❸

x 34 + x 36 − x 13 − x 43 − x 63 = 0(balance de caminos del pueblo 3)❹

x 42 + x 43 + x 45 − x 24 − x 34 − x 54 = 0(balance de caminos del pueblo 4)❺

x 52 + x 54 + x 57 − x 25 − x 45 = 0(balance de caminos del pueblo 5)❻

x 63 + x 67 − x 36 = 0(balance de caminos del pueblo 6)❼

−x 57 − x 67 = −1(balance de caminos del pueblo 7)❽

{

x ij ≥ 0∀ij (CNN) → x ij es booleana(0 no se asigna, 1 se lo asigna)❾ }

PROBLEMA#71 Una empresa constructora de barcos fabrica en sus dos astilleros tres tipos de barcos: A, B y C. Se

compromete a entregar anualmente a cierta compañía marítima 18 barcos de tipo A, 10 del tipo B y 6 del tipo C. El primer

astillero construye mensualmente 3 barcos tipo A, 2 tipo B y 1 tipo C, siendo el costo mensual de su funcionamiento de

5 millones de bolivianos, y el segundo astillero construye mensualmente 2 barcos tipo A, 1 tipo B y 2 tipo C, siendo el

costo mensual de su funcionamiento de 3 millones de bolivianos. ¿Cuántos meses al año deberá trabajar cada astillero

para que la empresa cumpla con el compromiso adquirido y consiga reducir al mínimo el costo de funcionamiento?

SOLUCIÓN:

x 1 = Números de meses que trabaja en el primer astillero.

x 2 = Números de meses que trabaja en el segundo astillero.

Minimizar: Z = 5000000x 1 + 3000000x 2 ❶

{

Sujeto a: 3x 1 + 2x 2 ≥ 18❷ ; 2x 1 + 1x 2 ≥ 10❸ ; 1x 1 + 2x 2 ≥ 6❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺

}

PROBLEMA#72 Cierta marca comercial fábrica dos bebidas refrescantes: A y B. Cada litro de A le cuesta 90 Bolivianos y

cada litro de B 60 Bolivianos. Dispone de 180000 Bolivianos diarias para la elaboración de ambas bebidas, fabricando

como máximo (entre las dos) 2500 litros. Sabiendo que los márgenes comerciales (ganancias) son de 12 Bolivianos por

cada litro de A y de 10 Bolivianos por cada litro de B, ¿cuántos litros de A y de B deberá fabricar diariamente para

maximizar sus beneficios?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de litros(envases)a fabricar bebidas refrecantes de tipo A.

x 2 = Cantidad de litros(envases)a fabricar bebidasrefrecantes de tipo B.

Maximizar: Z = 12x 1 + 10x 2 ❶

Sujeto a:

90x 1 + 60x 2 ≤ 180000 (dinero disponible)❷

x 1 + x 2 ≤ 2500 (máximo de litros a fabricar entre las dos. )❸

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

JULIO VARGAS HERBAS*29


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#73 Una empresa tiene la exclusiva para la distribución de un producto en 4 poblaciones. En un estudio de

mercado se ha determinado la demanda potencial, según se muestra en la siguiente tabla:

Población 1 Población 2 Población 3 Población 4

3000 unidades 2000 unidades 2500 unidades 2700 unidades

Se sabe que los costos de transporte son de 0,02 Bs por Km y unidad transportada. La distancia entre los pueblos es la

que figura en la tabla siguiente:

Población 1 Población 2 Población 3 Población 4

Población 1 - 25Km 35Km 40Km

Población 2 25Km - 20Km 40Km

Población 3 35Km 20Km - 30Km

Población 4 40Km 40Km 30Km -

Para abaratar los costos de transporte se decide instalar un almacén con capacidad para 6000 unidades en dos de estas

cuatro poblaciones. Determinar en qué poblaciones deben instalarse los almacenes.

SOLUCIÓN:

x ij = cantidad enviada del almacen i a la poblacion j.

y i = almacen situada en la poblacion i (0 indica que no hay ningun almacen y 1 que si lo hay)

Minimizar: Z = 0, 5x 12 + 0, 7x 13 + 0, 8x 14 + 0, 5x 21 + 0, 4x 23 + 0, 8x 24 + 0, 7x 31 + 0, 4x 32 + 0, 6x 34 + 0, 8x 41 + 0, 8x 42 + 0, 6x 43 ❶

Sujeto a:

x 11 + x 21 + x 31 + x 41 ≥ 3000❷

x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ≥ 2000❸

x 13 + x 23 + x 33 + x 43 ≥ 2500❹

x 14 + x 24 + x 34 + x 44 ≥ 2700❺

y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 2 → (solo se crearán dos almacenes)❻

x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ≤ 6000 ∗ y 1 ❼

x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 6000 ∗ y 2 ❽

x 31 + x 32 + x 33 + x 34 ≤ 6000 ∗ y 3 ❾

x 41 + x 42 + x 43 + x 44 ≤ 6000 ∗ y 4 ❿

{

x ij ≥ 0∀ij (CNN) → y i es booleana(0 no se crea un almacen, 1 se crea un almacen)❶❶ }

PROBLEMA#74 Un laboratorio prepara dos fármacos con las sustancias A y B. El primero se prepara con 2 unidades

de A y 1 de B, siendo su precio de 2000 bolivianos y el segundo con 1 unidad de A y 3 de B, siendo su precio de 3000

bolivianos. Sabiendo que el laboratorio dispone de un total de 700 unidades de A y 600 de B, ¿cuántos fármacos de cada

tipo deberá preparar con objeto de obtener el beneficio máximo? Justificar la respuesta.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades a preparar del primero fármaco.

x 2 = Número de unidades a preparar del segundo fármaco.

Maximizar: Z = 2000x 1 + 3000x 2 ❶

Sujeto a:

2x 1 + x 2 ≤ 700 (sustancia A)❷ ; x 1 + 3x 2 ≤ 600 (sustancia B)❸

{ con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ Respuesta: x 1 = 300; x 2 = 100; Minímo de Z = 900000}

PROBLEMA#75 Un cliente del banco BNB dispone de 3000000 de Bs para adquirir fondos de inversión. El banco le

ofrece dos tipos de fondos A y B. El del tipo A tiene una rentabilidad del 12% y unas limitaciones legales de 1200000 Bs

de inversión máxima, el del tipo B presenta una rentabilidad del 8% sin ninguna limitación. Además este cliente desea

invertir en los fondos tipo B como máximo el doble de lo invertido en los fondos tipo A. a) ¿Qué cantidad de dinero debe

invertir en cada fondo para obtener un beneficio máximo? b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo? Justificar

las respuestas.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de millones de Bs a invertir en el fondo tipo A.

x 2 = Cantidad de millones de Bs a invertir en el fondo tipo B.

Maximizar: Z = 0, 12x 1 + 0, 08x 2 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 3000000❷

x 1 ≤ 1200000❸

x 2 ≤ 2x 1 ❹

{ con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ Respuesta: x 1 = 1200000; x 2 = 1800000; Máximo de Z = 288000}

JULIO VARGAS HERBAS*30


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#76 La oficina técnica coordinadora de cultivos (OTCC-Los Negros), tiene a su cargo la administración de 3

parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela está limitado tanto por la cantidad de tierra cultivable como por la

cantidad de agua asignada para regadío de la parcela por la comisión de aguas. Los datos proporcionados por este

organismo son los siguientes:

Parcela Tierra Cultivable(ha) Asignación de Agua (m 3 )

1 400 600

2 600 800

3 300 375

Las especies disponibles para el cultivo son la remolacha, trigo y maravilla, pero el ministerio de agricultura ha

establecido un número máximo de hectáreas que pueden dedicarse a cada uno de estos cultivos en las 3 parcelas en

conjunto, como lo muestra la siguiente tabla:

Especie

Consumo de Agua Cuota Máxima

Ganancia Neta

(m 3 /ha)

(ha)

(Bs/ha)

Remolacha 3 600 400

Trigo 2 500 300

Maravilla 1 325 100

Los dueños de las parcelas, en un acto de solidaridad social, han convenido que en cada parcela se sembrará la misma

fracción de su tierra cultivable. Sin embargo, puede cultivarse cualquier combinación en cualquiera de las parcelas.

La tarea que encara la OTCC es plantear cuantas hectáreas se deben dedicar al cultivo de las distintas especies en cada

parcela, de modo de maximizar la ganancia neta total para todas las parcelas a cargo de la OTCC.

SOLUCIÓN:

x i = Cantidad (ha) de remolacha a cultivar en la parcela i (i = 1, 2, 3)

y i = Cantidad (ha) de trigo a cultivar en la parcela i (i = 1, 2, 3)

z i = Cantidad (ha) de maravilla a cultivar en la parcela i (i = 1, 2, 3)

Max: J = 400(x 1 + x 2 + x 3 ) + 300(y 1 + y 2 + y 3 ) + 100(z 1 + z 2 + z 3 )❶

Sujeto a:

Restricción de tierra disponible por parcela:

Parcela 1 → x 1 + y 1 + z 1 ≤ 400❷

Parcela 2 → x 2 + y 2 + z 2 ≤ 600❸

Parcela 3 → x 3 + y 3 + z 3 ≤ 300❹

Restricción de agua disponible por parcela:

Parcela 1 → 3x 1 + 2y 1 + 1z 1 ≤ 600❺

Parcela 2 → 3x 2 + 2y 2 + 1z 2 ≤ 800❻

Parcela 3 → 3x 3 + 2y 3 + 1z 3 ≤ 375❼

Restricción de cuota máxima de cultivo por especie:

Remolacha → x 1 + x 2 + x 3 ≤ 600❽

Trigo → y 1 + y 2 + y 3 ≤ 500❾

Maravilla → z 1 + z 2 + z 3 ≤ 325❿

Restricción de misma proporción de tierra cultivable:

Parcela1 = Parcela2 ↔ (x 1 + y 1 + z 1 )

= (x 2 + y 2 + z 2 )

❶❶

400

600

Parcela2 = Parcela3 ↔ (x 2 + y 2 + z 2 )

= (x 3 + y 3 + z 3 )

❶❷

600

300

Parcela3 = Parcela1 ↔ (x 3 + y 3 + z 3 )

= (x 1 + y 1 + z 1 )

300

400 ❶❸

{

cnn: x i , y i , z i ≥ 0 i = 1, 2, 3❶❹

}

PROBLEMA#77 Usted dispone de Bs 20000 y decide colocarlos en caja de ahorros. Sus opciones se reducen a dos: Un

Banco que paga un interés del 5% y una cooperativa de ahorro que paga el 8%. Por razones de riesgo, decide invertir por

lo menos Bs 12000 en el banco y no más de Bs 6000 en la cooperativa. Determine la cantidad a colocar en cada

institución para obtener el máximo beneficio.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de Bs a colocar en caja de ahorro en Banco.

x 2 = Cantidad de Bs a colocar en caja de ahorro en Cooperativa.

Maximizar: Z = 0, 05x 1 + 0, 08x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 20000❷ ; x 1 ≥ 12000❸ ; x 2 ≤ 6000❹

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*31


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#78 Un granjero desea crear una granja de pollos de dos razas A y B. Dispone de 900000 Bs para invertir y

de un espacio con una capacidad limitada para 7000 pollos. Cada pollo de raza A le cuesta 100 Bs y obtiene con él un

beneficio de 100 Bs y cada pollo de raza B le cuesta 200 B y el beneficio es de 140 Bs por unidad. Si por razones

comerciales el número de pollos de la raza B no puede ser superior a los de la raza A, determinar justificando la

respuesta: a) ¿Qué cantidad de pollos de ambas razas debe comprar el granjero para obtener un beneficio máximo? b)

¿Cuál será el valor de dicho beneficio?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de pollos a comprar de la raza A.

x 2 = Cantidad de pollos a comprar de la raza B.

Maximizar: Z = 100x 1 + 140x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 700❷ ; 100x 1 + 200x 2 ≤ 900000❸ ; x 1 ≥ x 2 ❹

{ con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ Respuesta: x 1 = 5000; x 2 = 2000; Máximo de Z = 780000}

PROBLEMA#79 Lía Vargas produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los

datos básicos del problema.

Ton de materia prima de

Máxima disponibilidad

Pintura para exteriores Pintura para interiores

diaria

Materia Prima M1 6 4 24

Materia Prima M2 1 2 6

Utilidad por Ton(miles de Bs) 5 4

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada

más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2

toneladas. Lía Vargas desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que

maximice la utilidad diaria total.

SOLUCIÓN:

x 1 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores.

x 2 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores.

Maximizar: Z = 5x 1 + 4x 2 ❶

Sujeto a: 6x 1 + 4x 2 ≤ 24❷ ; 1x 1 + 2x 2 ≤ 6❸ ; x 2 − x 1 ≤ 1 ↔ x 2 ≤ 1 + x 1 ❹ ; x 2 ≤ 2❺

{ con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻ Respuesta: x 1 = 3; x 2 = 1, 5; Máximo de Z = 21000}

PROBLEMA#80 En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 libras (Ib) de un alimento especial, que es una

mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes:

Alimento lb por lb de alimento Costo (Bs/lb)

Proteínas

Fibras

Maíz 0,09 0,02 0,30

Soya 0,60 0,06 0,90

Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras.

Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento que produzcan un costo diario mínimo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de libras de maíz en la mezcla diaria.

x 2 = Cantidad de libras de soya en la mezcla diaria.

Minimizar: Z = 0, 30x 1 + 0, 90x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≥ 800❷ ; 0, 09x 1 + 0, 60x 2 ≥ 0, 30(x 1 + x 2 )❸; 0, 02x 1 + 0, 06x 2 ≤ 0, 05(x 1 + x 2 )❹

{ con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ Respuesta: x 1 = 470, 64; x 2 = 329, 4; Mínimo de Z = 437, 64 }

PROBLEMA#81 Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas. Tarda dos horas en ensamblar una mesa y 30

minutos en armar una silla. El ensamble lo realizan cuatro trabajadores sobre la base de un solo turno diario de 8 horas.

Los clientes suelen comprar cuando menos cuatro sillas con cada mesa, lo que significa que la fábrica debe producir

por lo menos cuatro veces más sillas que mesas. El precio de venta es de $us 150 por mesa y $us 50 por silla. Determine

la combinación de sillas y mesas en la producción diaria que maximizaría el ingreso total diario de la fábrica y comente

el significado de la solución obtenida.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de mesas a producir .

x 2 = Cantidad de sillas a producir.

Maximo: Z = 150x 1 + 50x 2 ❶

Sujeto a:

2x 1 + 0, 50x 2 ≤ 32❷

x 2 ≤ 4x 1 ó 4x 1 ≥ x 2 ❸ ↔ ó ↔ −4x 1 + x 2 = 0❸

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

JULIO VARGAS HERBAS*32


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#82 JVH1979 SA. Tiene un contrato para recibir 60000 libras de tomates maduros a 7 centavos de dólar por

libra, con los cuales produce jugo de tomate enlatado, así como pasta de tomate enlatado. Los productos enlatados se

empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo requiere 1 lb de tomates frescos en tanto que una de pasta

requiere solo 1/3 lb. La participación de la compañía en el mercado está limitada a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de

pasta. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de pasta son $us 18 y $us 9, respectivamente. Genere un programa de

producción para esta compañía.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de cajas de 24 latas de Jugo de Tomate a producir .

x 2 = Cantidad de cajas de 24 latas de Pasta de Tomate a producir.

Nota: las cajas son de 24 latas

La función objetiva: PV → Max: Z = 18x 1 + 9x 2

Max: Z = 18x 1 + 9x 2 → vamos a máximizar el precio de venta❶

Sujeto a:

Una lata de jugo requiere una libra de tomate (24 latas requerirán 24 libras).

y una lata de pasta solo requiere 1 3 de libra (24 latas requerirán 24 1 = 8 libras) .

3

24x 1 + 8x 2 ≤ 60000❷

x 1 ≤ 2000❸

x 2 ≤ 6000❹

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺

{ Respuesta: x 1 = 500cajas de 24 latas de jugo x 2 = 6000cajas de 24 latas de pasta Max: Z = 63000$us(precio de venta)}

OTRA FORMA AHORA LO VAMOS A RESOLVER EN FUNCIÓN DE UTILIDAD:

x 1 = Cantidad de cajas de 24 latas de Jugo de Tomate a producir .

x 2 = Cantidad de cajas de 24 latas de Pasta de Tomate a producir.

Max: Z → Utilidad = PV − Costos

Ingresos = 18 $us

caja x 1(caja) + 9 $us

caja x 2(caja) = $us → PV = 18x 1 + 9x 2

Costo = 7 Ctvos

lb

∗ 1lb lata

∗ 24

lata caja ∗ 1$us

100Ctvos x 1(cajas) + 7 Ctvos 1

lb ∗ 3 lb lata

∗ 24

1lata caja ∗ 1$us

100Ctvos x 2(cajas)

Costo = 1, 68x 1 + 0, 56x 2

Max: Z = (18 − 1, 68)x 1 + (9 − 0, 56)x 2

la funcion Objetiva Utilidad → Max: Z = 16, 32x 1 + 8, 44x 2 ❶

Sujeto a:

Una lata de jugo requiere una libra de tomate (24 latas requerirán 24 libras).

y una lata de pasta solo requiere 1 3 de libra (24 latas requerirán 24 1 = 8 libras) .

3

24x 1 + 8x 2 ≤ 60000❷

x 1 ≤ 2000❸

x 2 ≤ 6000❹

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺

Respuesta: x 1 = 500cajas ; x 2 = 6000cajas Max: Z = 58800$us(Utilidad)

500 cajas ∗

24lb

8lb

= 12000libras ; 6000 cajas ∗

1cajas 1cajas = 48000libras

{

PV = Utilidad + Costo → PV = 58800 + 4200 → PV = 63000 }

Datos auxiliares del problema, se da en la siguiente tabla:

Variables Disponibilidad Costo Capacidad Requerimiento Demanda PV

(libras) (Ctvos/lb) (Latas/caja) de producción Mercado $us/caja

(Libras/lata) (cajas)

Jugo de

24 1 2000 18

tomate

Jugo de

24 1/3 6000 9

pasta

M.P. 60000 libras 7

JULIO VARGAS HERBAS*33


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#83 Un pequeño banco asigna un máximo de Bs 20000 para préstamos personales y para automóvil durante

el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual de 14% a préstamos personales y de 12% a préstamos para

automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de los préstamos para automóvil

debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado

que los adeudos no cubiertos constituyen 1% de todos los préstamos personales. ¿Cómo deben asignarse los fondos?

SOLUCIÓN:

x 1 = Monto de Bs asignado a los préstamos para personales.

x 2 = Monto de Bs asignado a los préstamos para automóviles.

Funcion Objetiva es Maximizar

Debemos maximizar los ingresos del banco, pues el objeto de asignar préstamos es recaudar dinero por el servicio

de intermediación financiera, que para este caso está determinado por el 14% para Personal y 12% para Automóvil.

Sin embargo, el banco deja de recibir dinero por concepto de préstamos incobrables, los dineros que deja de recibir

se clasifican en Monto de Capital y Monto de los Intereses.

El Monto de Capital que deja de recibir el banco, por incobrables; se calcula obteniendo el 1% del monto de los

préstamos personales, la fórmula es: Incobrables = (0, 01)x 1

El Monto de los Intereses que dejan de recibirse por incobrables, se calcula obteniendo el 14% del Monto del

Capital incobrable, la fórmula es Interés Incobrable = 0, 14{(0, 01)x 1 }

Por todo lo anterior, la fórmula de la Función Objeto se construye así:

Max: Z = 0, 14x 1 + 0, 12x 2 − (0, 01)x 1 − 0, 14{(0, 01)x 1 } → vamos a máximizar

Max: Z = (interés de los préstamos personales) + (interés de los préstamos automóvil) − (capital perdido)

−(intereses del capital perdido)

Donde a los posibles ingresos (0, 14x 1 + 0, 12x 2 ), se descuenta lo que ni se vá a recibir con sus respectivos

intereses{−(0, 01)x 1 − 0, 14(0, 01)x 1 }

Agrupamos los terminos con la variable x 1 , la ecuacion queda asi:

Max: Z = 0, 14x 1 − 0, 01x 1 − 0, 0014x 1 + 0, 12x 2

Max: Z = 0, 1286x 1 + 0, 12x 2 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 20000❷

x 2 ≥ 2x 1 ❸

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

El enunciado dice que los préstamos para automóvil deben ser mayor en dos veces a los personales; usando la

siguiente tabla para ilustrar que la restricción debe ser: x 2 ≥ 2x 1

x 1 5000 10000 15000 20000 Variable independiente

x 2 10000 20000 30000 40000 Variable dependiente

Otra forma de resolver en forma directa:

Utilidad = intereses − adeudos no cubiertos

Intereses = (0, 99)0, 14x 1 + 0, 12x 2

Adeudos = 0, 01x 1

Utilidad = 0, 1286x 1 + 0, 1200x 2

Max: Z = 0, 1286x 1 + 0, 12x 2 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 20000❷

x 2 ≥ 2x 1 ↔ −2x 1 + x 2 ≥ 0❸

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹

{ Respuesta: x 1 = 6667 ; x 2 = 13333 Max: Z = 2457, 33 }

PROBLEMA#84 Un alumno de cuarto semestre de UAGRM comprende que “solo el trabajo y nada de diversión hace a

una persona aburrida”. Como resultado quiere distribuir su tiempo disponible de alrededor 10 hrs. Al día, entre estudio y

diversión. Calcula que el juego es dos veces más importante que el estudio. También quiere estudiar por lo menos tanto

como juega. Sin embargo comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de

cuatro horas. Plantear el modelo que maximice su satisfacción tanto en el estudio como en el juego. Plantear modelo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de horas a distribuir al Juego.

x 2 = Cantidad de horas a distribuir al Estudio.

Max: Z = 2x 1 + 1x 2 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 10❷ ; x 1 ≤ 4 ❸ ; x 2 ≥ x 1 ❹

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺

{ respuesta: x 1 = 4 ; x 2 = 6 ; Máximo: Z = 14 }

JULIO VARGAS HERBAS*34


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#85 Una compañía tiene un contrato para recibir 60000 libras de tomate a 8 bolivianos cada 2 libras de las

cuales producirá jugos de tomate y puré de tomates en latas de 2 libras y son empacados en cajas de 12 latas cada una.

Una lata de jugo requiere 1 libra de tomate fresco en tanto que una puré, requiere 4/3 de libra. El resto de la lata de jugo

de tomate tiene otros ingredientes conservantes al igual que la lata de puré. La utilidad por caja de jugos y de puré es de

42 y 24 bolivianos respectivamente, el costo de otros ingredientes para cada lata es de 5 bolivianos por libra y solo se

tiene disponible de 50000 libras.

SOLUCIÓN:

( x 1 = Jugos de tomate

) Latas de 2 libras

x 2 = Puré de tomate

8 Bs

Costo de tomate =

2 libras = 4 Bs

libra

5 Bs Bs

Costo de otros ingredientes =

1 libra = 5 libra

Costo de jugo tomate = costo tomate + costo de otros ingredientes = 4 Bs

lb ∗1 lb Bs 1lb Bs

+ 5 ∗1 = 9

Lata lb Lata Lata

1

lb 1lb

+1 = 2 libras

Lata Lata

Costo de puré tomate = costo tomate + costo de otros ingredientes = 4 Bs

lb ∗4 lb Bs

+ 5

3 Lata lb ∗2 1lb

3 Lata = 26 Bs

3 Lata

4 lb

3 Lata +2 1lb

= 2 libras

3 Lata

Nota: 1 cajas = 12 latas ;

Utilidad de jugo tomate = 42 Bs

caja = 42 Bs

12 latas = 7 Bs

= 3, 50Bs/lata

2 lata

Utilidad de puré tomate = 24 Bs

caja = 24 Bs

12 latas = 2Bs/lata

Entonces: Precio de Venta = Utilidad + Costo

Max: Z PV = ( 7 2 + 9) x 1 + (2 + 26

3 ) x 2 = 25

2 x 1 + 32

3 x 2❶

Sujeto a:

1x 1 + 4 3 x 2 ≤ 60000 (restriccion de tomate)❷

1x 1 + 2 3 x 2 ≤ 50000 (restriccion de otros ingredientes)❸

{

x j ≥ ∀j condiciones de no negatividad❹

Respuesta: x 1 = 40000 lb de 2 libras ; x 2 = 15000 lb de 2 libras ; Max: Z PV = 660000 }

PROBLEMA#86 Una empresa fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas 1 normales y 2 extra grandes. El proceso

de manufactura asociado en la fabricación de las bombas: ensamblado, pintura y prueba. La contribución a las

utilidades por la venta de una bomba normal es de $us 50 y la utilidad de una bomba extra grande $us 75. Existen

disponibles por semana 4800 horas de tiempo de ensamble, 1980 de tiempo de pintura y 900 horas de tiempo de prueba.

Se espera vender cuando menos 300 bombas normales y a lo más 180 de las extras grandes por semana.

Tipo Tiempo de ensamble Tiempo de pintando Tiempo de prueba

Normal 3,6 1,6 0,6

Extra grande 4,8 1,8 0,6

Plantear el modelo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de bombas normales.

x 2 = Número de bombas extra grandes.

Máximo: Z = 50x 1 + 75x 2 ❶

Sujeto a:

3, 6x 1 + 4, 8x 2 ≤ 4800❷

{

1, 6x 1 + 1, 8x 2 ≤ 1980❸

0, 6x 1 + 0, 6x 2 ≤ 900❹

x 1 ≥ 300❺

x 2 ≥ 0❻

x 2 ≤ 180❼

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❽

respuesta: x 1 = 1035 ; x 2 = 180 ; Máximo: Z = 65250 }

JULIO VARGAS HERBAS*35


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #87 Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes

precios: A 700; B 3500; C 7000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo. Producir una unidad de B necesita

2 horas de trabajo, más 2 unidades de A. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, más 1 unidad de B.

Cualquier unidad de A utilizada para producir B, no puede ser vendida. Similarmente cualquier unidad de B utilizada para

producir C, no puede ser vendida. Para este período de planificación están disponibles 40 horas de trabajo. Formule y

Construya el modelo Lineal que maximice los ingresos de la empresa.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de unidades producidas de A en total.

x 2 = Cantidad de unidades producidas de B en total.

x 3 = Cantidad de unidades producidas de C en total.

x 4 = Cantidad de unidades para ser vendidas de A.

x 5 = Cantidad de unidades para ser vendidas de B.

Max: Z = 700x 1 + 3500x 2 + 7000x 3 ❶

Sujeto a: x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≤ 40❷ ; x 1 = x 4 + 2x 2 ❸ ; x 2 = x 5 + x 3 ❹

{ con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA #88 La D & M POWER, fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial en compañías de servicios

electrónicos: aisladores de aplicación general, de aplicación especial y de alto voltaje. Cada producto pasa a través de

tres operaciones de producción en la planta de la D & M: horneado, lavado y laminado y pulimiento. Sólo existe

disponible de una máquina en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de producción (en unidades por hora)

para cada tipo de aislador, y en cada operación se muestran en tabla N° 02. Los costos de las materias primas asociados

con la fabricación de los aisladores son de Bs 5 (aplicación general), Bs 6 (aplicación especial) y Bs 10 (alto voltaje). Los

costos por hora de las respectivas operaciones de producción son: Bs 250 (horneado), Bs 200 (lavado y laminado), y Bs

100 (pulimiento). Los precios unitarios de venta son Bs 25,00, Bs 39,75 y Bs 67,50 para los tres productos

respectivamente. A la compañía le gustaría asignar el tiempo utilizado en las diferentes operaciones de manera que se

maximicen las utilidades por hora.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades por hora de aisladores de aplicación general que se fabrican.

x 2 = Número de unidades por hora de aisladores de aplicación especial que se fabrican.

x 3 = Número de unidades por hora de aisladores de alto voltaje general que se fabrican.

Max: Z = 6x 1 + 7, 5x 2 + 17, 5x 3 ❶

Sujeto a:

0, 02x 1 + 0, 025x 2 + 0, 04x 3 ≤ 1 ❷

0, 025x 1 + 0, 05x 2 + 0, 10x 3 ≤ 1❸

0, 04x 1 + 0, 01x 2 + 0, 10x 3 ≤ 1❹

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN❺ }

Datos auxiliares para determinar la función objetiva:

A.APLICACIÓN GENERAL A.APLICACIÓN ESPECIAL A.APLICACION ALTO VOLTAJE

PRECIO DE VENTA 25 39,75 65,50

COSTO DE OPERACIÓN

HORNEADO 250/50 =5 250/40 =6,25 250/25 =10

LAVADO Y LAMINADO 200/40 =5 200/20 =10 200/10 =20

PULIMIENTO 100/25 =4 100/10 =10 100/10 =10

COSTO DE MATERIALES 5 6 10

COSTO UNITARIO TOTAL 19 32,25 50

UTILIDAD UNITARIO 6 7,5 17,5

COSTO POR HORA SON: 250 Bs (HORNEADO), 200 Bs (LAVADO Y LAMINADO), 100 Bs (PULIMIENTO).

JULIO VARGAS HERBAS*36


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #89 Una empresa cuyo giro es la fabricación de puertas y ventanas de vidrio. Los marcos de aluminio y la

herrería se hacen en la planta 1, los marcos de madera se hacen en la planta 2 y en la planta 3 se produce el vidrio y

además se efectúa el montaje de los productos. La información necesaria se resume en la tabla siguiente:

Planta Puertas Ventanas Disponibilidades Costo Unitario

1 10 0 400 3200

2 5 4 420 2600

3 7 3 420 4000

Precio de venta unitario 86000 30000

Determinar la solución óptima.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de puertas a fabricar.

x 2 = Número de ventanas a fabricar.

Máximo: Z = (86000 − 73000)x 1 + (30000 − 22400)x 2 = 13000x 1 + 7600x 2 ❶

{

Sujeto a: 10x 1 + 0x 2 ≤ 400❷ ; 5x 1 + 4x 2 ≤ 420 ❸ ; 7x 1 + 3x 2 ≤ 420❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)❺ }

PROBLEMA #90 MUEBLES JVH1979 Compañía, un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos de muebles de

escritorio: ejecutivos y secretariales. La compañía tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que

es una planta antigua opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2, que es una planta más nueva y no opera

a su capacidad total. Sin embargo, y dado que los administradores planean operar la segunda planta con base en un

turno doble como el de la planta 1, se han encontrado operadores para que trabajen en los dos turnos. En estos

momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. No se paga ninguna prima adicional a los

trabajadores del segundo turno, la tabla N° 03 muestra el tiempo de producción (en horas por unidad) y los costos

estándar (en bolivianos por unidad) en cada planta. La compañía ha competido con éxito en el pasado asignado un

precio de Bs 350 a los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la compañía tendrá que reducir el precio de los

escritorios secretariales a Bs 275 con el objetivo de estar en posición competitiva. La compañía ha estado

experimentando exceso de costos en las últimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores han fijado una

restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal para la producción total de

escritorios ejecutivos es de Bs 2000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es de Bs 2200. A los

administradores les gustaría determinar cuál es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada

planta con el objeto de maximizar las utilidades.

TABLA N°3

Tiempo(horas) y Costos(bolivianos):MUEBLES JVH1979

Tiempo de producción(horas/unidad)

Costo estándar(bolivianos/unidad)

Planta 1 Planta 2 Planta 1 Planta 2

Escritorios ejecutivos 7 6 250 260

Escritorios secretariales 4 5 200 180

1.- No se dispone de más de 80 horas para la producción combinada de escritorios en la planta 1.

2.- No se dispone de más de 50 horas para la producción combinada de escritorios en la planta 2.

3.- Los costos asociados con la producción combinada de escritorios ejecutivos en las dos plantas no deben exceder Bs 2000.

4.- Los costos asociados con la producción combinada de escritorios secretariales en las dos plantas no deben exceder Bs 2200.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 1.

x 2 = Número de unidades de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 1.

x 3 = Número de unidades de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 2.

x 4 = Número de unidades de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 2.

Max: Z = (350 − 250)x 1 + (275 − 200)x 2 + (350 − 260)x 3 + (275 − 180)x 4

Max: Z = 100x 1 + 75x 2 + 90x 3 + 95x 4 ❶

Sujeto a:

7x 1 + 4x 2 ≤ 80 (limitacion del tiempo de producción en la planta 1) ❷

6x 3 + 5x 4 ≤ 50 (limitacion del tiempo de producción en la planta 2)❸

250x 1 + 260x 3 ≤ 2000 (restriccion de costos de los escritorios ejecutivos) ❹

200x 2 + 180x 4 ≤ 2200 (restriccion de costos de los escritorios secretariales)❺

{

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

JULIO VARGAS HERBAS*37


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA #91 La Compañía XYZ produce tornillos y clavos. La materia Prima para los tornillos cuesta Bs 2 por

unidad, mientras que la materia prima para el clavo cuesta Bs 2,50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el

departamento N° 1 y tres en el departamento N° 2, mientras que un tornillo requiere 4 horas en el departamento N° 1 y 2

horas en departamento N° 2, el jornal por hora en ambos departamentos es de Bs 2. Si ambos productos se venden a Bs

18, y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos son de 160 y 180

respectivamente. Expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximice las utilidades.

SOLUCIÓN:

DPTO 1 DPTO2 MP JORNAL PRECIO

CLAVOS 2 horas 3 horas 2,5Bs/ud 2Bs/hr 18Bs/hra

TORNILLOS 4 horas 2 horas 2 Bs/ud 2Bs/hr 18Bs/hra

DISPONIBILIDAD 160 hrs/semana 180 hrs/semana

x 1 = Número de clavos a producirse por semana.

x 2 = Número de tornillos a producirse por semana.

Máximo: Z = (18 − 10 − 2, 5)x 1 + (18 − 12 − 2)x 2 = 5, 5x 1 + 4x 2 ❶

{

Sujeto a: 2x 1 + 4x 2 ≤ 160❷ ; x 1 + 2x 2 ≤ 180❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)❹

}

PROBLEMA #92 Un fabricante cuyo negocio es mezclar aguardiente, compra tres grados A, B, y C. Los combina de

acuerdo a las recetas que especifican los porcentajes máximo y mínimo de los grados A y C en cada mezcla. Estos

porcentajes se dan en la tabla N° 1.

TABLA N° 1 ESPECIFICACIONES DE MEZCLAS

MEZCLA ESPECIFICACION PRECIO POR BOTELLA

Súper fuerte

No menos de 60% de A

Bs 6,80

No más de 20% de C

Fuerte

No más de 60% de C

Bs 5,70

No menos de 15% de A

Menos Fuerte No más de 50% de C Bs 4,50

La provisión de los tres grados de aguardientes básicos, junto con sus costos se presente en la tabla N° 2.

TABLA N° 2 DISPONIBILIDAD Y COSTOS DE AGUARDIENTE

AGUARDIENTE MAXIMA CANTIDAD DISPONIBLE BOTELLAS POR DIA COSTO POR BOTELLA

A 2000 Bs 7,00

B 2500 Bs 5,00

C 1200 Bs 4,00

Indique cómo se obtiene la primera matriz en un modelo de programación lineal de una política de producción que haga

máxima la ganancia.

SOLUCIÓN:

x 11 = Cantidad de A usada para el super fuerte.

x 21 = Cantidad de B usada para el super fuerte.

x 31 = Cantidad de C usada para el super fuerte.

x 12 = Cantidad de A usada para el fuerte.

x 22 = Cantidad de B usada para el fuerte.

x 32 = Cantidad de C usada para el fuerte.

Max: Z = 6, 80(x 11 + x 21 + x 31 ) + 5, 7(x 12 + x 22 + x 32 ) − {7(x 11 + x 12 ) + 5(x 21 + x 22 ) + 4(x 31 + x 32 )} ❶

Sujeto a:

x 11 + x 12 ≤ 2000❷ ; x 21 + x 22 ≤ 2500❸ ; x 31 + x 32 ≤ 1200❹

x 11 ≥ 0, 60(x 11 + x 21 + x 31 )❺ ; x 31 ≤ 0, 20(x 11 + x 21 + x 31 )❻ ; x 32 ≤ 0, 60(x 12 + x 22 + x 32 )❼

{

x 12 ≥ 0, 15(x 12 + x 22 + x 32 )❽; con: x ij ≥ 0∀j: i = 1, 2, 3; j = 1, 2 (CNN)❾ }

PROBLEMA#93 Un veterinario ha recomendado que durante un mes, un animal enfermo tome diariamente para su

recuperación, al menos, 4 unidades de hidratos de carbono, 23 de proteínas y 6 de grasa. En el mercado se encuentran

dos marcas de pienso, A y B, con la siguiente composición:

MARCA HIDRATOS PROTEINAS GRASA PRECIO

A 4 6 1 Bs 1

B 1 10 6 Bs 1,6

¿Cómo deben combinarse ambas marcas para obtener la dieta deseada al mínimo precio?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de pienso de la marca A.

x 2 = Cantidad de pienso de la marca B.

Mínimo: Z = 1x 1 + 1, 6x 2 ❶

{

Sujeto a: 4x 1 + 1x 2 ≥ 4❷ ; 6x 1 + 10x 2 ≥ 23❸ ; 1x 1 + 6x 2 ≥ 6❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*38


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#94 Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un

precio de 1,5 millones de Bs, y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches

del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos

de esa campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones de Bs. ¿Cuántos coches de cada

modelo deberá vender para maximizar sus ingresos?

SOLUCIÓN:

VD

x 1 = Cantidad de coches vendidas del modelo A.

x 2 = Cantidad de coches vendidas del modelo B.

Mínimo: Z = 1500000x 1 + 2000000x 2 ❶

Sujeto a:

{ x 1 ≤ 20❷; x 2 ≤ 10❸; 1500000x 1 + 2000000x 2 ≥ 6000000❹ ; x 1 ≥ x 2 ❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0 (x j ≥ 0∀j)❻ }

PROBLEMA#95 Nos proponemos alimentar el ganado de una granja con una dieta que sea la más económica posible.

Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes que llamamos A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en

dos tipos de piensos M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos viene dada en la

tabla siguiente:

A B C D

M 100 - 100 200

N - 100 200 100

La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0,4 Kg del componente A, 0,6 Kg del componente B, 2

Kg del componente C, y 1,7 Kg del componente D. El compuesto M cuesta 0,2 Bs/Kg y el compuesto N 0,08 Bs/Kg. ¿Qué

cantidades de piensos M y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el menor posible?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de pienso M a adquirir en kilogramos.

x 2 = Cantidad de pienso N a adquirir en kilogramos.

Minimo: Z = 0, 20x 1 + 0, 08x 2 ❶

Sujeto a: 0, 10x 1 + 0x 2 ≥ 0, 40❷ ; 0x 1 + 0, 10x 2 ≥ 0, 60❸ ; 0, 10x 1 + 0, 20x 2 ≥ 2❹ ; 0, 20x 1 + 0, 10x 2 ≥ 1, 7❺

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

PROBLEMA#96 Una empresa consultora tiene en cartera realizar una serie de proyectos de dos tipos A y B, cuyo costo

de desarrollo unitario es el mismo. Las necesidades de analistas, programadores y terminales para cada tipo de

proyecto se indican en la tabla siguiente.

TIPO Nº de programadores Nº de analistas Nº de terminales

A 2 2 3

B 3 6 1

Estos proyectos pueden realizarse bien total o parcialmente y el deseo de la empresa es minimizar el costo de desarrollo

de los proyectos que se vayan a ejecutar. Los condicionantes para el desarrollo de estos proyectos son: al menos 10

programadores y 5 analistas deben estar ocupados en ellos y se cuenta únicamente con 6 terminales.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de proyectos a realizar del tipo A.

x 2 = Cantidad de proyectos a realizar del tipo B.

Minimo: Z = 100x 1 + 100x 2 ❶

{

Sujeto a: 2x 1 + 3x 2 ≥ 10❷ ; 2x 1 + 6x 2 ≥ 5❸ ; 3x 1 + 1x 2 = 6❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN) ❺ }

PROBLEMA#97 En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se han de tener

almacenados un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de

aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén

es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje es el mismo para los dos tipos de aceite (1 unidad monetaria).

¿Cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea máximo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de bidones de aceite de girasol.

x 2 = Número de bidones de aceite de oliva.

Máximo: Z = 1x 1 + 1x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 150❷ ; x 1 ≥ 20❸ ; x 2 ≥ 40❹ ; x 2 ≥ x 1

2 ❺

{ con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻ Respuesta: x 1 = 100; x 2 = 50; Máximo de Z = 150}

JULIO VARGAS HERBAS*39


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#98 Banco Unión está desarrollando una política de préstamos por un máximo de doce millones de

bolivianos. La tabla siguiente muestra los datos relevantes de cada tipo de préstamo. Las deudas impagables no se

recuperan y no producen ingresos por intereses. Para competir con otras instituciones financieras se necesita que el

banco asigne un mínimo de un 40% de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales. Para ayudar a la industria de la

construcción de su región, los préstamos para vivienda deben ser iguales, cuando menos, al 50% del conjunto los

préstamos personales, para automóvil y vivienda. También el banco tiene una política explícita de que no permite que la

relación general de préstamos impagables entre todos los préstamos sea mayor o igual que el 4 %. Y los interés

(ganancias) que cobra el Banco son 14%, 13%, 12%, 12.5% y 10% respectivamente para cada tipo de préstamo.

Tipo de Préstamo Tasa de interés %de deuda impagable

Personal 0,140 10

Automóvil 0,130 7

Casa 0,120 3

Agrícola 0,125 5

Comercial 0,100 2

SOLUCIÓN:

x 1 = Dinero invertido en préstamos personales.

x 2 = Dinero invertido en préstamos para automóviles.

x 3 = Dinero invertido en préstamos para vivienda(Casa).

x 4 = Dinero invertido en préstamos agrícolas.

x 5 = Dinero invertido en préstamos comerciales.

Maximizar: Z = (0, 9)(0, 14)x 1 + (0, 93)(0, 13)x 2 + (0, 97)(0, 12)x 3 + (0, 95)(0, 125)x 4

+(0, 98)(0, 10)x 5 − {0, 10x 1 + 0, 07x 2 + 0, 03x 3 + 0, 05x 4 + 0, 02x 5 }❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 12000000❷ ; x 4 + x 5 ≥ 0, 40(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 )❸ ; x 3 ≥ 0, 5(x 1 + x 3 + x 2 )❹

0, 10x 1 + 0, 07x 2 + 0, 03x 3 + 0, 05x 4 + 0, 02x 5 ≤ 0, 04(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 )❺ ; x j ≥ 0∀j (CNN)❻

{

La cantidad de dinero disponible del banco union son 12 millones de bolivianos. }

PROBLEMA#99 Un inversor que tiene Bs 25000 quiere determinar la mejor cartera de inversión en activos financieros.

La rentabilidad esperada, a fin de año, seria: renta variable 12%, bonos del tesoro 5%, renta fija 9% y caja de ahorro

0.5%. Con el fin de limitar los riesgos decide: Invertir a lo sumo 45% en la renta variable, no más del 10% en la renta fija,

no superar el 75% en bonos del tesoro y renta fija, tener como mínimo el 5% en caja de ahorros. Formule el MPL.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en Cartera, Renta Variable RV.

x 2 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en Cartera, Bonos del Tesoro BdT.

x 3 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en Cartera, Renta Fija RF.

x 4 = Cantidad de dinero de Bs a invertir en Cartera, Caja de ahorro CdA.

Maximizar: Z = 0, 12x 1 + 0, 05x 2 + 0, 09x 3 + 0, 005x 4 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 25000❷

x 1 ≤ 0, 45(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❸

x 3 ≤ 0, 10(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❹

x 2 + x 3 ≤ 0, 75(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❺

x 4 ≥ 0, 05(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❻

{

x j ≥ 0∀j (CNN)❼ }

PROBLEMA#100 Usted tiene Bs 100000 para invertir. Su objetivo es maximizar la ganancia. Planea invertir en: letras del

tesoro(LT), depósito a plazo fijo(DPF) y Bonos(B). Cuya rentabilidad es 8%,10% y 12% respectivamente. Por razones de

riesgo, la inversión en LT y DPF no debe exceder el 50%, invertir por lo menos el 40% en DPF y B, no más del 30% en LT

y B (todo el dinero se invierte).

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de miles de Bs a invertir en letras del tesoro(LT).

x 2 = Cantidad de miles de Bs a invertir en depósito a plazo fijo (DPF).

x 3 = Cantidad de miles de Bs a invertir en bonos (B).

Maximizar: Z = 0, 08x 1 + 0, 10x 2 + 0, 12x 3 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 + x 3 = 25000❷

x 1 + x 2 ≤ 50000❸

x 2 + x 3 ≥ 40000❹

x 1 + x 3 ≤ 30000❺

{

x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

JULIO VARGAS HERBAS*40


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#101 Una planta armadora de radios produce dos modelos, R1 y R2, en la misma línea de ensamble. La línea

de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo son:

Estación de trabajo

Minutos por unidad de

R1

R2

1 6 4

2 5 5

3 4 6

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de

trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone

diariamente para las estaciones 1, 2 y 3 respectivamente. La compañía desea determinar, las unidades diarias que se

ensamblaran de R1 y R2 a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados (inactivos) en las tres estaciones.

SOLUCIÓN:

x 1 = Unidades diarias del modelo R1 a producir.

x 2 = Unidades diarias del modelo R2 a producir.

x j = Tiempo ocioso en la estación j(j = 3, 4, 5).

Tiempo total para cada estación de trabajo es: 480(0, 90) = 432 480(0, 86) = 412, 8 480(0, 88) = 422, 4

x 3 = Tiempo disponible − (6x 1 + 4x 2 )

x 4 = Tiempo disponible − (5x 1 + 5x 2 )

x 5 = Tiempo disponible − (4x 1 + 6x 2 )

Min: Z = ∑ tiempos disponibles − (15x 1 + 15x 2 ) ó

Max: Z = 15x 1 + 15x 2 ❶

Sujeto a:

{

6x 1 + 4x 2 ≤ 432❷; 5x 1 + 5x 2 ≤ 413❸; 4x 1 + 6x 2 ≤ 422❹; con: x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PROBLEMA#102 Un granjero posee 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todos los días. El alimento

se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones:

Libras por libras

Costo Bs/libra

Alimento

Calcio Proteína Fibra

Maíz 0,001 0,09 0,02 0,2

Harina de Soya 0,002 0,6 0,06 0,6

Los requisitos de alimento de los cerdos son: Cuando menos 1% de calcio, del total que consume. Por lo menos 30% de

proteína, del total que consume. Un máximo 5% de fibra, del total que consume. Determine la mezcla de alimentos con el

mínimo de costo por día.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de maíz a mezclar diariamente libra por libra para comida especial.

x 2 = Cantidad de harina de soya a mezclar diariamente libra por libra para comida especial.

Min: Z = 0, 2x 1 + 0, 6x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 = 90 → mezcla❷ ; 0, 001x 1 + 0, 002x 2 ≤ 90(0, 01)❸ ; 0, 09x 1 + 0, 60x 2 ≥ 90(0, 30)❹

{

0, 02x 1 + 0, 06x 2 ≤ 90(0, 05)❺ ; con: x j ≥ 0∀j (CNN)❻ }

PROBLEMA#103 JVH SA. Tiene un contrato para recibir 60000 libras de tomates maduros a 7 $us/lb de las cuales

producirá jugo de tomate y puré de tomates enlatados. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas cada

una. Una lata de jugo requiere 1 lb de tomates frescos en tanto que una de puré requiere solo 1/3 lb. La participación de

la compañía en el mercado está limitada a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de puré. Los precios al mayoreo por caja de

jugo y de puré son $us 18 y $us 9, respectivamente. Genere un programa de producción para esta compañía.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de libras de tomate maduro que se usarán para Jugo de Tomate .

x 2 = Cantidad de libras de tomate maduro que se usarán para Puré de Tomate.

18 $us

9 $us

caja

caja

PV = (

24 latas

caja ∗ 1 lb ) x 1 + (

24 latas

lata

caja ∗ 1 ) x

lb 2

3 lata

Max: Z = 0, 75x 1 + 1, 125x 2 → vamos a máximizar el precio de venta❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 60000❷

x 1

24 ≤ 2000 ↔ x 1 ≤ 48000(cada caja de jugo tiene 24 libras de tomate)❸

3x 2

24 ≤ 6000 ↔ x 2 ≤ 48000(cada caja de jugo tiene 8 libras de tomate)❹

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺

{ Respuesta: x 1 = 12000 x 2 = 48000 Max: Z = 63000$us(precio de venta) }

JULIO VARGAS HERBAS*41


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#104 JVH1979 tiene un contrato para recibir 60000 libras de tomates maduros a 0,07 $us/lb de las cuales

producirá jugo de tomate y puré de tomates enlatados. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas cada

una. Una lata de jugo requiere 1 lb de tomate fresco en tanto que una de puré requiere solo 1/3 lb. La participación de la

compañía en el mercado está limitada a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo

y de puré son $us 1,8 y $us 0,90, respectivamente. Genere un programa de producción para esta compañía JVH1979.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de libras de tomate maduro que se usarán para Jugo de Tomate .

x 2 = Cantidad de libras de tomate maduro que se usarán para Puré de Tomate.

Sabiendo que: Utilidades = Precio de Venta − Costos

1, 8 $us

caja

0, 9 $us

caja

Utilidad = (

24 latas

caja ∗ 1 lb ) x 1 + (

lata

24 latas

caja ∗ 1 ) x

lb 2 − (60000 lbs) (0, 07 $us

lbs )

3 lata

Max: Z = 0, 075x 1 + 0, 1125x 2 − 4200

Precio de Venta = 0, 075x 1 + 0, 1125x 2 y Costo = 4200

Max: Z = 0, 075x 1 + 0, 1125x 2 → vamos a máximizar el precio de venta❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 60000❷

x 1

24 ≤ 2000 ↔ x 1 ≤ 48000❸

3x 2

24 ≤ 6000 ↔ x 2 ≤ 48000❹

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺

Respuesta: x 1 = 12000 x 2 = 48000 Max: Z = 6300$us(precio de venta)

{

PV = 6300 ; C = 4200 ; Utilidad = PV − C = 6300 − 4200 = 2100 }

Otra forma de resolver pero ahora en funcion en cajas:

x 1 = Cantidad de cajas de jugo de tomate a producir.

x 2 = Cantidad de cajas de puré de tomate a producir.

Max: Z → Utilidad = PV − Costos

Ingresos = PV = 1, 8 $us

caja x $us

1 (caja) + 0, 9

caja x 2 (caja) = $us → PV = 1, 8x 1 + 0, 9x 2

Costos = C = 0, 07 $us

lb ∗ 1 lb lata

∗ 24

lata caja x $us

1 (cajas) + 0, 07

lb ∗ 1 lb lata

∗ 24

3 lata caja x 2 (cajas) → C = 1, 68x 1 + 0, 56x 2

Max: Z = (1, 8 − 1, 68)x 1 + (0, 9 − 0, 56)x 2 = 0, 12x 1 + 0, 34x 2 → Utilidad❶

Sujeto a:

24x 1 + 8x 2 ≤ 60000❷

x 1 ≤ 2000❸

x 2 ≤ 6000❹

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺

Respuesta: x 1 = 500cajas x 2 = 6000cajas Max: Z = 2100$us(utilidad)

500 cajas ∗

24lb

1cajas = 12000libras ; 6000 cajas ∗ 8lb

1cajas = 48000libras

{

PV = Utilidad + Costo → PV = 2100 + 4200 → PV = 6300 }

Datos auxiliares del problema:

Variables

Disponibilidad

(libras)

Costo

($us/lb)

Capacidad

(Latas/caja)

Requerimiento de

producción

Demanda

Mercado(cajas)

PV

$us/caja

(libras/lata)

Jugo de tomate 24 1 2000 1,8

Jugo de puré 24 1/3 6000 0,9

M.P. 60000 libras 0,07

JULIO VARGAS HERBAS*42


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#105 Un ingeniero comercial está encargado de llevar adelante una campaña de promoción de un producto

de consumo masivo, durante un semana(6 días), trabajando 10 horas diarias. Para ello ha reclutado a 50 estudiantes de

la facultad de ciencias económicas que harán la promoción de 3 formas: puerta a puerta, visita a empresa y en las calles.

Según datos anteriores se sabe que de cada 10 visitas puerta a puerta solo se venden 3 productos, en cada visita a

empresas se vende 2 unidades y en las calles de cada 100 contactos se logra 10 ventas. El tiempo invertido en cada una

de estas formas de venta es el siguiente: visita puerta a puerta 3 en una hora, la visita a empresas tarda una hora y los

contactos con la gente que transita las calles es de 5 minutos. El precio del producto es de 5 bolivianos. Se estima una

comisión de 1boliviano/unidad, se dispone de 200000 bolivianos para comisiones. El ingeniero comercial debe formular

un modelo de programación lineal para saber qué tipo de ventas se realizara y cuanta gente se asignara a cada tipo de

manera tal que la promoción sea un éxito total.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de unidades a vender puerta a puerta .

x 2 = Cantidad de unidades a vender visita a empresas.

x 3 = Cantidad de unidades a vender en la calle.

Maximo: Z = 5x 1 + 5x 2 + 5x 3 → Bs uds = Bs → Maximizar las Ventas❶

uds

Sujeto a:

1x 1 + 1x 2 + 1x 3 ≤ 200000 ❷(dinero para comisiones), 1Bs por comisión: 1Bs uds = Bs

uds

Mano de Obra: (horas − Hombre) → 10

9 x 1 + 1 2 x 2 + 5 6 x 10 hrs

3 ≤ 50Personas ∗

dia

6dias

10

9 x 1 + 1 2 x 2 + 5 6 x 3 ≤ 3000❸ hrs − Hombre

h − H

Para vender cuántos hombres necesito:

unidad → 10

9 ; 1 2 ; 5 6

10 Visitas 1 h − H

PP: ∗

3 Unidades 3visitas = 10 h − H

9 unidad

1 Visitas 1 h − H

VE:

2 Unidades 1visitas = 1 h − H

2 unidad

100 contactos

Calle:

10 Unidades ∗ 1 h − H

12 contactos = 5 h − H

6 unidad

nota: cantidad de (h − H) = (h/H) que necesito para vender a PP, VE, Calle.

60 minutos

Tiempo en Calle → 5minutos, entonces en una hora cuantos contactos vamos a tener: = 12 contactos.

5 minutos

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹ }

PROBLEMA#106 Una persona desea invertir $us 5000 durante el próximo año en dos tipos de inversión. La inversión A

reditúa 5% y la inversión B 8%. La investigación de mercado recomienda una asignación de por lo menos 25% en A y

cuando mucho 50% en B. Además la inversión A debe ser por lo menos de la mitad de la inversión B. Plantear el modelo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de $us a invertir en tipo A.

x 2 = Cantidad de $us a invertir en tipo B.

Max: Z = 0, 05x 1 + 0, 08x 2 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 5000❷ ; x 1 ≥ 0, 25(x 1 + x 2 )❸ ; x 2 ≤ 0, 50(x 1 + x 2 )❹ ; x 1 ≥ x 2

2 ❺

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❻

{

respuesta: x 1 = 2500 ; x 2 = 2500 ; Máximo: Z = 325 }

PROBLEMA#107 Una compañía de autos fabrica automóviles y camiones. Cada uno de los vehículos debe pasar por el

taller de pintura y por el de ensamble Si el taller de pintura pintara sólo camiones, entonces podría pintar 40 por día. Si el

taller de pintura sólo pintara autos entonces podría pintar 60 vehículos diarios. Si el taller de ensamble se destinara sólo

a ensamblar autos entonces podría procesar 50 por día y si sólo produjera camiones procesaría 50 por día. Cada camión

contribuye con 300 dólares a la utilidad y cada auto contribuye con 200 dólares. Plantear modelo.

SOLUCIÓN:

{

x 1 = Cantidad de camiones a producir.

x 2 = Cantidad de automóviles a producir.

Max: Z = 300x 1 + 200x 2 ❶

Sujeto a:

x 1

40 + x 2

60 ≤ 1 (no sobrepase 1 dia )❷ ; x 1

50 + x 2

≤ 1 (no sobrepase 1 dia )❸

50

con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❹

respuesta: x 1 = 40 ; x 2 = 0 ; Máximo: Z = 12000 }

JULIO VARGAS HERBAS*43


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#108 Se hace un pedido a una papelería de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500

rollos de 45 pulgadas de ancho, y 1000 rollos de 50 pulgadas de ancho. Si la papelería tiene solamente rollos de 108

pulgadas de ancho. Cómo deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mínimo de desperdicio de papel,

sabiendo que el máximo desperdicio aceptables de papel por rollo es de 22 pulgadas.

SOLUCIÓN:

Las posibilidades lógicas de corte son:

X 1 X 2 X 3 X 4 X 5

30 3 2 0 0 0 800

45 0 1 0 2 1 500

50 0 0 2 0 1 1000

DESPERDICIO 18 3 8 18 13

x j = Número de rollos cortados de diferentes maneras, j = 1, 2, 3, 4, 5

Min: Z = 18x 1 + 3x 2 + 8x 3 + 18x 4 + 13x 5 ❶

Sujeto a:

{ 3x 1 + 2x 2 = 800❷ ; 1x 2 + 2x 4 + 1x 5 = 500❸ ; 2x 3 + 1x 5 = 1000❹ ; con: x j ≥ 0∀j (j = 1, 2, 3, 4, 5)❺ }

PROBLEMA#109 Un barco tiene 3 bodegas: en la proa, en la popa y en el centro, las capacidades límites son:

BODEGA TONELAJE PIES CÚBICOS

PROA 2000 100000

POPA 1500 30000

CENTRO 3000 135000

Se han recibido las siguientes ofertas de cargas, las que se pueden aceptar total o parcialmente.

CARGA CANTIDAD(Tonelada) PIES CÚBICOS(Por Tonelada) GANANCIA (Bs/Ton)

A 6000 ton 60 6

B 4000 ton 50 8

C 2000 ton 25 9

Cómo se debe distribuir la carga para maximizar la ganancia, si la preservación del equilibrio obliga a que el peso de

cada bodega sea proporcional a la capacidad de toneladas.

SOLUCIÓN:

Predisponemos los datos en la siguiente tabla:

ARTICULO BODEGAS PESO

PIES 3 /TONELADA BENEFICIO/TONELADA

PROA CENTRO POPA (TONELADA)

A X 1 X 2 X 3 6000 60 6

B X 4 X 5 X 6 4000 50 8

C X 7 X 8 X 9 2000 25 9

PESO(Tonelada) 2000 3000 1500

VOLUMEN(PIES 3 ) 100000 135000 30000

El problema consiste en distribuir los articulos en las tres bodegas; es decir,

se trata de determinar que fraccion de cada articulo irá en cada bodega.

x j = Número de toneladas de cada artículo que irá en cada bodega(j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

{

Max: Z = 6(x 1 + x 2 + x 3 ) + 8(x 4 + x 5 + x 6 ) + 9(x 7 + x 8 + x 9 )❶

Sujeto a:

Restricciones debidas al tonelaje de la bodega:

x 1 + x 4 + x 7 ≤ 2000❷ ; x 2 + x 5 + x 8 ≤ 3000❸ ; x 3 + x 6 + x 9 ≤ 1500❹

Restricciones debidas al volumen de la bodega:

60x 1 + 50x 4 + 25x 7 ≤ 100000❺ ; 60x 2 + 50x 5 + 25x 8 ≤ 135000❻ ; 60x 3 + 50x 6 + 25x 9 ≤ 30000❼

Restricciones debidas a la oferta de los artículos:

x 1 + x 2 + x 3 ≤ 6000❽ ; x 4 + x 5 + x 6 ≤ 4000❾ ; x 7 + x 8 + x 9 ≤ 2000❿

Por la preservación del equilibrio:

(x 1 +x 4 +x 7 )

2000

= (x 2+x 5 +x 8 )

3000

= (x 3+x 6 +x 9 )

❶❶

1500

Nótese que de las igualdades sólo se obtienen 2 ecuaciones independientes.

x j ≥ 0∀j (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)❶❷ }

JULIO VARGAS HERBAS*44


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#110 De seis minas en trabajo deben transportarse minerales concentrados de estaño de leyes diferentes,

indistintamente a dos plantas de volatilización de estaño denominado V 1 y V 2 , cuyas capacidades máximas de trabajo

son de 12000 y 13500 toneladas por mes. Las especificaciones para el concentrado de alimentación son iguales para

ambas plantas, de 5% mínimo de estaño, 14% de azufre y 12% de hierro como valores máximos. Los costos de

transporte por tonelada de concentrado de cada mina a las plantas varían de acuerdo a la siguiente tabla:

UNIDADES MONETARIAS (Bolivianos)

PLANTA V 1 PLANTA V 2

MINA

M 1 32 10

M 2 11 20

M 3 15 22

M 4 25 10

M 5 22 20

M 6 50 80

Los tonelajes de producción mensual y contenidos máximos de estaño, azufre y hierro de concentrados de cada mina

son los que se indican en la siguiente tabla:

MINA TONELADAS/MES % DE ESTAÑO % DE AZUFRE % DE HIERRO

M 1 5000 4 12 10,5

M 2 7000 4,5 12 10,5

M 3 6000 5 17 15

M 4 3000 6,5 16 14

M 5 1700 12 8 7

M 6 3500 10 10 8,8

Formular con los datos un programa lineal en cual puede servir para planificar el transporte y la alimentación de

concentrados a las plantas, tomando como objetivo que el costo total de transporte sea mínimo, satisfaciendo por otro

lado todas las condiciones impuestas.

SOLUCIÓN.

En la siguiente lo esquematizamos el problema planteado:

JULIO VARGAS HERBAS*45


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

x ij = Cantidas de toneladas a transportar de cada mina i a las plantas j.

Sabiendo que{ i = 1, 2, 3, 4, 5, 6(M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 )} y {j = 1, 2(V 1 , V 2 )} ↔ X ij

Min: Z = 32x 11 + 11x 21 + 15x 31 + 25x 41 + 22x 51 + 50x 61 + 10x 12 + 20x 22 + 22x 32 + 10x 42 + 20x 52 + 80x 62 ❶

Sujeto a:

Planta V 1 : x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 + x 61 = 12000❷; Planta V 2 : x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 + x 62 = 13500❸

En las minas: x 11 + x 12 ≤ 5000❹; x 21 + x 22 ≤ 7000❺ ; x 31 + x 32 ≤ 6000❻; x 41 + x 42 ≤ 3000❼; x 51 + x 52 ≤ 1700❽;

x 61 + x 62 ≤ 3500❾

En la Planta V 1 :

% de estaño → 0, 04x 11 + 0, 045x 21 + 0, 05x 31 + 0, 065x 41 + 0, 12x 51 + 0, 10x 61 ≥ 0, 05(12000)

0, 04x 11 + 0, 045x 21 + 0, 05x 31 + 0, 065x 41 + 0, 12x 51 + 0, 10x 61 ≥ 600❿

% de azufre → 0, 12x 11 + 0, 12x 21 + 0, 17x 31 + 0, 16x 41 + 0, 08x 51 + 0, 10x 61 ≤ 0, 14(12000)

0, 12x 11 + 0, 12x 21 + 0, 17x 31 + 0, 16x 41 + 0, 08x 51 + 0, 10x 61 ≤ 1680❶❶

% de hierro → 0, 105x 11 + 0, 105x 21 + 0, 15x 31 + 0, 14x 41 + 0, 07x 51 + 0, 088x 61 ≤ 0, 12(12000)

0, 105x 11 + 0, 105x 21 + 0, 15x 31 + 0, 14x 41 + 0, 07x 51 + 0, 088x 61 ≤ 1440❶❷

En la Planta V 2 :

% de estaño → 0, 04x 12 + 0, 045x 22 + 0, 05x 32 + 0, 065x 42 + 0, 12x 52 + 0, 10x 62 ≥ 0, 05(13500)

0, 04x 12 + 0, 045x 22 + 0, 05x 32 + 0, 065x 42 + 0, 12x 52 + 0, 10x 62 ≥ 675❶❸

% de azufre → 0, 12x 12 + 0, 12x 22 + 0, 17x 32 + 0, 16x 42 + 0, 08x 52 + 0, 10x 62 ≤ 0, 14(13500)

0, 12x 12 + 0, 12x 22 + 0, 17x 32 + 0, 16x 42 + 0, 08x 52 + 0, 10x 62 ≤ 1890❶❹

% de hierro → 0, 105x 12 + 0, 105x 22 + 0, 15x 32 + 0, 14x 42 + 0, 07x 52 + 0, 088x 62 ≤ 0, 12(13500)

0, 105x 12 + 0, 105x 22 + 0, 15x 32 + 0, 14x 42 + 0, 07x 52 + 0, 088x 62 ≤ 1620❶❺

{

con: x ij ≥ 0∀ij condiciones de no negatividad. ❶❻ }

PROBLEMA#111 Una cooperativa agro-ganadera, puede comprar y mezclar tres tipos de alimentos, cada uno de los

cuales contiene cantidades diferentes de cuatro componentes nutricionales A, B, C y D como se indica en la tabla

siguiente.

COMPONENTE NUTRITIVO ALIMENTO 1 ALIMENTO 2 ALIMENTO 3

A 1 ½ 1

B 4 2 0

C 3 4 6

D 0 1 1

Contenidos de componentes nutritivos en cada alimento por unidad de peso.

Cada mezcla servirá para la alimentación del ganado, rubro de producción importante de la cooperativa. En esta

actividad es conveniente no sub-alimentar al ganado y se deben cubrir los requerimientos nutricionales a fin de obtener

ganado de buena calidad. Para el efecto las cantidades totales de componentes nutricionales( a suministrarse en forma

conjunta) deben ser semanalmente 125, 450, 130 y 650 unidades de A, B, C y D respectivamente.

Los precios de compra unitarios de alimentos son respectivamente 40, 30 y 85 unidades monetarias en bolivianos.

Si la unidad de tiempo para la planificación de suministro de mezcla es la semana, plantear un programa lineal con los

datos que se disponen, con ayuda del cual se pueda determinar la mejor forma de comprar y suministrar los alimentos al

ganado, efectuando el menor gasto.

x 1 = Cantidad de gasto en pesos a comprar semanalmente suministradas del alimento 1.

x 2 = Cantidad de gasto en pesos a comprar semanalmente suministradas del alimento 2.

x 3 = Cantidad de gasto en pesos a comprar semanalmente suministradas del alimento 3.

Min: Z = 40x 1 + 30x 2 + 85x 3 ❶

Sujeto a:

1x 1 + 1 2 x 2 + 1x 3 ≥ 125❷ ; 4x 1 + 2x 2 + 0x 3 ≥ 450❸; 3x 1 + 4x 2 + 6x 3 ≥ 130❹; 0x 1 + 1x 2 + 1x 3 ≥ 650❺

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0; condiciones de no negatividad❻ }

JULIO VARGAS HERBAS*46


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#112 Una pequeña fábrica, se dedica a elaborar sobre una máquina, tres productos diferentes, P 1 , P 2 y P 3 ,

trabajando 45 horas semanales. Los rendimientos económicos de estos son 140, 100 y 75 bolivianos (Deducidos costos

de producción y otros) respectivamente. Las velocidades de producción de P 1 , P 2 y P 3 son 50 piezas/hora, 25 piezas/hora

y 75 piezas/hora. Se sabe por otro lado, que el mercado para estos productos es cuando más 1000 piezas para P 1 , 500

piezas para P 2 y 1500 piezas para P 3 por semana. ¿Qué cantidades de los productos P 1 , P 2 y P 3 , debería elaborar la

fábrica para que el rendimiento económico total sea máximo?

SOLUCIÓN:

Calculamos los rendimientos económicos individuales por hora tendríamos:

REND. AL FABRICAR POR HORA Bs/hora

P 1 140 Bs/Pieza *50Piezas/hora= 7000 Bs/hora

P 2 100 Bs/Pieza *25Piezas/hora= 2500 Bs/hora

P 3 75 Bs/Pieza *75Piezas/hora= 5625 Bs/hora

Para este plan, se requiere t horas de trabajo de la máquina, igual a la suma de t 1 , t 2 y t 3 tiempos necesarios

para elaborar la demanda de P 1 , P 2 y P 3.

P 1 : 50Piezas

1hora

= 1000Piezas/semana → t 1 = 20horas

semana

P 2 : 25Piezas

1hora

P 3 : 75Piezas

1hora

Tiempo total = t = t 1 + t 2 + t 3 = 60horas

semana

t 1

A

= 500Piezas/semana

t 2

A

= 1500Piezas/semana

t 3

A

→ t 2 = 20horas

semana

→ t 3 = 20horas

semana

; Pero no podemos olvidar que la máquina que se dispone en la fábrica,

horas

puede funcionar sólo 45 horas semanales y se requería 60 − 45 = 15

adicionales para satisfacer la

semanales

demanda con la producción, lo que no es posible cumplir. el buen criterio nos conduce luego a tomar la siguiente

decisión: disponer 20 horas

semana para producir piezas de P 1, 20

horas

semana para producir piezas de P 3 y finalmente

horas

5

semanales para elaborar piezas del producto P 2.

En 5 horas, se elaborarian 125 piezas del producto P2, calculado con la relación:

{

25Piezas x pieza

=

1hora 5horas ↔ x = 5 ∗ 25 = 125 Piezas }

Con las producciones indicadas, el rendimiento económico será:

PRODUCTO PRODUCCIÓN (PIEZAS/SEMANA) TIEMPO MÁQUINA (HORAS) INGRESO (Bs)

P 1 1000 20 140000

P 2 1500 20 112500

P 3 125 5 12500

TOTAL 45 265000

P 1 7000 Bs/hora * 20horas 140000 Bs

P 2 5625 Bs/hora * 20horas 112500 Bs

P 3 2500 Bs/hora * 5horas 12500 Bs

x 1 = Cantidad de piezas a elaborar por semana de P1.

x 2 = Cantidad de piezas a elaborar por semana de P2.

x 3 = Cantidad de piezas a elaborar por semana de P3.

Máximo: Z = 140x 1 + 100x 2 + 75x 3 ❶

Sujeto a:

x 1 ≤ 1000❷ ; x 2 ≤ 500❸ ; x 3 ≤ 1500❹

x 1

50 + x 2

25 + x 3

75 ≤ 45 ↔ 3x 1 + 6x 2 + 2x 3 ≤ 6750❺

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 ❻condiciones de no negatividad

JULIO VARGAS HERBAS*47


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#113 Un centro productivo compuesto de tres talleres T 1 , T 2 y T 3 , elabora tres productos diferentes P 1 , P 2 y

P 3 . Las horas de trabajo límite de los talleres son respectivamente 440, 350 y 110 por hora. Los productos son

elaborados en los talleres con los rendimientos y los pasos indicados a continuación:

Talleres Ocupados T 1 T 3 T 2 T 3

PRODUCTO P 1 Rendimiento horario 1 15 20 10

PRODUCTO P 2

Talleres Ocupados T 1 T 2 T 3

Rendimiento horario 1,5 4 12

Talleres Ocupados T 2 T 3

PRODUCTO P 3 Rendimiento horario 5 15

Las demandas mensuales de los productos son respectivamente no más de 200, 400 y 600 piezas. Los precios de venta

unitarios de los productos son respectivamente 500, 300 y 700 bolivianos, y el costo de producción y almacenaje es el

mismo para los tres e igual a 250 bolivianos. ¿Cuál sería el mejor plan mensual de producción de estos productos?

SOLUCIÓN:

El proceso de producción puede esquematizarse como sigue:

( 20Piezas

1hora

= x 1

t 1

x 1 = Cantidad que se espera producir mensualmente del producto P1.

x 2 = Cantidad que se espera producir mensualmente del producto P2.

x 3 = Cantidad que se espera producir mensualmente del producto P3.

Max: Z = (500 − 250)x 1 + (300 − 250)x 2 + (700 − 250)x 3 = 250x 1 + 50x 2 + 450x 3 ❶

Sujeto a:

Tiempo en el taller 1 → T 1

( 1Pieza

1hora = x 1

t 1

( 15Piezas

1hora

= x 1

t 1

1, 5piezas

↔ t 1 = x 1 hora) ; (

1hora

= x 2

t 2

JULIO VARGAS HERBAS*48

↔ t 2 = x 2

1, 5 hora) → tiempo total = t 1 + t 2

t 1 + t 2 ≤ 440 ↔ x 1 + x 2

1, 5 ≤ 440 ↔ x 1 + 2 3 x 2 ≤ 440 ↔ 3x 1 + 2x 2 ≤ 1320❷

Tiempo en el taller 2 → T 2

↔ t 1 = x 1

hora) ; (4piezas

20 1hora

= x 2

t 2

x 1

↔ t 2 = x 2

4

hora) ; (5piezas

1hora

= x 3

t 3

t 1 + t 2 + t 3 ≤ 350 ↔

20 + x 2

4 + x 3

5 ≤ 350 ↔ x 1 + 5x 2 + 4x 3 ≤ 7000❸

Tiempo en el taller 3 → T 3

↔ t 1 = x 1

15

( 15piezas

1hora

hora) ; (10Piezas

1hora

= x 1

t ′ 1

= x 3

t 3

↔ t ′ 1 = x 1

hora) ; (12piezas

10 1hora

= x 2

t 2

↔ t 3 = x 3

15 hora) → tiempo total = t 1 + t ′ 1 + t 2 + t 3

↔ t 3 = x 3

hora) → tiempo total =

5

↔ t 2 = x 2

12 hora) ;

t 1 + t ′ 1 + t 2 + t 3 ≤ 110 ↔ x 1

15 + x 1

10 + x 2

12 + x 3

15 ≤ 110 ↔ 4x 1 + 6x 1 + 5x 2 + 4x 3 ≤ 6600 ↔ 10x 1 + 5x 2 + 4x 3 ≤ 6600❹

demanda de los productos: x 1 ≤ 200❺; x 2 ≤ 400❻; x 3 ≤ 600❼

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0; condiciones de no negatividad❽

Respuesta: x 1 = 200; x 2 = 360; x 3 = 600 ; Max: Z = 338000


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#114 De tres frentes de producción de una mina denominados S 1 , S 2 y S 3 se pueden extraer diariamente no

más de 200, 500 y 300 toneladas de mineral, respectivamente. La producción diaria es almacenada en un buzón de 800

toneladas de capacidad total límite. El ingenio puede tratar de 80 toneladas/horas de mineral de S 1 , 90 toneladas/hora de

mineral de S 2 y 100 toneladas/hora de mineral de S 3 , trabajando en un turno de 8 horas día. Los valores unitarios de los

productos concentrados obtenidos con los minerales de S 1 , S 2 y S 3 luego de deducir el costo de producción y transporte

son respectivamente 6, 4 y 5 bolivianos. Se consideran las recuperaciones de mina e ingenio iguales y constantes para

los tres productos provenientes de S 1 , S 2 y S 3 . ¿Cuál sería el programa lineal que podría servirnos para encontrar el

mejor plan de producción diaria, si el objetivo es obtener el mejor resultado económico de las operaciones mineras

indicadas?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de toneladas a producir de minerales de S1.

x 2 = Cantidad de toneladas a producir de minerales de S2.

x 3 = Cantidad de toneladas a producir de minerales de S3.

Max: Z = 6x 1 + 4x 2 + 5x 3 ❶

Sujet a:

x 1 ≤ 200❷; x 2 ≤ 500❸; x 3 ≤ 300❹ ; x 1 + x 2 + x 3 ≤ 800❺

Rendimientos horarios de trabajo del ingenio frente a los minerales de las tres secciones:

80 toneladas

Para mineral de S1:

1 hora

90 toneladas

Para mineral de S2:

1 hora

Para mineral de S3:

= x 1

t 1

= x 2

t 2

100 toneladas

= x 3

1 hora t 3

→ t 1 = x 1

80

→ t 2 = x 2

90

→ t 3 = x 3

100

t 1 + t 2 + t 3 ≤ 8 ↔ x 1

80 + x 2

90 + x 3

100 ≤ 8 ↔ 45x 1 + 40x 2 + 36x 3 ≤ 28800❻

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0; condiciones de no negatividad❼

Respuesta: x 1 = 200; x 2 = 225; x 3 = 300 ; Max: Z = 3600

PROBLEMA#115 En un centro productivo se decide elaborar dos bienes B 1 y B 2 , utilizando tres tipos de material M 1 , M 2

y M 3 . El consumo de los materiales para la fabricación de los bienes es dado por la matriz siguiente:

B 1 B 2

M 1 2 1

M 2 1 2

M 3 0 1

Los productos terminados producen el mismo rendimiento económico y se dispone para la producción de 8, 7 y 3

unidades respectivamente de M 1 , M 2 y M 3 . Formular con los datos un programa lineal y encontrar una solución al

problema de fabricar estos bienes con los materiales dados de tal modo que se pueda obtener el mejor resultado

económico de esta operación.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de unidades a elaborar el bien de B1.

x 2 = Cantidad de unidades a elaborar el bien de B2.

Máximo: Z = x 1 + x 2 ❶

Sujeto a:

{ 2x 1 + 1x 2 ≤ 8❷ ; 1x 1 + 2x 2 ≤ 7❸ ; x 2 ≤ 3❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ❺condiciones de no negatividad}

PROBLEMA#116 AL-QUADOSH+, produce dos líneas de maquinaria pesada. Una de sus líneas de productos, llamada

equipa de excavación, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada

equipo para la silvicultura, está destinada a la industria maderera. Tanto la maquina más grande de la línea de equipo de

excavación (E9), como la mayor de toda la línea de silvicultura (F9) son fabricadas en los mismos departamentos y con

el mismo equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de

mercadotecnia de AL-QUADOSH+, ha considerado que durante ese periodo será posible vender todas las E9 y F9 que la

compañía sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción pare le mes próximo.

Es decir, ¿Cuántas E-9 y F-9 deberán fabricar si la dirección de AL-QUADOSH+, desea maximizar la contribución del

mes entrante a las ganancias.

Se toma en cuenta los siguientes factores importantes:

1. El margen de contribución unitaria de AL-QUADOSH+, es de Bs 5000 por cada E-9 vendida y de Bs 4000 por cada F-9.

2. Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el departamento A como el B.

3. Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos departamentos tienen tiempos disponibles de 150 y 160

horas, respectivamente. La fabricación de cada E-9 requiere 10 horas de maquinado en el departamento A y 20 horas

en el departamento B, mientras que la de cada F-9 requiere 15 horas en el departamento A y 10 en el B.

4. Para que la administración cumpla un acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo

invertidas en la prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser más allá de 10% inferior a una

meta convenida de 150 horas. Estas pruebas es llevan a cabo en un tercer departamento y no tiene nada que ver

JULIO VARGAS HERBAS*49


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a pruebas durante 30 horas y cada F-9

durante 10.

Dado que el 10% de 150 es 15, las horas destinas a las pruebas no pueden ser menores que 135.

5. con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado como política operativa

que: deberá construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas.

6. Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 para el próximo

mes, por lo cual tendrá que producirse por lo menos esa cantidad.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de maquinaria pesada a producir de equipo de excavación (E − 9).

x 2 = Cantidad de maquinaria pesada a producir de equipo de silvicultura (F − 9).

Máximo: Z = 5000x 1 + 4000x 2 ❶

Sujeto a:

x 1

10x 1 + 15x 2 ≤ 150❷ ; 20x 1 + 10x 2 ≤ 160❸; 30x 1 + 10x 2 ≥ 135❹;

3 ≤ x 2 ↔ x 1 ≤ 3x 2 ↔ x 1 − 3x 2 ≤ 0❺; x 1 + x 2 ≥ 5❻

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0; condiciones de no negatividad❼ }

PROBLEMA#117 Un administrador de personal debe programar las fuerzas de seguridad, de manera que se satisfagan

los requisitos de personal de guardia indicados en la tabla1; y los oficiales trabajan por turno de 8 horas. Cada día hay

seis de esos turnos. La hora de inicio y final de cada turno aparece en la tabla2.

TABLA1

TABLA2

REQUERIMIENTOS DE PERSONAL

PROGRAMA DE TURNOS

DE GUARDIA DE SEGURIDAD

HORA

CANTIDAD MINIMA

REQUERIDA DE OFICIALES

TURNO HORA DE INICIO HORA DE

TERMINACIÓN

MEDIANOCHE – 4 A.M. 5 1 MEDIANOCHE 8:00 A.M.

4 A.M. – 8 A.M. 7 2 4:00 A.M. MEDIODÍA

8 A.M. – MEDIODÍA 15 3 8:00 A.M. 4:00 P.M.

MEDIODÍA – 4 P.M. 7 4 MEDIODÍA 8:00 P.M.

4 P.M. – 8 P.M. 12 5 4:00 P.M. MEDIANOCHE

8 P.M. - MEDIANOCHE 9 6 8:00 P.M. 4:00 A.M.

El gerente de personal quiere determinar la cantidad de oficiales que deberán trabajar en cada turno, de manera que se

logre minimizar el total de oficiales empleados, pero sin dejar de satisfacer los requerimientos correspondientes a los

turnos de guardia.

SOLUCIÓN:

Podemos esquematizar de la siguiente manera:

INTERVALOS DE TIEMPO

TURNO MEDIANOCHE 4:00 A.M. 8:00 A.M. A MEDIODÍA 4:00 P.M. A

A 4:00 A.M. A 8:00 A.M. MEDIODÍA A 4:00 P.M. 8:00 P.M.

1 X 1 X 1

2 X 2 X 2

3 X 3 X 3

4 X 4 X 4

5 X 5 X 5

6 X 6 X 6

REQ. 5 7 15 7 12 9

8:00 P.M. A

MEDIANOCHE

x 1 = Cantidad de oficiales que estarán en servicio durante el turno 1.

x 2 = Cantidad de oficiales que estarán en servicio durante el turno 2.

x 3 = Cantidad de oficiales que estarán en servicio durante el turno 3.

x 4 = Cantidad de oficiales que estarán en servicio durante el turno 4.

x 5 = Cantidad de oficiales que estarán en servicio durante el turno 5.

x 6 = Cantidad de oficiales que estarán en servicio durante el turno 6.

Minimizar: Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 6 ≥ 5❷; x 1 + x 2 ≥ 7❸; x 2 + x 3 ≥ 15❹; x 3 + x 4 ≥ 7❺; x 4 + x 5 ≥ 12❻; x 5 + x 6 ≥ 9❼

{

x j ≥ 0(j = 1, 2, 3, 4, 5, 6)❽ }

JULIO VARGAS HERBAS*50


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#118 Una planta fabrica los productos A y B que tienen que pasar por algunos o todos los centros de

proceso, 1, 2,3 y 4 como indica en el siguiente esquema:

En los casos en que hay capacidad disponible en el centro 3, es posible enviar el producto a través de 3 en

lugar de hacerlo pasar dos veces por el centro 2. A continuación se da la información disponible:

PRODUCTO CENTRO CAPACIDAD DE ENTRADA

EN GALONES/HORA

% DE

RECUPERACIÓN

COSTO DE

OPERACIÓN Bs/HORA

1 300 90 1500

A 2 (1 ER Paso) 450 95 2000

4 250 85 1800

2 (2 DO Paso) 400 80 2200

3 350 75 2500

B

1 500 90 3000

3 480 85 2500

4 400 80 2400

PRODUCTO

COSTO/GALÓN DE

MATERIA PRIMA

PRECIO DE

VENTA/GALÓN DE

PRODUCTO TERMINADO

MÁXIMO DE VENTAS DIARIAS EN

GALONES DE PRODUCTO TERMINADO

A 50 200 1700

B 60 180 1500

Los centros 1 y 4 trabajan hasta 16 horas día, los centros 2 y 3 hasta 12 horas al día. Esta compañía efectúa

la distribución de sus productos son sus propios recursos, los que permiten en transporte de un máximo de

2500 galones. Los dos tipos de materia prima, que se evaporan con facilidad, pueden conseguirse en

cualesquiera cantidades en el mercado; pero no hay forma de almacenarlos; es decir, la totalidad de las

materias primas compradas debe usarse el día que se reciben. Los pedidos son satisfechos el mismo día

que se piden y a tiempo para su uso. Expresar el problema propuesto como un programa lineal; que permita

decir cuántos galones de materia prima deben dedicarse diariamente a cada curso posible, dado que cada

centro puede manejar solamente el paso de un producto en proceso a la vez y se desea y se desea

maximizar las utilidades. Ignórese el tiempo que podría requerir para cambiar de un producto a otro en

cualquiera de los centros. (% de merma = 100 - % de recuperación).

JULIO VARGAS HERBAS*51


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

SOLUCIÓN:

x AN = Número de galones de materia prima A para el curso Normal.

x AA = Número de galones de materia prima A para el curso Alternativo.

x B = Número de galones de materia prima B.

Utilidad = Ingreso Total − Costo Materia Prima − Costo Operación.

Ingreso Total = 200[(0, 90)(0, 75)(0, 85)(0, 80)]x AN + [(0, 90)(0, 95)(0, 85)(0, 75)]x AA + 180[(0, 90)(0, 85)(0, 80)]x B

Costo de Materia Prima = 50(x AN + x AA ) + 60x B

{

Costo de Operación = ( x AN

300 ) (1500) + (0, 90x AN

450

) (2000) + [(0, 90 ∗ 0, 95)x AN

] (1800) + [ (0, 90 ∗ 0, 95 ∗ 0, 85)x AN

] (2200) +

250

400

( x AA

500 ) (1500) + (0, 90x AA

450

) (2000) + [(0, 90 ∗ 0, 95)x AA

] (1800) + [ (0, 90 ∗ 0, 95 ∗ 0, 85)x AA

] (2500) +

250

350

( x B

500 ) (3000) + (0, 90x B

480

) (2500) + [(0, 90 ∗ 0, 95)x B

] (2400)

400

Máximo de Z = 47x AN + 38, 6x AA + 34, 7x B ❶

Sujeto a:

a)Restricciones debido al transporte:

[(0, 90)(0, 95)(0, 85)(0, 80)]x AN + [(0, 90)(0, 95)(0, 85)(0, 75)]x AA + [(0, 90)(0, 85)(0, 80)]x B ≤ 2500❷

b)Restricciones debido a las horas disponibles en cada centro:

Centro 1 → x AN + x AA

+ x B

300 500 ≤ 16❸ ; Centro 2 → 0, 90(x AN + x AA )

+ (0, 90)(0, 95)(0, 85)x AN

≤ 12❹

450

400

Centro 3 → (0, 90)(0, 95)(0, 85)x AA

+ 0, 90x B

400

480

≤ 12❺

Centro 4 → (0, 90)(0, 95)x AN + (0, 90)(0, 95)x AA

+ (0, 90)(0, 85)x B

≤ 16❻

250

400

c)Restricciones debido a las ventas:

[(0, 90)(0, 95)(0, 85)(0, 80)]x AN + [(0, 90)(0, 95)(0, 85)(0, 75)]x AA ≤ 1700❼

[(0, 90)(0, 85)(0, 80)]x B ≤ 1500❽

con: x AN , x AA , x B ≥ 0❾ condiciones de no negatividad.

Resumiendo el problema de programa lineal:

Máximo de Z = 47x AN + 38, 6x AA + 34, 7x B ❶

Sujeto a:

2907

5000 x AN + 8721

16000 x AA + 153

250 x 1

B ≤ 2500❷ ;

300 x AN +

1

300 x AA +

1

500 x B ≤ 16❸

1

500 x AN +

1

500 x AA +

2907

1600000 x 2907

AN ≤ 12❹ ;

1600000 x AA +

3

1600 x B ≤ 12❺

171

50000 x AN +

171

50000 x AA +

153

80000 x B ≤ 16❻

2907

5000 x AN + 8721

16000 x AA ≤ 1700❼

153

250 x B ≤ 1500❽

con: x AN , x AA , x B ≥ 0❾ condiciones de no negatividad. }

PROBLEMA#119 Una pequeña refinería mezcla 5 crudos para producir 2 grados de gasolina “A” y “B”. el número de

barriles diarios disponibles, número de octanos y el costo por barril, aparecen en la tabla siguiente.

CRUDO # DE OCTANOS BARRILES/DIA COSTO POR BARRIL

1 70 2000 80

2 80 4000 90

3 85 4000 95

4 90 5000 115

5 99 3000 200

El número de octanos de gasolina “A”, no puede ser menor de 95 y de la “B” no menos de 85. Asumir que una disposición

gubernamental obliga a producir por lo menos 8000 barriles diarios de gasolina tipo “B”. La gasolina tipo “A” se vende a los

distribuidores a $us 375 por barril y la de tipo “B” a $us 285 por barril. Los crudos no utilizados para producir gasolina tipo “A”

y “B” siempre y cuando tengan al menos 90 octanos se venden como gasolina de aviación a $us 275 por barril y aquellos con

85 octanos como máximo se venden como “Extra” a $us 125 por barril. Si deseamos maximizar las utilidades diarias. ¿Cuál

debe ser la producción de gasolina “A” y “B”, y como se deben de mezclar los crudos?

JULIO VARGAS HERBAS*52


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

SOLUCIÓN:

x ij = Número de barriles de i − ésimo crudo dedicados al j − ésimo grado de gasolina

y al crudo que no se utiliza (C). i = 1, 2, 3, 4, 5 ; j = A, B, C

Utilidad = Ventas − Costos

Ventas = 375(x 1A + x 2A + x 3A + x 4A + x 5A ) + 285(x 1B + x 2B + x 3B + x 4B + x 5B ) + 275(x 1C + x 2C + x 3C + x 4C + x 5C )

Costo = 80(x 1A + x 1B + x 1C ) + 90(x 2A + x 2B + x 2C ) + 95(x 3A + x 3B + x 3C ) + 115(x 4A + x 4B + x 4C ) + 200(x 5A + x 5B + x 5C )

Máx: Z = 295x 1A + 285x 2A + 280x 3A + 260x 4A + 175x 5A + 205x 1B + 195x 2B + 190x 3B + 170x 4B + 85x 5B +

45x 1C + 35x 2C + 30x 3C + 160x 4C + 174x 5C ❶

Sujeto a:

a) restricciones debido al octanaje de gasolina "A"

(70x 1A + 80x 2A + 85x 3A + 90x 4A + 99x 5A )

≥ 95 ↔ ( −25x

(x 1A + x 2A + x 3A + x 4A + x 5A )

1A − 15x 2A − 10x 3A − 5x 4A + 4x 5A ) ≥ 0❷

b) restricciones debido al octanaje de gasolina "B"

(70x 1B + 80x 2B + 85x 3B + 90x 4B + 99x 5B )

≥ 85 ↔ (−15x

(x 1B + x 2B + x 3B + x 4B + x 5B )

1B − 5x 2B + 5x 4B + 14x 5B ) ≥ 0❸

c) Se debe producir al menos 8000 barriles diarios de gasolina tipo "B"

(x 1B + x 2B + x 3B + x 4B + x 5B ) ≥ 8000❹

d) restricciones debido a la disponibilidad de los crudos

x 1A + x 1B + x 1C = 2000❺ ; x 2A + x 2B + x 2C = 4000❻ ; x 3A + x 3B + x 3C = 4000❼

x 4A + x 4B + x 4C = 5000❾ ; x 5A + x 5B + x 5C = 3000❿

{

x ij ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 ; j = A, B, C. ❶❶ }

PROBLEMA#120 Un fabricante de jabón y detergentes tiene tres plantas, localizadas en Santa Cruz de la Sierra, Cochabamba y La

Paz. Los bodegas (almacenes) principales se encuentran en Potosí, Oruro, Sucre, Tarija y Beni. En la tabla1 se proporciona los

requerimientos de ventas de cada bodega para el próximo año. Existe algo de preocupación en la empresa por establecer la fábrica que

debería producir el suministro para cada bodega. La capacidad de las fábricas es limitada. Santa Cruz de la Sierra tiene una capacidad

anual para 100000 cajas; Cochabamba tiene una capacidad de 60000 cajas y La Paz de 50000 cajas. En la tabla 2 se muestra el costo de

envió o de despachar jabón desde cada fabricas a cada bodega. La compañía desea ó quiere determinar un programa de entregas

(embarques) que minimice los costos totales generales de transporte de la compañía.

TABLA 1 TABLA 2

REQUERIMIENTO DE BODEGAS

COSTO DE EMBARCAR 1000 CAJAS DE JABÓN

UBICACIÓN DE LA VENTAS ANUALES

DESTINO

BODEGA

(MILES DE CAJAS)

POTOSI 50 POTOSI ORURO SUCRE TARIJA BENI

ORURO 10 O SC Bs 240 Bs 300 Bs 160 Bs 500 Bs 360

SUCRE 60 R CBBA Bs 420 Bs 440 Bs 300 Bs 200 Bs 220

TARIJA 30 I LP Bs 300 Bs 340 Bs 300 Bs 480 Bs 400

BENI 20

G

TOTAL 170

E

N

SOLUCIÓN:

x 11 = Número de cajas enviadas desde Santa Cruz a Potosi(en miles de cajas).

x 12 = Número de cajas enviadas desde Santa Cruz a Oruro(en miles de cajas).

x 13 = Número de cajas enviadas desde Santa Cruz a Sucre(en miles de cajas).

x 14 = Número de cajas enviadas desde Santa Cruz a Tarija(en miles de cajas).

x 15 = Número de cajas enviadas desde Santa Cruz a Beni(en miles de cajas).

x 21 = Número de cajas enviadas desde Cochabamba a Potosi(en miles de cajas).

x 22 = Número de cajas enviadas desde Cochabamba a Oruro(en miles de cajas).

x 23 = Número de cajas enviadas desde Cochabamba a Sucre(en miles de cajas).

x 24 = Número de cajas enviadas desde Cochabamba a Tarija(en miles de cajas).

x 25 = Número de cajas enviadas desde Cochabamba a Beni(en miles de cajas).

x 31 = Número de cajas enviadas desde La Paz a Potosi(en miles de cajas).

x 32 = Número de cajas enviadas desde La Paz a Oruro(en miles de cajas).

x 33 = Número de cajas enviadas desde La Paz a Sucre(en miles de cajas).

x 34 = Número de cajas enviadas desde La Paz a Tarija(en miles de cajas).

x 35 = Número de cajas enviadas desde La Paz a Beni(en miles de cajas).

Min: Z = 240x 11 + 300x 12 + 160x 13 + 500x 14 + 360x 15 + 420x 21 + 440x 22 + 300x 23 + 200x 24 + 220x 25 +

300x 31 + 340x 32 + 300x 33 + 480x 34 + 400x 35 ❶

Sujeto a:

x 11 + x 21 + x 31 = 50❷; x 12 + x 22 + x 32 = 10❸; x 13 + x 23 + x 33 = 60❹; x 14 + x 24 + x 34 = 30❺; x 15 + x 25 + x 35 = 20❻

x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 ≤ 100❼; x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 ≤ 60❽; x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 ≤ 50❾

con: x 11 , x 12 , x 13 , x 14 , x 15 , x 21 , x 22 , x 23 , x 24 , x 25 , x 31 , x 32 , x 33 , x 34 , x 35 ≥ 0❿

{

}

JULIO VARGAS HERBAS*53


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#121 YPFB va a mezclar diferentes hidrocarburos, se obtienes gasolina de diferentes grados, que es el

resultado directo de las operaciones de refinería. En una operación real de refinación, se realizan varias mezclas de

hidrocarburos, que dan muchas clases de gasolina como producto final (por ejemplo, gasolina de distintos grados para

aviación y para motor), con características importantes para los distintos grados de la composición química de la

gasolina (por ejemplo, octanaje, presión del vapor, contenido de azufre y contenido de oxidante). En este ejemplo

simplificado, se supone que una refinería dispone sólo de dos tipos de gasolina, cuyas características se presentan en

la siguiente tabla.

CARACTERISTICAS DE LAS MEZCLAS DE GASOLINA

MEZCLAS DISPONIBLES OCTANAJE PRESIÓN DE VAPOR CANTIDAD DISPONIBLE

GASOLINA TIPO 1 104 5 30000 BARRILES

GASOLINA TIPO 2 94 9 70000 BARRILES

Estos tipos de gasolina pueden ser combinados para producir dos productos finales, gasolina para aviación y gasolina

para motor. Las cualidades que requieren estos productos finales aparecen en la siguiente tabla.

CARACTERÍSTICAS DE LA GASOLINA COMO PRODUCTO FINAL

PRODUCTOS FINALES OCTANAJE PRESION MÁXIMA VENTAS MÁXIMAS PRECIO DE VENTA

MÍNIMO DE VAPOR

(POR BARRIL)

GASOLINA PARA AVIACIÓN 102 6 20000 BARRILES Bs 45,10

GASOLINA PARA MOTOR 96 8 CUALQUIER CANTIDAD Bs 32,40

Cuando la gasolina se combina, la mezcla resultante tiene un octanaje y una presión de vapor proporcional al volumen

de cada tipo de gasolina que se mezcló. Por ejemplo, si se mezclan 1000 barriles de gasolina de tipo 1 con 1000 barriles

de gasolina de tipo 2, la gasolina resultante tendrá un octanaje de 99:

(1000) ∗ (104) + (1000) ∗ (94)

(1000) ∗ (5) + (1000) ∗ (9)

= 99 ; y una presion de vapor de 7:

= 7

2000

2000

SOLUCIÓN:

La empresa desea maximizar los ingresos por la venta de gasolina como producto final.

x 1 = Número de barriles de gasolina tipo 1, utilizados en gasolina para aviación.

x 2 = Número de barriles de gasolina tipo 2, utilizados en gasolina para aviación.

x 3 = Número de barriles de gasolina tipo 1, utilizados en gasolina para motor.

x 4 = Número de barriles de gasolina tipo 2, utilizados en gasolina para motor.

Maximizar: Z = 45, 10(x 1 + x 2 ) + 32, 40(x 3 + x 4 ) = 45, 10x 1 + 45, 10x 2 + 32, 40x 3 + 32, 40x 4 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 ≤ 20000❷; x 1 + x 3 ≤ 30000❸; x 2 + x 4 ≤ 70000❹

104x 1 + 94x 2

≥ 102 ↔ 104x

x 1 + x 1 + 94x 2 ≥ 102(x 1 + x 2 ) ↔ 104x 1 + 94x 2 ≥ 102x 1 + 102x 2 ↔ 2x 1 − 8x 2 ≥ 0❺

2

104x 3 + 94x 4

≥ 96 ↔ 104x

x 3 + x 3 + 94x 4 ≥ 96(x 3 + x 4 ) ↔ 104x 3 + 94x 4 ≥ 96x 3 + 96x 4 ↔ 8x 3 − 2x 4 ≥ 0❻

4

5x 1 + 9x 2

≤ 6 ↔ 5x

x 1 + x 1 + 9x 2 ≤ 6(x 1 + x 2 ) ↔ 5x 1 + 9x 2 ≤ 6x 1 + 6x 2 ↔ −x 1 + 3x 2 ≤ 0❼

2

5x 3 + 9x 4

≤ 8 ↔ 5x

x 3 + x 3 + 9x 4 ≤ 8(x 3 + x 4 ) ↔ 5x 3 + 9x 4 ≤ 8x 3 + 8x 4 ↔ −3x 3 + x 4 ≤ 0❽

4

{

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❾ }

PROBLEMA#122 Una fábrica vende dos tipos de productos diferentes, A y B. La información sobre el precio de venta y

el costo incremental es la siguiente:

TIPOS DE PRODUCTO

PRODUCTO A PRODUCTO B

PRECIO DE VENTA Bs 60 Bs 40

COSTO INCREMENTAL 30 10

UTILIDAD INCREMENTAL Bs 30 Bs 30

Los dos productos se fabrican dentro de un proceso común y se venden en dos mercados diferentes. El proceso de

producción tiene una capacidad de 30000 horas de mano de obra, se requiere de tres horas para elaborar una unidad de

A y una hora para producir una unidad de B. El mercado ya fue estudiado, por lo que los funcionarios de la empresa

consideran que la cantidad máxima de unidades de A que puede venderse es de 8000; la cantidad máxima de B es de

12000 unidades. De acuerdo con estas limitaciones, los productos pueden venderse en cualquier combinación. Formular

esta situación como un problema de programación lineal.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de unidades a producir del producto A.

x 2 = Cantidad de unidades a producir del producto B.

Maximizar: Z = 30x 1 + 30x 2 ❶

Sujeto a:

{ 3x 1 + 1x 2 ≤ 30000❷; x 1 ≤ 8000❸; x 2 ≤ 12000❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*54


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#123 Una empresa se compromete a despachar durante los próximos seis meses un producto. Los costos

de producción por mes varían debido a los cambios en el costo de los materiales. La capacidad de producción de la

empresa es de 100 unidades por mes en tiempo normal y hasta de 15 unidades adicionales por mes en tiempo extra. En

la siguiente tabla se muestra lo que contiene los requerimientos de despacho y producción por mes.

TABLA

DE REQUERIMIENTO Y COSTOS

MES

1 2 3 4 5 6

COMPROMISOS DE DESPACHO (UNIDADES) 95 85 110 115 90 105

COSTO POR UNIDAD EN TIEMPO NORMAL Bs 30 Bs 30 Bs 32 Bs 32 Bs 31 Bs 32

COSTO POR UNIDAD EN TIEMPO ADICIONAL Bs 35 Bs 35 Bs 37 Bs 37 Bs 36 Bs 37

El costo de tener en inventario una unidad no vendida es de bolivianos(Bs) 2 por mes. El problema para la empresa está

en determinar el número de unidades que debe producir en tiempo normal y en tiempo adicional cada mes, para cumplir

con los requerimientos, a un costo mínimo. La empresa no tiene unidades disponibles al comenzar el primer mes y no

desea tenerlas al finalizar el sexto mes.

SOLUCIÓN:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 = Número de unidades producidas en tiempo normal cada mes.

y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 = Número de unidades producidas en tiempo adicional cada mes.

I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 = Número de unidades en inventario(no vendidas)al final de cada mes.

Min: Z = 30x 1 + 30x 2 + 32x 3 + 32x 4 + 31x 5 + 32x 6 + 35y 1 + 35y 2 + 37y 3 + 37y 4 + 36y 5 + 37y 6

+2I 1 + 2I 2 + 2I 3 + 2I 4 + 2I 5 + 2I 6 ❶

Sujeto a:

Las restricciones de producción en tiempo normal son:

x 1 ≤ 100❷ ; x 2 ≤ 100❸ ; x 3 ≤ 100❹ ; x 4 ≤ 100❺ ; x 5 ≤ 100❻ ; x 6 ≤ 100❼

Las restricciones de producción en tiempo adicional son:

y 1 ≤ 15❽ ; y 2 ≤ 15❾ ; y 3 ≤ 15❿ ; y 4 ≤ 15❶❶ ; y 5 ≤ 15❶❷ ; y 6 ≤ 15❶❸

Restricciones de saldo de inventario que se necesitan para conectar los periodos de tiempo y garantizar que

se cumplan los compromisos de despacho: (fuentes de unidades) = (usos de unidades) ó

produccion en

(inventario inicial) + (producción en tiempo normal) + (

tiempo adicional ) = (compromisos ) + (inventario final)

de despacho

Para el mes 1 → 0 + x 1 + y 1 = 95 + I 1 ↔ x 1 + y 1 − I 1 = 95❶❹ ya que no hay ningún inventario inicial(0).

Para el mes 2 → I 1 + x 2 + y 2 = 85 + I 2 ↔ I 1 + x 2 + y 2 − I 2 = 85❶❺

mes 3 → I 2 + x 3 + y 3 − I 3 = 110❶❻; mes 4 → I 3 + x 4 + y 4 − I 4 = 115❶❼; mes 5 → I 4 + x 5 + y 5 − I 5 = 90❶❽

mes 6 → I 5 + x 6 + y 6 − I 6 = 105❶❾; como el inventario final debe ser cero: I 6 = 0❷❶

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 ≥ 0

{

y I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 = ó ≥ 0 ↔ I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 = ≥ 0❷❷ }

PROBLEMA#124 Una fábrica produce cuatro artículos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A requiere de dos horas

de maquinado, una hora de montaje y Bs 10 de inventario en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora

de maquinado, tres horas de montaje y Bs 5 de inventario en proceso. Cada unidad del producto C requiere 2,5 horas de

maquinado, 2,5 horas de montaje y Bs 2 de inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere 5

horas de maquinado, ninguna de montaje y Bs 12 de inventario en proceso.

La fábrica dispone de 120000 horas de tiempo de maquinado y 160000 horas de tiempo de montaje. Además, no puede

tener más de un millón de bolivianos de inventario en proceso.

Cada unidad del producto A genera una utilidad de Bs 40, cada unidad del producto B genera una utilidad de Bs 24, cada

unidad del producto C genera una utilidad de Bs 36 y cada unidad del producto D genera una utilidad de Bs 23. No

pueden venderse más de 20000 unidades del producto A, 16000 unidades del producto C, y puede venderse la cantidad

que se quiera de los productos B y D. Sim embargo, deben producir y vender por lo menos 10000 unidades del producto

D para cumplir con los requerimientos de un contrato. Sobre estas condiciones, formular un problema de programación

lineal, pero no resolverlo. El objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad resultante de ventas de los cuatro productos.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades fabricadas del producto A.

x 2 = Número de unidades fabricadas del producto B.

x 3 = Número de unidades fabricadas del producto C.

x 4 = Número de unidades fabricadas del producto D.

Maximizar: Z = 40x 1 + 24x 2 + 36x 3 + 23x 4 ❶

Sujeto a:

2x 1 + 1x 2 + 2, 5x 3 + 5x 4 ≤ 120000❷; 1x 1 + 3x 2 + 2, 5x 3 + 0x 4 ≤ 160000❸; 10x 1 + 5x 2 + 2x 3 + 12x 4 ≤ 1000000❹

x 1 ≤ 20000❺; x 3 ≤ 16000❻; x 4 ≥ 10000❼

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❽

{

Respuesta: x 1 = 10000; x 2 = 50000; x 3 = 0; x 4 = 10000; Max: Z = 1830000 }

JULIO VARGAS HERBAS*55


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#125 La U-Save Lía Vargas Claros La Veloz Company está planeando sus operaciones para el próximo año. La empresa

fiduciaria hace cinco tipos de préstamos, que se indican a continuación, con un retorno anual (en porcentaje) para ella.

TIPO DE PRÉSTAMO RETORNO ANUAL (%)

PRÉSTAMOS QUIROGRAFARIOS 15

PRÉSTAMOS PARA MUEBLES 12

PRÉSTAMOS PARA AUTOMÓVILES 9

HIPOTECAS DE BIENES RAICES EN SEGUNDO GRADO 10

HIPOTECAS DE BIENES RAICES EN PRIMER GRADO 7

Los requerimientos legales y la política de la empresa establecen los siguientes límites en las cantidades de los distintos

tipos de préstamos. Los préstamos quirografarios no pueden exceder del 10% del total de los préstamos. La cantidad de

los préstamos quirografarios y para muebles no puede exceder de 20% del total de los préstamos. Las hipotecas en

primer grado deben ser por lo menos de 40% del total de hipotecas y, por lo menos, 20% de la cantidad total de los

préstamos. Las hipotecas en segundo grado no pueden exceder de 25% de la cantidad total de préstamos. La empresa

desea maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos, sujetándose a las restricciones indicadas. La empresa

puede prestar un máximo de Bs 1,5 millones. Formular como programación lineal.

SOLUCIÓN:

x 1 = Millones de Bs a destinar, en fondos en préstamos para quirografarios.

x 2 = Millones de Bs a destinar, en fondos en préstamos para muebles.

x 3 = Millones de Bs a destinar, en fondos en préstamos para automóviles.

x 4 = Millones de Bs a destinar, en fondos en préstamos sobre hipotecas en segundo grado.

x 5 = Millones de Bs a destinar, en fondos en préstamos sobre hipotecas en primer grado.

Maximizar: Z = 0, 15x 1 + 0, 12x 2 + 0, 09x 3 + 0, 10x 4 + 0, 07x 5 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 1500000 ❷(total de fondos disponibles)

x 1 ≤ 0, 10(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) ↔ 0, 90x 1 − 0, 10x 2 − 0, 10x 3 − 0, 10x 4 − 0, 10x 5 ≤ 0❸

x 1 + x 2 ≤ 0, 20(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) ↔ 0, 80x 1 + 0, 80x 2 − 0, 20x 3 − 0, 20x 4 − 0, 20x 5 ≤ 0❹

x 5 ≥ 0, 40(x 4 + x 5 ) ↔ −0, 40x 4 + 0, 60x 5 ≥ 0❺

x 5 ≥ 0, 20(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) ↔ −0, 20x 1 − 0, 20x 2 − 0, 20x 3 − 0, 20x 4 + 0, 80x 5 ≥ 0❻

x 4 ≤ 0, 25(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) ↔ −0, 25x 1 − 0, 25x 2 − 0, 25x 3 + 0, 75x 4 − 0, 25x 5 ≤ 0❼

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0❽

{ x 1 = 150000; x 2 = 150000; x 3 = 525000; x 4 = 375000; x 5 = 300000; Max: Z = 146250 }

PROBLEMA#126 Julio Vargas Company produce madera aserrada de pino y abeto y dos tipos de madera prensada. La

empresa tiene una contribución de utilidad de 4 centavos de Bs por pie cuadrado de tabla para el pino y 6 centavos de

Bs por pie cuadrado de tabla para el abeto. La madera prensada de tipo 1 contribuye con Bs 1,20 por panel y el tipo 2

con Bs 1,50 por panel. Para el mes de diciembre, la empresa dispone de 2580 millares de pies cuadrados de tabla (MBF)

de pino disponible para su madera aserrada o prensada. De modo similar, dispone de 2040 millares de pies cuadrado de

abeto. Un panel de madera enchapada del tipo 1 requiere de 16 pies cuadrados de pino y 8 pies cuadrado de abeto. Un

panel de madera enchapada de tipo 2 requiere de 12 pies cuadrados de cada especie. La madera en lámina está

restringida sólo por la capacidad de la sierra cabecera. La sierra puede manejar 400 millares de pies cuadrados por mes

de cualquiera de las especies. El aserradero de madera prensada puede estar restringido por la descortezadora o la

secadora. Durante el mes, no pueden pelarse más de 250000 paneles de madera aserrada y se dispone de 920000

minutos en la secadora. Cada panel de tipo 1 requiere de cuatro minutos de secado y cada panel de tipo 2 requiere de 6

minutos de secado. Las condiciones de mercado limitan el número de paneles de tipo 1 vendidos a no más de 120000 y

el número de paneles de tipo 2 a no más de 100000. Puede venderse cualquier cantidad de madera aserrada.

SOLUCIÓN:

x 1 = Miles de pies cuadrados(MBF)de madera de pino aserrada y vendida.

x 2 = Miles de pies cuadrados(MBF)de madera de abeto aserrada y vendida.

x 3 = Miles de paneles de madera prensada de tipo 1 vendidos.

x 4 = Miles de paneles de madera prensada de tipo 2 vendidos.

Maximizar: Z = 0, 04x 1 + 0, 06x 2 + 1, 20x 3 + 1, 50x 4 ❶

Sujeto a:

x 1 + 16x 3 + 12x 4 ≤ 2580000(disponibilidad de pino)❷; x 2 + 8x 3 + 12x 4 ≤ 2040000(disp. de abeto)❸

x 1 + x 2 ≤ 400000(cap. de aserradero)❹; x 3 + x 4 ≤ 250000(cap. de la descortezadora)❺

4x 3 + 6x 4 ≤ 920000(cap. de la secadora)❻; x 3 ≤ 120000(Dda de tipo 1)❼; x 4 ≤ 100000(Dda tipo 2)❽

{

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❾ }

JULIO VARGAS HERBAS*56


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#127 Juliusmodel Electric Products Co. (JEPCO) produce grandes transformadores eléctricos para la

industria eléctrica. La empresa tiene pedidos para los siguientes seis meses, y se dan en la siguiente tabla JVH79.

TABLA JVH79

MES

ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO

PEDIDOS (UNIDADES) 58 36 34 69 72 43

COSTO POR UNIDAD EN TIEMPO NORMAL (EN MILES DE Bs) 18,00 17,00 17,00 18,50 19,00 19,00

COSTO POR UNIDAD EN TIEMPO EXTRA (EN MILES DE Bs) 20,00 19,00 19,00 21,00 22,00 22,00

Se espera que el costo de fabricación de un transformador se modifique durante los siguientes meses, debido a las variaciones en los

costos de los materiales y en el valor de la mano de obra. La empresa puede producir hasta 50 unidades por mes en tiempo normal y

hasta 20 unidades adicionales por mes en tiempo extra. Los costos de producción normal y en tiempo extra se muestran en la tabla

JVH79. El costo de mantener en inventario un transformador no vendido es de Bs 500 por mes. La empresa tiene 15 transformadores en

inventario al primero de enero y desea tener no menos de 5 en inventario al 30 de junio. Formular un problema de programación lineal

para determinar el cronograma de producción óptimo para JEPCO.

SOLUCIÓN:

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 = Número de transformadores producidas en tiempo normal cada mes.

y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 = Número de transformadores producidas en tiempo adicional cada mes.

I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 = Número de transformadores en inventario al final de cada mes.

Min: Z = 18x 1 + 17x 2 + 17x 3 + 18, 50x 4 + 19x 5 + 19x 6 + 20y 1 + 19y 2 + 19y 3 + 21y 4 + 22y 5 + 22y 6

Bs 500

+0, 50I 1 + 0, 50I 2 + 0, 50I 3 + 0, 50I 4 + 0, 50I 5 + 0, 50I 6 ❶ I = = 0. 5 para inventario

1000

{

Respuesta:

Sujeto a:

Las restricciones de producción en tiempo normal son:

x 1 ≤ 50❷ ; x 2 ≤ 50❸ ; x 3 ≤ 50❹ ; x 4 ≤ 50❺ ; x 5 ≤ 50❻ ; x 6 ≤ 50❼

Las restricciones de producción en tiempo adicional son:

y 1 ≤ 20❽ ; y 2 ≤ 20❾ ; y 3 ≤ 20❿ ; y 4 ≤ 20❶❶ ; y 5 ≤ 20❶❷ ; y 6 ≤ 20❶❸

Definicion de inventario:

I 1 = 15 + x 1 + y 1 − 58; para el mes de enero❶❹

I i = I i−1 + x i + y i − 58 pedidos; para i = 2, 3, 4, 5, 6. ❶❺

completar para los meses de febrero, marzo, abril, mayo, junio.

Inventario final: I 6 ≥ 5❶❻

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 ≥ 0

y I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 = ó ≥ 0 ↔ I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 = ≥ 0❶❼ }

MES PRODUCCION EN TIEMPO NORMAL PRODUCCION EN TIEMPO ADICIONAL INVENTARIO

ENERO 43 0 0

FEBRERO 50 0 14

MARZO 50 11 41

ABRIL 50 0 22

MAYO 50 0 0

JUNIO 48 0 5

El costo total es de Bs 5511(en miles de bolivianos). Existe una solución alternativa que implica la producción normal de 50 en enero y

sólo 4 en tiempo adicional en marzo, con las modificaciones pertinentes en los inventarios finales en enero(7) y en febrero(21).

PROBLEMA#128 Un importante estudio de cine planea producir cinco películas específicas durante los próximos tres

años. Definir una variable Y it donde el subíndice i se refiere a la película en particular (i=1,2,3,4,5) y el subíndice t al año

(t=1,2,3). Y it es una variables cero/uno que tiene el valor de 1 si la i-ésima película se produce en el t-ésimo año y tiene

un valor diferente de 0. Considerar cada situación de manera independiente y formular una o más restricciones lineales

con enteros que satisfagan la condición establecida.

a) No pueden producirse más que una película en el primer año.

b) La película 2 no puede producirse antes que la película 3; sin embargo, pueden producirse en el mismo año.

c) Debe producirse por lo menos una película cada mes.

d) La película 4 debe producirse a más tardar el año 2.

e) La película 1 y 5 no pueden producirse en el mismo año.

SOLUCIÓN:

a) Y 11 + Y 21 + Y 31 + Y 41 + Y 51 ≤ 1❶

b) Y 21 ≤ Y 31 ❷ ; Y 22 ≤ Y 31 + Y 32 ❸ ; Y 23 ≤ Y 31 + Y 32 + Y 33 ❹

c) Y 11 + Y 21 + Y 31 + Y 41 + Y 51 ≥ 1❺; Y 12 + Y 22 + Y 32 + Y 42 + Y 52 ≥ 1❻; Y 13 + Y 23 + Y 33 + Y 43 + Y 53 ≥ 1❼

d) Y 41 + Y 42 = 1❽

{

e) Y 11 + Y 51 ≤ 1❾; Y 12 + Y 52 ≤ 1❿; Y 13 + Y 53 ≤ 1❶❶ }

JULIO VARGAS HERBAS*57


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#129 La gerente de investigación operativa de la fundación AL-QUADOSH+ está tratando de decidir cuáles

proyectos financiar para el próximo año. Recibió las 8 propuestas que se presentan a continuación.

PROPUESTA COSTO (MILES DE Bs) VALOR

A 80 40

B 15 10

C 120 80

D 65 50

E 20 20

F 10 5

G 60 80

H 100 100

Después de un estudio minucioso, hizo un cálculo estimado del valor de cada proyecto en una escala de 0 al 100. La

gerente investigación desea encontrar una combinación de proyectos que contengan el valor total más alto. Sin

embargo, existen varias limitaciones. Primero, cuenta con un presupuesto de Bs 320000. Segunda, debe aceptar o

descartar un proyecto (es decir, no hay financiación parcial). Tercera, hay ciertos proyectos relacionados. Ella no desea

financiar los proyectos G y H. El proyecto D no debe recibir financiación a menos que A también lo haga (no obstante, A

puede ser financiada sin D).Formular el problema de la gerente como problema de programación lineal con enteros.

SOLUCIÓN:

Sean x 1 a x 8 variables (cero ó uno) que tienen el valor de 1 si se financia el proyecto, y el valor de 0 no se financia.

Minimicese: Z = 40x 1 + 10x 2 + 80x 3 + 50x 4 + 20x 5 + 5x 6 + 80x 7 + 100x 8 ❶

Sujeto a:

80000x 1 + 15000x 2 + 120000x 3 + 65000x 4 + 20000x 5 + 10000x 6 + 60000x 7 + 100000x 8 ≤ 320000❷

x 7 + x 8 ≤ 1(no ambos proyectos G y H)❸

x 4 ≤ x 1 (no el proyecto D a menos que el proyecto A se haga)❹

con: x j ≥ 0∀j (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)❺

Respuesta: La solución requiere la financiacion de A, C, E y H.

El valor total es de 240 unidades, y se utiliza la totalidad de Bs 320000.

x 1 = x 3 = x 5 = x 8 = 1 ; x 2 = x 4 = x 6 = x 7 = 0

{

A = C = E = H = 1 ; B = D = F = G = 0 }

PROBLEMA#130 La empresa Boliviana de Diamantes Preciosas explota diamantes en tres sitios de Bolivia. Las tres

minas difieren en términos de capacidad, número, peso de las piedras y costos se dan en la siguiente tabla.

MINA CAPACIDAD (M 3 DE

TIERRA PROCESADA)

COSTOS DE TRATAMIENTO

(Bs POR M 3 )

GRADO

(QUILATES M 3 )

CONTEO DE PIEDRAS

(NÚMERO DE PIEDRAS

POR M 3 )

PLANTA 1 83000 0,60 0,36 0,58

PLANTA 2 310000 0,36 0,22 0,26

PLANTA 3 190000 0,50 0,263 0,21

Debido a consideraciones de marketing, se requiere una producción mensual de 148000 piedras exactamente. Un

requerimiento similar exige, por lo menos, 130000 quilates. (el tamaño promedio de las piedras es, por tanto, al menos

130/148=0,88 quilates). El problema para el gerente de la empresa es cumplir con las condiciones de marketing, al menor

costo posible. Formular para determinar cuánto podría explotarse en cada mina.

SOLUCIÓN:

{

x 1 = m 3 de tierra procesada en la planta 1.

x 2 = m 3 de tierra procesada en la planta 2.

x 3 = m 3 de tierra procesada en la planta 3.

Minimizar: Z = 0, 60x 1 + 0, 36x 2 + 0, 50x 3 ❶

Sujeto a:

0, 58x 1 + 0, 26x 2 + 0, 21x 3 = 148000❷; 0, 36x 1 + 0, 22x 2 + 0, 263x 3 ≥ 130000❸;

x 1 ≤ 83000❹; x 2 ≤ 310000❺; x 3 ≥ 190000❻

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❼

Respuesta: x 1 = 61700; x 2 = 310000; x 3 = 150500; Min: Z = 223880 }

JULIO VARGAS HERBAS*58


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#131 Una mujer de negocios tiene la opción de invertir su dinero en dos planes. El plan A garantiza que

cada dólar invertido retornará 70 centavos por año, mientras que el plan B garantiza que cada dólar invertido retornará $

2 en dos años. En el plan B sólo se invierte para períodos que son múltiplos de dos años. ¿Cómo se invertirá $ 100000

para maximizar los retornos al final de los 3 años? Formúlese el problema como un modelo de programación lineal.

SOLUCIÓN:

Podemos visualizar en el siguiente esquema de gráfico:

Que nos permite plantear en la siguiente tabla:

PERIODO INVERSION CANTIDAD AL FINAL DEL PERIODO

1 X A1 + X B1 1,70X A1

2 X A2 + X B2 1,70X A2 + 3X B1

3 X A3 1,70X A3 + 3X B2

Nota: Cantidad de dinero que ingresa tiene que ser mayor o igual al dinero que sale.

x A3 = Cantidad de $ a invertir en la opción A, al final del periodo 3.

x B2 = Cantidad de $ a invertir en la opción B, al final del periodo 2.

Maximizar: Z = 1, 70x A3 + 3x B2 ❶(dinero que se dispondrá al final del año 3)

Sujeto a:

100000 ≥ x A1 + x B1 ↔ x A1 + x B1 ≤ 100000❷

1, 70x A1 ≥ x A2 + x B2 ↔ x A2 + x B2 ≤ 1, 70x A1 ↔ −1, 70x A1 + x A2 + x B2 ≤ 0❸

1, 70x A2 + 3x B1 ≥ x A3 ↔ x A3 ≤ 1, 70x A2 + 3x B1 ↔ x A3 − 1, 70x A2 − 3x B1 ≤ 0❹

{

con: x A1 , x A2 , x A3 , x B1 , x B2 ≥ 0 }

PROBLEMA#132 Un fabricante de acero produce 4 tamaños de vigas I en: pequeño, mediano, grande y extra grande.

Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres tipos de máquina: A, B, C. A continuación se indican las longitudes

(en pies) de las vigas I que pueden producir las máquinas por hora.

VIGA I

MÁQUINAS

A B C

PEQUEÑA 300 600 800

MEDIANA 250 400 700

GRANDE 200 350 600

EXTRA GRANDE 100 200 300

Supóngase que cada máquina se puede usar hasta 50 horas por semana y que los costos de operación por hora de

estas máquinas son $30, $50 y $80 respectivamente. Supóngase, además, que semanalmente se requieren 10000, 8000,

6000 y 6000 pies de los distintos tamaños de vigas I. formular el problema de programación de máquinas como un

programa lineal.

SOLUCIÓN:

Sea x ij = la longitud en pies de la viga i(i = pequeña, mediana, grande y extra grande), en la máquina j(j = A, B, C).

{

Min: Z = 30 ( x 11

300 + x 21

250 + x 31

200 + x 41

100 ) + 50 ( x 12

600 + x 22

400 + x 32

350 + x 42

200 ) + 80 ( x 13

800 + x 23

700 + x 33

600 + x 43

300 ) ❶

Sujeto a:

x 11

x 12

300 + x 21

250 + x 31

200 + x 41

100 ≤ 50❷; 600 + x 22

400 + x 32

350 + x 42

200 ≤ 50❸; 800 + x 23

700 + x 33

600 + x 43

300 ≤ 50❹

x 11 + x 12 + x 13 = 10000❺; x 21 + x 22 + x 23 = 8000❻; x 31 + x 32 + x 33 = 6000❼; x 41 + x 42 + x 43 = 6000❽

x ij ≥ 0❾ i = 1, 2, 3, 4 y j = 1, 2, 3 = A, B, C }

x 13

JULIO VARGAS HERBAS*59


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#133 Una fábrica de queso produce dos tipos de quesos: boliviano y agrio. La firma cuenta con 60 trabajadores

experimentados y desea aumentar su fuerza de trabajo a 90 trabajadores durante las siguientes 8 semanas. Cada obrero experimentado

puede entrenar a 3 nuevos empleados en un período de 2 semanas durante las cuales los obreros involucrados virtualmente no

producen nada. Se necesita 1 hora para producir 10 libras de queso boliviano y una hora para producir 6 libras de queso agrio. Una

semana de trabajo es de 40 horas. A continuación se resume (en miles de libra) la demanda semanal.

TIPO DE

QUESO

DEMANDA SEMANAL

1 2 3 4 5 6 7 8

BOLIVIANO 12 12 12 16 16 20 20 20

AGRIO 8 8 10 10 12 12 12 12

Supóngase que un empleado en entrenamiento recibe salario completo, como si fuera un obrero experimentado. Supóngase, además,

que el sabor del queso se destruye con la caducidad, de manera que el inventario se limita a una semana. Si se desea minimizar el costo,

¿cómo debe la compañía contratar y entrenar a sus nuevos empleados? Formular el problema como un programa lineal.

SOLUCIÓN: La grafica visualiza todo el proceso de producción y contratación.

{

Sea x i = el número de operarios experimentados que entrarán en la semana i.

u i = la producción de queso boliviano en i.

v i = la producción de queso agrio en i.

Iu i , Iv i = el inventario en el periodo i.

Min: Z = costo semana 1 + costo semana 2 + costo semana 3 + ⋯ + costo de semana 8

Min: Z = [ 3(x 1) + 3(x 1 + x 2 ) + 3(x 1 + x 2 + x 3 ) + 3(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + 3(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) +

]

3(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + 3(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 )

Min: Z = 3 salarios(8x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 5x 4 + 4x 5 + 3x 6 + 2x 7 )❶

Sujeto a:

Obreros en producción:

10 + v i

6 ≤ 40❷

(PRODUCCION i ) + (I i−1 ) − (DEMANDA i ) = I i

DEMANDA i ≥ I i−1

Esto con el fin de garantizar un inventario de a lo sumo una semana. semanalmente se debe tener:

u 1

SEMANA 1:

10 + v 1

6 ≤ 40(60 − x 1) → Iu 1 = u 1 − 12 ; Iv 1 = v 1 − 8 → ❷

SEMANA 2:

u 2

10 + v 2

JULIO VARGAS HERBAS*60

u i

6 ≤ 40(60 − x 1 − x 2 ) → Iu 2 = u 2 − 12 + Iu 1 ; Iv 2 = v 2 − 8 + Iv 1 ; Iu 1 ≤ 12 ; Iv 1 ≤ 8 → ❸

u 3

SEMANA 3:

10 + v 3

6 ≤ 40(60 − x 1 − x 2 − x 3 + 4x 1 ) ↔ u 3

10 + v 3

6 ≤ 40(60 + 3x 1 − x 2 − x 3 );

→ Iu 3 = u 3 − 12 + Iu 2 ; Iv 3 = v 3 − 10 + Iv 2 ; Iu 2 ≤ 12 ; Iv 2 ≤ 10 → ❹

u 4

SEMANA 4:

10 + v 4

6 ≤ 40(60 + 3x 1 + 3x 2 − x 3 − x 4 );

→ Iu 4 = u 4 − 16 + Iu 3 ; Iv 4 = v 4 − 10 + Iv 3 ; Iu 3 ≤ 16 ; Iv 3 ≤ 10 → ❺

u 5

SEMANA 5:

10 + v 5

6 ≤ 40(60 + 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 − x 4 − x 5 );

→ Iu 5 = u 5 − 16 + Iu 4 ; Iv 5 = v 5 − 12 + Iv 4 ; Iu 4 ≤ 16 ; Iv 4 ≤ 12 → ❻

u 6

SEMANA 6:

10 + v 6

6 ≤ 40(60 + 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 3x 4 − x 5 − x 6 );

→ Iu 6 = u 6 − 20 + Iu 5 ; Iv 6 = v 6 − 12 + Iv 5 ; Iu 5 ≤ 20 ; Iv 5 ≤ 12 → ❼

u 7

SEMANA 7:

10 + v 7

6 ≤ 40(60 + 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 − x 6 − x 7 );

→ Iu 7 = u 7 − 20 + Iu 6 ; Iv 7 = v 7 − 12 + Iv 6 ; Iu 6 ≤ 20 ; Iv 6 ≤ 12 → ❽

u 8

SEMANA 8:

10 + v 8

6 ≤ 40(60 + 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 + 3x 6 − x 7 );

→ Iu 8 = u 8 − 20 + Iu 7 ; Iv 8 = v 8 − 12 + Iv 7 ; Iu 7 ≤ 20 ; Iv 7 ≤ 12 → ❾

Aumento de de la fuerza laboral: 3(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ) = 30❿

u i , v i , Iu i , Iv i ≥ 0 ; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 semanas

x i ≥ 0 ; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. ❶❶ }


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#134 Banco de Crédito al Campesino, tiene dos planes de inversión: el primero en programa de tierras de

riego y el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30% de la inversión

anualmente, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversión, pero al término de dos años. Los intereses

recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule un programa lineal que le

permita al Banco maximizar la inversión total en un sexenio, si la inversión anual es de 100000000 de bolivianos.

SOLUCIÓN:

x ij = La cantidad que se invierte en el plan i(i = A, B), en el periodo j (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

x A1 = Cantidad de dinero a invertir en el plan A, en el periodo 1.

x A2 = Cantidad de dinero a invertir en el plan A, en el periodo 2.

x A3 = Cantidad de dinero a invertir en el plan A, en el periodo 3.

x A4 = Cantidad de dinero a invertir en el plan A, en el periodo 4.

x A5 = Cantidad de dinero a invertir en el plan A, en el periodo 5.

x A6 = Cantidad de dinero a invertir en el plan A, en el periodo 6.

x B1 = Cantidad de dinero a invertir en el plan B, en el periodo 1.

x B2 = Cantidad de dinero a invertir en el plan B, en el periodo 2.

x B3 = Cantidad de dinero a invertir en el plan B, en el periodo 3.

x B4 = Cantidad de dinero a invertir en el plan B, en el periodo 4.

x B5 = Cantidad de dinero a invertir en el plan B, en el periodo 5.

x B6 = Cantidad de dinero a invertir en el plan B, en el periodo 6.

Cantidad de igresa ≥ cantidad que sale

x A6 = Cantidad de dinero a invertir en el plan A, en el periodo 6.

x B5 = Cantidad de dinero a invertir en el plan B, en el periodo 5.

Maximizar: Z = 1, 30x A6 + 1, 65x B5 ❶

Sujeto a:

x A1 + x B1 ≤ 100000000❷

x A2 + x B2 ≤ 1, 30x A1 ❸

x A3 + x B3 ≤ 1, 30x A2 + 1, 65x B1 ❹

x A4 + x B4 ≤ 1, 30x A3 + 1, 65x B2 ❺

x A5 + x B5 ≤ 1, 30x A4 + 1, 65x B3 ❻

x A6 ≤ 1, 30x A5 + 1, 65x B4 ❼

{

x ij ≥ 0∀ij(i = A, B ; j = 1, 2, 3, 4, 5, 6)❽ }

PROBLEMA#135 Un barrio de 10 acres en la ciudad Santa Cruz de la Sierra de Bolivia se va a demoler y el

gobierno municipal debe decidir sobre el nuevo plan de desarrollo. Se van a considerar dos proyectos

habitacionales: viviendas a bajo costo y viviendas a medio costo. Se pueden construir 20 a 15 unidades por

acre, de estos dos tipos de viviendas, respectivamente. Los costos por unidad de las viviendas a bajo y

medio costo son $13000 y $ 18000. Los límites superior e inferior establecidos por el municipio sobre el

número de viviendas de bajo costo 60 y 100. De igual manera, el número de vivienda de costo medio debe

estar entre 30 y 70. El mercado potencial combinado máximo para las viviendas se estima que es de 150

(que es menor que la suma de los límites individuales debido al traslape entre los dos mercados). Se desea

que hipoteca total comprometida al nuevo plan de desarrollo no exceda a $2 millones. Finalmente, el asesor

de la obra sugirió que el número de viviendas de bajo costo sea al menos 50 unidades mayor que la mitad

del número de viviendas de costo medio. Formular corno u programa lineal.

JULIO VARGAS HERBAS*61


SOLUCIÓN:

PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

Sujeto a:

x 1 = el número de viviendas a construir a bajo costo.

x 2 = el número de viviendas a construir a costo medio.

Maximizar: Z = x 1 + x 2 ❶

x 1

20 + x 2

15 ≤ 10❷; x 1 ≥ 60❸; x 1 ≤ 100❹; x 2 ≥ 30❺; x 2 ≤ 70❻; x 1 + x 2 ≤ 150❼

{

13000x 1 + 18000x 2 ≤ 2000000❽; x 1 ≥ 50 + x 2

2 ↔ x 1 − x 2

2 ≥ 50❾ con: x 1, x 2 ≥ 0❿

}

PROBLEMA#136 Una compañía produce refrigeradoras, estufas y lavadoras de platos. Durante el año próximo, se

espera que las ventas sean las siguientes:

Trimestres

Producto

1 2 3 4

Refrigeradoras

Estufas

Lavadoras de platos

1500 1000 2000 1200

1500 1500 1200 1500

1000 2000 1500 2500

La compañía desea un programa de producción que satisfaga los requerimientos de demanda. Asimismo, la

administración ha decidido que el nivel de inventario para cada producto debe ser al menos, 150 unidades al final de

cada trimestre. No se cuenta con inventarios de ninguno de los productos al principio del primer trimestre. Durante un

trimestre, se dispone de sólo 18000 horas de tiempo de producción. Un refrigerador requiere 2 horas de tiempo de

tiempo de producción, una estufa precisa 4horas y una lavadora de platos 3 horas. Durante el cuarto trimestre no

pueden fabricarse refrigeradoras porque la compañía planea modificar la maquinaria para introducir un nuevo producto.

Suponga que cada artículo que se deja en inventario al final de un trimestre, produce un costo de almacenaje de $5. La

compañía desea planear su producción para todo el año, de tal manera que se satisfagan las demandas trimestrales y se

minimice el costo total de inventario. Formular el problema.

SOLUCIÓN:

X ij = la producción del producto i, (i = refrigeradoras, estufas y lavadoras), en el trimestre j, (j = 1, 2, 3, 4).

I ij = el inventario del producto i en j.

Minimizar: Z = 5(I 11 + I 12 + I 13 + I 14 ) + 5(I 21 + I 22 + I 23 + I 24 ) + 5(I 31 + I 32 + I 33 + I 34 )❶

Sujeto a:

CONDICIONES DEL INVENTARIO:

I 11 ≥ 150❷ I 21 ≥ 150❻ I 31 ≥ 150❿

I 12 ≥ 150❸ I 22 ≥ 150❼ I 32 ≥ 150❶❶

I 13 ≥ 150❹ I 23 ≥ 150❽ I 33 ≥ 150❶❷

I 14 ≥ 150❺ I 24 ≥ 150❾ I 34 ≥ 150❶❸

DEFINICIÓN DE LOS INVENTARIOS:

X 11 − 1500 = I 11 X 21 − 1500 = I 21 X 31 − 1000 = I 31

I 11 + X 12 − 1000 = I 12 I 21 + X 22 − 1500 = I 22 I 31 + X 32 − 2000 = I 32

I 12 + X 13 − 2000 = I 13 I 22 + X 23 − 1200 = I 23 I 32 + X 33 − 1500 = I 33

I 13 + X 14 − 1200 = I 14 I 23 + X 24 − 1500 = I 24 I 33 + X 34 − 2500 = I 34

❶❹ ❶❺ ❶❻

DISPONIBILIDAD DE HORAS:

2X 11 + 4X 21 + 3X 31 ≤ 18000❶❼; 2X 12 + 4X 22 + 3X 32 ≤ 18000❶❽

2X 13 + 4X 23 + 3X 33 ≤ 18000❶❾; 2X 14 + 4X 24 + 3X 34 ≤ 18000❷❶

{

X ij ≥ 0; i = 1, 2, 3. j = 1, 2, 3, 4. }

PROBLEMA#137 El gobierno de Bolivia ha dispuesto $1500 millones de dólares de su presupuesto general para fines militares.

Sesenta por ciento del presupuesto militar se usará para comprar tanques, aviones y proyectiles. Estos pueden adquirirse a un costo

por unidad de $600000, $2 millones y $800000, respectivamente. Se ha decidido que se deben adquirir al menos 200 tanques y 200

aviones. Debido a la escasez de pilotos experimentados, también se ha decidido no comprar más de 300 aviones. Por razones

estratégicas, la proporción de proyectiles a aviones comprados, debe estar en el rango de 1/4 a 1/2. El objetivo es maximizar la utilidad

total de estas armas, en donde las utilidades individuales están dadas como 1, 3 y 2, respectivamente, Formular el programa lineal.

SOLUCIÓN:

x 1 = el número de tanques que debe adquirir el gobierno Boliviano.

x 2 = el número de aviones que debe adquirir el gobierno Boliviano.

x 3 = el número de proyectiles que debe adquirir el gobierno Boliviano.

Maximizar: Z = x 1 + 3x 2 + 2x 3 ❶

Sujeto a:

600000x 1 + 2000000x 2 + 800000x 3 ≤ 1500000000(0, 60) ↔ 600000x 1 + 2000000x 2 + 800000x 3 ≤ 900000000❷

x 1 ≥ 200❸; x 2 ≥ 200❹; x 2 ≤ 300❺;

1

4 ≤ x 3

≤ 1 x 2 2

↔ 1 4 x 2 ≤ x 3 ≤ 1 2 x 2 ↔ (x 2 − 4x 3 ≤ 0 ) y (−x 2 + 2x 3 ≤ 0)❻

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 }

JULIO VARGAS HERBAS*62


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#138 Un fabricante de automóviles tiene un contrato para exportar 400 automóviles de modelo A y 500 del

modelo B. El automóvil modelo A ocupa un volumen de 12 metros cúbicos, y el modelo B ocupa un volumen de 15

metros cúbicos. Se dispone de tres barcos para transportar los automóviles. Estos llegarán al puerto de destino, a

principios de enero, mediados de febrero y fines de marzo, respectivamente. El primer barco sólo transporta

automóviles modelo A a un costo de $450 por automóvil. El segundo y tercer barco transportan ambos modelos a un

costo de $35 y $40 por metro cúbico respectivamente. El primer barco sólo puede acomodar 200 automóviles y el

segundo y el tercer barco tienen disponibles volúmenes de 4500 y 6000 metros cúbicos. Si el fabricante se ha

comprometido a entregar al menos 250 del modelo A y 200 del modelo B para mediados de febrero, y el resto para fines

de marzo, ¿Cuál es el diagrama de embarques para minimizar el costo total?

Formule el problema como un modelo lineal.

SOLUCIÓN:

Observando la gráfica se tiene:

x ij = la cantidad de automóviles de modelo i, (i = A, B), exportados para el periodo j, (j = enero, febrero, marzo).

Minimizar: Z = 450x 11 + (35)(12)x 12 + (40)(12)x 13 + (35)(15)x 22 + (40)(15)x 23 =

Minimizar: Z = 450x 11 + 420x 12 + 480x 13 + 525x 22 + 600x 23 ❶

Sujeto a:

x 11 + x 12 + x 13 = 400❷; x 22 + x 23 = 500❸; x 11 ≤ 200❹; 12x 12 + 15x 22 ≤ 4500❺

12x 13 + 15x 23 ≤ 6000❻; x 11 + x 12 ≥ 250❼; x 22 ≥ 200❽

{

con: x 11 , x 12 , x 13 , x 22 , x 23 ≥ 0❾ }

PROBLEMA#139 Un problema de producción. La compañía PLAN3000 tiene un suministro limitado de dos hierbas que

se utilizan en la producción de aderezos. PLAN3000 usa los dos ingredientes, HBO1 y HBO2, para producir ya sea

mayonesa o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender todo el

pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máximo de 1500 botellas de mayonesa, las hierbas no

utilizadas se pueden vender a $0,75 la onza de HBO1 y a $0,15 la onza de HBO2. En la tabla, se presentan datos

adicionales. Elabore un PL que maximice los ingresos.

ADEREZO Ingredientes(onza/botella) Demanda(botella) Precio de Venta por Botella

HBO1 HBO2

MAYONESA 5 3 1500 $3,50

PIMENTÓN 2 3 ilimitada $2,50

Disponibilidad(Onzas) 10000 8500

SOLUCIÓN:

x 1 = producción de botellas de mayonesa.

x 2 = producción de botellas de pimentón.

S 1 = Sobrantes de HBO1 y S 2 = Sobrantes de HBO2

Maximizar: Z = 3, 50x 1 + 2, 50x 2 + 0, 75S 1 + 0, 15S 2 ❶

Sujeto a: 5x 1 + 2x 2 + S 1 = 10000❷ ; 3x 1 + 3x 2 + S 2 = 8500❸; x 1 ≤ 1500❹

{

con: x 1 , x 2 , S 1 , S 2 ≥ 0❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*63


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#140 Las figura muestra el trayecto de tres productos a través de una planta .Con los datos que se dan en la

tabla, formúlese el problema para decidir qué tanto se debe producir de cada producto.

MÁQUINAS

PRODUCTO

A B C D

1 VELOCIDADES POR HORA: 500 1000 1850 -------

2 VELOCIDADES POR HORA: 1200 1500 2300 1400

3 VELOCIDADES POR HORA: ------ ------- 1600 800

COSTO DE OPERACIÓN POR HORA 500 450 800 600

PORCENTAJE DE TIEMPO MUERTO: 10 5 5 10

MATERIAS PRIMAS

P Q R

UNIDADES POR UNIDAD DE PRODUCTO 1: 1 1,25 2,0

UNIDADES POR UNIDAD DE PRODUCTO 2: ---- 2,0 2,5

UNIDADES POR UNIDAD DE PRODUCTO 3: 1,5 ----- 1,75

COSTO POR UNIDAD MATERIA PRIMA 0,25 0,35 0,30

Los precios de venta para los tres productos son 5,0; 4,5 y 3,5 respectivamente. En la figura se observa el producto

necesita varias máquinas para procesarse y llegar finalmente a ser un producto terminado.

JULIO VARGAS HERBAS*64


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

SOLUCIÓN:

x i la cantidad de unidades producidas del producto i − ésimo. Se observa que existen tiempos muertos

en las diferentes máquinas, lo cual trae como consecuencia las siguientes restricciones:

x 1 = Cantidad de unidades a producir del producto 1.

x 2 = Cantidad de unidades a producir del producto 2.

x 3 = Cantidad de unidades a producir del producto 3.

Maximizar: Z = Ingreso − Costos

Ingreso = 5x 1 + 4, 5x 2 + 3, 5x 3

Costos = costo de operacion a los rendimientos de cada máquina + costo de materia prima(MP)

x 2

Costo de Operación: Para A → 500 ( x 1

500 + ) ; Para B → 450 (

x 1200 1000 + ) ; Para C → 800 (

x 1500 1850 + 2300 + 1600 ) ;

Para D → 600 (

x 2

1400 + x 3

800 ) .

Costo MP: Para P → 0, 25(x 1 + 1, 5x 3 ); Para Q → 0, 35(1, 25x 1 + 2x 2 ); Para R → 0, 30(2x 1 + 2, 5x 2 + 1, 75x 3 );

CT para P1 = 500

500 x 1 + 450

1000 x 1 + 800

1850 x 1 + 0, 25x 1 + (0, 35)(1, 25)x 1 + (0, 30)(2)x 1 = 9383

2960 x 1

x 1

CT para P2 = 500

1200 x 2 + 450

1500 x 2 + 800

2300 x 2 + 600

1400 x 2 + (0, 35)(2)x 2 + (0, 30)(2, 5)x 2 = 2843

966 x 2

CT para P3 = 800

1600 x 3 + 600

800 x 3 + (0, 25)(1, 5)x 3 + (0, 30)(1, 75)x 3 = 43

20 x 3 = 2, 15x 3

Maximizar: Z = (5 − 9383

2960 ) x 1 + (4, 5 − 2843

966 ) x 2 + (3, 5 − 43

20 ) x 3 = ( 5417

2960 ) x 1 + ( 752

483 ) x 2 + ( 27

20 ) x 3❶

Sujeto a:

Rendimiento de la máquina ≤ 1 − tiempo muerto:

x 2

1

x 2

1

500 +

x

≤ 0, 90❷;

1200 1000 +

x

≤ 0, 95❸;

1500 1850 + 2300 +

x

≤ 0, 95❹;

1600 1400 + x 3

≤ 0, 90❺

800

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#141 Una compañía dispone de $30 millones para distribuirlos el próximo año entre sus tres sucursales.

Debido a compromisos de la estabilidad del nivel de empleados y por otras razones, la compañía ha establecido un nivel

mínimo de fondos para cada sucursal. Estos fondos mínimos son de $3, $5 y $8 millones, respectivamente. Debido a la

naturaleza de su operación, la sucursal 2 no puede utilizar más de $17 millones sin una expansión de capital grande. La

compañía no está dispuesta a efectuar tal expansión en este momento. Cada sucursal tiene la oportunidad de dirigir

distintos proyectos con los fondos que recibe. Para cada proyecto se ha establecido una tasa de ganancia (como un %

de la inversión). Por otra parte, algunos de los proyectos permiten sólo una inversión limitada. A continuación se dan los

datos para cada proyecto.

Tasas de ganancia Límite superior de inversión(en

Sucursal Proyecto

millones de dólares)

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

8%

6%

7%

5%

8%

9%

10%

6%

Formular este problema como un programa lineal.

SOLUCION:

Sea x ij la cantidad que se invierte en la sucural i en el proyecto j.

i = 1, 2, 3(sucursales), j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8(proyectos).

Max: Z = 0, 08x 11 + 0, 06x 12 + 0, 07x 13 + 0, 05x 24 + 0, 08x 25 + 0, 09x 26 + 0, 10x 37 + 0, 06x 38 ❶

Sujeto a:

(x 11 + x 12 + x 13 ) + (x 24 + x 25 + x 26 ) + (x 37 + x 38 ) ≤ 30000000❷(cantidad disponible)

x 11 + x 12 + x 13 ≥ 3000000❸; x 24 + x 25 + x 26 ≥ 5000000❹; x 37 + x 38 ≥ 8000000❺(fondos minimos a invertir)

x 24 + x 25 + x 26 ≤ 17000000❻(fondo maximo a invertir en la sucursal 2)

x 11 ≤ 6000000❼; x 12 ≤ 5000000❽; x 13 ≤ 9000000❾; x 24 ≤ 7000000❿; x 25 ≤ 10000000❶❶; x 26 ≤ 4000000❶❷

x 37 ≤ 6000000❶❸; x 38 ≤ 3000000❶❹

con: x 11 , x 12 , x 13 , x 24 , x 25 , x 26 , x 37 , x 38 ≥ 0❶❺ o´x ij ≥ 0 i = 1, 2, 3. j = 4, 5, 6, 7, 8.

1

x 2

x 2

x 3

2

6

5

9

7

10

4

6

3

1

x 2

x 3

JULIO VARGAS HERBAS*65


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#142 Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, que venden a 18 y 21 centavos de dólar por

galón. La refinería puede comprar cuatro diferentes crudos con los siguientes análisis y costos:

Crudo A B C Precio($/galón)

1 0,80 0,10 0,10 0,14

2 0,30 0,30 0,40 0,10

3 0,70 0,10 0,20 0,15

4 0,40 0,50 0,10 0,12

La gasolina cuyo precio de venta es 21 centavos de dólar debe tener cuando menos 60 por ciento de A y no más de 35 por ciento de C.

La de 18 centavos de dólar por galón no debe tener más de 30 por ciento de C. En el proceso de mezclado se pierde, por evaporación, 2

por ciento A y 1 por ciento de B y C. Demuéstrese cómo se determinan las cantidades relativas de crudos que se utilizar, mediante la

Programación Lineal.

SOLUCIÓN:

Como se desea conocer las cantidades a utilizar para producir los dos tipos de gasolina, se hace necesario usar las variables que están

representadas en la siguiente gráfica:

Al mezclarse X ij para dar la gasolina j, cumplir con las condiciones de análisis y perder en el proceso de evaporación,

los valores que quedan son:

Crudo A B C Total

1 0,80(0,98)=0,784 0,10(0,99)=0,099 0,10(0,99)=0,099 0,982

2 0,30(0,98)=0,294 0,30(0,99)=0,297 0,40(0,99)=0,396 0,987

3 0,70(0,98)=0,686 0,10(0,99)=0,099 0,20(0,99)=0,198 0,983

4 0,40(0,98)=0,392 0,50(0,99)=0,495 0,10(0,99)=0,099 0,986

Así por ejemplo, el crudo antes de la mezcla tenía 0,80% de A; al perder por evaporación 2%, le queda sólo el 98%; luego, (0,80)(0,98) es

igual a 0,784. El problema exige que se cumplan las siguientes restricciones:

x ij = La cantidad de crudo i que interviene en la gasolina j (i = 1, 2, 3, 4 y j = 1, 2).

x 11 = Cantidad a comprar de galones de crudo 1, para producir gasolina tipo 1.

x 12 = Cantidad a comprar de galones de crudo 1, para producir gasolina tipo2.

x 21 = Cantidad a comprar de galones de crudo 2, para producir gasolina tipo 1.

x 22 = Cantidad a comprar de galones de crudo 2, para producir gasolina tipo 2.

x 31 = Cantidad a comprar de galones de crudo 3, para producir gasolina tipo 1.

x 32 = Cantidad a comprar de galones de crudo 3, para producir gasolina tipo 2.

x 41 = Cantidad a comprar de galones de crudo 4, para producir gasolina tipo 1.

x 42 = Cantidad a comprar de galones de crudo 4, para producir gasolina tipo 2.

Maximizar: Z = 18(0, 982x 11 + 0, 987x 21 + 0, 983x 31 + 0, 986x 41 ) + 21(0, 982x 12 + 0, 987x 22 + 0, 983x 32 + 0, 986x 42 )

−14(x 11 + x 12 ) − 10(x 21 + x 22 ) − 15(x 31 + x 32 ) − 12(x 41 + x 42 ) =

Maximizar: Z = 919

250 x 11 + 3311

500 x 12 + 3883

500 x 21 + 10727

1000 x 22 + 1347

500 x 31 + 5643

1000 x 32 + 1437

250 x 41 + 4353

500 x 42❶

Sujeto a:

Condiciones de gasolina de tipo 2.

{0, 784x 12 + 0, 294x 22 + 0, 686x 32 + 0, 392x 42 ≥ 0, 60(0, 982x 12 + 0, 987x 22 + 0, 983x 32 + 0, 986x 42 )}❷

{0, 099x 12 + 0, 396x 22 + 0, 198x 32 + 0, 099x 42 ≤ 0, 35(0, 982x 12 + 0, 987x 22 + 0, 983x 32 + 0, 986x 42 )}❸

{(0, 099x 11 + 0, 396x 21 + 0, 198x 31 + 0, 099x 41 ) ≤ 0, 30(0, 982x 11 + 0, 987x 21 + 0, 983x 31 + 0, 986x 41 )}❹

con: x ij ≥ 0∀ij(i = 1, 2, 3, 4 ; j = 1, 2)❺

Nota: La función objetivo expresa la utilidad que se logra luego de obtener un ingreso por la cantidad

{

vendida (la cual ha sufrido mermas por evaporación) los costos por el crudo usado. }

JULIO VARGAS HERBAS*66


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#143 Un molino agrícola produce alimento para vacas, ovejas y pollos. Esto se hace mezclando los siguientes

ingredientes principales: maíz, piedra caliza, frijol de soya y comida de pescado. Estos ingredientes contienen los siguientes nutrientes:

vitaminas, proteínas, calcio y grasa cruda. A continuación se resume el contenido de los nutrientes en cada kilogramo de los

ingredientes.

INGREDIENTES

NUTRIENTES

VITAMINA PROTEÍNA CALCIO GRASA CRUDA

MAÍZ 8 10 6 8

PIEDRA CALIZA 6 5 10 6

FRIJOL DE SOYA 10 12 6 6

COMIDA DE PESCADO 4 8 6 9

Se hace un pedido al molino para que produzca 10, 6 y 8 toneladas (métricas) de alimentos para vacas, ovejas y pollos,

respectivamente. Debido a la escasez de los ingredientes, sólo se dispone de una cantidad limitada de ellos, a saber: 6 toneladas de

maíz, 10 toneladas de piedra caliza, 4 toneladas de frijol de soya y 5 toneladas de alimento de pescado. El precio por kilogramo de

estos ingredientes es de $0,20; $0,12; $0,24 y $0,12 respectivamente. A continuación se resume las unidades mínimas y máximas que

se permiten de los distintos nutrientes por cada kilogramo de alimento para vacas, ovejas y pollos.

NUTRIENTE

PRODUCTO

VITAMINA PROTEINA CALCIO GRASA CRUDA

MININO MAXIMO MINIMO MAXIMO MINIMO MAXIMO MINIMO MAXIMO

ALIMENTO PARA VACAS 6 ∞ 6 ∞ 7 ∞ 4 8

ALIMENTO PARA OVEJAS 6 ∞ 6 ∞ 6 ∞ 4 6

ALIMENTO PARA POLLOS 4 6 6 ∞ 6 ∞ 4 6

Formule el problema de programación lineal.

SOLUCIÓN:

Cantidades usadas de cada ingrediente:

VACAS OVEJAS POLLOS

DE MAÍZ X 11 + X 21 + X 31

DE PIEDRA CALIZA X 12 + X 22 + X 32

DE FRIJOL DE SOYA X 13 + X 23 + X 33

DE COMIDA DE PESCADO X 14 + X 24 + X 34

Sea x ij el número de kilogramos para el producto i(i = vacas, ovejas y pollos), del ingrediente j

(j = maíz, piedra caliza, frijol de soya y comida de pescado); así porejemplo x 12 significa kilogramos de

piedra caliza destinado al alimento para vacas.

x 11 = Cantidad de kilogramos de maíz destinados al alimento para Vacas.

x 21 = Cantidad de kilogramos de maíz destinados al alimento para Ovejas.

x 31 = Cantidad de kilogramos de maíz destinados al alimento para Pollos.

x 12 = Cantidad de kilogramos de piedra caliza destinados al alimento para Vacas.

x 22 = Cantidad de kilogramos de piedra caliza destinados al alimento para Ovejas.

x 32 = Cantidad de kilogramos de piedra caliza destinados al alimento para Pollos.

x 13 = Cantidad de kilogramos de frijol de soya destinados al alimento para Vacas.

x 23 = Cantidad de kilogramos de frijol de soya destinados al alimento para Ovejas.

x 33 = Cantidad de kilogramos de frijol de soya destinados al alimento para Pollos.

x 14 = Cantidad de kilogramos de comida de pescado destinados al alimento para Vacas.

x 24 = Cantidad de kilogramos de comida de pescado destinados al alimento para Ovejas.

x 34 = Cantidad de kilogramos de comida de pescado destinados al alimento para Pollos.

Mínimo: Z = 0, 20(x 11 + x 21 + x 31 ) + 0, 12(x 12 + x 22 + x 32 ) + 0, 24(x 13 + x 23 + x 33 ) + 0, 12(x 14 + x 24 + x 34 )❶

Sujeto a:

Disponibilidad de los ingredientes:

x 11 + x 21 + x 31 ≤ 6000❷; x 12 + x 22 + x 32 ≤ 10000❸; x 13 + x 23 + x 33 ≤ 4000❹; x 14 + x 24 + x 34 ≤ 5000❺

Requerimientos de los alimentos:

x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 10000❻; x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 6000❼; x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 8000❽

Composición mínima y máximas del nutriente:

Vitamina → 8x 11 + 6x 12 + 10x 13 + 4x 14 ≥ 6 ∗ 10000❾; 8x 21 + 6x 22 + 10x 23 + 4x 24 ≥ 6 ∗ 6000❿

8x 31 + 6x 32 + 10x 33 + 4x 34 ≥ 4 ∗ 8000❶❶; 8x 31 + 6x 32 + 10x 33 + 4x 34 ≤ 6 ∗ 8000❶❷

Proteína → 10x 11 + 5x 12 + 12x 13 + 8x 14 ≥ 6 ∗ 10000❶❸; 10x 21 + 5x 22 + 12x 23 + 8x 24 ≥ 6 ∗ 6000❶❹

{

10x 31 + 5x 32 + 12x 33 + 8x 34 ≥ 6 ∗ 8000❶❺

Calcio → 6x 11 + 10x 12 + 6x 13 + 6x 14 ≥ 7 ∗ 10000❶❻; 6x 21 + 10x 22 + 6x 23 + 6x 24 ≥ 6 ∗ 6000❶❼

6x 31 + 10x 32 + 6x 33 + 6x 34 ≥ 6 ∗ 8000❶❽

Grasa Cruda → 8x 11 + 6x 12 + 6x 13 + 9x 14 ≥ 4 ∗ 10000❶❾; 8x 11 + 6x 12 + 6x 13 + 9x 14 ≤ 8 ∗ 10000❷❶

8x 21 + 6x 22 + 6x 23 + 9x 24 ≥ 4 ∗ 6000❷❷; 8x 21 + 6x 22 + 6x 23 + 9x 24 ≤ 6 ∗ 6000❷❸

8x 31 + 6x 32 + 6x 33 + 9x 34 ≥ 4 ∗ 8000❷❹; 8x 31 + 6x 32 + 6x 33 + 9x 34 ≤ 6 ∗ 8000❷❺

con: x ij ≥ 0❷❻ }

JULIO VARGAS HERBAS*67


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#144 Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren semanalmente, 500, 700 y 600 toneladas de

madera. El fabricante puede comprar la madera a 3 compañías madereras. Los primeros dos fabricantes de madera

tienen virtualmente un suministro ilimitado, mientras que, por otros compromisos, el tercer fabricante no puede surtir

más de 500 toneladas por semana. El primer fabricante de madera usa el ferrocarril como medio de Transporte y no hay

un límite de peso que puede enviar a las fábricas de muebles. Por otra parte, las otras dos compañías madereras usan

camiones, lo cual limita a 200 toneladas el peso máximo que pueden enviar cualquiera de las fábricas de muebles. En la

siguiente tabla se da el costo de transporte de las compañías madereras a las fábricas de muebles ($ por toneladas).

Compañía

maderera

Fábrica de muebles

1 2 3

1 2 3 5

2 2,5 4 4,8

3 3 3,6 3,2

Formular este problema como un programa lineal.

SOLUCIÓN:

Graficamos de la siguiente manera.

M= es una cantidad tan grande quiere decir hay que penalizar puede tomar infinito de valores.

De aquí se desprende que x ij es la cantidad a enviar de la compañia maderera i a la planta de muebles j.

3 3

{

La F. O. implicará minimizar el costo total de transporte entres i y j. Min: Z = ∑ ∑ C ij X ij

3

i=1 j=1

Sujeto a: Disponibilidad (∑ X ij ≤ a i ; i = 1, 2, 3. ) ; Requerimiento (∑ X ij ≥ b j ; j = 1, 2, 3. ) .

j=1

Capacidad(0 ≤ X ij ≤ u ij ; i = 1, 2, 3. j = 1, 2, 3. )

donde: a i = disponibilidad de la compañia maderera i. ; b j = requerimiento de la planta j.

u ij = capacidad de flujo de i a j.

Min: Z = 2x 11 + 3x 12 + 5x 13 + 2, 5x 21 + 4x 22 + 4, 80x 23 + 3x 31 + 3, 60x 32 + 3, 20x 33 ❶

Sujeto a:

x 11 + x 12 + x 13 ≤ M❷; x 21 + x 22 + x 23 ≤ M❸; x 31 + x 32 + x 33 ≤ 500❹ → OFERTA

x 11 + x 21 + x 31 ≥ 500❺; x 12 + x 22 + x 32 ≥ 700❻; x 13 + x 23 + x 33 ≥ 600❼ → DEMANDA

x 11 ≤ M❽; x 12 ≤ M❾; x 13 ≤ M❿; x 21 ≤ 200❶❶; x 22 ≤ 200❶❷; x 23 ≤ 200❶❸

x 31 ≤ 200❶❹; x 32 ≤ 200❶❺; x 33 ≤ 200❶❻ → CAPACIDAD

x ij ≥ 0 i = 1, 2, 3. j = 1, 2, 3. condiciones de no negatividad❶❼

Nota: M significa una cantidad sin limite o una cantidad muy grande. }

3

i=1

JULIO VARGAS HERBAS*68


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#145 Un agricultor tiene 200 hectáreas y dispone de 18000 horas-Hombre. El desea determinar el área (en

hectáreas) que asignará a los siguientes productos: maíz, trigo, quinua, tomate y cebolla. El agricultor debe producir al

menos 250 toneladas de maíz para alimentar a sus puercos y ganado, y debe producir al menos 80 toneladas de trigo

debido a un contrato que firmo previamente. A continuación se resume el tonelaje y la mano de obra en horas-Hombre

por hectárea para diferentes productos.

MAÍZ TRIGO QUÍNUA TOMATE CEBOLLA

TONELADAS/HECTARIAS 10 4 4 8 6

Horas-Hombre/hectáreas 120 150 100 80 120

El maíz, trigo, quinua, tomate y cebolla se venden, respectivamente, en $120, $150, $50, $80 y $55 por tonelada.

Encontrar la solución óptima.

SOLUCIÓN:

x 1 = el área en hectarias asignada para el cultivo de maíz.

x 2 = el área en hectarias asignada para el cultivo de trigo.

x 3 = el área en hectarias asignada para el cultivo de quinua.

x 4 = el área en hectarias asignada para el cultivo de tomate.

x 5 = el área en hectarias asignada para el cultivo de cebolla.

Max: Z = (120 $

Ton ∗ 10 Ton

hectaria ) x 1 + (150 ∗ 4)x 2 + (50 ∗ 4)x 3 + (80 ∗ 8)x 4 + (55 ∗ 6)x 5

Max: Z = 1200x 1 + 600x 2 + 200x 3 + 640x 4 + 330x 5 ❶

Sujeto a:

10x 1 ≥ 250❷; 4x 2 ≥ 80❸ ; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 200❹

120x 1 + 150x 2 + 100x 3 + 80x 4 + 120x 5 ≤ 18000❺

{

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#146 Una compañía fabrica estufas y hornos. La compañía tiene tres almacenes y dos tiendas de venta al

menudeo. En los tres almacenes se dispone, respectivamente de 60, 80 y 50 estufas, y de 80, 50 y 50 hornos. En las

tiendas de menudeo se requieren, respectivamente, 100 y 90 estufas, y 60 y 120 hornos. En la siguiente tabla se dan los

costos de envió por unidad, de los almacenes a las tiendas de menudeo, los cuales se aplican tanto a estufas como a

hornos.

Tienda

Almacén

1 2

1

2

3

3

2

6

Formular el problema para encontrar la forma de envío que minimice el costo total del transporte.

SOLUCIÓN:

X ij = La cantidad de estufas que se envián de i a j.

Y ij = La cantidad de hornos que se envián de i a j.

Min: Z = 3x 11 + 5x 12 + 2x 21 + 3x 22 + 6x 31 + 3x 32 + 3y 11 + 5y 12 + 2y 21 + 3y 22 + 6y 31 + 3y 32 ❶

Sujeto a:

REQUERIMIENTO DE LA TIENDA 1 → x 11 + x 21 + x 31 = 100❷; y 11 + y 21 + y 31 = 60❸

REQUERIMIENTO DE LA TIENDA 2 → x 12 + x 22 + x 32 = 90❹; y 12 + y 22 + y 32 = 120❺

DISPONIBILIDAD DEL ALMACEN 1 → x 11 + x 12 = 60❻; y 11 + y 12 = 80❼

DISPONIBILIDAD DEL ALMACEN 2 → x 21 + x 22 = 80❽; y 21 + y 22 = 50❾

DISPONIBILIDAD DEL ALMACEN 3 → x 31 + x 32 = 50❿; y 31 + y 32 = 50❶❶

Se han considerado restricciones de igualdad, porque la suma de los requerimientos de cada producto,

es igual a la suma de sus disponibilidades.

{

X ij , Y ij ≥ 0 ; i = 1, 2, 3. j = 1, 2. ❶❷ }

5

3

3

JULIO VARGAS HERBAS*69


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#147 Un fabricante desea planear la producción de dos artículos A y B para los meses de marzo, abril, mayo

y junio. Las demandas que se deben satisfacer son las siguientes:

Artículo Marzo Abril Mayo Junio

A

400 500 600 400

B

600 600 700 600

Suponer que el inventario de A y B al finalizar el mes de febrero es de 100 y 150, respectivamente. Suponga, además,

que al final del mes junio se debe disponer de, al menos, 150 unidades del artículo B. Los costos de almacenaje de las

unidades no vendidas de los artículos A y B, durante cualquier mes, son de $1 y $0,80 multiplicados por el inventario del

artículo respectivo al final del mes, Por otra parte, debido a limitaciones de espacio, la suma de los artículos A y B en

almacén no puede exceder de 250 durante cualquier mes, Finalmente, el número máximo de artículos A y B que se

pueden producir durante mes dado es de 500 y 600, respectivamente.

Formular el problema de producción como un programa lineal. El objetivo consiste en minimizar el costo total de

inventario (el costo de producción se supone constante).

SOLUCIÓN:

X 1i = el número de unidades producidas del artículo A en el mes i(i = marzo, abril, mayo, junio).

X 2i = el número de unidades producidas del artículo B en el mes i(i = marzo, abril, mayo, junio)

I 1i = inventario del artículo A al final del mes i.

I 2i = inventario del artículo B al final del mes i.

Minimizar: Z = I 11 + I 12 + I 13 + I 14 + 0, 80I 21 + 0, 80I 22 + 0, 80I 23 + 0, 80I 24 ❶

Sujeto a:

INVENTARIO FINAL = INVENTARIO INICIAL + PRODUCCION − DEMANADA

RESTRICCIONES DE INVENTARIOS MENSUALES:

I 11 = 100 + X 11 − 400 I 12 = I 11 + X 12 − 500 I 13 = I 12 + X 13 − 600 I 14 = I 13 + X 14 − 400

I 21 = 150 + X 21 − 600 I 22 = I 21 + X 22 − 600 I 23 = I 22 + X 23 − 700 I 24 = I 23 + X 24 − 600

I 11 + I 21 ≤ 250 I 12 + I 22 ≤ 250 I 13 + I 23 ≤ 250 I 14 + I 24 ≤ 250

❷ ❸ ❹ ❺

RESTRICCIONES DE PRODUCCIÓN:

X 11 ≤ 500❻; X 21 ≤ 600❼; X 12 ≤ 500❽; X 22 ≤ 600❾; X 13 ≤ 500❿; X 23 ≤ 600❶❶; X 14 ≤ 500❶❷; X 24 ≤ 600❶❸

RESTRICCION DEL INVENTARIO FINAL:

I 24 ≥ 150❶❹

{

con: X 1i ≥ 0 ; X 2i ≥ 0 ; I 1i ≥ 0 ; I 2i ≥ 0 ; i = 1, 2, 3, 4❶❺ }

PROBLEMA#148 Otro problema de mezclas. Franz Ariel Vargas Claros, superintendente de edificaciones y jardines de la

Universidad de Bolivia, está planeando poner fertilizante al pasto en el área de patios a la entrada de la primavera. El

pasto necesita nitrógeno, fosforo y potasio al menos en las cantidades dadas en la tabla 1. Están disponibles tres clases

de fertilizantes comerciales: en la tabla 2 se da el análisis y los precios de ellos. Ariel Vargas puede comprar todo el

fertilizante que quiera de cada precio y mezclarlos antes de aplicar al pasto. Formule un modelo de programación lineal

para determinar cuánto debe comprar de cada fertilizante para satisfacer los requerimientos a un costo mínimo.

TABLA 1 TABLA 2: Características de los fertilizantes (por 1000 libras)

Requerimiento totales

del pasto

Contenido de

Precio

Mineral Peso

mínimo(lb)

FERTILIZANTES Nitrógeno

(Libras)

Fósforo

(Libras)

Potasio

(Libras)

$

Nitrógeno 10 I 25 10 5 10

Fósforo 7 II 10 5 10 8

Potasio 5 III 5 10 5 7

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de libras a comprar de fertilizantes de I.

x 2 = Cantidad de libras a comprar de fertilizantes de II.

x 3 = Cantidad de libras a comprar de fertilizantes de III.

Minimizar: Z = 10x 1 + 8x 2 + 7x 3 ❶

Sujeto a:

0, 025x 1 + 0, 010x 2 + 0, 005x 3 ≥ 10❷; 0, 010x 1 + 0, 005x 2 + 0, 010x 3 ≥ 7❸; 0, 005x 1 + 0, 010x 2 + 0, 005x 3 ≥ 5❹

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*70


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#149 Planeación de dietas. Nestorita, un antiguo entrenador de grupos de choque, se ha convertido en

avicultor. Desea alimentar a sus animales en forma tal que cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo.

Nestorita está estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa. En la tabla se muestra la información dietética importante

por libra de grano (por ejemplo, 1 libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteínas). Elabore un modelo PL. Para

determinarla mezcla dietética que satisfará los requerimientos diarios a un costo mínimo.

NUTRIENTES POR LIBRA DE GRANO

Nutrientes Maíz Soya Avena Alfalfa Necesidades diarias

Proteínas (mg) 15 30 15 7 Mínimo de 50 mg.

Calcio (mg) 40 10 40 45 Mínimo de 150 mg.

Grasas (mg) 20 50 8 25 Máximo de 120 mg.

Mínimo de 25 mg.

Calorías 850 1500 1200 4000 Mínimo de 5000 calorías

Costo por libras 70 45 40 90

SOLUCIÓN:

x i = Libras a utilizar del grano i(i = maíz, soya, avena, alfalfa).

Minimizar: Z = 70x 1 + 45x 2 + 40x 3 + 90x 4 ❶

Sujeto a:

15x 1 + 30x 2 + 15x 3 + 7x 4 ≥ 50❷; 40x 1 + 10x 2 + 40x 3 + 45x 4 ≥ 150❸; 20x 1 + 50x 2 + 8x 3 + 25x 4 ≤ 120❹

; 20x 1 + 50x 2 + 8x 3 + 25x 4 ≥ 25❺; 850x 1 + 1500x 2 + 1200x 3 + 4000x 4 ≥ 5000❻

{

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❼ }

PROBLEMA#150 Análisis del punto de equilibrio. Margarita de Mary, fabricante de equipos filtración de aire superfluo,

produce dos modelos, el Umidaire y el Depolinador. En la tabla, se dan los datos relativos a precios de venta y costos.

La firma de Margarita ya tiene contratados 500 Umidaire y desearía calcular el punto de equilibrio para ambos modelos.

Formulen un PL que minimice los costos.

Precios de venta y costos

Producto Precio de venta Costo variable

por unidad por unidad Costo fijo

Umidaire $450 $240 $150000

Depolinador 700 360 $240000

SOLUCIÓN:

Desde la ecuación del punto de equilibrio: Ingreso = Costos totales

Precio ∗ Cantdad = costo fijo + costo variable ∗ cantidad Sea:

x i = Cantidad para i(i = umidaire, depolinador).

La función objetiva es minimizar los costos variables( el costo fijo es una constante).

Minimizar: Z = 240x 1 + 360x 2 ❶

Sujeto a: 450x 1 + 700x 2 = 240x 1 + 360x 2 + 390000❷ ; x 1 ≥ 500❸

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0❹ }

PROBLEMA#151 Un problema de producción. En la tabla, se presentan los requisitos por unidad y los ingresos netos

para equipo forestal y equipo de excavación. Definan las variables de decisión y elaboren un programa lineal que

maximice los ingresos. Datos del equipo forestal de excavación:

Equipo Hierro Trabajo Requisitos de Tratamiento Ingreso

(lb) (hrs) transmisiones (hrs) Neto

Forestal 950 65 1 28 $450

Excavación 4000 120 1 16 895

Disponibilidad 650000 23000 450 7200

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de equipos de forestal a producir.

x 2 = Cantidad de equipos de excavación a producir.

Maximizar: Z = 450x 1 + 895x 2 ❶

Sujeto a: 950x 1 + 4000x 2 ≤ 650000❷; 65x 1 + 120x 2 ≤ 23000❸; x 1 + x 2 ≤ 450❹; 28x 1 + 16x 2 ≤ 7200❺

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#152 Planeación de cartera. Una compañía de inversiones tiene actualmente $10 millones para invertir.

La meta consiste en maximizar los créditos que se espera devengar en el próximo año. Las cuatro posibilidades de

inversión se resumen en la tabla Además, la compañía ha establecido que por lo menos el 30% de los fondos deberá ser

colocado en acciones y en bonos de la tesorería, y no más del 40% en el mercado de valores y bonos municipales. Se

deben colocar completamente los $10 millones disponibles. Formule un modelo de programación lineal que diga

cuánto dinero invertir en cada instancia. Resumen de posibilidades de Inversión:

JULIO VARGAS HERBAS*71


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

Posibilidades de Réditos Inversión máxima

Inversión esperados% permisible (millones)

Bonos de la tesorería 8 $5

Acciones 6 7

Mercado de dinero 12 2

Bonos municipales 9 4

SOLUCIÓN:

Sea: x i = Cantidad de dinero invertido en la posibilidad i(i = 1, 2, 3, 4).

Maximizar: Z = 0, 08x 1 + 0, 06x 2 + 0, 12x 3 + 0, 09x 4 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10000000❷; x 1 ≤ 5000000❸; x 2 ≤ 7000000❹; x 3 ≤ 2000000❺; x 4 ≤ 4000000❻

{

x 1 + x 2 ≥ 3000000❼; x 3 + x 4 ≤ 4000000❽; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❾ }

PROBLEMA#153 Asignación de la producción Una empresa ha decidió lanzar tres nuevos productos. Dos plantas

sucursales tienen en estos momentos capacidad de producción excedente. En la tabla, se muestran las capacidades de

las plantas y los costos de producción. Identifique las variables de decisión y elabore un modelo PL que asigne la

producción de los tres productos a las dos plantas en forma tal que cubran la demanda y minimicen los costos.

Costos unitarios de producción:

Planta A B C Capacidad

SOLUCIÓN:

1 $9 $18 $12 500

2 13 18 7 650

Demanda 400 250 350

x ij = Producción de la planta i(i = 1, 2), para el producto j(j = A, B, C).

Minimizar: Z = 9x 1A + 18x 1B + 12x 1C + 13x 2A + 18x 2B + 7x 2C ❶

Sujeto a: x 1A + x 1B + x 1C ≤ 500❷; x 2A + x 2B + x 2C ≤ 650❸

{ x 1A + x 2A ≥ 400❹; x 1B + x 2B ≥ 250❺; x 1C + x 2C ≥ 350❻; con: x 1A , x 1B , x 1C , x 2A , x 2B , x 2C ≥ 0❼ }

PROBLEMA#154 Una compañía produce un ensamblado que consiste, de un bastidor, una barra y un cojinete. La

compañía fabrica las barras y los bastidores pero tiene que comprar los cojinetes a otro fabricante. Cada barra debe

procesarse en una máquina de forja, un torno y un esmeril. Estas operaciones requieren de 0,5 horas, 0,2 horas y 0,3

horas por barra, respectivamente. Cada bastidor requiere de 0,8 horas de trabajo de forja 0,1 horas en el taladro, 0,3

horas en la fresadora, y 0,5 horas en el esmeril. La compañía tiene 5 tornos, 10 esmeriles, 20 máquinas de forja, 3

taladros y 6 fresadoras. Supóngase que cada máquina opera un máximo de 2400 horas por año. Formular como un

programa lineal el problema de encontrar el número máximo de componentes ensamblados que se pueden producir.

SOLUCIÓN:

x 1 = la cantidad de barras a producir.

x 2 = la cantidad de bastidores a producir.

Maximizar: Z = Minimizar{x 1 , x 2 }❶

Sujeto a: 0, 50x 1 + 0, 80x 2 ≤ 48000❷; 0, 20x 1 ≤ 12000❸; 0, 10x 2 ≤ 7200❹; 0, 30x 2 ≤ 14400❺

0, 30x 1 + 0, 50x 2 ≤ 24000❻; con: x 1 , x 2 ≥ 0❼

{ 2400(5) = 12000; 2400(10) = 24000; 2400(20) = 48000; 2400(3) = 7200; 2400(6) = 14400 }

JULIO VARGAS HERBAS*72


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PROBLEMA#155 Un molino agrícola produce alimento para ganado y alimento para pollos. Estos productos se

componen de tres ingredientes principales, a saber, maíz, cal y harina de pescado. Los ingredientes contienen dos tipos

principales de nutrientes que son proteínas y calcio. En la tabla siguiente se dan los contenidos de nutrientes por libra

de cada ingrediente.

Ingredientes

Nutrientes

Maíz Cal Harina de pescado

Proteína

25 15 25

Calcio

15 30 20

El contenido de proteína en el alimento para ganado debe estar en el intervalo [18; 22] por libra. El contenido de calcio

en el mismo alimento debe ser mayor o igual que 20 por fibra. De igual manera, en el alimento para pollos el contenido

de proteínas y el contenido de calcio debe estar en los intervalos [20; 23] y [20; 25], respectivamente. Supóngase que se

dispone de 3000, 2500 y 100 libras de maíz, cal y harina de pescado. Supóngase también que se requiere producir 4000

y 2000 Libras de alimentos para ganado y para pollos, respectivamente, El precio por libra de maíz, la cal y la harina de

pescado es, respectivamente, de $0,10, $0,10 y $0,08. Formúlese el problema de mezclado con el objeto de minimizar el costo.

SOLUCIÓN:

El problema es visualizado en la siguiente figura.

x ij = como la cantidad de libras del ingrediente i(i = 1, 2, 3), asignadas al alimento j(j = 1, 2).

i = maiz, cal y harina ; j = ganado y pollos

Minimicese: Z = 0, 10x 11 + 0, 10x 12 + 0, 10x 21 + 0, 10x 22 + 0, 08x 31 + 0, 08x 32 ❶

Sujeto a: x 11 + x 21 + x 31 ≤ 4000❺ ; x 12 + x 22 + x 32 ≤ 2000❻

x 11 + x 12 = 3000❷; x 21 + x 22 = 2500❸; x 31 + x 32 = 100❹ ;

18 ≤ 25x 11 + 15x 21 + 25x 31

x 11 + x 21 + x 31

≤ 22 ↔ [ 25x 11 + 15x 21 + 25x 31 ≤ 22(x 11 + x 21 + x 31 ) ↔ 3x 11 − 7x 21 + 3x 31 ≤ 0❼

25x 11 + 15x 21 + 25x 31 ≥ 18(x 11 + x 21 + x 31 ) ↔ 7x 11 − 3x 21 + 7x 31 ≥ 0❽ ]

15x 11 + 30x 21 + 20x 31

x 11 + x 21 + x 31

≥ 20 ↔ 15x 11 + 30x 21 + 20x 31 ≥ 20(x 11 + x 21 + x 31 ) ↔ −5x 11 + 10x 21 + 0x 31 ≥ 0❾

20 ≤ 25x 12 + 15x 22 + 25x 32

x 12 + x 22 + x 32

≤ 23 ↔ [ 25x 12 + 15x 22 + 25x 32 ≤ 23(x 12 + x 22 + x 32 ) ↔ 2x 12 − 8x 22 + 2x 32 ≤ 0❿

25x 12 + 15x 22 + 25x 32 ≥ 20(x 12 + x 22 + x 32 ) ↔ 5x 12 − 5x 22 + 5x 32 ≥ 0❶❶ ]

20 ≤ 15x 12 + 30x 22 + 20x 32

≤ 25 ↔

x 12 + x 22 + x 32

[ 15x 12 + 30x 22 + 20x 32 ≤ 25(x 12 + x 22 + x 32 ) ↔ −10x 12 + 5x 22 − 5x 32 ≤ 0❶❷

15x 12 + 30x 22 + 20x 32 ≥ 20(x 12 + x 22 + x 32 ) ↔ −5x 12 + 10x 22 + 0x 32 ≥ 0❶❸ ]

con: x ij ≥ 0, ∀i , ∀j ó x 11 , x 12 , x 21 , x 22 , x 31 , x 32 ≥ 0❶❹

como la suma de las disponibilidades es menor que la suma de requerimientos(es decir, no se puede cumplir con la

producción deseada), se ha forzado las restricciones ❷, ❸y❹ de disponibilidad a ser de igualdad(en vez de ≤),

{

y las de requerimientos a menor o igual (en vez de ≥)que son las restricciones❺y❻. }

JULIO VARGAS HERBAS*73


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#156 Un problema de mezclas, AL-QUADOSH+, Inc. produce dos salsas para bistec. Día picante y Noche

Rojo suave. Ambas salsas se hacen mezclando dos ingredientes, A y B. Se permite un cierto nivel de flexibilidad en las

fórmulas de estos. En la tabla 1979 se presentan los porcentajes permisibles, junto con datos de ingresos y costos. Se

pueden comprar hasta 40 cuartos de A y 30 cuartos de B. AL-QUADOSH+ puede vender todas las salsas que elabore un

Programa Lineal cuyo objetivo sea maximizar el ingreso neto proveniente de la venta de las salsas.

TABLA 1979 PORCENTAJES PERMISIBLES PARA AL-QUADOSH+, Inc.

SALSA INGREDIENTES PRECIO DE VENTA

A

B

POR CUARTO

DÍA PICANTE Por lo menos un 25% Por lo menos un 50% $3,35

NOCHE ROJO SUAVE Cuando mucho un 75% *** $2,85

COSTO POR CUARTO $1,60 $2,59

***No existe un porcentaje máximo o mínimo explícito.

Resolver como un modelo de programación lineal.

SOLUCIÓN:

{

x ij = Cantidad de la salsa i, (i = dia picante y noche rojo), en el ingrediente j, (j = A, B).

Max: Z = [3, 35(x 1A + x 1B ) + 2, 85(x 2A + x 2B )] − [1, 60(x 1A + x 2A ) + 2, 59(x 1B + x 2B )]

Max: Z = 1, 75x 1A + 0, 76x 1B + 1, 25x 2A + 0, 26x 2B ❶

Sujeto a:

x 1A ≥ 0, 25(x 1A + x 1B )❷; x 1B ≥ 0, 50(x 1A + x 1B )❸; x 2A ≤ 0, 75(x 2A + x 2B )❹

x 1A + x 2A ≤ 40❺; x 1B + x 2B ≤ 30❻; con: x 1A , x 1B , x 2A , x 2B ≥ 0❼ }

PROBLEMA#157 Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos máquinas. Los tiempos de manufactura en horas por unidad

de cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas.

Máquina

Tiempo por unidad (horas)

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

1 2 3 4 2

2 3 2 1 2

El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por

hora para las máquinas 1 y 2 es Bs 10 y Bs 15. Las horas totales presupuestadas para todos los productos en las máquinas 1 y 2 son

500 y 380. Si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 es Bs 65, Bs 70, Bs 55 y Bs 45, formule el problema como un

modelo de programación lineal para maximizar el beneficio neto total.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de unidades a producir del Producto 1.

x 2 = Cantidad de unidades a producir del Producto 2.

x 3 = Cantidad de unidades a producir del Producto 3.

x 4 = Cantidad de unidades a producir del Producto 4.

Max: Z = (65x 1 + 70x 2 + 55x 3 + 45x 4 ) − [10(2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 2x 4 ) + 15(3x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 )]

Max: Z = (65x 1 + 70x 2 + 55x 3 + 45x 4 ) − (65x 1 + 60x 2 + 55x 3 + 50x 4 ) = 10x 2 − 5x 4 ❶

{ Sujeto a: 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 2x 4 ≤ 500❷; 3x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 ≤ 380❸ con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❹ }

JULIO VARGAS HERBAS*74


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#158 Para una cafetería que trabaja 24 horas se requieren las siguientes meseras:

HORAS DEL DIA

NUMERO MINIMO DE MESERAS

2-6 4

6-10 8

10-14 10

14-18 7

18-22 12

22-2 4

Cada mesera trabaja 8 horas consecutivas por día. El objetivo es encontrar el número más pequeño requerido para

cumplir los requisitos anteriores. Formule el problema como un modelo de programación lineal.

SOLUCIÓN:

x j = el número de meseras que ingresan en el turno j(j = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Minimizar: Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ❶

Sujeto a: Numero de meseras en un turno ≥ numero minimo

Turno 1: x 1 + x 6 ≥ 4❷; Turno 2: x 1 + x 2 ≥ 8❸; Turno 3: x 2 + x 3 ≥ 10❹; Turno 4: x 3 + x 4 ≥ 7❺

Turno 5: x 4 + x 5 ≥ 12❻; Turno 6: x 5 + x 6 ≥ 4❼

{

x j ≥ 0 ; j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. ❽ }

PROBLEMA#159 Una compañía camionera tiene tres tipos de camiones: I, II y III. Estos camiones están equipados para transportar

tres tipos diferentes de máquinas en cada carga, de acuerdo a la siguiente tabla:

Tipo de camión

Máquina

I II III

A

B

C

1 1 1

0 1 2

2 1 1

Los camiones del tipo I, II y II cuestan $400 $600 y $900 por viaje, respectivamente. Se requiere determinar cuántos camiones de cada

tipo se deben usar para transportar 12 máquinas del tipo A, 10 máquinas del tipo B y 16 máquinas del tipo C. Formular el problema.

(Este es un problema de programación entera, pero es posible ignorar el requerimiento de que las variables sean enteras).

SOLUCIÓN:

x 1 = el número de camiones tipo I. x 2 = el número de camiones tipo II. x 3 = el número de camiones tipo III.

Minimizar: Z = 400x 1 + 600x 2 + 900x 3 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 ≥ 12❷ ; x 2 + 2x 3 ≥ 10❸ ; 2x 1 + x 2 + x 3 ≥ 16❸

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❹ }

JULIO VARGAS HERBAS*75


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#160 Se usa un torno para reducir 14 a 12 pulgadas el diámetro de una barra de acero cuya longitud es de

36 pulgadas. Se debe determinarla velocidad X 1 (en revoluciones por minuto), el avance en profundidad X 2 (en pulgadas

por minuto), y el avance en longitud X 3 (en pulgadas por minuto).La duración del corte está dada por 36/X 2 X 3 . La

compresión y la tensión lateral ejercida sobre la herramienta cortante están dadas por 30X 1 + 4000X 2 y 40X 1 + 6000X 2 +

6000X 3 libras por pulgadas cuadrada, respectivamente. La temperatura (en grados Fahrenheit) en la punta de la

herramienta cortante es 200 + 0,5X 1 + 150 (X 2 + X 3 ). Los máximos permitidos de tensión de comprensión, tensión lateral

y temperatura son 150000 libras por pulgada cuadrada, 100000 libras por pulgadas cuadrada y 800ºF. Se desea

determinar la velocidad (que debe permanecer en el rango de 600 a 800 rpm), el avance en profundidad y el avance en

longitud tales que la duración del corte sea mínima. Para poder usar un modelo lineal se hace se hace la siguiente

aproximación. Puesto que 36/X 2 X 3 , se minimiza, si y sólo si X 2 X 3 se maximiza, se decidió reemplazar el objetivo por la

maximización del mínimo de X 2 y X 3 . Formular el problema como un modelo lineal.

SOLUCION:

x 1 = la velocidad del torno; x 2 = el avance en profundidad; x 3 = el avance en longitud.

El objetivo es minimizar 36 , pero como esta expresion es no lineal, se buscara que maximizar el

x 2 x 3

denominador, pudiendo plantear como función: Max: Z = Min{x 2 , x 3 }❶

Sujeto a: 30x 1 + 4000x 2 ≤ 150000❷; 40x 1 + 6000x 2 + 6000x 3 ≤ 100000❸

200 + 0, 50x 1 + 150(x 2 + x 3 ) ≤ 800 ↔ 0, 50x 1 + 150x 2 + 150x 3 ≤ 600❹

x 1 ≤ 800❺ ; x 1 ≥ 600❻

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 }

PROBLEMA#161 Una refinería puede comprar dos tipos de petróleo: petróleo crudo ligero y petróleo crudo pesado. El

costo por barril de estos tipos es $11 y $9, respectivamente. De cada tipo de petróleo se producen por barril las

siguientes cantidades de gasolina, kerosene y combustible para reactores:

PETRÓLEO GASOLINA KEROSENE COMBUSTIBLE PARA REACTORES

CRUDO LIGERO 0,40 0,20 0,35

CRUDO PESADO 0,32 0,40 0,20

Obsérvese que durante el proceso de refinamiento se pierden el 5% y el 8% del crudo, respectivamente. La refinería tiene

un contrato para entregar 1 millón de barriles de gasolina, 400000 barriles de kerosene y 250000 barriles de

combustibles para reactores. Formular como un programa lineal el problema de encontrar el número de barriles de cada

tipo de petróleo crudo que satisfacen la demanda y que minimizan el costo total.

SOLUCIÓN:

x 1 = la cantidad de barriles de petróleo crudo ligero a comprar.

x 2 = la cantidad de barriles de petróleo crudo pesado a comprar.

Minimizar: Z = 11x 1 + 9x 2 ❶

Sujeto a: 0, 40x 1 + 0, 32x 2 ≤ 1000000❷; 0, 20x 1 + 0, 40x 2 ≤ 400000❸; 0, 35x 1 + 0, 20x 2 ≤ 250000❹

{

con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#162 Presupuestación de capital, Una compañía de inversiones tiene que elegir entre cuatro proyectos que

compiten por un presupuesto de inversión fija de $1500000. En la tabla, se muestran la inversión neta y los rendimientos

estimados de cada proyecto. A cada uno de estos proyectos se le pueden asignar fondos en cualquier nivel fracciona)

≤100 %. La compañía requiere de un rendimiento mínimo del 25% y desea minimizar el riesgo. Supóngase que el riesgo

es aditivo. Por ejemplo, el riesgo de asignar fondos para aceites al 20% y para edificio de oficinas al 50% será (0,2)(9) +

(0,5)(4)=3,8. Elaboren un modelo PL. donde las variables de decisión sean las fracciones de cada proyecto que se debe

llevar a cabo.

Proyecto Inversión Rendimiento Riesgo

Shopping Centers $550000 $ 700000 6

Aceite 400000 $ 900000 9

Edificios de oficinas 450000 $ 550000 4

Viviendas de bajo ingresos. 500000 $ 600000 2

SOLUCIÓN:

x i = fracción de inversión en el proyecto i (i = 1, 2, 3, 4).

Minimizar: Z = 6x 1 + 9x 2 + 4x 3 + 2x 4 ❶

Sujeto a:

550000x 1 + 400000x 2 + 450000x 3 + 500000x 4 ≤ 1500000❷

(700000 − 550000) (900000 − 400000) (550000 − 450000) (600000 − 500000)

x

550000

1 + x

400000

2 + x

450000

3 + x

500000

4 ≥ 0, 25

150000

550000 x 1 + 500000

400000 x 2 + 100000

450000 x 3 + 100000

500000 x 4 ≥ 0, 25❸

{

con: 0 ≤ x i ≤ 1 ; i = 1, 2, 3, 4. ❹ }

JULIO VARGAS HERBAS*76


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#163 Modelo de transporte. Lía Vargas Cía. empaca frutas exóticas envueltas para regalo. Sus paquetes

son envueltos en dos tiendas diferentes que las envían a cinco diferentes vendedores. El costo de empatar los

productos n las tiendas 1 y 2 es de $5,25 y $5,70 respectivamente. El pronóstico de Lía de la demanda indica que los

envíos deben ser como se indica en la tabla 1. La capacidad de empaque de la tienda 1 es de 20000 paquetes y la de la

tienda 2 de 12000. Los costos de distribución desde las dos tiendas se dan en la tabla 2. Formule un modelo de

programación lineal para determinar cuántos paquetes debe enviar Lía desde cada tienda a cada vendedor.

DEMANDA DE LOS MAYORISTAS (TABLA 1) COSTOS DE DISTRIBUCION (TABLA 2)

MAYORISTA 1 2 3 4 5 VENDEDORES 1 2 3 4 5

ENVIOS 4000 6000 2000 10000 8000 LOCALIDAD 1 0,06 0,04 0,12 0,09 0,05

LOCALIDAD 2 0,15 0,09 0,05 0,08 0,08

SOLUCIÓN:

x ij = cantidad de paquetes que se envia de i a j.

Min: Z = 5, 31x 11 + 5, 29x 12 + 5, 37x 13 + 5, 34x 14 + 5, 3x 15 + 5, 85x 21 + 5, 79x 22 + 5, 75x 23 + 5, 78x 24 + 5, 78x 25 ❶

Sujeto a:

x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 ≤ 20000❷; x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 ≤ 12000❸

x 11 + x 21 ≥ 4000❹; x 12 + x 22 ≥ 6000❺; x 13 + x 23 ≥ 2000❻; x 14 + x 24 ≥ 10000❼; x 15 + x 25 ≥ 8000❽

{

x ij ≥ 0∀ij }

PROBLEMA#164 Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de un cierto producto, y usa dos tipos de materia prima (A y B), de los

cuales se tienen disponibles 2000 y 3000 unidades, respectivamente. Los requerimientos de materia prima por unidad de los tres

modelos son:

MATERIA PRIMA

REQUISITOS POR UNIDAD DE MODELOS DADA

I II III

A 2 3 5

B 4 2 7

El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces el del modelo II y tres veces del modelo III. La fuerza laboral

completa de la fábrica puede producir el equivalente de 700 unidades del modelo I. Una encuesta de mercado indica que la demanda

mínima de los tres modelos es 200, 250 y 150 unidades respectivamente. Sin embargo, las relaciones del número de unidades

producidas deben ser igual a 3:2:5. Suponga que los beneficios por unidad de los modelos I, II y III son 30, 20 y 50 bolivianos. Formule

el problema como un modelo de programación lineal a fin de determinar en número de unidades de cada producto que maximizaran el

beneficio.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades producidas del modelo I.

x 2 = Número de unidades producidas del modelo II.

x 3 = Número de unidades producidas del modelo III.

Maximizar: Z = 30x 1 + 20x 2 + 50x 3 ❶

Sujeto a: x 1 + 1 2 x 2 + 1 3 x 3 ≤ 700(fuerza laboral)❷; x 1 ≥ 200❸; x 2 ≥ 250❹; x 3 ≥ 150❺

condiciones de ratios → ( x 1

= 3 x 2 2 ❻;

{

x 1

x 3

= 3 5 ❼) ;

JULIO VARGAS HERBAS*77

2x 1 + 3x 2 + 5x 3 ≤ 2000❽; 4x 1 + 2x 2 + 7x 3 ≤ 3000❾

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 }


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#165 Considere el problema de asignar tres tamaños diferentes de avión a cuatros rutas. La tabla siguiente

de la capacidad máxima (en números de pasajeros) y el número de aviones disponibles para cada tipo, el número de

viajes diarios que cada avión puede hacer en una ruta dada y el número diario de clientes esperados para cada ruta.

Tipo de Avión

Capacidad

(pasajeros)

Número de

Aviones

Número de viajes en una ruta diariamente

1 2 3 4

1 50 5 3 2 2 1

2 30 8 4 3 3 2

3 20 10 5 5 4 2

Número diario de viajeros 100 200 90 120

Los costos asociados de operación por viaje en las diferentes rutas junto con el costo de penalización (beneficio

perdido) por no servir a un cliente, se resumen a continuación:

TIPO DE AVIÓN COSTO DE OPERACIÓN POR VIAJE EN UNA RUTA DADA EN Bs(BOLIVIANOS)

1 2 3 4

1 1000 1100 1200 1500

2 800 900 1000 1000

3 600 800 800 900

RECARGO POR CLIENTE 40 50 45 70

Formule el problema como un modelo de programación lineal para determinar la asignación de aviones a rutas que

minimizara el costo total del sistema.

SOLUCIÓN:

x ij = el número de aviones del tipo i(i = 1, 2, 3), asignados a la ruta j(j = 1, 2, 3, 4).

y j = son las variables de holgura que representan las cantidades de asientos vacios en cada ruta.

Min: Z = 3000x 11 + 2200x 12 + 2400x 13 + 1500x 14 + 3200x 21 + 2700x 22 + 3000x 23 + 2000x 24

+3000x 31 + 4000x 32 + 3200x 33 + 1800x 34 + 40y 1 + 50y 2 + 45y 3 + 70y 4 ❶

Sujeto a: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ≤ 5❷; x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 8❸; x 31 + x 32 + x 33 + x 34 ≤ 10❹

150x 11 + 120 + 100x 31 ≥ 100❺; 100x 12 + 90x 22 + 100x 32 ≥ 200❻; 100x 13 + 90x 23 + 80x 33 ≥ 90❼

{ 50x 14 + 60x 24 + 40x 34 ≥ 120❽; con: ( x ij ≥ 0; i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3, 4) y (y j ≥ 0∀j )❾ }

JULIO VARGAS HERBAS*78


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#166 Una compañía conduce un plan de entrenamiento para maquinistas, siendo los mismos maquinistas

los profesores de programa. El entrenamiento dura un mes y cada maquinista entrena a 10 personas. La experiencia ha

enseñado que cada 10 completan el programa. Cada maquinista producen un artículo mensual, y la demanda para los

siguientes meses es:

Mes Enero Febrero Marzo

Producción 120 170 210

Actualmente existen 140 maquinistas y se desea llegar a abril con 280 maquinistas. Suponer los siguiente salarios/mes:

Situación

Salario

Entrenado 500

Trabajador Ocio 700

Trabajador Profesor 800

Trabajador Maquinista 800

SOLUCIÓN:

En la gráfica se tienen las relaciones mes x cualidad; es decir, X 11 se denominara trabajadores profesores en el mes 1 y

X 12 trabajadores ociosos en el mes 1.

x ij = Número de trabajadores en el mes i que se dedican a la labor j.

Min: Z = 500(10x 11 + 10x 21 + 10x 31 ) + 700(x 12 + x 22 + x 32 ) + 800(x 11 + x 21 + x 31 )

Min: Z = 5800x 11 + 5800x 21 + 5800x 31 + 700x 12 + 700x 22 + 700x 32 ❶

Sujeto a: Cada mes se cumple, que la fuerza laboral al empezar el mes es:

trabajador profesor + trabajadores ociosos + trabajadores maquinado

Mes enero: 120 + x 11 + x 12 = 140 ↔ x 11 + x 12 = 20❷; Febrero: 170 + x 21 + x 22 = 140 + 7x 11 ↔ −7x 11 + x 21 + x 22 = −30❸

mes marzo: 210 + x 31 + x 32 = 140 + 7x 11 + 7x 21 ↔ −7x 11 − 7x 21 + x 31 + x 32 = −70❸

{ mes abril: 140 + 7x 11 + 7x 21 + 7x 31 = 280 ↔ 7x 11 + 7x 21 + 7x 31 = 140(÷ 2) ↔ x 11 + x 21 + x 31 = 20❹; con: x ij ≥ 0∀ij❺ }

PROBLEMA#167 Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión locales.

Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $5 y cada

minuto de publicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que

la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos

generales 25 veces más ventas que cada minuto de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del

presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de minutos de publicidad en radios.

x 2 = Cantidad de minutos de publicidad en television.

Maximizar: Z = 1x 1 + 25x 1 ❶

x 1

Sujeto a: 5x

{

1 + 100x 1 ≤ 1000❷; ≥ 2 ↔ x

x 1 − 2x 2 ≥ 0❸; con: x 1 , x 1 ≥ 0❹

2 }

PROBLEMA#168 Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de

20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m 3 . Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no

refrigerado. La contratan para el transporte de 3000 m 3 de producto que necesita refrigeración y 4000 m 3 de otro que no

la necesita. El costo por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 Bs y el B de 40 Bs. ¿Cuántos camiones de cada tipo

ha de utilizar para que el costo total sea mínimo?

SOLUCIÓN:

x 1 = cantidad de camiones a utilizar del tipo A.

x 2 = cantidad de camiones a utilizar del tipo B.

Minimo: Z = 30x 1 + 40x 2 ❶

Sujeto a: 20x 1 + 30x 2 ≥ 3000❷; 40x 1 + 30x 2 ≥ 4000❸; con: x 1 , x 2 ≥ 0❹

{

Respuesta: x 1 = 50; x 2 = 67; Min: Z = 4180 Bs }

PROBLEMA#169 Una compañía manufacturera produce un producto final que se ensambla con tres partes diferente.

Las partes se manufacturan dentro de la compañía en dos departamentos. En virtud de la instalación específica de las

máquinas, cada departamento produce las tres partes a diferentes tasas. La tabla que sigue señala las tasas de

producción junto con el número máximo de horas, que los dos departamentos pueden asignar semanalmente a la

manufactura de las tres partes.

JULIO VARGAS HERBAS*79


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

Departamento

Capacidad Semanal

Máxima en horas

Tasa de producción (unidades/hora)

Parte 1 Parte 2 Parte 3

1 100 8 5 10

2 80 6 12 4

Sería ideal si los dos departamentos pudieran ajustar sus instalaciones de producción para producir iguales cantidades

de las tres partes, ya que esto daría origen a ajustes perfectos en términos de montaje final. Este objetivo puede ser

difícil de cumplir debido a las variaciones en las tasas de producción. Una meta más realista sería la de maximizar los

desajustes resultantes de la escasez de una o más partes. Formule el problema como un modelo de programación lineal,

y analice los resultados.

SOLUCIÓN:

x ij = Cantidadde horas asinadas al departameno i para producir la parte j:

Maximizar: Z = Minimizar(8x 11 + 6x 21 + 5x 12 + 12x 22 + 10x 13 + 4x 23 )

y = Minimizar(8x 11 + 6x 21 + 5x 12 + 12x 22 + 10x 13 + 4x 23 ) ↔ se logra la linealización así: Max: Z = y❶

Sujeto a: x 11 + x 12 + x 13 ≤ 100❷; x 21 + x 22 + x 23 ≤ 80❸; 8x 11 + 6x 21 ≥ y❹; 5x 12 + 12x 22 ≥ y❺; 10x 13 + 4x 23 ≥ y❻

{

con: x ij ≥ ∀ij ; y ≥ 0❼ }

PROBLEMA#170 La Dumont Company, fabricante de equipos de pruebas, tiene tres departamentos principales para la

manufactura de sus modelos S-1000 y S-2000. Las capacidades mensuales son las siguientes:

Requerimientos unitarios de tiempo(horas)

Dpto. de estructura principal

Dpto. de alambrado eléctrico

Dpto. de ensamble

4,0

2,5

4,5

Modelo S-1000 Modelo S-2000 Horas disponibles

en el presente mes

La contribución del modelo S-1000 es de 40 dólares por unidad, y la del modelo S-2000 es de 10 dólares por unidad.

Suponiendo que la compañía puede vender cualquier cantidad de esos productos, debido a condiciones favorables de

mercado, determínese la salida óptima para cada modelo, la contribución más alta posible para el presente mes, y el

tiempo sobrante en los tres departamentos. Úsese los métodos gráfico o algebraico.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades producidas del modelo S − 1000.

x 2 = Número de unidades producidas del modelo S − 2000.

Maximizar: Z = 40x 1 + 10x 2 ❶

{ Sujeto a: 4x 1 + 2x 2 ≤ 1600❷; 2, 5x 1 + x 2 ≤ 1200❸; 4, 5x 1 + 1, 5x 2 ≤ 1600❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#171 De los muchos productos que fabrica la Arco Manufacturing Company, sólo los productos C, D, E y F

pasan por los siguientes departamentos: cepillado (pequeño); fresado (vertical); taladrado (pequeño), y ensamble

(piezas pequeñas). Los requerimientos por unidad de producto en horas y contribución son los siguientes:

Departamento

Cepillado Fresado Taladrado Ensamble Contr./unidad

Producto C 0,5 2,0 0,5 3,0 $8

Producto D 1,0 1,0 0,5 1,0 $9

Producto E 1,0 1,0 1,0 2,0 $7

Producto F 0,5 1,0 1,0 3,0 $6

Las capacidades disponibles en este mes para los productos C, D, E y F. así como los requerimientos mínimos de ventas, son:

CAPACIDAD REQUERIMIENTOS MINIMOS DE VENTAS

CEPILLADO 1800 PRODUCTO C 100 UNIDADES

FRESADO 2800 PRODUCTO D 600 UNIDADES

TALADRADO 3000 PRODUCTO E 500 UNIDADES

ENSAMBLE 6000 PRODUCTO F 400 UNIDADES

a) Determínese la cantidad de los productos C, D, E y F que habrá que fabricar este mes para maximizar la contribución.

b) Determínese la contribución total máxima de los productos C, D, E y F en este mes.

c) Determínese el tiempo sobrante en los cuatro departamentos.

x 1 = Cantidad de unidades a producir el producto C.

x 2 = Cantidad de unidades a producir el producto D.

x 3 = Cantidad de unidades a producir el producto E.

x 4 = Cantidad de unidades a producir el producto F.

Maximizar: Z = 8x 1 + 9x 2 + 7x 3 + 6x 4 ❶

Sujeto a: 0, 5x 1 + x 2 + x 3 + 0, 5x 4 ≤ 1800❷; 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 2800❸; 0, 5x 1 + 0, 5x 2 + x 3 + x 4 ≤ 3000❹

{ 3x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 ≤ 6000❺; x 1 ≥ 100❻; x 2 ≥ 600❼; x 3 ≥ 500❽; x 4 ≥ 400❾; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❿}

2,0

1,0

1,5

1600

1200

1600

JULIO VARGAS HERBAS*80


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#172 La Cincinnati Chemical Company debe producir 10000 libras de una mezcla especial para un cliente.

La mezcla se compone de los ingredientes X 1 , X 2 y X 3 . X 1 cuesta 8 dólares la libra, X 2 10 dólares la libra, y X 3 11 dólares la

libra. No pueden usarse más de 3000 libras de X 1 , y por lo menos deberán usarse 1500 libras de X 2 . Además, se

requieren por lo menos 2000 libras de X 3 .

a) Calcúlese el número de libras de cada ingrediente que habrá que emplear, a fin de reducir al mínimo el costo

total de las 10000 libras.

b) Calcúlese el costo total más bajo posible.

c) ¿Hay libras sobrantes en el problema?

x 1 = Número de libras del ingrediente 1.

x 2 = Número de libras del ingrediente 2.

x 3 = Número de libras del ingrediente 3.

Minimicese: Z = 8x 1 + 10x 2 + 11x 3 ❶

{ Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 = 10000❷; x 1 ≤ 3000❸; x 2 ≥ 1500❹; x 3 ≥ 2000❺; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❻}

PROBLEMA#173 La LIA Manufacturing Company ha seguido constantemente una política de fabricación de aquellos

productos que contribuyan con la mayor cantidad a los costos fijos y a las ganancias. Sin embargo, siempre se ha procurado

producir los requerimientos mínimos semanales de ventas, que son los siguientes para los productos K. L. M y N: 25, 30, 30 y

25 unidades. Los requerimientos de producción y el tiempo disponible para la semana siguiente son:

Tiempo requerido por producto (horas) Tiempo disponible la

K L M N

semana (horas) próxima

Departamento 1 0,25 0,20 0,15 0,25 400

Departamento 2 0,30 0,40 0,50 0,30 1000

Departamento 3 0,25 0,30 0,25 0,30 500

Departamento 4 0,25 0,25 0,25 0,25 500

Contribución por unidad $10,50 $9,00 $8,00 $10,00

Actualmente, la mezcla semanal de producción (considerando los requerimientos mínimos de ventas), es de: Para los

productos K, L, M y N son 1533, 30, 30 y 25.

a) ¿Son la mezcla actual de productos y la contribución para la empresa las óptimas? En caso contrario, ¿cuáles deben ser?

b) ¿Qué recomendaciones deben hacerse a la empresa con respecto a las instalaciones de producción, basándose en la

respuesta de (a)?

SOLUCIÓN:

Requerimientos mínimos de ventas:

PRODUCTO K 25 UNIDADES 25(10,5)=262,5

PRODUCTO K 30 UNIDADES 30(9)=270

PRODUCTO K 30 UNIDADES 30(8)=240

PRODUCTO K 25 UNIDADES 25(10)=250

CONTRIBUCION TOTAL PARA LOS REQUERIMIENTOS MINIMOS DE VENTAS: $1022,50

Tiempo restante disponible para la producción de K, L, M y N.

Tiempo Disponible PRODUCTO K PRODUCTO L PRODUCTO M PRODUCTO N Tiempo Restante

Depto. 1 400 25(0,25) 30(0,20) 30(0,15) 25(0,25) 377

Depto. 2 1000 25(0,30) 30(0,40) 30(0,50) 25(0,30) 958

Depto.3 500 25(0,25) 30(0,30) 30(0,25) 25(0,30) 469,75

Depto. 4 500 25(0,25) 30(0,25) 30(0,25) 25(0,25) 472,50

x 1 = Producto K(tiempo restante). x 2 = Producto L(tiempo restante).

x 3 = Producto M(tiempo restante). x 4 = Producto N(tiempo restante).

Maximizar: Z = 10, 50x 1 + 9x 2 + 8x 3 + 10x 4 ❶

Sujeto a: 0, 25x 1 + 0, 20x 2 + 0, 15x 3 + 0, 25x 4 ≤ 377❷; 0, 3x 1 + 0, 4x 2 + 0, 5x 3 + 0, 3x 4 ≤ 958❸

{ 0, 25x 1 + 0, 3x 2 + 0, 25x 3 + 0, 3x 4 ≤ 469, 75❹; 0, 25x 1 + 0, 25x 2 + 0, 25x 3 + 0, 0, 25x 4 ≤ 472, 50❺; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 }

PROBLEMA#174 Una persona labora (trabaja) 5 días seguidos y descansa 2 días. ¿Cómo deberá ser la programación de

los turnos para que diariamente se tengan 100 personas como mínimo en el proceso?

SOLUCIÓN:

JULIO VARGAS HERBAS*81


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

{

Sea: X i = el número de personas que ingresan en el turno i(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Minimizar: Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ❶

Sujeto a: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 100❷; x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 100❸; x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 ≥ 100❹

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 ≥ 100❺; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≥ 100❻; x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ≥ 100❼

x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 100❽; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0❾ }

PROBLEMA#175 La Cross Manufacturing Company está considerando la fabricación de una nueva línea de productos, compuesta de 4

productos. Cada producto puede fabricarse con dos métodos diferentes y completamente distintos, uno de los cuales consta de dos procesos y

el otro de tres. Se fabrican basándose en un segundo turno. El precio de venta de esos productos y sus costos variables, así como las

cantidades que probablemente puedan venderse, de acuerdo con el grupo de investigaciones de mercadotecnia, son los siguientes:

PRODUCTO

1 2 3 4

Precio de venta al mayoreo(40% de descuento) $ 100 $ 150 $ 125 $ 140

Costos variables - método A 80 135 120 135

Costos variables - método B 110 150 100 110

Cantidad que puede venderse 1000 3000 4000 6000

La sección de manufactura de la empresa ha determinado que los tiempos de manufactura para cada proceso son los siguientes:

PRODUCTO

PRODUCTO

METODO A 1 2 3 4 METODO B 1 2 3 4

DPTO.20 3 3,6 2 3,5 DPTO.31 4 4 2 4

DPTO.21 9 10 8 9 DPTO.32 5 8 4 3

DPTO22 1 1 0,5 0,5

Las horas disponibles al mes de los departamentos (20, 21, 22, 31 y 32), son: 15000, 50000, 8000, 10000 y 10000 respectivamente.

¿Qué debe hacer la empresa en virtud de los tiempos de producción y de las posibles congestiones de producción, a fin de aumentar al

máximo la contribución total mensual?

x 1 = Producción del artículo 1 por el método A. ; x 5 = Producción del artículo 1 por el método B.

x 2 = Producción del artículo 2 por el método A. ; x 6 = Producción del artículo 2 por el método B.

x 3 = Producción del artículo 3 por el método A. ; x 7 = Producción del artículo 3 por el método B.

x 4 = Producción del artículo 4 por el método A. ; x 8 = Producción del artículo 4 por el método B.

Maximizar: Z = 20x 1 + 15x 2 + 5x 3 + 5x 4 − 10x 5 + 0x 6 + 25x 7 + 30x 8 ❶

Sujeto a: x 1 + x 5 ≤ 1000❷; x 2 + x 6 ≤ 3000❸; x 3 + x 7 ≤ 4000❹; x 4 + x 8 ≤ 6000❺

3x 1 + 3, 6x 2 + 2x 3 + 3, 5x 4 ≤ 15000❻; 9 x 1 + 10x 2 + 8x 3 + 9x 4 ≤ 50000❼; x 1 + x 2 + 0, 5x 3 + 0, 5x 4 ≤ 8000❽;

{ 4x 5 + 4x 6 + 2x 7 + 4x 8 ≤ 10000❾; 5x 5 + 8x 6 + 4x 7 + 3x 8 ≤ 10000❿; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 ≥ 0❶❶ }

PROBLEMA#176 Una empresa dispone de fondos ociosos para invertir, con disponibilidad a corto y largo plazo. Las reglas del

mercado exigen que no más del 80% de todas las inversiones sean a largo plazo, no más del 40% se inviertan a corto plazo y que la

razón entre las inversiones a largo y corto plazo no sea mayor que 3 a 1. Actualmente las inversiones a largo plazo rinden el 17% anual,

mientras que la tasa anual para las inversiones a corto plazo es del 10%. Elabore el modelo de PL respectivo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de porcentajes de inversión a largo plazo. x 2 = Cantidad de porcentajes de inversión a corto plazo.

Maximizar: Z = 0, 17x 1 + 0, 10x 2 ❶

x 1

sujeto a: x

{

1 ≤ 0, 80❷; x 2 ≤ 0, 40❸;

≤ 3 x 2 1 ❹; x 1 + x 2 = 1❺ con: x 1 , x 2 ≥ 0❻

}

PROBLEMA#177 Una corporación produce gasolina y aceite desde tres productos destilados de petróleo: A, B y C. La

compañía combina de acuerdo a especificaciones de máximo y mínimos porcentajes.

Mezcla Máximo % Mínimo % Precio de venta

Los destiladores son:

de A de C

($/galón)

Destilados Máxima cantidad

disponible por día (galón)

Costo

$/galón

De lujo 60 20 7,9 A 4000 0,60

Estándar 15 60 6,9 B 5000 0,52

Económico --- 50 5,0 C 2500 0,48

Formular un programa lineal para maximizar la utilidad. Sugerencia: Xij = cantidad asignada del destilado i a la mezcla j.

Sea: x ij = la cantidad asignada del destilado i al producto j.

Max: Z = 7, 9(x 11 + x 21 + x 31 ) + 6, 9(x 12 + x 22 + x 32 ) + 5(x 13 + x 23 + x 33 ) − 0, 60(x 11 + x 12 + x 13 )

−0, 52(x 21 + x 22 + x 23 ) − 0, 48(x 31 + x 32 + x 33 )❶

Sujeto a: x 11 + x 12 + x 13 ≤ 4000❷; x 21 + x 22 + x 23 ≤ 5000❸; x 31 + x 32 + x 33 ≤ 2500❹; x 11 ≤ 0, 60(x 11 + x 21 + x 31 )❺

x 12 ≤ 0, 15(x 12 + x 22 + x 32 )❻; x 31 ≥ 0, 20(x 11 + x 21 + x 31 )❼; x 32 ≥ 0, 60(x 12 + x 22 + x 32 )❽; x 33 ≥ 0, 50(x 13 + x 23 + x 33 )❾

{

con: x ij ≥ 0∀ij; con todas las variables de no negatividad. ❿ }

PROBLEMA#178 La demanda para los siguientes 4 períodos es 200, 400, 600 y 400 unidades. Al inicio del proceso

de producción se contrata al personal que laborara en los 4 períodos. Cada personal en horas normales produce 40

unidades, en horas extras 20 unidades. El costo de producción en horario normal es de $80 por cada trabajador y del

50% adicionales en horas extras. Se permite inventario hasta de dos meses a costo de $0,5 por unidad/período.

JULIO VARGAS HERBAS*82


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

¿Cuánto personal se contratará y cuántos de ellos trabajarán en horario extra, con la finalidad de minimizar el costo de

producción e inventario?

SOLUCIÓN:

El diagrama muestra el balance entre producción, inventario y demanda.

x = número de personal contratado.

y i = número de personal en horas extras para el periodo i, i = 1, 2, 3, 4.

I k = inventario sobre el horizonte k.

Minimo: Z = (costo de horas normales) + (costo de horas extras) + (costo de inventario)

Minimo: Z = 4(80)x + 1, 5(80)(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) + 0, 50(I 12 + I 23 + I 34 ) + 2(0, 50)(I 13 + I 24 )

Minimo: Z = 320x + 120y 1 + 120y 2 + 120y 3 + 120y 4 + 0, 50I 12 + 0, 50I 23 + 0, 50I 34 + I 13 + I 24 ❶

Sujeto a: Relaciones(Producción normal = 40x), (Producción horas extras = 20y i , i = 1, 2, … … … )

I final = I inicial + Produccion − Demanda ↔ I inicial + Producción − I final = Demanda I = inventario

40x + 20y 1 − I 12 − I 13 = 200❷; I 12 + 40x + 20y 2 − I 23 − I 24 = 400❸; I 13 + I 23 + 40x + 20y 3 − I 34 = 600❹;

I 34 + I 24 + 40x + 20y 4 = 400❺

el personal en horas extras no excede del personal en horas normales:

{

y 1 ≤ x❻; y 2 ≤ x❼; y 3 ≤ x❽; y 4 ≤ x❾; con: todas las variables no negativas❿ }

PROBLEMA#179 Un inversionista tiene 3 alternativas de inversión: A, B y C. que varían en su duración y rendimiento.

Si invierte en A (anualmente) por cada Bs percibirá una rentabilidad del 40%; si la inversión es en B para un período de 2

años, su rentabilidad será del 100%; en cambio si su inversión la "amarra" por tres años, o sea C, su rentabilidad será

del 200%. Si dispone al inicio de la inversión de bolivianos 500000 ¿Cómo debiera invertir su dinero durante un horizonte

de inversión de 4 años, al cabo de los cuales podrá disponer de todo su efectivo? Formule el modelo de PL.

SOLUCIÓN:

A continuación podemos realizar en un diagrama el camino de las inversiones durante los 4 años.

Sean X ij = las cantidades a invertir durante el horizonte de la planeación, donde i = A, B, C y j = 1, 2, 3, 4.

Maximizar: Z = 1, 40x A4 + 2x B3 + 3x C2 ❶

Sujeto a: x A1 + x B1 + x C1 ≤ 500000❷; x A2 + x B2 + x C2 ≤ 1, 40x A1 ❸; x A3 + x B3 ≤ 1, 40x A2 + 2x B1 ❹

{

x A4 ≤ 1, 40x A3 + 2x B2 + 3x C1 ❺; con: x ij ≥ 0❻ }

PROBLEMA#180 Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo en un terreno de 70 hectáreas (HA). Sabe que una HA. Puede

rendir 30 quintales (qq) de maíz o 25 qq de trigo. Cada HA requiere un capital de Bs 30 si se cultiva con maíz y de Bs 40

si se cultiva con trigo. El capital total disponible es de Bs 2500. Las necesidades de agua de riego son de 900 m 3 por HA

de maíz y 650 m 3 por HA de trigo en octubre y de 1200 m 3 y 850 m 3 por HA de maíz y trigo, respectivamente en el mes de

noviembre. La disponibilidad de agua en octubre es de 57900 m 3 y en noviembre de 115200 m 3 . Si los precios de venta

del maíz y trigo son Bs 4,50 y Bs 6,00 por quintal métrico, respectivamente, hay que determinar la cantidad de maíz y

trigo que debe producirse para obtener el beneficio máximo.

SOLUCIÓN:

JULIO VARGAS HERBAS*83


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

Maíz Trigo Recursos disponibles Factores productivos Req.por unidad de

producción(qq)

Rendimiento (qq) por HA. 30 25 Tierra: 70 HA. Maíz Trigo

Requerimiento por HA. Capital(Bs): 2500 Bs Tierra(HA) 1/30 1/25

Capital(Bs) 30 40 Riego en octubre(m 3 ): 57900m 3 Capital(Bs) 30/30 40/25

Riego en octubre(m 3 ) 900 650 Riego en noviembre(m 3 ): 115200m 3 Riego en octubre(m 3 ): 900/30 650/25

Riego en noviembre(m 3 ) 1200 850 Riego en noviembre(m 3 ): 1200/30 850/25

x 1 = Cantidad de quintales métricas(qq)a producirse de maíz.

x 2 = Cantidad de quintales métricas(qq)a producirse de trigo

Maximizar: Z = 4, 5x 1 + 6x 2 ❶ → Bs ∗ qq = Bs

Sujeto a: x 1

30 + x 1

25

1HA

30

≤ 70❷ ↔ ∗ qq = HA;

qq

900

300 x 1 + 650

25 x 1200

2 ≤ 57900❹;

30

x 1 + 850

25 x 2 ≤ 115200❺; → HA

qq ∗ m3

HA ∗ qq = m3 ; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻

{

Respuesta: x 1 = 900qq; x 2 = 1000qq; Max: Z = 10050 Bs }

Otra manera de plantear el modelo en función de cantidad de hectarias a asignar a sembrar para:

x 1 = Cantidad de hectarias a designar para el cultivo de maíz.

x 2 = Cantidad de hectarias a designar para el cultivo de trigo.

Max: Z = (4, 5 Bs

qq ∗ 30qq

1HA ) x 1 + (6 Bs

qq ∗ 25qq

1HA ) x 2 = 135x 1 + 150x 2 ❶ → Bs

JULIO VARGAS HERBAS*84

qq

30 x 1 + 40

25 x 2 ≤ 2500❸ ↔ HA

qq ∗ Bs ∗ qq = Bs

HA

Sujeto a: ( x 1 + x 2 ≤ 70❷); (30x 1 + 40x 2 ≤ 2500❸ → Bs ∗ HA = Bs)

HA

(900x 1 + 650x 2 ≤ 57900❹; 1200x 1 + 850x 2 ≤ 115200❺ → m3

HA ∗ HA = m3 ) con: con: x 1 , x 2 ≥ 0❻

{

Respuesta: x 1 = 30HA; x 2 = 40HA; Max: Z = 10050 Bs }

PROBLEMA#181 Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulo y polvo. Él no puede

hacer más de 1600 bolsas un día debido a una escasez de vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un

contrato de ventas establece que él debe producir 500 bolsas al día de cemento en polvo. Debido a las restricciones del

proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relación al tiempo requerido

por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 0,24 minutos/bolsa y la planta

trabaja un 8 día de la hora. Su ganancia es Bs 4 por la bolsa para el cemento granulado y Bs 3 por la bolsa para el

cemento en polvo. Formule el problema de decidir cuánto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar las

ganancias.

x 1 = Cantidad de bolsas de cemento granulado a producir.

x 2 = Cantidad de bolsas de cemento en polvo a producir.

Maximizar: Z = 4x 1 + 3x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 1600❷; x 2 ≥ 500❸; 0, 008x 1 + 0, 004x 2 ≤ 8❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺

{

Respuesta: x 1 = 1100; x 2 = 500; Max: Z = 5900 Bs }

PROBLEMA#182 La empresa CHANNEL produce el perfume Versay. Este perfume requiere de químicos y trabajo para

su producción. Dos procesos están disponibles. El proceso A transforma 1 unidad de trabajo y 2 unidades de químico

en 3 onzas de perfume. El proceso B transforma 2 unidades de trabajo y 3 unidades de químico en 5 onzas de perfume.

Cada unidad de trabajo le cuesta a CHANNEL Bs. 1000 y cada unidad de químico le cuesta Bs. 1500. Se tiene una

disponibilidad máxima de 20000 unidades de trabajo y un máximo de 35000 unidades de químico para este período de

planificación. En ausencia de publicidad CHANNEL cree que puede vender 1000 onzas de perfume. Para estimular la

demanda de ese perfume CHANNEL puede contratar una modelo famosa a quien se le pagará Bs. 50000 la hora, hasta

por un máximo de 25 horas. Cada hora que la modelo trabaje para la empresa se estima que incrementará la demanda de

Versay en 200 onzas. Cada onza de Versay se vende a Bs. 60500. Determine el volumen óptimo de la producción y venta

del perfume.

SOLUCIÓN:

x 1 = Unidades del proceso 1. x 2 = Unidades del proceso 2. x 3 = Horas de trabajos de la modelo.

Max: Z = Ingreso − Costo de la modelo − Costo de mano de obra − Costo de producción de químico.

Max: Z = 60500(3x 1 + 5x 2 ) − 50000(25)(x 3 ) − 1000(x 1 + 2x 2 ) − 1500(2x 1 + 3x 2 )

Max: Z = 181500x 1 + 302500x 3 − 1250000x 3 − 1000x 1 − 2000x 2 − 3000x 1 − 4500x 2

Max: Z = 177500x 1 + 296000x 2 − 1250000x 3 ❶

Sujeto a: 3x 1 + 5x 2 ≤ 1000 + 200x 3 ❷; x 1 + 2x 2 ≤ 20000❸; 2x 1 + 3x 2 ≤ 35000❹; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❺

{

Respuesta: x 1 = 10000; x 2 = 5000; x 3 = 270; Max: Z = 2917500000 Bs }

PROBLEMA#183 Una compañía de transportes tiene 10 camiones con capacidad 40000 libras, y 5 camiones de 30000

libras. Los camiones grandes tienen un costo de 0,30 US$/Km y los pequeños de 0,25 US$/Km. En una semana debe

transportar la empresa 400000 libras en un recorrido de 800 Km. La posibilidad de otros compromisos recomienda que

por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. ¿Cuál es el


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

número de camiones de ambas clases que deben movilizarse para ese transporte de forma óptima y teniendo en cuenta

las restricciones descritas?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de camiones grandes que se necesitan para transportar o movilizarse la mercancia.

x 2 = Número de camiones pequeños que se necesitan para transportar o movilizarse la mercancia.

Minimizar: Z = (800 ∗ 0, 30)x 1 + (800 ∗ 0, 25)x 2 = 240x 1 + 200x 2 ❶

Sujeto a: x 1 ≤ 10❷; x 2 ≤ 5❸; 40000x 1 + 30000x 2 ≥ 400000❹

camiones en reserva: (camiones disponibles − camiones que se necesitan) → (10 − x 1 ) y (5 − x 2 )

(5 − x 2 )

(10 − x 1 ) ≤ 2 ↔ (5 − x 2) ≤ 2(10 − x 1 ) ↔ 2x 1 − x 2 ≤ 15❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻

Respuesta: x 1 = 8, 50; x 2 = 2; Min: Z = 2440 Bs }

{

PROBLEMA#184 El departamento de rayos “X” de un hospital tiene dos máquinas, A y B que pueden utilizarse para

revelar fotografías. Las capacidades de procesamiento diario de estas máquinas son no más de 80 de A y de B por lo

menos, dos veces más del 50% de A, radiografías. El departamento debe planear procesar al menos 150 radiografías por

día. Los costos de operación por radiografía son de Bs 160 para la máquina A, y de B el 80% del costo de A. ¿Cuántas

radiografías por día se deben procesar cada máquina para minimizar los costos?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de radiografias que debe realizar al día la máquina A.

x 2 = Cantidad de radiografias que debe realizar al día la máquina B.

Minimizar: Z = 160x 1 + 160(0, 80)x 2 = 160x 1 + 128x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≥ 150❷; x 1 ≤ 80❸; x 2 ≥ 120❹(80 ∗ 0, 50 = 40 → 40 + dos veces mas → 40 + 40 + 40 = 120); con: x j ≥ 0 }

PROBLEMA#185 Una empresa de muebles fabrica armarios y estanterías, siendo los costos de producción de 20000 Bs

para los armarios y de 5000 Bs para las estanterías, vendiéndose estos artículos a 25000 y 8000 Bs respectivamente. Si

solamente disponemos de 170000 Bs para la realización de ambos muebles, determinar cuál será la distribución de

producción para obtener un beneficio máximo si el número de armarios ha de ser como mínimo el cuádruple del número

de estanterías, ¿Cuál será el valor de dichos beneficios?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de Armarios que debera producir la empresa.

x 2 = Cantidad de estanterás que debera producir la empresa.

Maximizar: Z = (25000 − 20000)x 1 + (8000 − 5000)x 2 = 5000x 1 + 3000x 2 ❶

ujeto a: 20000x 1 + 5000x 2 ≤ 170000❷; x 1 ≥ 4x 2 ❸; con: x 1 , x 2 ≥ 0❹

{

Respuesta: x 1 = 8; x 2 = 2; Max: Z = 46000 Bs }

PROBLEMA#186 Guaracachi posee una planta generadora de energía de turbina de vapor. Como en Guaracachi

abundan los depósitos de carbón, la planta genera su vapor con carbón. Esto, sin embargo, puede conducir a emisiones

que no satisfagan las normas de la Agencia de Protección Ambiental (EPA). Las normas de la Agencia de Protección

Ambiental limitan la descarga de bióxido de azufre a 2000 partes por millón por tonelada de carbón quemado, y la

descarga de humo por las chimeneas de la planta a 20 Ib por hora. La Guaracachi recibe dos tipos de carbón

pulverizado, C1 y C2, para usarlos en la planta de vapor. Los dos tipos se suelen mezclar antes de la combustión. Por

simplicidad, se supone que la cantidad de azufre contaminante descargado (en partes por millón) es un promedio

ponderado de la proporción de cada tipo utilizado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de 1

tonelada por hora de cada uno de los dos tipos de carbón.

Tipo de carbón Descarga de azufre en Descarga de humo en Vapor generado en Ib

partes por millón

Ib por hora

por hora

C1 1800 2,1 12000

C2 2100 0,9 9000

Determine la proporción óptima para mezclar los dos tipos de carbón.

SOLUCIÓN:

x 1 = Toneladas de C1 por hora. x 2 = Toneladas de C2 por hora.

Maximizar: Z = 12000x 1 + 9000x 2 ❶

Sujeto a ∶ 2, 1x 1 + 0, 9x 2 ≤ 20❷; −200x 1 + 100x 2 ≤ 0❸ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0❹

{

Respuesta: x 1 = 5, 13; x 2 = 10, 26 ; Max: Z = 153846lb }

PROBLEMA#187 Una persona desea invertir $5000 durante el próximo año en dos tipos de inversión. La inversión A

reditúa 5% y la inversión B 8%. La investigación de mercado recomienda una asignación de por lo menos 25% en A y

cuando mucho 50% en B. Además, la inversión A debe ser por lo menos de la mitad de la inversión B. ¿Cómo deben

asignarse los fondos a las dos inversiones?

x 1 = Dólares invertidos en inversion A. x 2 = Dólares invertidos en inversion B.

Maximizar: Z = 0, 05x 1 + 0, 08x 2 ❶

Sujeto a: x 1 ≥ 0, 25(x 1 + x 2 )❷; x 2 ≤ 0, 50(x 1 + x 2 )❸ ; x 1 − 0, 50x 2 ≥ 0❹; x 1 + x 2 ≤ 5000❺ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻

{

Respuesta: x 1 = 2500; x 2 = 2500 ; Max: Z = 325 }

JULIO VARGAS HERBAS*85


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#188 YPF-ARGENTINA está construyendo una refinería para producir cuatro productos: diésel, gasolina, lubricantes

y combustible para avión. La demanda mínima (en barriles por día) de cada uno de esos productos es de

14000, 30000, 10000 y 8000, respectivamente. Bolivia y Venezuela firmaron un contrato para enviar crudo a YPF-

ARGENTINA. Debido a las cuotas de producción especificadas por la OPEP (Organización de Países Exportadores de

Petróleo), la nueva refinería puede recibir por lo menos 40% de su crudo de Bolivia y el resto de Venezuela. YPF-

ARGENTINA pronostica que la demanda y las cuotas de petróleo crudo no cambiarán durante los próximos 10 años.

Las especificaciones de los dos crudos conducen a mezclas de productos diferentes: Un barril de crudo de Bolivia rinde

0,2 barriles de diésel, 0,25 barriles de gasolina, 0,1 barriles de lubricante y 0,15 barriles de combustible para avión. Los

rendimientos correspondientes del crudo de Venezuela son: 0,10 0,60 0,15 y 0,10 respectivamente. YPF-ARGENTINA

necesita determinar la capacidad mínima de la refinería (barriles por día).

SOLUCIÓN:

x 1 = Miles de barriles día de Bolivia a enviar. x 2 = Miles de barriles día de Venezuela a enviar.

Minimizar: Z = x 1 + x 2 ❶

Sujeto a ∶ 0, 60x 1 − 0, 40x 2 ≥ 0❷; 0, 2x 1 + 0, 1x 2 ≥ 14000❸; 0, 25x 1 + 0, 60x 2 ≥ 30000❹

{

0, 1x 1 + 0, 15x 2 ≥ 10000❺; 0, 15x 1 + 0, 10x 2 ≥ 8000❻; con: x 1 , x 2 ≥ 0❼ }

PROBLEMA#189 Un centro de reciclaje industrial utiliza dos chatarras de aluminio, A y B, para producir una aleación

especial. La chatarra A contiene 6% de aluminio, 3% de silicio, y 4% de carbón. La chatarra B contiene 3% de aluminio,

6% de silicio, y 3% de carbón. Los costos por tonelada de las chatarras A y B son de $100 y $80, respectivamente. Las

especificaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de

6%; (2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%, y (3) el contenido de carbón debe ser de entre 3 y 7%. Determine

la mezcla óptima de las chatarras que deben usarse para producir 1000 toneladas de la aleación.

SOLUCIÓN:

x 1 = Relacion de aleacion A de desecho. x 2 = Relacion de aleacion B de desecho.

Minimizar: Z = 100x 1 + 80x 2 ❶

Sujeto a ∶ (0, 03 ≤ 0, 06x 1 + 0, 03x 2 ≤ 0, 06)❷; (0, 03 ≤ 0, 03x 1 + 0, 06x 2 ≤ 0, 05)❸;

{ (0, 03 ≤ 0, 04x 1 + 0, 03x 2 ≤ 0, 07)❹; x 1 + x 2 = 1000❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#190 El inversionista que dispone de $10000 para invertirlos en cuatro proyectos. La tabla siguiente

presenta el flujo de efectivo para las cuatro inversiones.

Flujo de efectivo ($1000) al inicio del

Proyecto Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5

1 -1,00 0,50 0,30 1,80 1,20

2 -1,00 0,60 0,20 1,50 1,30

3 0,00 -1,00 0,80 1,90 0,80

4 -1,00 0,40 0,60 1,80 0,95

La información que aparece en la tabla puede interpretarse como sigue: Para el proyecta 1, $1,00 invertido al inicio del

año 1 redituará $0,50 al inicio del año 2; $0,30 al inicio del año 3; $1,80 al inicio del año 4, y $1,20 al inicio de año 5. Las

entradas restantes pueden interpretarse de la misma manera. La entrada 0,00 indica que no se están realizando

transacciones. La inversionista tiene opción adicional de invertir en una cuenta bancaria que gana 6,5% anual. Todos los

fondos acumulados al final del año 1 pueden volverse a invertir en el año siguiente. Formule el problema como un

programa lineal para determinar la asignación óptima de fondos a oportunidades de inversión.

SOLUCIÓN:

x i = Dólares invertidos en el proyecto i, i = 1, 2, 3, 4.

y j = Dólares invertidos en el banco en el año j, j = 1, 2, 3, 4.

Maximizar: Z = y 5 ❶

Sujeto a: 0, 50 x 1 + 0, 60x 2 − x 3 + 0, 4x 4 + 1, 065y 1 − y 2 = 0❷; 0, 30 x 1 + 0, 20x 2 + 0, 80x 3 + 0, 6x 4 + 1, 065y 2 − y 3 = 0❸

1, 80 x 1 + 1, 50x 2 + 1, 90x 3 + 1, 8x 4 + 1, 065y 3 − y 4 = 0❹; 1, 20 x 1 + 1, 30x 2 + 0, 80x 3 + 0, 95x 4 + 1, 065y 4 − y 5 = 0 ❺

{

x 1 + x 2 + 0x 3 + x 4 + y 1 ≤ 10000❻; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ≥ 0❼ }

PROBLEMA#191 Usted decide invertir en los siguientes activos financieros: bonos del estado, bonos y cajas de ahorro.

De los 100000 Bs que dispone decide que por lo menos el 60% deben quedar invertidos en bonos del estado y bonos, no

debe invertirse más del 20% en caja de ahorro, no debe quedar dinero sin invertir. Si los bonos del estado rinden el 8%,

los bonos el 10% y las cajas de ahorro el 1%. Determine la inversión necesaria en cada activo financiero a fin de

optimizar la rentabilidad.

SOLUCIÓN:

x i = Bs de dinero a invertir en el activo financiero i, (i = bonos del estado, bonos y caja de ahorro).

{

Maximizar: Z = 0, 08x 1 + 0, 10x 2 + 0, 01x 3 ❶

}

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 = 100000❷; x 1 + x 2 ≥ 60000❸; x 3 ≤ 20000❹; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❺

JULIO VARGAS HERBAS*86


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#192 En preparación para la temporada invernal, una compañía fabricante de ropa está manufacturando

abrigos de piel con capucha y chamarras con relleno de plumas de ganso, pantalones con aislamiento y guantes. Todos

los productos se elaboran en cuatro departamentos diferentes: corte, aislamiento, costura y empaque. La compañía

recibió pedidos en firme de sus productos. El contrato estipula una penalización por los artículos no surtidos. Elabore

un plan de producción óptimo para la compañía, con base en los siguientes datos:

Tiempo por unidades (h)

Departamento Chamarras Relleno de plumas Pantalones Guantes Capacidad (h)

Corte .30 .30 .25 .15 1000

Aislamiento .25 .35 .30 .10 1000

Costura .45 .50 .40 .22 1000

Empaque .15 .15 .10 .05 1000

Demanda 800 750 600 500

Utilidad unitaria $30 $40 $20 $10

Penalización por unidad $15 $20 $10 $8

Formular un modelo matemático.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de chamarras con capucha. x 3 = Cantidad de pantalones.

x 2 = Cantidad de chamarras con relleno de plumas. x 4 = Cantidad de pares de guantes.

Maximizar: Z = 30x 1 + 40x 2 + 20x 3 + 10x 4 − (15s 1 + 20s 2 + 10s 3 + 8s 4 )❶ → s = costo de penalización

Sujeto a: 0, 30 x 1 + 0, 30x 2 + 0, 25x 3 + 0, 15x 4 ≤ 1000❷; 0, 25x 1 + 0, 35x 2 + 0, 30x 3 + 0, 10x 4 ≤ 1000❸

0, 45 x 1 + 0, 50x 2 + 0, 40x 3 + 0, 22x 4 ≤ 1000❹; 0, 15x 1 + 0, 15x 2 + 0, 10x 3 + 0, 05x 4 ≤ 1000❺

{ x 1 + s 1 = 800❻; x 2 + s 2 = 750❼; x 3 + s 3 = 600❽; x 4 + s 4 = 500❾ ; con: x j ≥ 0, s j ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4. ❿}

PROBLEMA#193 La veloz Company firmó un contrato para entregar 100, 250, 190, 140, 220 y 110 ventanas para casa

durante los siguientes seis meses. El costo de producción (mano de obra, material y servicios) por ventana varía por

periodo y se estima que será de $50, $45, $55, $48, $52 y $50 durante los próximos seis meses. Para aprovechar las

fluctuaciones del costo de fabricación, La veloz company puede producir más ventanas de las necesarias en un mes

dado y conservar las unidades adicionales para entregarlas en meses posteriores. Esto supondrá un costo de

almacenamiento a razón de $8 por ventana por mes, estimado en el inventario de fin de mes. Desarrolle un programa

lineal para determinar el programa de producción óptimo.

SOLUCIÓN:

x i = Cantidad de unidades producidas en el mes i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

I i = Unidades que quedan en el inventario de fin de mes i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Minimizar: Z = 50x 1 + 45x 2 + 55x 3 + 48x 4 + 52x 5 + 50x 6 + 8(I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 + I 6 )❶

Sujeto a: Inventario inicial + cantidad de producción − Inventario final = Demanda

x 1 − I 1 = 100(mes 1)❷; I 1 + x 2 − I 2 = 250(mes 2)❸; I 2 + x 3 − I 3 = 190(mes 3)❹; I 3 + x 4 − I 4 = 140(mes 4)❺;

I 4 + x 5 − I 5 = 220(mes 5)❻; I 5 + x 6 = 110(mes 6)❼; con: x i ≥ 0, i = 1, 2, … , 6. I i ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5❽

{

observese que el inventario inicial, I 0 , es cero, tambien el inventario final sera cero, I 6 = 0 }

Respuesta:

Se muestra que la demanda de cada mes se satisface desde la misma producción del mes excepto en el mes 2 donde la

cantidad producida(=440) cubre la demanda de los meses 2 y 3. El costo total asociado es de $49980.

JULIO VARGAS HERBAS*87


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#194 Una compañía está planeando fabricar un producto para marzo, abril, mayo y junio del próximo año.

Las cantidades demandadas son 520, 720, 520 y 620 unidades, respectivamente. La compañía tiene una fuerza de trabajo

permanente de 10 empleados pero puede satisfacer las necesidades de producción fluctuantes contratando y

despidiendo trabajadores temporales. Los costos adicionales de contratar y despedir un trabajador temporal en

cualquier mes son de $200 y $400, respectivamente. Un trabajador de planta produce 12 unidades por mes; y uno

temporal, que no tiene la misma experiencia, produce 10. La compañía puede producir más de lo necesario en cualquier

mes y guardar el excedente para el mes subsiguiente a un costo de retención de $50 por unidad por mes. Desarrolle una

política óptima de contratación y despido durante el horizonte de planificación de 4 meses.

SOLUCIÓN:

x i = Cantidad neta de trabajadores temporales al inicio del mes i después de cualquier contratación o despido.

S i = Cantidad de trabajadores temporales contratados o despedidos al inicio del mes i.

I i = Unidades del inventario final para el mes i.

Min: Z = 50(I 1 + I 2 + I 3 + I 4 ) + 200(S − 1 + S − 2 + S − 3 + S − 4 ) + 400(S + 1 + S + 2 + S + 3 + S + 4 )❶

Sujeto a: demanda restante para (marzo = 520 − 12 ∗ 10 = 400 unidades); (abril = 720 − 12 ∗ 10 = 600 unidades);

(mayo = 520 − 12 ∗ 10 = 400 unidades); (junio = 620 − 12 ∗ 10 = 500 unidades);

10x 1 = 400 + I 1 ❷ ; I 1 + 10x 2 = 600 + I 2 ❸; I 2 + 10x 3 = 400 + I 3 ❹; I 3 + 10x 4 = 500❺; x 1 = S − 1 − S + 1 ❻

x 2 = x 1 + S − 2 − S + 2 ❼; x 3 = x 2 + S − 3 − S + 3 ❽; x 4 = x 3 + S − 4 − S + 4 ❾

{

con: S − 1 , S + 1 , S − 2 , S + 2 , S − 3 , S + 3 + S − 4 , S + 4 ≥ 0; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≥ 0; I 1 + I 2 + I 3 ≥ 0❿ }

PROBLEMA#195 La ciudad de Cochabamba enfrenta un grave recorte de presupuesto. Buscando una solución a largo plazo para

mejorar la base tributaria, el consejo de la ciudad propone la demolición de un área de viviendas dentro de la ciudad, y su reemplazo

con un moderno desarrollo. El proyecto implica dos fases: (1) demolición de casas populares para obtener el terreno para el nuevo

desarrollo, y (2) construcción del nuevo desarrollo. A continuación, un resumen de la situación.

1. Se pueden demoler 300 casas populares. Cada casa ocupa un lote de 0,25 acres. El costo de demoler una casa es de $2000.

2. Los tamaños de los lotes para construir casas unifamiliares, dobles, triples y cuádruples, son de 0,18 0,28 0,4 y 0,5 acres,

respectivamente. Las calles, los espacios abiertos y el área para la instalación de servicios, ocupan 15% del área disponible.

3. En el nuevo desarrollo, las unidades triples y cuádruples ocupan por lo menos 25% del total. Las unidades sencillas deben ser

al menos 20% de todas las unidades, y las unidades dobles deben ocupar un mínimo de 10%.

4. El impuesto por unidad aplicado a las unidades sencillas, dobles, triples y cuádruples es de $1000, $1900, $2700 y $3400,

respectivamente.

5. El costo de construcción por unidad de las casas sencillas, dobles, triples y cuádruples es de $50000, $70000, $130000 y

$160000, respectivamente. El financiamiento a través de un banco local está limitado a $15 millones.

¿Cuántas unidades de cada tipo se deben construir para maximizar la recaudación de impuestos?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de casas unifamiliares. x 2 = Cantidad de casa dobles. x 3 = Cantidad de casas triples.

x 4 = Cantidad de casas cuádruples. x 5 = Cantidad de casasviejas a demoler.

Maximizar: Z = 1000x 1 + 1900x 2 + 2700x 3 + 3400x 4 ❶

Sujeto a: 0, 18 x 1 + 0, 28x 2 + 0, 40x 3 + 0, 50x 4 ≤ 0, 2125x 5 ❷ ( un lote ocupa 0, 25 acres es decir 0, 25x 5 considerando que 15%

)

para espacios abiertos, calles y servicios 0, 85(0, 25x 5 ) = 0, 2125x 5

x 5 ≤ 300❸; x 1 ≥ 0, 20(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❹; x 2 ≥ 0, 10(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❺; x 3 + x 4 ≥ 0, 25(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )❻

{

50000x 1 + 70000x 2 + 130000x 3 + 160000x 4 ≤ 15000000❼; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❽ }

PROBLEMA#196 La jefa del departamento de carnes de una tienda de autoservicio se encuentra la mañana del sábado

con que dispone de una existencia de 200 Ib de bola, 800 Ib de solomillo y 150 Ib de carne de cerdo que se emplearán

para preparar carne molida para hamburguesas, tortitas de carne para día de campo y albondigón. La demanda de cada

tipo de carne siempre excede la existencia de la tienda. La carne para hamburguesas debe contener por lo menos 20%

de bola molida y 50% de solomillo molido (por peso); las tortitas deben ser al menos 20% de molida de cerdo y 50% de

solomillo molido; y la carne para albondigón al menos 10% de bola molida, 30% de molida de cerdo y 40% de solomillo

molido. El resto de cada producto lo constituye un relleno barato, no de carne, del cual la tienda tiene una cantidad

ilimitada. ¿Cuántas libras de cada producto deben prepararse, si la jefa del departamento desea minimizar la cantidad de

carne que permanezca almacenada en la tienda después del domingo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de libras a preparar de carne molina para hamburquesas.

x 2 = Cantidad de libras a preparar de tortitas de carne para el día de campo.

x 3 = Cantidad de libras a preparar de albondigón.

Minimicese: Z = (200 − 0, 2x 1 − 0, 1x 3 ) + (800 − 0, 5x 1 − 0, 5x 2 − 0, 4x 3 ) + (150 − 0, 2x 2 − 0, 3x 3 )❶

Sujeto a: 0, 2x 1 + 0, 1x 3 ≤ 200❷; 0, 5x 1 + 0, 5x 2 + 0, 4x 3 ≤ 800❸; 0, 2x 2 + 0, 3x 3 ≤ 150❹

{

con todas las variables no negativas: x j ≥ 0❺ }

PROBLEMA#197 Un fabricante de plásticos tiene en existencia, en una de sus fábricas, 1200 cajas de envoltura

transparente y otras 1000 cajas en su segunda fábrica. El fabricante tiene órdenes para este producto por parte de tres

diferentes detallistas, en cantidades 1000, 700 y 500 cajas, respectivamente. Los costos unitarios de envío (en centavos

por caja) de las fábricas a los detallistas son los siguientes:

JULIO VARGAS HERBAS*88


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

Detallista Detallista Detallista

1 2 3

Fábrica 1

Fábrica 2

14

13

13

13

11

12

Determínese una cédula de embarque de costo mínimo, para satisfacer toda la demanda con el inventario actual.

SOLUCIÓN:

x ij = Número de cajas que se enviarán de la fábrica i al detallista j. (i = 1, 2 y j = 1, 2, 3)

Minimizar: Z = 14x 11 + 13x 12 + 11x 13 + 13x 21 + 13x 22 + 12x 23 ❶

Sujeto a: (OFERTA ≤) → ( x 11 + x 12 + x 13 ≤ 1200 → x 11 + x 12 + x 13 = 1200❷

x 21 + x 22 + x 23 ≤ 1000 → x 21 + x 22 + x 23 = 1000❸ )

x 11 + x 21 ≥ 1000 → x 11 + x 21 = 1000❹

(DEMANDA ≥) → ( x 12 + x 22 ≥ 700 → x 12 + x 22 = 700❺ ) ; (oferta = demanda)

x 13 + x 23 ≥ 500 → x 13 + x 23 = 500❻

{

con todas las variables no negativas: x ij ≥ 0❼ }

PROBLEMA#198 La mayoría de los departamentos académicos de las universidades contratan estudiantes para que

realicen encargos de oficina. La necesidad de ese servicio fluctúa durante las horas hábiles (8:00 A.M. a 5:00 P.M.). En un

departamento, la cantidad mínima de estudiantes requeridos es de 2 entre las 8:00 A.M. y las 10:00 A.M.; 3 entre las 10:01

A.M. y las 11:00 A.M.; 4 entre las 11:01 A.M. y la 1:00 P.M., y 3 entre la 1:01 P.M. y las 5:00 P.M. A cada estudiante se le

asignan 3 horas consecutivas (excepto a los que inician a las 3:01 P.M. que trabajan 2 horas, y a los que inician a las 4:01

que trabajan 1 hora). Debido al horario flexible de los estudiantes, por lo común pueden iniciar a cualquier hora durante

el día de trabajo, excepto a la hora del almuerzo (12:00 del día). Desarrolle el modelo de PL y determine un horario que

especifique la hora del día y la cantidad de estudiantes que se reportan al trabajo.

SOLUCIÓN:

x i = Cantidad de estudiantes que inician en el periodo i(i = 1 a las 8: 01 A. M. , i = 9 a las 4: 01 P. M. )

Minimizar: Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 ❶

Sujeto a: x 1 ≥ 2❷; x 1 + x 2 ≥ 2❸; x 1 + x 2 + x 3 ≥ 3❹; x 2 + x 3 + x 4 ≥ 4❺; x 3 + x 4 ≥ 4❻; x 4 + x 6 ≥ 3❼

{ x 6 + x 7 ≥ 3❽; x 6 + x 7 + x 8 ≥ 3❾; x 7 + x 8 + x 9 ≥ 3❿; con: x 5 = 0, todas demás las variables son no negativas❶❶ }

PROBLEMA#199 Una ciudad emprenderá cuatro proyectos de renovación de vivienda urbana durante los próximos 5 años.

Cada proyecto tiene distinto año de inicio y duración diferente. La siguiente tabla muestra los datos básicos de la situación:

JULIO VARGAS HERBAS*89

Costo

(millones de $)

Ingreso anual

(millones $)

Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5

Proyecto 1 Inicio Terminación 5.0 0.05

Proyecto 2 Inicio Terminación 8.0 0.07

Proyecto 3 Inicio Terminación 15.0 0.15

Proyecto 4 Inicio Terminación 1.2 0.02

Presupuesto(millones $) 3.0 6.0 7.0 7.0 7.0

Los proyectos 1 y 4 deben terminarse del todo dentro de su tiempo estipulado. Los otros dos proyectos pueden terminarse

parcialmente de ser necesario, siempre y cuando no excedan su presupuesto. Sin embargo, cada proyecto debe quedar por lo menos

con un avance de 25%. Al final de cada año, los inquilinos ocupan de inmediato la sección terminada de un proyecto, y así se obtiene

una cantidad proporcional de ingreso. Por ejemplo, si en el año 1 se completa 40% del proyecto y 60% en el año 3, el ingreso asociado

para el horizonte de planeación a 5 años es de 0,4 X $50000 (en el año 2) + 0,4 X $50000 (en el año 3) + (0,4 + 0,6) X $50000 (en el año 4) +

(0,4 + 0,6) x $50000 (en el año 5) = ( 4 X 0,4 + 2 X 0,6) X $50000. Desarrolle un modelo de PL para determinar el desarrollo de los proyectos

que maximice el ingreso total durante la planeación a 5 años.

SOLUCIÓN:

x ij = Parte del proyecto i que se completa en el año j.

Maximizar: Z = 0, 05(4x 11 + 3x 12 + 2x 12 ) + 0, 07(3x 22 + 2x 23 + 1x 24 ) + 0, 15(4x 31 + 3x 32 + 2x 33 + 1x 34 )0, 02(2x 43 + 1x 44 )❶

Sujeto a: x 11 + x 12 + x 12 = 1❷; x 43 + x 44 + x 25 = 1❸; 0, 25 ≤ x 22 + x 23 + x 24 ≤ 1❹

0, 25 ≤ x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 ≤ 1❺; 5x 11 + 15x 31 ≤ 3❻; 5x 12 + 8x 22 + 15x 32 ≤ 6❼

{

5x 13 + 8x 23 + 15x 33 + 1, 2x 43 ≤ 7❽; 8x 24 + 15x 34 + 1, 2x 44 ≤ 7❾; 8x 25 + 15x 35 ≤ 7❿; x ij ≥ 0❶❶ }

PROBLEMA#200 Una comunidad ha reunido $250000 para desarrollar nuevas áreas de eliminación de desechos. Hay siete sitios

disponibles, cuyos costos de desarrollo y capacidades se muestran a continuación. ¿Qué sitios deberá desarrollar la comunidad?

Sitio A B C D E F G

Capacidad, ton/semana 20 17 15 15 10 8 5

Costo, $1000 145 92 70 70 84 14 47

SOLUCIÓN:

x j = la comunidad a que sitio deberá desarrollar.

Maximizar: Z = 20x 1 + 17x 2 + 15x 3 + 15x 4 + 10x 5 + 8x 6 + 5x 7 ❶

Sujeto a: 145x 1 + 92x 2 + 70x 3 + 70x 4 + 84x 5 + 14x 6 + 47x 7 ≤ 250❷; x 1 ≤ 1❸; x 2 ≤ 1❹; x 3 ≤ 1❺

{

x 4 ≤ 1❻; x 5 ≤ 1❼; x 6 ≤ 1❽; x 7 ≤ 1❾; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0❿ }


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#201 Una corporación de semiconductores produce un módulo específico de estado sólido, el cual se

suministra a cuatro diferentes fabricantes de televisores. El módulo puede producirse en cualquiera de las tres plantas

de la corporación, aunque los costos varían debido a la diferente eficiencia de producción de cada una. Específicamente,

cuesta $1,10 producir un módulo en la planta A, $0,95 en la planta B y $1,03 en la planta C. Las capacidades mensuales

de producción de las plantas son 7500, 10000 y 8100 módulos, respectivamente. Las estimaciones de venta predicen una

demanda mensual de 4200, 8300, 6300 y 2700 módulos, para los fabricantes de televisores I, II, III y IV, respectivamente.

Si los costos de envío (en dólares) para embarcar un módulo de una de las fábricas a un fabricante se muestran a

continuación, encuéntrese una cédula de producción que cubra todas las necesidades a un costo mínimo total.

I II III IV

A 0.11 0.13 0.09 0.19

B 0.12 0.16 0.10 0.14

C 0.14 0.13 0.12 0.15

SOLUCIÓN:

x ij = Número de modulos que se enviarán de la fábrica i al fabricante de TV j. (i = A, B y j = I, II, III, IV)

Minimizar: Z = (1, 10 + 0, 11)x 11 + (1, 10 + 0, 13)x 12 +. . . … . . +(1, 03 + 0, 15)12x 34 ❶

x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ≤ 7500 → x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ≤ 7500❷

Sujeto a: (OFERTA ≤) → ( x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 10000 → x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 10000❸)

x 31 + x 32 + x 33 + x 34 ≤ 8100 → x 31 + x 32 + x 33 + x 34 ≤ 8100❹

x 11 + x 21 + x 31 ≥ 4200 → x 11 + x 21 + x 31 = 4200❺

x

(DEMANDA ≥) → 12 + x 22 + x 32 ≥ 8300 → x 12 + x 22 + x 32 = 8300❻ oferta ≥ demanda

; (

x 13 + x 23 + x 33 ≥ 6300 → x 13 + x 23 + x 33 = 6300❼ 25600 ≥ 21500 )

( x 14 + x 24 + x 34 ≥ 2700 → x 14 + x 24 + x 34 = 2700❽ )

{

con todas las variables no negativas: x ij ≥ 0❾ }

PROBLEMA#202 Un bufete de abogados ha aceptado cinco nuevos casos, cada uno de los cuales puede ser llevado

adecuadamente por cualquiera de los cinco asociados más recientes. Debido a la diferencia en experiencia y práctica,

los abogados emplearán distintos tiempos en los casos. Uno de los asociados más experimentados ha estimado las

necesidades de tiempo (en horas) como sigue:

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5

Abogado 1 145 122 130 95 115

Abogado 2 80 63 85 48 78

Abogado 3 121 107 93 69 95

Abogado 4 118 83 116 80 105

Abogado 5 97 75 120 80 111

Determínese la forma óptima de asignar los casos a los abogados, de manera que cada uno de ellos se dedique a un

caso diferente y que el tiempo total de horas empleadas sea mínimo.

x ij = Abogado i asignar al caso j. (i = 1, 2, 3, 4, 5 y j = 1, 2, 3, 4, 5).

5

Minimizar: Z = 145x 11 + 122x 12 + 130x 12 + 95x 14 + 114x 15 + ⋯ + 111x 55 ❶

5

Sujeto a: ∑ x ij = 1 (i = 1, 2, 3, 4, 5)❷; ∑ x ij = 1 (j = 1, 2, 3, 4, 5)❸; con: x ij ≥ 0❹no negativas y enteras

{

i=1 j=1

}

PROBLEMA#203 Motores Recreativos fabrica carritos para golf y vehículos para nieve en sus tres plantas. La planta A

produce diariamente 40 carritos para golf y 35 para nieve; la planta B produce diariamente 65 carritos para golf y

ninguno para nieve. La planta C produce diariamente 53 vehículos para nieve y ninguno para golf. Los costos diarios de

operación de las plantas A, B y C son, respectivamente, $210000, $190000 y $182000. ¿Cuántos días (incluyendo

domingos y días de fiesta) deberá operar cada planta durante el mes de septiembre, a fin de lograr una producción de

1500 carritos de golf y 1100 vehículos para nieve, a un costo mínimo? Considérese que los contratos de trabajo

requieren que una vez que la planta se abre, los trabajadores reciban el pago de todo el día.

SOLUCIÓN:

x 1 = Operación en la Planta A. x 2 = Operación en la Planta B. x 3 = Operación en la Planta C.

Minimicese: Z = 210000x 1 + 190000x 2 + 182000x 3 ❶

Sujeto a: 40x 1 + 65x 2 ≥ 1500❷; 35x 1 + 53x 3 ≥ 1100❸; x 1 ≤ 30❹; x 2 ≤ 30❺; x 3 ≤ 30❻

{

con todas las variables no negativas: x j ≥ 0❼ }

PROBLEMA#204 En una urbanización se van a construir casas de dos tipos A y B. La empresa constructora dispone

para ello de un máximo de $1800, siendo el costo de cada tipo de casa de $30 y $20 respectivamente. El plan regulador

exige que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa

tipo A es $4 y de $3 por una de tipo B. ¿Cuántas casas deben construir de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

JULIO VARGAS HERBAS*90


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de casas a construir del tipo A. x 2 = Número de casas a construir del tipo B.

{ Maximizar: Z = (4 + 30)x 1 + (3 + 20)x 2 = 34x 1 + 23x 2 ❶ → PV = Beneficio + Costo }

Sujeto a: 30x 1 + 20x 2 ≤ 1800❷; x 1 + x 2 ≤ 80❸; con: x 1 , x 2 ≥ 0❹

PROBLEMA#205 Un inversor monta una pequeña empresa de ventas de carne de pescado con una capacidad de

almacenaje refrigerado de 200 kilogramos. Vende exclusivamente 2 tipos de pescado: Surubí y Pacú. El kilogramo de

surubí compra a Bs 20 y el de pacú a Bs 30. Por cuestiones de mercado debe vender más kilogramos de surubí que de

pacú. Si cada kilogramo de surubí vende a Bs 30 y Bs 45 el kilogramo de pacú. ¿Determine el número de kilogramo, que

debe comprar y vender de cada clase para optimizar la ganancia?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de kilogramos a compra y vender de pescado Surubí.

x 2 = Número de kilogramos a compra y vender de pescado Pacú.

Maximizar: Z = (30 − 20)x 1 + (45 − 30)x 2 = 10x 1 + 15x 2 ❶

{ Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 200❷; x 1 ≥ x 2 ❸; con: x 1 , x 2 ❹ }

PROBLEMA#206 Hoy es un día de suerte acaba de ganar un premio de $10000. Dedicará $4000 a impuestos y

diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6000, al oír las nuevas, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de

convertirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por cada uno de ellos, en ambos casos la inversión

incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio completo en el caso del

primer amigo debe invertir $ 5000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el

tiempo) seria $ 4500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $ 4000 y 500 horas, con una ganancia estima

de $ 4500. Sin embargo ambos amigos son flexibles y le permitirían participar con cualquier fracción de participación

que quiera. Si elige una participación parcial todas las cifras dadas para sociedad completa (inversión de dinero y

tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción. Como de todas formas usted busca un trabajo de verano

interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice

su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinación.

SOLUCIÓN:

x 1 = Fracción de dinero a participar en la primera empresa 1.

x 2 = Fracción de dinero a participar en la segunda empresa 2.

Maximizar: Z = 4500x 1 + 4500x 2 ❶

{ Sujeto a: 5000x 1 + 4000x 2 ≤ 6000❷; 400x 1 + 500x 2 ≤ 600❸; x 1 ≤ 1❹; x 2 ≤ 1❺; con: x 1 , x 2 ❻ }

PROBLEMA#207 Julius Company tiene a su cargo la compra de mercancías enlatadas para el servicio de alimentos

LATITA en una gran universidad. Él sabe cuál será la demanda durante el transcurso del año universitario y ha estimado

también los precios de compra. En la figura se muestran estos datos. Puede comprar anticipadamente y almacenar para

evitar los aumentos de precios, pero existe un costo de mantener inventario de $0,20 por caja, por mes, aplicado al

inventario en existencia al final del mes. Elabore un PL que minimice el costo y que ayude a Julius a determinar el

momento de sus compras, Sugerencia: Supóngase que P t es el número de cajas compradas en el mes t y que I t es el

número de cajas en existencias al final del mes t. Datos de la demanda y el costo se muestran en la siguiente tabla.

SEP. OCT. NOV. DIC. ENE. FEB. MAR. ABR. MAY.

Demandas (cajas ) 1000 900 850 500 600 1000 1000 1000 500

costo por caja $20 $20 $20 $21 $21 $21 $23 $23 $23

SOLUCIÓN:

P t = Número de cajas compradas en el mes t, (t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

I t = Cantidad de cajas al final del mes t, (t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

inventario final = inventario inicial + producción − demanda

Min: Z = 20P 1 + 20P 2 + 20P 3 + 21P 4 + 21P 5 + 21P 6 + 23P 7 + 23P 8 + 23P 9 + 0, 20(I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 + I 6 + I 7 + I 8 + I 9 )❶

Sujeto a:

I 1 = I 0 + P 1 − 1000❷

I 2 = I 1 + P 2 − 900❸

I 3 = I 2 + P 3 − 850❹

I 4 = I 3 + P 4 − 500❺

I 5 = I 4 + P 5 − 600❻

I 6 = I 5 + P 6 − 1000❼

{

con: P t ≥ 0 y I t ≥ 0❶❶ }

PROBLEMA#208 Aero Boliviana está considerando la probabilidad de adquirir aviones de pasajeros en el mercado

mundial: USA, Inglaterra o Rusia. El costo del avión (USA) A es de $6,7 millones, el avión (Ingles) B en $5 millones y el

avión (Ruso) C de $3,5 millones. El directorio de dicha empresa ha autorizado la compra de aviones por valor de 150

millones. Los economistas de Aero Boliviana han calculado que cualquiera que sea el tipo A de mayor capacidad

proporcionara una utilidad neta de $ 420000 anuales, el avión B proporcionara una utilidad neta de $300000 y el avión C

una utilidad de $ 230000 anuales. Por otra parte se conoce que la fuerza aérea Boliviana solo le podría proporcionar 30

pilotos debidamente entrenados. Si sólo se adquieren los aviones más pequeños, los servicios de reparación y servicio

con que cuenta Aero boliviana solamente podrán mantener en operación un máximo de 40 unidades. Además se sabe

JULIO VARGAS HERBAS*91

I 7 = I 6 + P 7 − 1000❽

I 8 = I 7 + P 8 − 1000❾

I 9 = I 8 + P 9 − 500❿


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

que mantener un avión B requiere 1 1/3 más que el avión C y que el avión A requiere 1 2/3 más que el C. ¿Determinar el

número de cada tipo de avión que se debe comprar para maximizar las utilidades?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de aviones de tipo A que debe compra la Aéro Boliviana.

x 2 = Número de aviones de tipo A que debe compra la Aéro Boliviana.

x 3 = Número de aviones de tipo A que debe compra la Aéro Boliviana.

Maximizar: Z = 420000x 1 + 300000x 2 + 230000x 3 ❶

Sujeto a: 6700000x 1 + 5000000x 2 + 3500000x 3 ≤ 150000000❷; x 1 + x 2 + x 3 ≤ 30❸

{

2 ∗ 2 3 ∗ 1 40 x 1 + 2 ∗ 1 3 ∗ 1 40 x 2 + 1 40 x 3 ≤ 1 ↔ 1 30 x 1 + 1 60 x 2 + 1 40 x 3 ≤ 1❹; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#209 Se trata de gestionar una cartera de inversiones para un horizonte de 6 años. Al inicio están

disponibles $1000, y en cada periodo se puede invertir en una o más de las opciones siguientes: (a) Caja de Ahorro (A)

con un retorno anual del 5%; (b) Opción (Y) con una maturity (madurez) de 2 años, y un retorno total de 12% si

compramos ahora o sino 11% más adelante; (c) Opción Z, con una maturity (madurez) de 3 años, y un retorno total de

18%; (d) Opción W, con una maturity (madurez) de 4 años, y un retorno total de 24%. Con el objetivo de simplificar, se

asumirá que cada opción puede ser comprada en cualquier “denominación” (en caso contrario se debería emplear la

programación entera o dinámica). Se pueden hacer movimientos (depósitos /retiros) en la Caja de Ahorro (A) en

cualquier momento. Se pueden comprar Opciones (Y) todos los años, salvo en el año 3. Se pueden comprar Opciones

(Z) todos los años, después del primer año. La opción (W), disponible en este momento, es una oportunidad única.

SOLUCIÓN:

Sea A t el monto invertido en la opcion A al inicio del año, y de manera similar Y t , Z t , W t .

El problema es un tipo de gestion de inventarios. En un año dado, el monto de dinero que se traslada desde el año

anterior, más el retorno de las colocaciones que llegan a madurez ese año, debe ser igual al monto invertido en nuevas

colocaciones más el monto de dinero que se dejó para el año siguiente. Hay una diferencia: el inventario crece mientras

está almacenado, en los problemas de inventario, el valor del stock decrece en el tiempo debido a problemas de

mantenimiento, obsolescencia, y esto puede ser reflejado en una tasa de interés negativa.

Maximizar: Z = 1, 05A 6 + 1, 11Y 5 + 1, 18Z 4 ❶

Sujeto a:

En t = 1 → A 1 + Y 1 + W 1 = 1000❷ En t = 4 → A 4 + Y 4 + Z 4 = 1, 05A 3 + 1, 11Y 2 ❺

En t = 2 → A 2 + Y 2 + Z 2 = 1, 05A 1 ❸ En t = 5 → A 5 + Y 5 = 1, 05A 4 + 1, 18Z 2 + 1, 24W 1 ❻

En t = 3 → A 3 + Z 3 = 1, 05A 2 + 1, 12Y 1 ❹ En t = 6 → A 6 = 1, 05A 5 + 1, 11Y 4 + 1, 18Z 3 ❼

{

con ∶ No negatividad, A t , Y t , Z t , W t ≥ 0❽ }

PROBLEMA#210 Un inversionista tiene perspectivas de invertir en dos actividades A y B, siendo el horizonte

económico de 5 años. Cada unidad económica invertida en A en el comienzo de cualquier año produce una utilidad de $

0,40 dos años más tarde. Cada unidad monetaria invertida en B, en el comienzo de cualquier año produce una utilidad de

$ 0,70 tres años más tarde. Además tiene otras dos perspectivas: C y D para el futuro. Cada unidad monetaria invertida

en C en el comienzo del segundo año permite una utilidad de$1,00 al fin de los 5 años. Cada unidad monetaria invertida

JULIO VARGAS HERBAS*92


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

en D en el comienzo del quinto año produce una utilidad de $0,30. El inversionista dispone de $ 10000 y desea conocer el

plan de inversiones que maximice sus utilidades.

SOLUCIÓN:

x ij = Unidades monetarias invertidas en el i − ésimo periodo y la j − ésima actividad.

Maximizar: Z = 0, 40(x 1A + x 2A + x 3A + x 4A ) + 0, 70(x 1B + x 2B + x 3B ) + 1, 0(x 2C ) + 0, 30(x 5D )❶

Sujeto a ∶ Primer año → x 1A + x 1B ≤ 10000❷; segundo año → x 2A + x 2B + x 2C ≤ 10000 − (x 1A + x 1B )❸

tercer año → x 3A + x 3B ≤ 10000 − x 1B − x 2A − x 2B − x 2C + 0, 40x 1A ❹

cuarto año → x 4A ≤ 10000 − x 2B − x 2C − x 3A − x 3B + 0, 40x 2A + 0, 70x 1B ❺

quinto año → x 5D ≤ 10000 − x 2C − x 3B − x 4A + 0, 40x 3A + 0, 70x 2B ❻

{

con: x ij ≥ 0❼ i = 1, 2, 3, 4, 5 y j = A, B, C, D. }

PROBLEMA#211 Considere que el Grupo Asesor financiero tiene un monto de $100000000 para ser colocado en varias

categorías de inversiones. El cuadro siguiente describe las 5 categorías, con su respectivo retorno y riesgo asociado.

Categorías Retorno en (%) Riesgo en (%)

Primera Hipoteca 9 3

Segunda Hipoteca 12 6

Préstamos Personales 15 8

Préstamos Comerciales 8 2

Certificados/Bonos 6 1

El capital no invertido en alguna de estas categorías, es colocado en una Caja de Ahorro sin riesgo y con un retorno del 3%. El objetivo

para el Grupo Asesor es asignar el dinero a cada una de las categorías para cumplir con las metas siguientes: (a) Maximizar el retorno

por $; (b) Que el riesgo promedio no supere el 5% (sobre el dinero invertido); (c) Invertir al menos 20% en Préstamos comerciales; (d) El

monto combinado en segunda Hipotecas y Préstamos personales no podrá ser mayor que el monto en primera Hipotecas.

SOLUCIÓN:

x i = Representa el monto de $ invertido en la categoria de inversión i, (i = 1, 2, 3, 4, 5).

Maximizar: Z = 0, 09x 1 + 0, 12x 2 + 0, 15x 3 + 0, 08x 4 + 0, 06x 5 + (0, 03x caja de ahorro )❶

Sujeto a: [0, 03x 1 + 0, 06x 2 + 0, 08x 3 + 0, 02x 4 + 0, 01x 5 ≤ 0, 05(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 )]❷

{ x 4 ≥ 0, 20(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 )❸; x 2 + x 3 ≤ x 1 ❹; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x caja de ahorro ≥ 0❺}

PROBLEMA#212 La compañía de aerolíneas BOA boliviana de aviación tiene que decidir cuantas azafatas nuevas tiene que

emplear, entrenar, despedir en los 6 meses que vienen, los requisitos en hora de vuelo de azafata son los siguientes:

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Número de horas 8000 9000 8000 10000 9000 12000

Una chica necesita un mes de entrenamiento antes de que puedan usarla en un vuelo regular, por lo tanto hay que emplearla un mes

antes de que sus servicios sean necesarios. También el entrenamiento de una chica nueva requiere el tiempo de una azafata regular

entrenada. Dicho entrenamiento tomo aproximadamente 100 horas de la azafata con experiencia en el mes de entrenamiento. Entonces

por cada chica en entrenamiento hay 100 horas menos disponibles para servicio de las azafatas regulares. Cada azafata regular puede

trabajar un máximo de 150 horas cada mes, hay 60 azafatas disponibles el primer día de enero. Si el tiempo máximo disponible de la

azafata requerida es mayor que la demanda, las regulares pueden trabajar menos de 150 horas o la compañía puede despedirlas a un

costo de $1000 por cada azafata despedida. Cada mes el 10% de las azafatas regulares renuncian al trabajo para casarse o por otras

razones. Una azafata regular cuesta $800 al mes y una chica en entrenamiento recibe $400. Formule el problema en PL para minimizar el

costo de servicio de azafatas.

SOLUCIÓN:

Podemos visualizar en el siguiente gráfico:

Mes Empleados Entrenamiento Despedir

Enero X 11 X 12 X 13

Febrero X 21 X 22 X 23

Marzo X 31 X 32 X 33

Abril X 41 X 42 X 43

Mayo X 51 X 52 X 53

Junio X 61 X 62 X 63

JULIO VARGAS HERBAS*93


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

Al comienzo de enero hay: (60 azafatas)(150Horas/azafatas)=9000 horas

Azafata regular=150 horas; Azafata en entrenamiento=-100 horas; Azafata despedida=-150 horas

Costo: $800 azafata regular; $400 azafata en entrenamiento; $1000 azafata despedida.

x ij = Número de azafatas que durante el mes i se encuentran en la situación j.

i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 = enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio; j = 1, 2, 3 = empleadas, entrenamiento, a despedir.

6

Minimizar: Z = 800 (∑ X i 1) + 400 (∑ X i 2) + 1000 (∑ X i 3) → j = 1, 2, 3.

i=1

Min: Z = 800(x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 + x 61 ) + 400(x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 + x 62 ) + 1000(x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 + x 63 )❶

Sujeto a: Enero → 9000 + 150x 11 − 100x 12 − 150x 13 ≥ 8000❷

Febrero → 0, 90(Enero) + 150x 21 − 100x 22 − 150x 23 ≥ 9000 ↔ 0, 90(9000 + 150x 11 − 100x 12 − 150x 13 ) + 150x 21 − 100x 22 − 150x 23 ≥ 9000❸

Marzo → 0, 90(Febrero) + 150x 31 − 100x 32 − 150x 33 ≥ 8000❹

Abril → 0, 90(Marzo) + 150x 41 − 100x 42 − 150x 43 ≥ 10000❺

Mayo → 0, 90(Abril) + 150x 51 − 100x 52 − 150x 53 ≥ 9000❻

Junio → 0, 90(Mayo) + 150x 61 − 100x 62 − 150x 63 ≥ 12000❼

{

x 21 ≤ x 12 ❽; con: x ij ≥ 0❾ }

PROBLEMA#213 Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno. Tiene espacio para 30 ovejas, ó 50 cerdos ó

20 cabezas de ganado vacuno o cualquier combinación de estos (con la relación siguiente), 3 ovejas, 5 cerdos ó 2 vacas

usan el mismo espacio. Los beneficios (utilidades) dadas por animal son 500, 500 y 100 bolivianos por oveja, cerdos y

vacas respectivamente. El granjero debe criar por ley, al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de ovejas a criar. x 2 = Número de cerdos a criar. x 3 = Número de vacas a criar.

Maximizar: Z = 500x 1 + 500x 2 + 100x 3 ❶

{

Sujeto a: x 1 ≤ 30❷; x 2 ≤ 50❸; x 3 ≤ 20❹; x 2 ≥ x 1 + x 3 ❺; x 1 + 3 5 x 2 + 3 2 x 3 ≤ 30 ❻; con: x 1 , x 2 , x 3 ❼ }

PROBLEMA#214 Los almacenes VARGAS S.A. han de reabastecerse de 5 productos populares. La siguiente tabla

proporciona los datos adecuados a la índole del problema.

PRODUCTO Precio de Compra Precio de ventas Ventas mensuales Espacio de almacenamiento de pies 3 /100

A 0,90 1,40 1000 20

B 1,50 2,00 800 25

C 1,30 1,85 750 40

D 2,70 3,50 1000 11

E 0,40 0,75 2000 50

Para evitar complicar el problema innecesariamente despreciaremos los costos de conservación y almacenamiento de

los productos. Así como los otros costos operativos de los almacenes.

Maximizaremos el beneficio de las ventas bajo las condiciones que se van a establecer.

La empresa comprará al menos la venta de un mes, pero más de lo necesaria para dos meses de cada producto. El

vendedor ofrece un descuento del 10% sobre todas las mercancías que se compren por encima de las necesidades

mensuales. El almacén tiene un total de $10000 en metálico para comprar estos productos así como 2500 pies cúbicos

de espacio de almacenamiento donde guardarlos. Suponemos que todos los productos comprados se suministran

inmediatamente, cuál debe ser al compra real por el director de los almacenes.

SOLUCIÓN:

X i = Número de productos comprados sin descuento, i = A, B, C, D, E.

Y j = Número de productos comprados con descuento, j = A, B, C, D, E.

Max: Z = [1, 40(X A + Y A ) + 2(X B + Y B ) + 1, 85(X C + Y C ) + 3, 5(X D + Y D ) + 0, 75(X E + Y E )] − 0, 90X A − 1, 5X B − 1, 3X C − 2, 7X D

−0, 40X E + 0, 90(0, 90Y A + 1, 50Y B + 1, 30Y C + 2, 70Y D + 0, 40Y E )❶

Sujeto a: 1000 ≤ X A + Y A ≤ 2000❷; 800 ≤ X B + Y B ≤ 1600❸; 750 ≤ X C + Y C ≤ 1500❹; 1000 ≤ X D + Y D ≤ 2000❺

2000 ≤ X E + Y E ≤ 4100❻;

[0, 90X A + 1, 5X B + 1, 3X C + 2, 7X D + 0, 40X E + 0, 90(0, 90Y A + 1, 50Y B + 1, 30Y C + 2, 70Y D + 0, 40Y E )] ≤ 10000❼

[0, 20(X A + Y A ) + 0, 25(X B + Y B ) + 0, 40(X C + Y C ) + 0, 11(X D + Y D ) + 0, 50(X E + Y E )] ≤ 2500❽

{

con: X i ≥ 0(i = A, B, C, D, E); Y j ≥ 0(j = A, B, C, D, E)❾ }

PROBLEMA#215 Un vendedor tiene a su cargo 2 productos A y B. Desea establecer un programa de

llamadas para los meses siguientes. El espera ser capaz de vender a lo más 20 unidades del producto A y a

lo menos 78 unidades del producto B. Él debe vender al menos 48 unidades de B para satisfacer su cuota mínima de

ventas, él recibe una comisión del 10% sobre la venta total que realiza. Pero él debe pagar sus propios costos (que son

estimados en 30 Bs por hora en hacer llamadas) de su comisión. Él está dispuesto a emplear no más de 160 horas por

mes en llamar a sus clientes. Los siguientes datos están disponibles.

PRODUCTO Precio Venta Bs/unidad Tiempo empleado hora/llamada Probabilidad de una venta en llamada

A 3000 3 0,50

B 1400 1 0,60

Formular el problema de manera tal que maximice la cantidad de ganancia que espera el vendedor.

SOLUCIÓN:

JULIO VARGAS HERBAS*94

6

i=1

6

i=1


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

x 1 = Número de llamadas a realizar para vender el producto 1.

x 2 = Número de llamadas a realizar para vender el producto 2.

Maximizar: Z = 0, 10(3000)(0, 50)x 1 + (1400)(0, 60)x 2 − 30(3x 1 + 1x 2 ) = 60x 1 + 810x 2 ❶

{ Sujeto a: 0, 50x 1 ≤ 20❷; 48 ≤ 0, 60x 2 ≤ 78❸; 3x 1 + 1x 2 ≤ 160❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#216 Una fábrica compuesta por tres talleres. A, B y C, fabrica tres productos, 1, 2, y 3, en

las cantidades mensuales X 1 , X 2 y X 3 , a determinar.

Los tres talleres, A, B y C tiene limitadas las horas de trabajo mensuales a 2766, 642 y 416

respectivamente.

El producto 1 es fabricado según el proceso

El producto 2 es tratado según el proceso

Talleres sucesivos A C B C Talleres sucesivos A B C

Producción horaria 0,357 30 12 15 Producción horaria 0,286 12 15

El producto 3 es tratado según el proceso

Talleres sucesivos B C

Producción horaria 9,6 12

Las demandas mensuales para los tres productos son respectivamente de 250, 1250 y 1500 unidades. Una demanda no

satisfecha no implica penalización especial.

Los beneficios unitarios de los tres productos son, respectivamente 350, 250 y 400. Formular el programa lineal.

SOLUCIÓN:

Gráficamente podemos visualizar de la siguiente manera.

x 1 = Número de unidades a producir del producto 1, que debera fabricar la empresa.

x 2 = Número de unidades a producir del producto 2, que debera fabricar la empresa.

x 3 = Número de unidades a producir del producto 3, que debera fabricar la empresa.

Maximizar: Z = 350x 1 + 250x 2 + 400x 3 ❶

x 1

x 2

Sujeto a:

0, 357 + 0, 286 ≤ 2766❷ ; x 1

12 + x 2

12 + x 3

9, 6 ≤ 642❸; 30 + x 1

15 + x 2

15 + x 3

12 ≤ 416❹

{

x 1 ≤ 250❺; x 2 ≤ 1250❻; x 3 ≤ 1500❼; con: x 1 , x 2 , x 3 ❽ }

PROBLEMA#217 El propietario de AL-QUADOSH+ Restaurant desearía determinar cuál es la mejor forma de asignar un

presupuesto mensual de publicidad de $1000 dólares entre periódicos y la radio. La administración ha decidido que por

lo menos 25% del presupuesto debe gastarse en cada uno de estos dos tipos de medios de comunicación y que el

monto del dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe ser por lo menos el doble de los que se gaste en

publicidad en radio. Un asesor de mercadotecnia ha desarrollado un índice que mide la penetración en la audiencia por

dólar de publicidad en una escala de 0 al 100, donde valores más elevados del índice indican mayores penetraciones a la

audiencia. Si el valor del índice para publicidad en los periódicos locales es de 50, y para el anuncio de radio es de 80,

¿Cómo debería asignar la administración el presupuesto de publicidad, a fin de maximizar el valor de penetración total

en la audiencia? Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para determinar la manera en que la

administración debe asignar el presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la penetración total en la

audiencia.

SOLUCIÓN:

x 1 = Asignar presupuesto en periódico. x 2 = Asignar presupuesto en radio.

Maximizar: Z = 50x 1 + 80x 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 = 1000❷; x 1 ≥ 250❸; x 2 ≥ 250❹; x 1 ≥ 2x 2 ❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻

otra forma: x 1 + x 2 ≤ 1000❷; x 1 ≥ 0, 25(x 1 + x 2 )❸; x 2 ≥ 0, 25(x 1 + x 2 )❹; x 1 ≥ 2x 2 ❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻

{ Respueta: x 1 = 666, 67 ; x 2 = 333, 33 ; Max: Z = 60000 exposición a la audiencia. }

PROBLEMA#218 Un Banco tiene Bs 1000000 en fondos nuevos que debe asignar a préstamos hipotecarios, personales

y automotrices. Las tasas de interés anual para los tres tipos de préstamos son 7% para los hipotecarios, 12% para los

personales y 9% para automotrices. El comité de planeación del banco ha decidido que al menos 40% de los nuevos

fondos deben asignarse a préstamos hipotecarios. Además, el comité de planeación ha especificado que la cantidad

asignada a préstamos personales no puede exceder de 60% de la cantidad asignada a préstamos automotrices.

Formular un modelo de programación lineal que pueda usarse para determinar la cantidad de fondos que el banco

debería asignar a cada tipo de préstamo para maximizar el interés anual total para los nuevos fondos.

JULIO VARGAS HERBAS*95

x 1


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

SOLUCIÓN:

{

x 1 = Asignar fondo para hipotecarios. x 2 = Asignar fondo para personales.

x 3 = asignar fondos para los préstamos de automotrices.

Maximizar: Z = 0, 07x 1 + 0, 12x 2 + 0, 09x 3 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 = 1000000❷; x 1 ≥ 0, 40(x 1 + x 2 + x 3 )❸; x 2 ≤ 0, 60(x 3 )❹; ; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺

Respueta: x 1 = 400000; x 2 = 225000; x 3 = 375000; Max: Z = 88750 intrerés anual = 8, 875% }

PROBLEMA#219 YPFB Refinación produce dos clases de gasolina: regular y de alto octanaje. Ambas gasolinas se

producen mezclando dos tipos de petróleo crudo; aunque ambos tipos de petróleo contienen los dos ingredientes

importantes requeridos para producir ambas gasolinas, difieren en el porcentaje, al igual que en el costo por galón. Se

muestra el porcentaje de los ingredientes A y B en cada tipo de petróleo crudo y el costo por galón:

Petróleo Crudo Costo Ingrediente A Ingrediente B

1 $0,10 20% 60%

2 $0,15 50% 30%

Cada galón gasolina regular debe contener al menos 40% del ingrediente A, mientras cada galón de la de alto octanaje

puede contener cunado mucho 50% del ingrediente B. La demanda diaria de gasolina regular y de alto octanaje es

800000 y 500000 galones, respectivamente. ¿Cuántos galones de cada tipo de petróleo crudo deberían usarse en las dos

gasolinas para satisfacer la demanda diaria con un costo mínimo?

SOLUCIÓN:

x 11 = galones de crudo 1 usados para producir gasolina regular.

x 12 = galones de crudo 1 usados para producir gasolina de alto octanaje.

x 21 = galones de crudo 2 usados para producir gasolina regular.

x 22 = galones de crudo 2 usados para producir gasolina de alto octanaje.

Minimizar: Z = 0, 10x 11 + 0, 10x 12 + 0, 15x 21 + 0, 15x 22 ❶

Sujeto a: 0, 20x 11 + 0, 50x 21 ≥ 0, 40(x 11 + x 21 )❷; 0, 60x 12 + 0, 30x 22 ≥ 0, 50(x 12 + x 22 )❸

x 11 + x 21 ≥ 800000❹; x 12 + x 22 ≥ 500000❺; con: x 11 , x 12 , x 21 , x 22 ≥ 0❻

{ Respuesta: x 11 = 266667; x 12 = 333333; x 21 = 533333; x 22 = 166667; Costo = $165000}

PROBLEMA#220 La firma de bicicletas compañía. Va a fabricar modelos tantos para hombres como para mujeres de sus

nuevas bicicletas Fácil-Pedal de 10 velocidades, durante los siguientes dos meses. La compañía pretende elaborar un

programa de producción que indique cuantas bicicletas de cada modelo se deben fabricarse mensualmente. Los

pronósticos actuales de la demanda sugieren que se embarquen 150 modelos para hombre y 125 para mujer deben

enviarse durante el primer mes, y que se embarquen 200 modelos para hombre y 150 para mujer que deben enviarse

durante el segundo mes. En seguida se muestran otros datos adicionales:

Modelo

Costo de

Requerimiento de mano de obra (horas) Inventario

producción Manufactura Ensamblado

Actual

Para hombre $120 2,0 1,5 20

Para mujer $90 1,60 1,0 30

El mes anterior, la compañía utilizo un total de 1000 horas de mano de obra. Su política de relaciones laborales no

permite que el total de horas combinadas de mano de obra (Manufactura más ensamble) aumenten o disminuyan en más

de 100 horas de un mes a otro. Además, la compañía hace un cargo al inventario mensual con una tasa de 2% del costo

de producción basada en los niveles de inventario al final del mes. La firma le gustaría tener al menos 25 unidades de

cada modelo en los inventarios al final de los dos meses.

Establezca un programa de producción que minimice los costos de producción e inventarios y que satisfaga los

requisitos de suavización de mano de obra, la demanda y los inventarios. ¿Qué inventarios se deben mantener, y cuáles

son los requerimientos mensuales de mano de obra?

SOLUCIÓN:

x 11 = cantidad de modelos para hombre en el mes 1.

x 21 = cantidad de modelos para mujer en el mes 1.

x 12 = cantidad de modelos para hombre en el mes 2.

x 22 = cantidad de modelos para mujer en el mes 2.

s 11 = inventario de modelos para hombre al final del mes 1.

s 21 = inventario de modelos para mujer al final del mes 1.

s 12 = inventario de modelos para hombre al final del mes 2.

s 22 = inventario de modelos para mujer al final del mes 2.

Minimizar: Z = 120x 11 + 90x 21 + 120x 12 + 90x 22 + 120(0, 02)s 11 + 90(0, 02)s 21 + 120(0, 02)s 12 + 90(0, 02)s 22

Minimizar: Z = 120x 11 + 90x 21 + 120x 12 + 90x 22 + 2, 40s 11 + 1, 80s 21 + 2, 40s 12 + 1, 80s 22 ❶

Sujeto a: satisface la demanda; x 11 − s 11 = 150 − 20 ↔ x 11 − s 11 = 130❷; x 21 − s 21 = 125 − 30 ↔ x 21 − s 21 = 95❸

s 11 + x 12 − s 12 = 200❹; s 21 + x 22 − s 22 = 150❺; Requerimiento del inventario final: → s 12 ≥ 25❻; s 22 ≥ 25❼

Suavización de la mano de obra: 3, 5x 11 + 2, 6x 21 ≥ 1000 − 100 ↔ 3, 5x 11 + 2, 6x 21 ≥ 900❽

3, 5x 11 + 2, 6x 21 ≤ 1000 + 100 ↔ 3, 5x 11 + 2, 6x 21 ≤ 1100❾

3, 5x 11 + 2, 6x 21 − 3, 5x 12 − 2, 6x 22 ≤ 100❾; −3, 5x 11 − 2, 6x 21 + 3, 5x 12 + 2, 6x 22 ≤ 100❿

{

con: x 11 , x 21 , x 12 , x 22 , s 11 , s 21 , s 12 , s 22 ❶

Respuesta: x 11 = 193; x 21 = 95; x 12 = 162; x 22 = 175; s 11 = 63; s 21 = 0; s 12 = 25; s 22 = 25; Costo = 67156❶

Niveles de mano de obra: Previo 1000 horas; Mes1 922, 25 horas; Mes2 1022, 25 horas. }

JULIO VARGAS HERBAS*96


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#221 Una empresa produce un material especial con base de aceite que en la actualidad está escaso. Cuatro

clientes de la empresa ya han colocado pedidos que en conjunto exceden la capacidad combinada de las dos plantas

existentes y la administración enfrenta el problema de decidir cuántas unidades debería suministrar a cada cliente.

Como los cuatro clientes están en diferentes sectores, pueden cargarse diferentes precios, debido a las diversas

estructuras de asignación de precios de la industria. Sin embargo, costos de producción ligeramente diferentes en las

dos plantas y los costos de transporte variables entre las plantas y los clientes hacen inaceptable una estrategia de

“vender al mejor postor”. Después de considerar el precio, los costos de producción y los costos de transporte, la

empresa estableció la siguiente utilidad por unidad para cada alternativa planta-cliente.

PLANTAS CLIENTE CAPACIDAD DE LAS

D 1 D 2 D 3 D 4 PLANTAS(Unidades)

WARNES $32 $34 $32 $40 5000

PAILAS $34 $30 $28 $38 3000

Pedidos de los Clientes 2000 5000 3000 2000

¿Cuántas unidades deben producir cada planta para cada cliente si se desea maximizar las ganancias? ¿Cuáles

demandas de los clientes no se satisfarán? Muestre su modelo de Red y su formulación de programación lineal.

SOLUCIÓN:

Sumatoria de Oferta<=Sumatoria de Demanda 8000<=12000 debemos crear una planta ficticia y esa deberá producir

4000 unidades 12000<=12000.

x ij = Unidades de la planta i(i = warnes, pailon, ficticio), enviar al cliente j(j = D1, D2, D3, D4).

Maximizar: Z = 32x 11 + 34x 12 + 32x 13 + 40x 14 + 34x 21 + 30x 22 + 28x 23 + 38x 24 + 0x 31 + 0x 32 + 0x 33 + 0x 34 ❶

Sujeto a:

Restricciones de los clientes demanda:

Restricciones de Oferta:

x 11 + x 21 + x 31 = 2000❺

x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ≤ 5000❷

x 12 + x 22 + x 32 = 5000❻

x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 3000❸

x 13 + x 23 + x 33 = 3000❼

x 31 + x 32 + x 33 + x 34 ≤ 4000❹

x 14 + x 24 + x 34 = 2000❽

{

con: x ij ≥ 0 para toda i, j❾ }

PROBLEMA#222 JVH1979 es un despacho de contadores que tiene tres nuevos clientes a quienes se asignarán líderes

de proyecto. Con base en los diferentes antecedentes y experiencia de los líderes, las diversas asignaciones líder-cliente

difieren desde el punto de vista de los tiempos proyectados para completar los trabajos. Las asignaciones posibles y los

tiempos en días, estimados para terminar cada proyecto, son los siguientes:

LÍDER DEL PROYECTO

CLIENTE

A B C

LIA 10 16 32

ARIEL 14 22 40

JULIO 22 24 34

Elabore una representación de red de este problema, formule el problema como un programa lineal. ¿Cuál es el tiempo

total requerido?

SOLUCIÓN:

Podemos visualizar de la siguiente manera.

JULIO VARGAS HERBAS*97


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

x ij = Lideres de proyecto i(i = lia, ariel, julio), asignar al cliente j(j = A, B, C).

Minimizar: Z = 10x 11 + 16x 12 + 32x 13 + 14x 21 + 22x 22 + 40x 23 + 22x 31 + 24x 32 + 34x 33 ❶

Sujeto a:

Restricciones de Oferta:

x 11 + x 12 + x 13 ≤ 1❷

x 21 + x 22 + x 23 ≤ 1❸

Restricciones de los clientes demanda:

x 11 + x 21 + x 31 = 1❺

x 12 + x 22 + x 32 = 1❻

x 31 + x 32 + x 33 ≤ 1❹

x 13 + x 23 + x 33 = 1❼

{

con: x ij ≥ 0 para toda i, j❽ }

PROBLEMA#223 El sistema de distribución para Lía Vargas Claros consiste en tres plantas, dos almacenes y cuatro

clientes. Las capacidades de las plantas y los costos de embarque por unidad (en bolivianos) de cada planta a cada

almacén son los siguientes:

PLANTA ALMACÉN CAPACIDAD

1 2

1 4 7 450

2 8 5 600

3 5 6 380

La demanda de los clientes y los costos de embarque por unidad (bolivianos) desde cada almacén hasta cada cliente

son:

ALMACÉN

CLIENTE

1 2 3 4

1 6 4 8 4

2 3 6 7 7

DEMANDA 300 300 300 400

Elabore una representación de red de este problema, formule un modelo de programación lineal del problema, para

determinar el plan de embarque óptimo.

SOLUCIÓN:

Podemos visualizar de la siguiente manera.

JULIO VARGAS HERBAS*98


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

x ij = Unidades a embarcar desde las plantas i pasando por los almacenes y asi pueda llegar hasta los clientes j.

Minimizar: Z = 4x 14 + 7x 15 + 8x 24 + 5x 25 + 5x 34 + 6x 35 + 6x 46 + 4x 47 + 8x 48 + 4x 49 + 3x 56 + 6x 57 + 7x 58 + 7x 59 ❶

Sujeto a: x 14 + x 15 ≤ 450❷; x 24 + x 25 ≤ 600❸; x 34 + x 35 ≤ 380❹; −x 14 − x 24 − x 34 + x 46 + x 47 + x 48 + x 49 = 0❺

−x 15 − x 25 − x 35 + x 56 + x 57 + x 58 + x 59 = 0❻; x 46 + x 56 = 300❼; x 47 + x 57 = 300❽; x 48 + x 58 = 300❾; x 49 + x 59 = 400❿

{

con: x 14 , x 15 , x 24 , x 25 , x 34 , x 35 , x 46 , x 47 , x 48 , x 49 , x 56 , x 57 , x 58 , x 59 ≥ 0❶❶ }

PROBLEMA#224 Administración agrícola, Una empresa opera cuatro granjas de productividad comparable. Cada granja

tiene una cierta cantidad de acres útiles y un número de horas disponibles para plantar y atender los cultivos. Los datos

para la siguiente temporada se muestran en la tabla 1. La organización está pensando en sembrar tres; cultivos, que

difieren, según se muestra en la tabla 2.

Tabla 1 Tabla 2

Datos de área y trabajo por granja

Datos de área, trabajo y utilidad por cultivo

Horas de trabajo

Área Horas de labor Utilidad

Granja Área utilizable disponibles por

Máxima requerimiento esperada

mes

Cultivo

Al mes por por acre

1 500 1700

acre

2 900 3000 A 700 2 $500

3 300 900 B 800 4 $200

4 700 2200 C 300 3 $300

Por otra parte, el área total que puede ser destinada a cualquier cultivo particular está limitada por los requerimientos de

equipo de cultivo. Con el objeto de mantener, a grandes rasgos, cargas de trabajo uniformes entre las granjas, la política

de la administración es que el porcentaje del área aprovechada debe ser el mismo en cada granja. Sin embargo, se

puede cultivar cualquier combinación de las plantaciones en tanto se satisfagan todas las restricciones (incluyendo el

requerimiento de carga de trabajo uniforme). La administración desea saber cuántas acres de cada cultivo deben

sembrarse en las respectivas granjas con el objeto de maximizar las utilidades, Formule esto como un modelo de

programación lineal.

SOLUCIÓN:

x ij = Acres de la granja i(i = 1, 2, 3, 4), destinados al cultivo j(A, B, C).

Maximizar: Z = 500(x 1A + x 2A + x 3A + x 4A ) + 200(x 1B + x 2B + x 3B + x 4B ) + 300(x 1C + x 2C + x 3C + x 4C )❶

Sujeto a:

Disponibilidad de áreas

x 1A + x 1B + x 1C ≤ 500❷

x 2A + x 2B + x 2C ≤ 900❸

x 3A + x 3B + x 3C ≤ 300❹

x 4A + x 4B + x 4C ≤ 700❺

Disponibilidad de cultivod

x 1A + x 2A + x 3A + x 4A ≤ 700❻

x 1B + x 2B + x 3B + x 4B ≤ 800❼

x 1C + x 2C + x 3C + x 4C ≤ 300❽

Disponibilidad de area aprovechada

2x 1A + 4x 1B + 3x 1C ≤ 1700❾

2x 2A + 4x 2B + 3x 2C ≤ 3000❿

2x 3A + 4x 3B + 3x 3C ≤ 900❶❶

2x 4A + 4x 4B + 3x 4C ≤ 2200❶❷

Restriccion de areas aprovechadas: x 1A + x 1B + x 1C

= x 2A + x 2B + x 2C x 1A + x 1B + x 1C

❶❸;

= x 3A + x 3B + x 3C

❶❹

500

900

500

300

x 1A + x 1B + x 1C

{

= x 4A + x 4B + x 4C

❶❺; con: x

500

700

ij ≥ 0∀ij❶❻

}

PROBLEMA#225 Un problema de mezclas .Un viñedo desea mezclar cuatro cosechas diferentes para producir tres tipos

de vino mezclado. Se establecen restricciones al porcentaje, de la composición de las mezclas (véase la siguiente tabla).

MEZCLA VENDIMIA Precio de venta

1 2 3 4

por galón

A Por lo menos 75% Por lo menos 75% * Cuando más 50% $70

B Por lo menos 35% Por lo menos 35% * * $40

C * * * Cuando más 40% $30

Oferta(galones) 180 250 200 400

*señala que no existe restricciones.

Se puede vender cualquier cantidad de la mezcla B y de la mezcla C pero a la mezcla A se le considera una mezcla de

alta calidad y por consiguiente no se venden más de 50 galones. Elabore un modelo de PL. Que hará el mejor uso de las

cosechas con que se cuenta.

SOLUCIÓN:

x ij = galones de la mezcla i(i = A, B, C), provenientes de la cosecha j(1, 2, 3, 4).

Maximizar: Z = 70(x A1 + x A2 + x A3 + x A4 ) + 40(x B1 + x B2 + x B3 + x B4 ) + 30(x C1 + x C2 + x C3 + x C4 )❶

Sujeto a: Restricción de la venta: x A1 + x A2 + x A3 + x A4 ≤ 50❷

x A1 + x B1 + x C1 ≤ 180❸; x A2 + x B2 + x C2 ≤ 250❹; x A3 + x B3 + x C3 ≤ 200❺; x A4 + x B4 + x C4 ≤ 400❻

x A1 + x A2 ≥ 0, 75(x A1 + x A2 + x A3 + x A4 )❼; x A4 ≤ 0, 50(x A1 + x A2 + x A3 + x A4 )❽

{ x B1 + x B2 ≥ 0, 35(x B1 + x B2 + x B3 + x B4 )❾; x C4 ≤ 0, 40(x C1 + x C2 + x C3 + x C4 )❿; con: x ij ≥ 0∀ij❶❶ }

JULIO VARGAS HERBAS*99


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#226 Un problema de programación. Un cierto restaurante opera 7 días a la semana. A las camareras se les

contrata para trabajar 6 horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5 días

consecutivos y después tener 2 días consecutivos de descanso. Cada camarera recibe el mismo sueldo semanal. En la

tabla, se presenta las necesidades de contratación de las camareras.

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Número mínimo de horas de 150 200 400 300 700 800 300

camareras necesarias

Supóngase que este ciclo de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el hecho que el número de

camareras contratadas tiene que ser un número entero. El gerente desea encontrar un programa de empleo que

satisfaga estas necesidades a un costo mínimo. Formule este problema como un programa lineal.

SOLUCIÓN:

x j = Número de camareras que se necesitan en el día j(j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 = L, M, M, J, V, S, D)

Sujeto a: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 150

6

Minimicese: Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ❶

❷; x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 200

6

JULIO VARGAS HERBAS*100

❸; x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 ≥ 400

6

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 ≥ 300

6

❺; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≥ 700

6

❻; x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ≥ 800

6

{

x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 300

6

❽; con: x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0❾

}

PROBLEMA#227 Un problema de producción. En una planta se puede fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C, D)

en cualquier combinación. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en la

tabla siguiente.

Maquinas

Demanda

Producto

máxima

1 2 3 4

A 10 5 3 6 100

B 6 3 8 4 400

C 5 4 3 3 500

D 2 4 2 1 150

Cada máquina está disponible 60 horas a la semana. Los productos A, B, C y D pueden venderse a $8, $6, $5, $4 por

libra, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $1 por hora para

las máquinas 3 y 4. El costo del material para cada libra del producto A es de $3. El costo del material es de $1 para cada

libra de los productos B, C y D. Formulen un modelo de PL. Que maximice la utilidad para este problema.

SOLUCIÓN:

x j = Cantidad de libras a producir del producto j(j = A, B, C, D)

Maximizar: Z = (Ingreso) − (Costo del material) − (Costo variable)

Maximizar: Z = (8x 1 + 6x 2 + 5x 3 + 4x 4 ) − (3x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) − [ 3 60 (10x 1 + 6x 2 + 5x 3 + 2x 4 )] −

[ 3 60 (5x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 4x 4 )] − [ 1 60 (3x 1 + 8x 2 + 3x 3 + 2x 4 )] − [ 1 60 (6x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 1x 4 )]

Maximizar: Z = (5x 1 + 5x 2 + 4x 3 + 3x 4 ) − [ 3 60 (15x 1 + 9x 2 + 9x 3 + 6x 4 )] − [ 1 60 (9x 1 + 12x 2 + 6x 3 + 3x 4 )]

Maximizar: Z = 41

10 x 1 + 87

20 x 2 + 69

20 x 3 + 53

20 x 4❶

Sujeto a: 10x 1 + 6x 2 + 5x 3 + 2x 4 ≤ 480❷; 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 4x 4 ≤ 480❸; 3x 1 + 8x 2 + 3x 3 + 2x 4 ≤ 480❹

6x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 1x 4 ≤ 480❺; x 1 ≤ 100❻; x 2 ≤ 400❼; x 3 ≤ 500❽; x 4 ≤ 150❾; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❿

{

}

PROBLEMA#228 El Departamento de control de calidad de una empresa que fabrica autopartes, desea contratar

personal tanto sénior como júnior, para las inspecciones de sus productos. El personal sénior recibe por su jomada de

8hrs., $188 y realiza su labor a una tasa promedio de 30 inspecciones por hora, con un rendimiento del 99%. En cambio

el personal júnior, recibe $150 por su jornada, realizando 25 inspecciones por hora, con un rendimiento del 95%. La

demanda diaria de inspecciones es de 1600 unidades y el personal sénior a contratar, no debe de ser mayor que el

personal júnior. Si las ensambladoras aplican una multa de $5 por cada unidad defectuosa. ¿Cuánto de personal sénior

y júnior, se debe contratar?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de personal Senior. x 2 = Número de personal Junior.

{ Minimizar: Z = Salario + Multa = 188x 1 + 150x 2 + 5[(30 ∗ 8 ∗ 0, 01)x 1 + (25 ∗ 8 ∗ 0. 05)x 2 ] = 200x 1 + 200x 2 ❶}

Sujeto a: (30)(8)x 1 + (25)(8)x 2 ≥ 1600 ↔ 240x 1 + 200x 2 ≥ 1600❷; x 1 ≤ x 2 ❸; con: x 1 , x 2 ≥ 0❹

PROBLEMA#229 Una compañía de transporte dispone de $400000 para comprar un nuevo equipo y está considerando

tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10 toneladas y se espera que promedie 35 millas por hora. Su

costo es de $8000. El vehículo B tiene una capacidad de 20 toneladas y se espera que promedie 30 millas por hora. Su

costo es de $ 13000. El vehículo C es un modelo modificado de B, tiene un sitio para que duerma un chofer, lo cual


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

reduce su capacidad a 18 toneladas y eleva su costo a $ 15000. El vehículo A requiere una tripulación de un hombre y si

se opera durante tres turnos por día, puede trabajar un promedio de 18 horas por día. Los vehículos B y C requieren una

tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B se puede trabajar 18 horas por día en tres turnos, C puede

promediar 21 horas diarias. La compañía, que dispone de 150 choferes al día, tendría muchas dificultades para obtener

tripulaciones adicionales. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículos no puede

exceder de 30. Formule un modelo de PL para determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse si la

compañía desea hacer máxima su capacidad en toneladas millas por día.

SOLUCIÓN:

x 1 = la cantidad de vehículos a comprar del tipo A.

x 2 = la cantidad de vehículos a comprar del tipo B.

x 3 = la cantidad de vehículos a comprar del tipo C.

Max: Z = (10)(35)(18)x 1 + (20)(30)(18)x 2 + (18)(30)(21)x 3 = 6300x 1 + 10800x 2 + 11340x 3 ❶

{ Sujeto a: 3x 1 + 6x 2 + 6x 3 ≤ 150❷; x 1 + x 2 + x 3 ≤ 30❸; 8000x 1 + 13000x 2 + 15000x 3 ≤ 400000❹; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❺}

PROBLEMA#230 Un fabricante tiene cuatro artículos, A, B, C y D que deben ser producidos este mes. Cada artículo

puede ser manejado en cualquiera de los tres talleres. El tiempo requerido para cada artículo en cada taller, el costo por

hora en cada uno de ellos y el número de horas disponibles este mes se dan en la tabla.

También es permisible repartir cada artículo entre los talleres en cualquier proporción. Por ejemplo, se puede hacer un

cuarto del artículo A en 8 horas en el taller 1 y un tercio del artículo C en 19 horas en el taller 3. El fabricante desea

determinar cuántas horas de cada artículo deben manejarse en cada taller para minimizar el costo de terminar los cuatro

artículos, identifique las variables de decisión y formule un modelo de programación lineal para este problema.

SOLUCIÓN:

x ij = Horas de producción en el taller i al artículo j(i = 1, 2, 3 ; j = A, B, C, D).

Minimizar: Z = 89(x 1A + x 1B + x 1C + x 1D ) + 81(x 2A + x 2B + x 2C + x 2D ) + 84(x 3A + x 3B + x 3C + x 3D )❶

Sujeto a: x 1A + x 1B + x 1C + x 1D ≤ 160❷; x 2A + x 2B + x 2C + x 2D ≤ 160❸; x 3A + x 3B + x 3C + x 3D ≤ 160❹

x 1A

{ 32 + x 2A

39 + x 3A

46 = 1❺; x 1B

151 + x 2B

147 + x 3B

155 = 1❻; x 1C

72 + x 2C

61 + x 3C

57 = 1❼; x 1D

118 + x 2D

126 + x 3D

121 = 1❽; con: x ij ≥ 0∀ij❾ }

PROBLEMA#231 Planeación financiera. Un inversionista tiene dos actividades que producen dinero, denominadas Alfa y Beta,

disponibles al inicio de cada uno de los cuatro años siguientes. Cada dólar que se invierte en Alfa al inicio de un año da un

rendimiento dos años después (a tiempo para su inversión inmediata). Cada dólar invertido en Beta al inicio de un año produce

un rendimiento tres años después. Al inicio del segundo año se dispondrá de una tercera posibilidad de inversión: proyectos

de construcción. Cada dólar invertido en la construcción produce un rendimiento un año después. (También se dispondrá de la

construcción al inicio del tercero y cuarto año). El inversionista comienza con $50000 al inicio del primer año y quiere

maximizar el importe total del dinero disponible al final del cuarto año. En la tabla se presentan los rendimientos sobre las

inversiones.

ACTIVIDAD

ALFA BETA CONSTRUCCION

RENDIMIENTO POR DÓLAR INVERTIDO $1,60 $2,00 $1,30

(a) identifique las variables de decisión y formule un modelo de PL. SUGERENCIA: Supóngase que M, es el dinero

disponible al inicio del año i y Maximice M, sujeto a las restricciones apropiadas. (b)¿Puede determinar la solución

mediante el análisis directo?

SOLUCIÓN:

EL estado de dinero disponible se detalla en la siguiente tabla:

i Mi Inversión

1 50000 X 1A ,X 1B

2 50000-X 1A -X 1B X 2A ,X 2B ,X 2C

3 2,6X 1A +2,3X 2C X 3A ,X 3C

4 2,6X 2A +2,3X 3C +3X 1B X 4C

5 2,6X 3A +2,3X 4C +3X 2B

x ij = Cantidad de dinero asignada al principio del año i al proyecto j(A, B, C).

Maximizar: Z = 2, 6x 3A + 3x 2B + 2, 3x 4C ❶

Sujeto a: x 1A + x 1B + x 2A + x 2B + x 2C ≤ 50000❷; x 3A + x 3C ≤ 2, 6x 1A + 2, 3x 2C ❸

{

x 4C ≤ 2, 6x 2A + 2, 3x 3C + 3x 1B ❹; con: x ij ≥ 0∀ij❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*101


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#232 Un problema de programación. Mientras opera fuera de Bolivia, el portaaviones AL-QUADOSH+ está

en maniobras de lunes a viernes y en el puerto durante el fin de semana. Para la próxima semana, el capitán le gustaría

conceder licencia de bajar a tierra a todos los marineros que sea posible, de un total de 2000. Sin embargo, debe realizar

las maniobras de la semana y cumplir con los reglamentos o normas de la Marina. Estos son:

(a)Los marineros trabajan ya sea el tumo A.M. (de la medianoche al mediodía) o el turno P.M. (de mediodía a

medianoche) en cualquier día laborable, y durante una semana deben permanecer en el mismo turno durante los días

laborales. (b)Cada marino debe estar en servicio durante exactamente 4 días, aunque no haya suficiente "trabajo real"

durante algunos días. El número de marineros requeridos para cada turno diario se muestra en la tabla.

LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES

A.M. 850 1000 400 800 650

P.M. 750 750 900 300 700

Formule este problema como modelo de programación lineal, defina las variables de modo que sea obvio cómo

implementar la solución si uno fuera a resolver el problema lineal que Ud. sugiera (es decir, como si uno supiera cuántos

marineros trabajan cada día).

SOLUCIÓN:

LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES

1 X 1 X 1 X 1 X 1

2 X 2 X 2 X 2 X 2

3 X 3 X 3 X 3 X 3

4 X 4 X 4 X 4 X 4

X i = Cantidad de marineros en el turno i; en A. M.

Y i = Cantidad de marineros en el turno i; en P. M.

Max: Z = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 ❶

Sujeto a: X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 ≤ 2000❷; X 1 + X 2 + X 3 ≥ 850❸; X 1 + X 3 + X 4 ≥ 1000❹

X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ≥ 400❺; X 1 + X 2 + X 4 ≥ 800❻; X 2 + X 3 + X 4 ≥ 650❼; Y 1 + Y 2 + Y 3 ≥ 750❽

Y 1 + Y 3 + Y 4 ≥ 750❾; Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 ≥ 900❿; Y 1 + Y 2 + Y 4 ≥ 300❶❶; Y 2 + Y 3 + Y 4 ≥ 700❶❷

{

con: X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , Y 1 , Y 2 , Y 3 , Y 4 ≥ 0❶❸ }

PROBLEMA#233 Cierta Corporación tiene tres plantas sucursales con capacidad de producción en exceso. Las tres

plantas tienen los elementos necesarios como para producir determinado producto y el gerente ha decidido usar parte

de la capacidad de producción en exceso para tal fin. Este producto puede hacerse en tres tamaños grande, mediano y

pequeño que dan como resultado una utilidad unitaria neta de $140, $120 y $100, respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3

tienen la capacidad de mano de obra y equipo en exceso como para producir 750, 900 y 450 unidades por día de este

producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños que se aplique. Sin embargo, el espacio

de almacenamiento disponible para productos en proceso también impone una limitación sobre las tasas de producción.

Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio de almacenamiento disponible para productos

en proceso, para un día de producción de este artículo. Cada unidad de los tamaños grande, mediano y pequeño

producida por día requiere de 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que

pueden venderse al día 900, 1200 y 750 unidades de los tamaños grandes, medio y pequeño. Con el fin de mantener una

carga uniforme de trabajo entre las plantas y conservar cierta flexibilidad, el gerente ha decidido que la producción

adicional asignada a cada planta debe usar el mismo porcentaje de la capacidad de mano de obra y equipo en exceso. El

gerente desea saber cuánto debe producirse de cada uno de los tamaños en cada una de las plantas para maximizar la

utilidad.

SOLUCIÓN:

x ij = A la producción en la planta i(i = 1, 2, 3), del producto j(j = grande, mediano, pequeño).

Maximizar: Z = 140(x 11 + x 21 + x 31 ) + 120(x 12 + x 22 + x 32 ) + 100(x 13 + x 23 + x 33 )❶

Sujeto a: Capacidad de las plantas → x 11 + x 12 + x 13 ≤ 750❷; x 21 + x 22 + x 23 ≤ 900❸; x 31 + x 32 + x 33 ≤ 450❹

Espacio de alm. → 20x 11 + 15x 12 + 12x 13 ≤ 13000❺; 20x 21 + 15x 22 + 12x 23 ≤ 12000❻; 20x 31 + 15x 32 + 12x 33 ≤ 5000❼

Condicion de mercado → x 11 + x 21 + x 31 ≤ 900❽; x 12 + x 22 + x 32 ≤ 1200❾; x 13 + x 23 + x 33 ≤ 750❿

{

Condicion de la gerencia → ( x 11 + x 12 + x 13

= x 21 + x 22 + x 23

= x 31 + x 32 + x 33

) ❶❶; x

750

900

450

ij ≥ 0 ∀i, ∀j❶❷

}

PROBLEMA#234 Una familia de granjeros posee 100 hectáreas de tierra y tiene $30000 en fondos disponibles para

inversión. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de

invierno (de mediados de septiembre a mediados de mayo), 4000 horas-hombre durante el verano. Si no se necesitan

cualesquiera de estas horas-hombre, los miembros más jóvenes de la familia las usarán para trabajar en una granja

vecina por $4/hora, durante los meses de invierno, y $4,5/hora, durante el verano. El ingreso de efectivo puede obtenerse

a partir de tres cultivos y dos tipos de animales: vacas lecheras y gallinas ponedoras. No se necesita invertir para los

cultivos. Sin embargo, cada vaca requerirá un desembolso de $900 y cada gallina requerirá de $7. Cada vaca requerirá

1,5 hectáreas de tierra, 100 horas-hombre de trabajo durante los meses de invierno, y otras 50 horas-hombre durante el

verano. Cada vaca producirá un ingreso anual neto en efectivo de $800 para la familia. Los valores correspondientes

para las gallinas son: nada de tierra, 0,6 horas-hombre durante el invierno, 0,3 horas-hombre durante el verano y un

ingreso anual neto en efectivo de $5. El gallinero puede acomodar un máximo de 3000 gallinas y el tamaño del granero

JULIO VARGAS HERBAS*102


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

limita el rebaño a un máximo de 32 vacas. Las horas-hombre y los ingresos estimados por hectárea plantada en cada

uno de los tres cultivos son:

Frijol de Soya Maíz Avena

Hora-Hombre en invierno 20 35 10

Horas-Hombre en verano 50 75 40

Ingreso anual neto en efectivo($) 375 550 250

La familia desea saber cuántos hectáreas deben plantarse en cada uno de los cultivos y cuántas vacas y gallinas deben

tener para maximizar su ingreso neto de efectivo. Plantéese el modelo de programación lineal.

SOLUCIÓN:

x 4 = Número de Vacas a criar.

x 5 = Número de Gallinas a criar.

x 6 = horas − Hombre ociosasen invierno.

x 7 = horas − Hombre ociosasen verano.

Maximizar: Z = 375x 1 + 550x 2 + 250x 3 + 800x 4 + 5x 5 + 4x 6 + 4, 5x 7 ❶

x 1 = Hectárias de tierra asignados a frijol de soya.

x 2 = Hectárias de tierra asignados a maíz.

x 3 = Hectárias de tierra asignados a avena.

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 + 1, 5x 4 ≤ 100❷; 900x 4 + 7x 5 ≤ 30000❸; x 5 ≤ 3000❹; x 4 ≤ 32❺

20x 1 + 35x 2 + 10x 3 + 100x 4 + 0, 6x 5 + x 6 = 3500❻; 50x 1 + 75x 2 + 40x 3 + 50x 4 + 0, 3x 5 + x 7 = 4000❼

{

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0❽ }

PROBLEMA#235 La fábrica de muebles Tablitas (FMT) recientemente notificó que en su planta de Montero hubo exceso

de unidades de materia prima, que podían ser usadas para producir sillas Cruceñas y Cambas. Estas sillas se pueden

vender a almacenes de muebles a razón de $250 y $200 respectivamente. El número esperado de unidades de materia

prima disponibles para cada mes y el número de unidades de cada material requerido para producir cada tipo de silla se

da en la siguiente tabla:

Materia Prima Unidades de material necesario para producir una

silla

Unidades de material disponibles por

Cruceña

Camba

mes

Madera 2 1 40

Tornillos de acero 5 6 30

Vinilo 3 4 20

Cada silla Cruceñas requiere 5 horas de mano de obra y cada silla Camba requiere 4 horas de mano de obra. El

promedio de costos de la mano de obra para la planta de Montero es estimado en $5 por hora. El costo unitario original

de cada material está dado en la siguiente tabla de costos.

Materia prima Madera Tornillos de acero Vinilo

Costo Unitario $50 $2 $25

¿Podría la FMT usar el exceso de materia prima para producir sillas? Si así fuera, ¿Cuánta de cada una? La otra

alternativa viable para la FMT, es vender como desechos el exceso de materiales recibiendo por éstos solamente 40% de

su costo original. Construya el modelo de programación lineal para la FMT.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de sillas cruceñas que deberá fabricar la mueblería las tablitas.

x 2 = Cantidad de sillas cambas que deberá fabricar la mueblería las tablitas.

Maximizar: Z = {250 − [(50)(2) + (2)(5) + (25)(3) + (5)(5)]}x 1 + {200 − [(50)(1) + (2)(6) + (25)(4) + (4)(5)]}x 2

Maximizar: Z = (250 − 210)x 1 + (200 − 182)x 2 = 40x 1 + 18x 2 + 50(0, 40)S 1 + 2(0, 40)S 2 + 25(0, 40)S 3

Maximizar: Z = 40x 1 + 18x 2 + 20S 1 + 0, 80S 2 + 10S 3 ❶

Sujeto a: 2x 1 + x 2 + S 1 = 40❷; 5x 1 + 6x 2 + S 2 = 30❸; 3x 1 + 4x 2 + S 3 = 20❹; con: x 1 , x 2 , S 1 , S 2 , S 3 ≥ 0❺

{

}

PROBLEMA#236 Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete

pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200

libras. ¿Los tamaños 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $20, $8 y $12. Además:

a. El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.

b. El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1,6 libras.

c. Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10 por ciento del paquete total.

¿Cuál será la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo?

SOLUCIÓN:

x 1 = el peso de las unidades de tamaño 1. x 2 = el peso de las unidades de tamaño 2.

x 3 = el peso de las unidades de tamaño 3.

Minimicese: Z = 20x 1 + 8x 2 + 12x 3

200

= 0, 1x 1 + 0, 04x 2 + 0, 06x 3 = 1 10 x 1 + 1 25 x 2 + 3 50 x 3❶

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 ≥ 2❷; x 1 + x 3 ≥ x 1 + x 2 + x 3

❸; x

2

1 + x 2 ≤ 1, 6❹; x 1 ≥ 0, 10( x 1 + x 2 + x 3 )❺

{

x 2 ≥ 0, 10( x 1 + x 2 + x 3 ); x 3 ≥ 0, 10( x 1 + x 2 + x 3 ) con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*103


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#237 El señor Juliusmodel es el organizador del portafolio de la Nacional Financiera Servicios (NFS). La NFS

comúnmente invierte en grandes proyectos de construcción en la región sur de Bolivia. La próxima semana Juliusmodel

tiene que presentar una decisión sobre tres de tales proyectos, para lo cual ha calculado el valor presente neto, al costo

actual del capital de la NFS, de cada uno de los tres proyectos (se muestra en la siguiente tabla).

Nombre del proyecto Número de proyecto Valor Presente Neto

Casas propias 1 $120000

Casas Sociales 2 $130000

Casas Comunitarias 3 $170000

Los flujos de caja para cada proyecto dentro de los próximos 5 años, están dados en la siguiente tabla.

Número del proyecto Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 (b)

1 -10000000 +2000000 (a) +3000000 +3000000 +3000000

2 -10000000 +4000000 +2000000 -2000000 +2000000

3 0 0 -10000000 +10000000 +10000000

(a) Un signo más indica una entrada a caja y un signo menos indica una salida de la caja.

(b) Todos los fondos están disponibles en la compañía después del año del horizonte de planeación financiera.

Juliusmodel espera tener los siguientes fondos de la NFS para invertir durante los próximos 5 años:

FONDOS DE OTRAS FUENTES

AÑO

CANTIDAD DE LOS FONDOS

1 $20000000

2 $5000000

3 $4000000

4 $4000000

5 $4000000

Asuma que NFS puede tomar lo producido por cada proyecto, y también que los fondos no invertidos en el proyecto

pueden ser invertidos en el banco captando un interés del 8,5%. Usando la programación lineal, determine un plan

óptimo de inversión para Juliusmodel.

SOLUCIÓN:

x i = la decisión de aceptar o no(1 ó 0)el proyecto i.

Max: Z = 0, 120x 1 + 0, 130x 2 + 0, 170x 3 + 0, 665S 5 ❶

Sujeto a: 10x 1 + 10x 2 + S 1 = 20❷; S 2 = 5 + 1, 085S 1 ❸; 10x 3 + S 3 = 4 + 1, 085S 2 ❹; 2x 2 + S 4 = 4 + 1, 085S 3 ❺

S 5 = 4 + 1, 085S 4 ❻; (con: x i = 1 ó 0, i = 1, 2, 3 y S j ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, 5)❼

Nota: El valor de S

{

5 se obtiene así:

1, 085 5 = 0, 665S 5

}

PROBLEMA#238 Se desea enviar 6 unidades desde el punto 1 al punto 5. En la gráfica adjunta, se detallan las rutas, los costos

unitarios y las capacidades:

S 5

Así por ejemplo para la ruta (1,2), cada unidad enviada cuesta 2 dólares y su capacidad es de 4 unidades. Se desea

determinar el mejor esquema de envío usando para ello un modelo de PL.

SOLUCIÓN:

x ij = la cantidad de unidades que se envía del nodo i al nodo j.

Minimizar: Z = 2x 12 + 5x 13 + 5x 23 + 4x 24 + 6x 34 + 5x 35 + 3x 45 ❶

Sujeto a: Unidades que ingresan = Unidades que salen → x 12 + x 13 = 6❷; x 12 = x 23 + x 24 ❸;

x 13 + x 23 = x 34 + x 35 ❹; x 24 + x 34 = x 45 ❺; x 35 + x 45 = 6❻

Unidades entre los nodos ≤ Capacidad → 0 ≤ x 12 ≤ 4❼; 0 ≤ x 13 ≤ 6❽; 0 ≤ x 23 ≤ 4❾; 0 ≤ x 24 ≤ 4❿;

{

0 ≤ x 34 ≤ 8❶❶; 0 ≤ x 35 ≤ 4❶❷; 0 ≤ x 45 ≤ 6❶❸; con: x ij ≥ 0❶❹ }

PROBLEMA#239 Dentro del plan de expansión de una Cía. textil, figura la contratación de nuevo personal con el fin de

aumentar el número de trabajadores de 90 a 170 durante el presente año. El sindicato de trabajadores al conocer los

planes del Depto. de personal, ha presionado ante los ejecutivos de la empresa con el fin de que sean sus familiares los

favorecidos con dichas vacantes. Se aceptó el pedido, pero por experiencia se sabe que estadísticamente el 20% de los

que ingresan al plan de entrenamiento (dura 3 meses) no llegan a culminar su capacitación. Los requerimientos de

personal para los cuatro trimestres se muestran en la siguiente tabla:

JULIO VARGAS HERBAS*104


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

Trimestre Personal

1

2

3

4

70

120

150

160

Se sabe que los mismos trabajadores se encargarán del entrenamiento del nuevo personal, siendo 10 el número de

personas que se asignarán a cada trabajador que actúa de instructor. El salario de un trabajador es de 400 dólares, el del

plan de entrenamiento, mientras duren los 3 meses, es de 300 dólares y el del trabajador en producción así como el del

instructor, el 25% adicional (por riesgo) de trabajador que no está produciendo. Formule un modelo de PL con el fin de

cumplir los planes de expansión de la empresa, y que a la vez optimice los costos de producción y de entrenamiento. Se

observa que un trabajador puede estar en los siguientes estados: de producción, de ocio y como instructor.

SOLUCIÓN:

x i1 = la cantidad de trabajadores ociosos en i(i = 1, 2, 3, 4); x i2 = la cantidad de trabajadores instructores en i.

Min: Z = 400(x 11 + x 21 + x 31 + x 41 ) + 300(10x 12 + 10x 22 + 10x 32 + 10x 42 ) + 500(x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ) +

500(70 + 120 + 150 + 160)❶

Sujeto a: En Producción + Ociosos + Instructores = Fuerza laboral actual → Personal + x i1 + x i2 = cantidad actual

70 + x 11 + x 12 = 90❷; 120 + x 21 + x 22 = 90 + 8x 12 ❸; 150 + x 31 + x 32 = 90 + 8x 12 + 8x 22 ❹

160 + x 41 + x 42 = 90 + 8x 12 + 8x 22 + 8x 32 ❺; 170 = 90 + 8(x 12 + x 22 + x 32 + x 42 )❻

x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 10❼ Nota: La ecuación seis se elimina cuando reemplazo con la ecuacion siete.

{

con: x i1 , x i2 ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4 con todas las variables no negativas. }

PROBLEMA#240 Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles: A y B. El combustible A

tiene 25% de gasolina de grado 1, 25% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. El combustible B tiene 50% de gasolina

de grado 2 y 50% de grado 3. Disponible para producción hay 500 galones /hora de grado 1 y 200 galones / hora de los

grados 2 y 3. Los costos son de 30 ctvs. ($0,30) por galón de grado 1, $0,60 por galón de grado 2 y $0,50 por galón de

grado 3. La clase A puede venderse a $0,75 por galón, mientras que la clase B alcanza $0,90/galón. ¿Qué cantidad puede

producirse de cada combustible?

SOLUCIÓN:

Podemos visualizar el problema en el siguiente cuadro.

Combustible

Disponible(galones/hora)

Gasolina

A

B

Costo ($/galón)

Grado 1 0,25 0,00 0,30 500

Grado 2 0,25 0,50 0,60 200

Grado 3 0,50 0,50 0,50 200

Precio de venta ($/galos) 0,75 0,90

x 1 = la cantidad de galones a producirse del combustible A.

x 2 = la cantidad de galones a producirse del combustible B.

Maximizar: Z = 0, 75x 1 + 0, 90x 2 − {[(0, 30)(0, 25)x 1 ] + [0, 60(0, 25x 1 + 0, 50x 2 )] + [0, 50(0, 50x 1 + 0, 50x 2 )]}

Maximizar: Z = 0, 75x 1 + 0, 90x 2 − 0, 475x 1 − 0, 55x 2 = 0, 275x 1 + 0, 35x 2 ❶

{ Sujeto a ∶ 0, 25x 1 ≤ 500❷; 0, 25x 1 + 0, 50x 2 ≤ 200❸; 0, 50x 1 + 0, 50x 2 ≤ 200❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#241 Un agente vendedor distribuye dos productos y no espera vender más de 10 unidades/mes del

producto 1 ó 39 unidades/mes del producto 2. Para evitar una multa debe vender al menos 24 unidades del producto.

Recibe una comisión de 10% sobre todas las ventas y debe pagar sus propios gastos, que se estiman en $1,50 por hora

gastada en hacer visitas. Trabaja sólo una parte del tiempo hasta un máximo de 80 horas/mes. El producto 1 se vende en

$150 por unidad y requiere un promedio de 1,5 horas por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es 0,5. El

producto 2 se vende en $70 por unidad y requiere un promedio de 30 minutos por cada visita; la probabilidad de hacer

una venta es 0,6. ¿Cuántas visitas mensuales debe hacer a los clientes de cada producto? Recuerde: En un problema de

Programación Lineal (PL) es necesario identificar las variables adecuadas; así, para este problema, las variables de

decisión X i , no son las ventas, sino el número de visitas mensuales que deben hacerse a los clientes de cada producto.

SOLUCIÓN:

El problema podemos visualizar en el siguiente cuadro.

PRODUCTO Número de visitas Horas gastadas Unidades vendidas Ingresos por ventas

1 X 1 1,5X 1 0,50X 1 0,50X 1 (150)

2 X 2 0,50X 2 0,60X 2 0,60X 2 (70)

x 1 = El número de visitas mensuales a los clientes del producto 1.

x 2 = El número de visitas mensuales a los clientes del producto 2.

Maximizar: Z = Comision por ventas − Gastos

Maximizar: Z = 0, 10[(150 ∗ 0, 50)x 1 + (70 ∗ 0, 60)x 2 ] − 1, 50(1, 50x 1 + 0, 50x 2 ) = 5, 25x 1 + 3, 45x 2 = 21

4 x 1 + 69

20 x 2❶

{

Sujeto a ∶ 0, 50x 1

+ 0, 60x 2

≤ 1 ↔ 39x

10 39

1 + 12x 2 ≤ 780❷; 0, 60x 2 ≥ 24 ↔ x 2 ≥ 40❸; 1, 50x 1 + 0, 50x 2 ≤ 80❹;

con: x 1 , x 2 ≥ 0❺

JULIO VARGAS HERBAS*105

}


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#242 Tengo ahora 100 dólares. Durante los próximos tres años, hay las siguientes inversiones:

Inversión A: Cada dólar invertido ahora produce 0,10 de dólar dentro de un año y 1,30 dólares dentro de tres años.

Inversión B: Cada dólar invertido ahora produce 0,20 de dólar dentro de un año y 1,10 dólares dentro de tres años.

Inversión C: Cada dólar invertido dentro de un año producirá 1,50 dólares dentro de tres años.

Cada año se puede colocar el dinero no invertido en fondos del mercado de dinero, lo que produce 6% de interés anual.

Se puede colocar a lo más 50 dólares en cada una de las inversiones A, B y C. formule un modelo de programación lineal

para maximizar el efectivo en caja dentro de tres años.

SOLUCIÓN:

A, B, C = dólares invertidos en A, B, C. d 0 = efectivo sobrante en tiempo 0.

d 1 = efectivo sobrante en tiempo 1. d 2 = efectivo sobrante en tiempo 2.

Maximizar: Z = 1, 30A + 1, 10B + 1, 50C + 1, 06d 2 ❶

Sujeto a: A + B + C + d 0 = 100(disponibilidad en tiempo 0)❷; A ≤ 50❸; B ≤ 50❹; C ≤ 50❺

0, 10A + 0, 20B + 1, 06d 0 = d 1 (disponibilidad en tiempo 1)❻; 0, 10A + 0, 20B + 1, 06d 1 = d 2 (disponibilidad en tiempo 2)❼

{

con: A, B, C, d 0 , d 1 , d 2 ≥ 0❽ }

PROBLEMA#243 Julio Vargas Herbas dispone de las siguientes inversiones:

Inversión A: Por cada dólar invertido en el tiempo 0, recibimos 0,10 de dólar en el tiempo 1 y 1,30 dólares en el tiempo 2.

(El tiempo 0=ahora; el tiempo 1=dentro de un año; etc.).

Inversión B: Por cada dólar invertido en el tiempo 1, recibimos 1,60 dólares en el tiempo 2.

Inversión C: Por cada dólar invertido en el tiempo 2, recibimos 1,20 dólares en el tiempo 3.

En cualquier momento se puede invertir dinero sobrante en bonos que pagan el 10% anualmente. En el tiempo 0,

tenemos 100 dólares. Se pueden invertir a lo más 50 dólares en cada una de las inversiones A, B y C. formule un modelo

de programación lineal que se puede usar para maximizar el efectivo en caja de julio Vargas herbas en el tiempo 3.

SOLUCIÓN:

A, B, C = dólares invertidos en A, B, C. d 0 = efectivo sobrante cuando el tiempo es 0.

d 1 = efectivo sobrante cuando el tiempo es 1. d 2 = efectivo sobrante cuando el tiempo es 2.

Maximizar: Z = 1, 20C + 1, 10d 2 ❶

Sujeto a: A + d 0 = 100(disponibilidad en tiempo 0)❷; A ≤ 50❸; B ≤ 50❹; C ≤ 50❺

0, 10A + 1, 10d 0 = B + d 1 (disponibilidad en tiempo 1)❻; 1, 30A + 1, 60B + 1, 10d 1 = C + d 2 (disponibilidad en tiempo 2)❼

{

con: A, B, C, d 0 , d 1 , d 2 ≥ 0❽ }

PROBLEMA#244 JVH1979 transforma petróleo en queroseno y en aceite combustible. Cuesta 40 dólares comprar 1000

barriles de petróleo, que se destilan después y producen 500 barriles de queroseno y 500 barriles de aceite combustible.

Se puede vender directamente lo que se obtiene de la destilación, o se puede pasarlo por un reactor catalítico. El

queroseno obtenido después de la destilación y sin más procesos, se puede vender a 60 dólares los 1000 barriles. El

aceite combustible obtenido después de la destilación y sin más procesos, se puede vender a 40 dólares los 1000

barriles. Tarda una hora en procesar 1000 barriles de queroseno en el reactor catalítico, y se pueden vender estos 1000

barriles a 130 dólares. El proceso de 1000 barriles de aceite combustible en el reactor catalítico tarda 45 minutos, y se

puede vender estos 1000 barriles a 90 dólares. Se pueden comprar diariamente a lo más 20000 barriles de petróleo y se

disponen de 8 horas de desintegración catalítica. Formule un PL para maximizar las ganancias de JVH1979.

SOLUCIÓN:

x 1 = miles de barriles de petróleo destinados a destilación.

x 2 = miles de barriles de petróleo destinados a reacción.

Max: Z = Ingresos − Costos = 60

2 x 1 + 40

2 x 1 + 130

2

x 2 + 90

2 x 2 − 40(x 1 + x 2 ) = 10x 1 + 70x 2 ❶

Sujeto a: x 1

2 + 45minutos

60minutos ∗ x 2

2 ≤ 8 ↔ x 1

2 + 3 4 ∗ x 2

2 ≤ 8 ↔ 1 2 x 1 + 3 8 ∗ x 2 ≤ 8(disponibilidad de horas)❷

{

x 1 + x 2 ≤ 20(disponibilidad de miles de barriles)❸; con: x 1 , x 2 ≥ 0❹ }

PROBLEMA#245 Todo el acero producido por JVH tiene que cumplir con las siguientes especificaciones: 3,2 a 3,5% de

carbono; 1,8 a 2,5% de silicio; 0,9 a 1,2% de níquel; resistencia a la tracción de por lo menos 45000 Lb/pulg 2 . JVH

produce el acero mezclando dos aleaciones. El costo y las propiedades de cada aleación se dan en la Tabla79,

Supóngase que se puede determinar la resistencia a la tracción de una mezcla promediando las resistencias de las

aleaciones que se mezclan. Por ejemplo, una mezcla de una tonelada que se compone de 40% de la aleación 1 y de 60%

de la aleación 2. Tiene una resistencia a la tracción de 0,4 (42000) + 0,6 (50000). Utilice la programación lineal para

determinar cómo minimizar los costos de producción de una tonelada de acero.

TABLA79

ALEACIÓN 1 ALEACION 2

Costo por tonelada(dólares) 190 200

Porcentaje de silicio 2% 2,5%

Porcentaje de níquel 1% 1,5%

Porcentaje de carbono 3% 4%

Resistencia a la tensión 42000lb/pulg 2 50000lb/pulg 2

SOLUCIÓN:

JULIO VARGAS HERBAS*106


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

x 1 = Fracción de toneladas de aleación 1. x 2 = Fracción de toneladas de aleación 2.

Min: Z = 190x 1 + 200x 2 ❶

Sujeto a: 3, 2 ≤ 3x 1 + 4x 2 ≤ 3, 5❷; 1, 8 ≤ 2x 1 + 2, 5x 2 ≤ 2, 5❸; 0, 9 ≤ 1x 1 + 1, 5x 2 ≤ 1, 2❹

{

42000x 1 + 50000x 2 ≥ 45000❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#246 JVH produce dos tipos de acero en tres diferentes acerías. Durante un mes dado, cada acería dispone

de 200 horas de alto horno. El tiempo y el costo de producción de una tonelada (ton) de acero, difiere de una fábrica a

otra, debido a las diferencias en los hornos de cada fábrica. En la Tabla80, se muestran el tiempo y el costo de

producción para cada fábrica. Cada mes, JVH tiene que producir por lo menos 500 ton de acero 1y 600 ton de acero 2.

Formule un PL para minimizar los costos para producir el acero deseado.

TABLA80

PRODUCIR UNA TONELADA DE ACERO

ACERO 1 ACERO 2

COSTO(DÓLARES) TIEMPO(MINUTOS) COSTO(DÓLARES) TIEMPO(MINUTOS)

ACERÍA 1 10 20 11 22

ACERÍA 2 12 24 9 18

ACERIA 3 14 28 10 30

SOLUCIÓN:

x i = Producción del acero 1 en la fábrica i, i = 1, 2, 3.

y i = Producción del acero 2 en la fábrica i, i = 1, 2, 3.

Min: Z = 10x 1 + 12x 2 + 14x 3 + 11y 1 + 9y 2 + 10y 3 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 ≥ 500❷; y 1 + y 2 + y 3 ≥ 600❸; 20x 1 + 24x 2 + 28x 3 ≤ 12000❹; 22y 1 + 18y 2 + 30y 3 ≤ 12000❺

{

con todas las variables no negativas: x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#247 Julio Vargas es un campesino de Cochabamba, tiene dos granjas que cultivan trigo y maíz. Debido a

las diferentes condiciones del suelo, existen diferencias en la producción y en los costos de producción de las dos

granjas. En la tabla11 se encuentran los costos y la producción para las dos granjas. Cada granja dispone de 100

hectáreas para los cultivos. Hay que producir 11000 quintales de trigo y 7000 quintales de maíz. Determine un plan de

siembra que minimice los costos para satisfacer estas demandas. ¿Cómo se podría usar una extensión de este modelo

para asignar eficientemente la producción de cultivos por toda una nación?

TABLA 11

GRANJA 1 GRANJA 2

Producción de maíz/hectárea 500 quintales 650 quintales

Costo/hectárea de maíz(dólares) 100 120

Producción de trigo/hectárea 400 quintales 350 quintales

Costo/hectárea de trigo(dólares) 90 80

SOLUCIÓN:

x 1 = hectarias de maíz en la granja 1. x 2 = hectarias de maíz en la granja 2.

x 3 = hectarias de trigo en la granja 1. x 4 = hectarias de trigo en la granja 2.

Minimizar: Z = 100x 1 + 120x 2 + 90x 3 + 80x 4 ❶

Sujeto a: x 1 + x 3 ≤ 100❷; x 2 + x 4 ≤ 100❸; 500x 1 + 650x 2 ≥ 7000❹; 400x 3 + 350x 4 ≥ 11000❺

{

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#248 Candy Kandy Cosméticos (CKC) produce el perfume Lia, que requiere productos químicos y mano de

obra. Existen dos procesos de producción. El proceso 1 transforma 1 unidad de mano de obra y 2 unidades de

productos químicos en 3 onzas de perfume. El proceso 2 transforma 2 unidades de mano de obra y 3 unidades de

productos químicos en 5 onzas de perfume. A CKC le cuesta 3 dólares adquirir una unidad de mano de obra y 2 dólares

comprar una unidad de productos químicos.

Se pueden conseguir, anualmente, hasta 20000 unidades de mano de obra y hasta 35000 unidades de productos

químicos. CKC cree que se pueden vender 1000 onzas de perfume, sin hacer publicidad. Para estimular la demanda CKC

puede contratar a la bonita modelo Julia Neison de Vargas. Se le paga a Julia 100 dólares/hora. Se estima que cada hora

que Julia trabaja para la compañía, la demanda del perfume Lia aumenta en 200 onzas. Cada onza del perfume Lia se

vende a 5 dolares. Utilice la programación lineal para determinar cómo puede maximizar CKC sus ganancias.

SOLUCIÓN:

x 1 = Unidades del proceso 1. x 2 = Unidades del proceso 2. x 3 = horas de la modelo julia neison de Vargas

{

Maximizar: Z = Ingresos − Costo de la modelo − Costo de mano de obra − Costo de productos químicos.

Maximizar: Z = 5(3x 1 + 5x 2 ) − 100x 3 − 3(x 1 + 2x 2 ) − 2(2x 1 + 3x 2 ) = 8x 1 + 13x 2 − 100x 3 ❶

Sujeto a: 3x 1 + 5x 2 ≤ 1000 + 200x 3 ↔ 3x 1 + 5x 2 − 200x 3 ≤ 1000❷; x 1 + 2x 2 ≤ 20000❸; 2x 1 + 3x 2 ≤ 35000❹

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#249 AL-QUADOSH+ tiene un presupuesto de 150000 dólares para hacer publicidad. Para aumentar la venta

de los automóviles, la empresa considera hacer publicidad en periódicos y en la televisión. Cuanto más utiliza AL-

QUADOSH+ un medio de comunicación, menos efectivo es cada anuncio adicional. En la Tabla79 se da el número de

nuevos clientes alcanzados por cada anuncio. Cada anuncio en los periódicos cuesta 1000 dólares, y cada comercial en

la televisión cuesta 10000 dólares. Se pueden colocar a lo más 30 anuncios en los periódicos y a lo más 15 comerciales

en la televisión ¿cómo puede maximizar AL-QUADOSH+ el número de nuevos dientes, gracias a la publicidad?.

JULIO VARGAS HERBAS*107


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

TABLA79

Número de Anuncios Nuevos Clientes

1-10 900

PERIÓDICO

11-20 600

21-30 300

1-5 10000

TELEVISIÓN

6-10 5000

11-15 2000

SOLUCIÓN:

{

x i = Cantidad de anuncios en periódico en la escala i, i = 1, 2, 3.

y i = Cantidad de anuncios en TV en la escala i, i = 1, 2, 3.

Maximizar: Z = 900x 1 + 600x 2 + 300x 3 + 10000y 1 + 5000y 2 + 2000y 3 ❶

Sujeto a: x 1 ≤ 10❷; x 2 ≤ 10❸; x 3 ≤ 10❹; y 1 ≤ 5❺; y 2 ≤ 5❻; y 3 ≤ 5❼; 1000(x 1 + x 2 + x 3 ) + 10000(y 1 + y 2 + y 3 ) ≤ 150000❽

x 1 + x 2 + x 3 ≤ 30❾; y 1 + y 2 + y 3 ≤ 15❿; con ∶ x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 ≥ 0❶❶ }

PROBLEMA#250 YPFB Oil tiene refinerías en Tarija y en Santa Cruz. La refinería de Tarija puede refinar hasta 2

millones de barriles de petróleo por año; la refinería en Santa Cruz puede refinar hasta 3 millones de barriles de petróleo

por año. Una vez refinado, se envía el petróleo a dos puntos de distribución; Cochabamba y La Paz. YPFB estima que

cada punto de distribución puede vender hasta 5 millones de barriles de petróleo refinado al año. Debido a diferencias

en los costos de envío y de refinación, la ganancia obtenida (en dólares) por millón de barriles de petróleo enviado,

depende del lugar de refinación y del punto de distribución (véase la Tabla17). YPFB considera aumentar la capacidad de

cada refinería. Cada aumento en la capacidad anual de refinación de un millón de barriles, cuesta 120000 dólares para la

refinería de Tarija y 150000 dólares para la refinería de Santa Cruz. Utilice la programación lineal para determinar cómo

YPFB puede maximizar sus ganancias, menos los costos de ampliación.

TABLA 17

UTILIDAD POR MILLON DE BARRILES(DOLARES)

A COCHABAMBA

A LA PAZ

DE TARIJA 20000 15000

DE SANTA CRUZ 18000 17000

SOLUCIÓN:

x ij = Cantidad enviada de petróleo desde la refinería i(i = 1 ó tarija y i = 2 ó Santa Cruz)hacia la distribución j

(j = 1 ó Cochabamba y j = 2 ó La Paz)

y i = aumento en la capacidad de refinación en la refinería i. (refinerias son Tarija y Santa Cruz)

Maximizar: Z = 20000x 11 + 15000x 12 + 18000x 21 + 17000x 22 − 120000y 1 − 150000y 2 ❶

Sujeto a: x 11 + x 12 = 2000000 + y 1 ❷(Produccion tarija); x 21 + x 22 = 3000000 + y 2 ❸(Prod. Santa Cruz)

x 11 + x 21 ≤ 5000000❹(demanda de cochabamba); x 12 + x 22 ≤ 5000000❺(Dda de La Paz)

{

y 1 ≤ 1000000❻; y 2 ≤ 1000000❼; con: x 11 , x 12 , x 21 , x 22 , y 1 , y 2 ≥ 0❽ }

PROBLEMA#251 Para realizar una encuesta por teléfono, un grupo de investigación de mercado necesita comunicar por

lo menos a 150 esposas. 120 mandos, 100 varones adultos solteros y 110 mujeres adultas solteras. Cuesta 2 dólares

realizar una llamada telefónica durante el día y 5 dólares durante la noche (debido a mayores costos laborales). Estos

resultados se muestran en la Tabla.

TABLA

PERSONA QUE CONTESTO

PORCENTAJE DE LLAMADAS

DIURNAS

PORCENTAJE DE LLAMADAS

NOCTURNAS

ESPOSA 30 30

MARIDO 10 30

SOLTERO 10 15

SOLTERA 10 20

NADIE 40 5

Se pueden realizar a lo más la mitad de estas llamadas en la noche, por disponer de un número limitado de empleados.

Formule un PL. Minimice los costos para completar la encuesta.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de llamadas a realizar durante el dia.

x 2 = Número de llamadas a realizar durante la noche.

Minimizar: Z = 2x 1 + 5x 2 ❶

Sujeto a: x 2 ≤ 0, 50x 1 ❷(llamada noche); 0, 30x 1 + 0, 30x 2 ≥ 150❸; 0, 10x 1 + 0, 30x 2 ≥ 120❹;

{

0, 10x 1 + 0, 15x 2 ≥ 100❺; 0, 10x 1 + 0, 20x 2 ≥ 110❻; con: x 1 , x 2 ≥ 0❼ }

PROBLEMA#252 JVHcía produce dos tipos de alimento para ganado. Ambos productos están hechos

completamente de trigo y de alfalfa. El alimento 1 debe contener por lo menos 80% de trigo, y el alimento 2 por lo menos

60% de alfalfa. El alimento 1 se vende a 1,50 dólares /lb. y el alimento 2 a 1,30 dólares/lb. JVHcía puede comprar hasta

1000 lb de trigo, a 50 centavos/lb. y hasta 800 lb de alfalfa, a 40 centavos/Ib. La demanda de ambos tipos de alimentos no

tiene límite. Formule un PL para maximizar las ganancias de JVHcía.

JULIO VARGAS HERBAS*108


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

SOLUCIÓN:

x 1 = lb de trigo en el alimento 1. x 3 = lb de trigo en el alimento 2.

x 2 = lb de alfalfa en el alimento 1. x 4 = lb de alfalfa en el alimento 2.

Maximizar: Z = 1, 50(x 1 + x 2 ) + 1, 30(x 3 + x 4 ) − 0, 50(x 1 + x 3 ) − 0, 40(x 2 + x 4 ) = 1x 1 + 1, 10x 2 + 0, 80x 3 + 0, 90x 4 ❶

{ Sujeto a: x 1 ≥ 0, 80(x 1 + x 2 )❷; x 4 ≥ 0, 60(x 3 + x 4 )❸; x 1 + x 3 ≤ 1000❹; x 2 + x 4 ≤ 800❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#253 Tahuichi produce dos productos químicos A y B. Se producen mediante dos procesos

manufactureros. El proceso 1 requiere 2 horas de trabajo y 1 lb de materia prima para producir 2 onzas de A y 1 onza de

B. El proceso 2 requiere 3 horas de trabajo y 2 lb de materia prima para producir 3 onzas de A y 2 onzas de B. Se dispone

de 60 horas de trabajo y de 40 lb de materia prima. La demanda de A es ilimitada, pero se pueden vender solamente 20

onzas de B. Se vende A a 16 dólares /onza y B a 14 dólares/onzas. Se tiene que desechar todo B no vendido a un costo

de 2 dólares/onza. Formule un PL para maximizar los ingresos de Tahuichi, menos los costos de desecho.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número del proceso 1. x 2 = Número del proceso 2. x 3 = deshecho de B.

{

Maximizar: Z = 16(2x 1 + 3x 2 ) + 14(1x 1 + 2x 2 ) − 2x 3 = 46x 1 + 76x 2 − 2x 3 ❶

}

Sujeto a: 2x 1 + 3x 2 ≤ 60❷; 1x 1 + 2x 2 ≤ 40❸; 1x 1 + 2x 2 + x 3 = 20❹; (con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❺ ó x 1 , x 2 ≥ 0 )

PROBLEMA#254 Campero SRL fabrica mesas y sillas. Hay que fabricar cada mesa y cada silla completamente de roble

o de pino. Se dispone de un total de 150 pies de tabla (p.t.) de roble y de 210 p.t. de pino. Una mesa requiere 17 p.t. de

roble, o bien 30 p.t. de pino, y una silla necesita 5 p.t. de roble, o bien. 13 p.t de pino. Se puede vender cada mesa a 40

dólares y cada silla a 15 dólares. Formule un PL que se pueda usar para maximizar los ingresos.

SOLUCIÓN:

R 1 = mesas de roble. R 2 = sillas de roble. P 1 = mesas de pino. P 2 = sillas de pino.

{ Maximizar: Z = 40(R 1 + P 1 ) + 15(R 2 + P 2 ) = 40R 1 + 40P 1 + 15R 2 + 15P 2 ❶ }

Sujeto a: 17R 1 + 5R 2 ≤ 150❷; 30P 1 + 13P 2 ≤ 210❸; con: R 1 , P 1 , R 2 , P 2 ≥ 0❹.

PROBLEMA#255 La ciudadela Andrés Ibáñez Plan 3000, tiene tres distritos escolares. En la Tabla 1 se da el número de

estudiantes que pertenecen a grupos minoritarios y no minoritarios. El 25% de todos los estudiantes ( 200 800

pertenecen a grupos minoritarios.

Tabla 1

DISTRITO ESTUDIANTES DE GRUPOS MINORITARIOS ESTUDIANTES DE GRUPOS NO MINORITARIOS

1 50 200

2 50 250

3 100 150

La corte local ha decidido que cada una de las dos escuelas de segunda enseñanza de la ciudad (Sabiduría-Saber y

Shequel-Shalom) debe tener aproximadamente (más o menos un 5%) el mismo porcentaje de estudiantes de minorías

que la ciudad entera. En la tabla 2 se dan las distancias entre los distritos escolares y las escuelas.

Tabla 2 Dos Escuelas del Plan 3000

DISTRITO Sabiduría-Saber Shequel-Shalom

1 1 2

2 2 1

3 1 1

Cada escuela debe tener entre 300 y 500 estudiantes. Utilice la programación lineal para determinar la asignación de los

estudiantes a cada escuela para minimizar la distancia total que tienen que viajar los estudiantes para llegar a ella.

SOLUCIÓN:

N ij = número de estudiantes de grupos no minoritarios que van desde el distrido i a la escuela j.

(distrido i, i = 1, 2, 3. ) y (escuela j, j = 1 es Sabiduría − Saber y j = 2 es shequel − shalom)

M ij = número de estudiantes de grupos minoritarios que van desde el distrido i a la escuela j.

Minimizar: Z = (M 11 + N 11 ) + 2(M 12 + N 12 ) + 2(M 21 + N 21 ) + (M 22 + N 22 ) + (M 31 + N 31 ) + (M 32 + N 32 )❶

Sujeto a: M 11 + M 12 = 50❷; M 21 + M 22 = 50❸; M 31 + M 32 = 100❹; N 11 + N 12 = 200❺; N 21 + N 22 = 250❻

N 31 + N 32 = 150❼;

N 11 + N 21 + N 31

Porcentaje de minorías en la escuela 1(±5% del 25%): [0, 20 ≤

≤ 0, 30] ❽

N 11 + N 21 + N 31 + M 11 + M 21 + M 31

N 12 + N 22 + N 32

Porcentaje de minorías en la escuela 2(±5% del 25%): [0, 20 ≤

≤ 0, 30] ❾

N 12 + N 22 + N 32 + M 12 + M 22 + M 32

Poblacion de cada escuela: 300 ≤ N 11 + N 21 + N 31 + M 11 + M 21 + M 31 ≤ 500❿

{

300 ≤ N 12 + N 22 + N 32 + M 12 + M 22 + M 32 ≤ 500❶❶; Todas las variables ≥ 0❶❷ }

JULIO VARGAS HERBAS*109


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#256 La corporación Aiquile produce armarios. Necesitan semanalmente 90000 pie 3 de madera procesada.

Puede conseguir madera procesada de dos maneras. Primero, puede comprar madera de un proveedor externo, y

después secarla en su propio horno. Segundo, puede cortar troncos en sus propios terrenos, convertirlos en madera en

su propio aserradero y finalmente secar la madera en su propio horno. Aiquile puede comprar madera clase 1 ó clase 2.

La madera clase 1 cuesta 3 dólares/pie 3 y produce 0,7 pie 3 de madera útil luego de secarla. La madera clase 2 cuesta 7

dólares/pie 3 y produce 0,9 pie 3 de madera útil ya seca. Le cuesta 3 dólares a la compañía cortar un tronco. Después de

cortarlo y secarlo, un tronco produce 0,8 pie 3 de madera. Aiquile incurre en un costo de 4 dólares/pie 3 de madera seca.

Cuesta 2,50 dólares/pie 3 procesar troncos en el aserradero. El aserradero puede procesar semanalmente hasta 35000

pie 3 de madera. Se puede comprar cada semana hasta 40000 pie 3 de madera de clase 1, y hasta 60000 pie 3 de madera de

clase 2, Semanalmente se disponen de 40 horas para secar madera. El tiempo necesario para secar 1 pie 3 de madera de

clase 1, madera clase 2, ó troncos, es el siguiente: clase 1. 2 segundos, clase 2. 0,8 segundos, troncos. 1,3 segundos.

Formule un PL para ayudar a Aiquile a minimizar los costos semanales para satisfacer las demandas de madera

procesada.

SOLUCIÓN:

x 1 = madera de clase 1 en pies 3 . x 2 = madera de clase 2 en pies 3 . x 3 = troncos en pies 3 . t

Minimizar: Z = costo de madera 1 + costo de madera 2 + costo de cortar tronco + costo de aserradero + costo de secado.

Minimizar: Z = 3x 1 + 7x 2 + 3x 3 + 2, 50x 3 + 4(x 1 + x 2 + x 3 ) = 7x 1 + 11x 2 + 9, 50x 3 ❶

Sujeto a: 0, 7x 1 + 0, 9x 2 + 0, 8x 3 = 90000❷; x 1 ≤ 40000❸; x 2 ≤ 60000❹; x 3 ≤ 35000❺

{

2x 1 + 0, 8x 2 + 1, 3x 3 ≤ 40horas ↔ 2x 1 + 0, 8x 2 + 1, 3x 3 ≤ 2400segundos❻; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❼ }

PROBLEMA#257 La Boliviana Parques de Bosques vigila dos terrenos. El terreno 1 está formado de 300 hectáreas, y el

terreno 2 por 100 hectáreas. Se puede utilizar cada hectárea del terreno 1 para abetos, la caza o para ambas cosas. Se

puede utilizar cada hectárea del terreno 2 para abetos, para acampar o para ambas cosas. En la tabla, se dan el capital

(en cientos de dólares) y la mano del obra (días - hombre) que se necesitan para mantener una hectárea de cada terreno,

y la ganancia (miles de dólares) por hectárea, para cada uso posible del suelo. Se dispone de un capital de 150000 y 200

días-hombre de trabajo. ¿Cómo se tiene que asignar el suelo a los usos diferentes, para maximizar la ganancia recibida

de los dos terrenos?

CAPITAL MANO DE OBRA GANANCIA

Terreno 1, Abetos. 3 0,1 0,2

Terreno 1, Caza. 3 0,2 0,4

Terreno 1, Ambas Cosas. 4 0,2 0,5

Terreno 2, Abetos. 1 0,05 0,06

Terreno 2, Acampar. 30 5 0,09

Terreno 2, Ambas Cosas. 10 1,01 1,1

SOLUCIÓN:

x ij = Cantidad de hectarias asignadas del terreno i(i = 1, 2)a la utilización j

(j = 1 ó Abetos, j = 2 ó Caza y j = 3 ó ambas cosas)

Maximizar: Z = 0, 2x 11 + 0, 4x 12 + 0, 5x 13 + 0, 06x 21 + 0, 09x 22 + 1, 1x 23 ❶

Sujeto a: x 11 + x 12 + x 13 ≤ 300❷; x 21 + x 22 + x 23 ≤ 100❸;

3x 11 + 3x 12 + 4x 13 + 1x 21 + 30x 22 + 10x 23 ≤ 1500 ↔ 300x 11 + 300x 12 + 400x 13 + 100x 21 + 3000x 22 + 1000x 23 ≤ 150000❹

{

0, 1x 11 + 0, 2x 12 + 0, 2x 13 + 0, 05x 21 + 5x 22 + 1, 01x 23 ≤ 200❺; con: todas las variables x ij ≥ 0❻ }

PROBLEMA#258 ARI-SRL produce dos productos. Se puede fabricar cada producto en cualquiera de dos máquinas. En

la tabla 1 se dan los tiempos necesarios (en horas) para producir cada producto en cada máquina.

TABLA 1 MÁQUINA 1 MÁQUINA 2

PRODUCTO 1 4 3

PRODUCTO 2 7 4

Cada mes hay 500 horas de tiempo de maquina disponibles. Cada mes los clientes están dispuestos a comprar los

productos hasta las cantidades y a los precios indicados en la Tabla 2.

TABLA 2 DEMANDAS PRECIOS(DÓLARES)

MES 1 MES 2 MES 1 MES 2

PRODUCTO 1 100 190 55 12

PRODUCTO 2 140 130 65 32

La meta de la compañía es maximizar los ingresos obtenidos mediante la venta de los productos durante los próximos

dos meses Formule un PL para ayudar a alcanzar esta meta.

SOLUCIÓN:

x ij = Producción del producto i, en la máquina j en el mes 1.

y ij = Producción del producto i, en la máquina j en el mes 2.

Maximizar: Z = 55(x 11 + x 12 ) + 12(y 11 + y 12 ) + 65(x 21 + x 22 ) + 32(y 21 + y 22 )❶

Sujeto a: 4x 11 + 7x 21 ≤ 500❷; 3x 12 + 4x 22 ≤ 500❸; 4y 11 + 7y 21 ≤ 500❹; 3y 12 + 4y 22 ≤ 500❺(disp. de maquinas)

x 11 + x 12 ≤ 100❻; x 21 + x 22 ≤ 140❼; y 11 + y 12 ≤ 190❽; y 21 + y 22 ≤ 130❾(las demandas)

{

con: x 11 , x 12 , x 21 , x 22 , y 11 , y 12 , y 21 , y 22 ≥ 0❿(con todas las variables no negativas) }

JULIO VARGAS HERBAS*110


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#259 El Banco Nacional de Bolivia abre de lunes a viernes, de las 9 a.m. hasta las 5 p.m. De experiencias

anteriores, el banco sabe que necesita el número de cajeras, indicado en la Tabla. El banco contrata dos tipos de

cajeras. Las cajeras de tiempo completo trabajan de 9 a 5, los cinco días de la semana, y tienen 1 hora de descanso para

comer. (El banco determina cuando una empleada de tiempo completo puede comer, pero cada cajera tiene que comer

entre mediodía y la 1 p.m. ó entre la 1 y las 2 p.m.) Se le paga 8 dólares (incluyendo prestaciones complementarias) por

hora (incluyendo la hora de la comida) a las empleadas de tiempo completo. El banco también contrata cajeras de

tiempo parcial. Cada cajera de tiempo parcial debe trabajar exactamente 3 horas consecutivas cada día. Se le paga 5

dólares/hora a una cajera de tiempo parcial (y no reciben beneficios complementarios). Para conservar una calidad

adecuada del servicio, el banco ha decidido que se pueden contratar a lo sumo cinco cajeras de tiempo parcial. Formule

un PL para cumplir con los requerimientos de las cajeras a un costo mínimo. Resuelve el PL en una computadora

Juegue con la respuesta del PL para determinar una política de contratación que esté cerca de minimizar los costos

laborales.

Periodo de Tiempo 9-10 10-11 11-mediodía Mediodía-1 1-2 2-3 3-4 4-5

Cajeras Requeridas 4 3 4 6 5 6 8 8

SOLUCIÓN:

x 1 = Cajeras de tiempo completo que descansan entre mediodía y la 1 p. m.

x 2 = Cajeras de tiempo completo que descansan entre las 1 p. m. y las 2 p. m.

y i = Cajeras de tiempo parcial que ingresan en el periodo i(i = 1 ó las 9a. m. , i = 2 ó las 10 a. m. , etc. )

Minimizar: Z = 8x 1 + 8x 2 + 5(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 )❶

Sujeto a: y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 ≤ 5❷(cajeras tiempo parcial); x 1 + x 2 + y 1 ≥ 4❸; x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ≥ 3❹

x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + y 3 ≥ 4❺; x 2 + y 2 + y 3 + y 4 ≥ 6❻; x 1 + y 3 + y 4 + y 5 ≥ 5❼; x 1 + x 2 + y 4 + y 5 + y 6 ≥ 6❽

{

x 1 + x 2 + y 5 + y 6 ≥ 8❾; x 1 + x 2 + y 6 ≥ 8❿; con: x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 ≥ 0❶❶ }

PROBLEMA#260 El departamento de Policía de Santa Cruz dispone de 30 oficiales. Cada oficial trabaja 5 días a la

semana. El número de delitos varía según el día de la semana y, por lo tanto, el número de policías requeridos

diariamente depende del día de la semana: sábado 28; domingo, 18; lunes, 18: martes, 24; miércoles, 25; jueves, 16;

viernes, 21. El departamento de policía quiere programar los oficiales para minimizar el número de policías cuyos días

de descanso no son consecutivos. Formule un PL que alcance esta meta. (Sugerencia: determine una restricción para

cada día de la semana que asegure que un número apropiado, de oficiales no estén trabajando ese día).

SOLUCIÓN:

x ij = numero de oficiales que descansan el día i y j.

Minimizar: Z = x 12 + x 17 + x 23 + x 34 + x 45 + x 56 + x 67 ❶

Sujeto a: cantidad de oficiales que descansan el dia = 30 − requerimiento

x 17 + x 27 + x 37 + x 47 + x 57 + x 67 = 2❷(sabado); x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 + x 17 = 12❸(domingo)

x 12 + x 23 + x 24 + x 25 + x 26 + x 27 = 12❹(lunes); x 13 + x 23 + x 34 + x 35 + x 36 + x 37 = 6❺(martes)

x 14 + x 24 + x 34 + x 45 + x 46 + x 47 = 5❻(miercoles); x 15 + x 25 + x 35 + x 45 + x 56 + x 57 = 14❼(jueves)

{ x 16 + x 26 + x 36 + x 46 + x 56 + x 67 = 9❽(viernes); con todas las variables ≥ 0❾ }

PROBLEMA#261 Julio Vargas Herbas se gana la vida comprando y vendiendo maíz El 1 de enero, tiene 50 toneladas

(ton) de maíz y 1000 dólares. El primer día de cada mes, Julio puede comprar maíz a los siguientes precios por tonelada:

enero. 300 dólares, febrero. 350 dólares: marzo. 400 dólares, abril. 500 dólares. El último día de cada mes. Julio pueden

vender el maíz a los siguientes precios por tonelada enero, 250 dólares; febrero, 400 dólares; marzo, 350 dólares; abril,

550 dólares. El guarda el maíz en una bodega que tiene una capacidad máxima de 100 ton de maíz. Tiene que poder

pagar al contado todo el maíz al momento de la compra. Utilice la programación lineal para determinar cómo Julio puede

maximizar su efectivo en capital final del mes de abril.

SOLUCIÓN:

x i = cantidad a comprar en el mes i. y i = cantidad a vender en el mes i.

I i = inventario de maíz en el mes i. C i = capital en el mes i.

Maximizar: Z = maximizar el capital al final del cuarto mes de abril = C 4 ❶

Sujeto a:

[I 1 = 50 + x 1 − y 1 ≤ 100; C 1 = 1000 − 300x 1 + 250y 1 ; x 1 ≤ 1000/300]❷

[I 2 = I 1 + x 2 − y 2 ≤ 100; C 2 = C 1 − 350x 2 + 400y 2 ; x 2 ≤ C 1 /350]❸

[I 3 = I 2 + x 3 − y 3 ≤ 100; C 3 = C 2 − 400x 3 + 350y 3 ; x 3 ≤ C 2 /400]❹

[I 4 = I 3 + x 4 − y 4 ≤ 100; C 4 = C 3 − 500x 4 + 550y 4 ; x 4 ≤ C 3 /500]❺

{

con todas las variables no negativas ≥ 0 }

PROBLEMA#262 Turkeyco.Bolivia produce dos tipos de croquetas de pavo para vender en restaurantes de servicio

rápido. Cada tipo de alimento consiste en carne blanca y carne oscura. El tipo 1 se vende a 4 dólares/lb y tiene que

contener por lo menos 70% de carne blanca. El tipo 2 se vende a 3 dólares/lb y tiene que contener por lo menos 60% de

carne blanca. Se pueden vender a lo más 50 lb de la croqueta 1, y 30 lb de la croqueta 2. Los dos tipos de pavos

utilizados para producir las croquetas se compran en la granja de pavos Paurito. Cada pavo tipo 1 cuesta 10 dólares y

produce 5 lb de carne blanca y 2 lb de carne oscura. Cada pavo tipo 2 cuesta 8 dólares y produce 3 lb de carne blanca y

3 lb de carne oscura. Formule un PL para maximizar la ganancia de Turkeyco.Bolivia.

SOLUCIÓN:

JULIO VARGAS HERBAS*111


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

x 1 = lb de carne blanca para chuleta 1. x 3 = lb de carne blanca para chuleta 2. y 1 = pavos del tipo 1.

x 2 = lb de carne oscura para chuleta 1. x 4 = lb de carne oscura para chuleta 2. y 2 = pavos del tipo 2.

Maximizar: Z = 4(x 1 + x 2 ) + 3(x 3 + x 4 ) − 10y 1 − 8y 2 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 50❷(Dda chuleta 1); x 3 + x 4 ≤ 30❸(Dda chuleta 2); x 1 + x 3 ≤ 5y 1 + 3y 2 ❹(Disp. carne blanca)

x 2 + x 4 ≤ 2y 1 + 3y 2 ❺(Disp. carne oscura); x 1 ≥ 0, 70(x 1 + x 2 )❻(Rest. chuleta 1); x 3 ≥ 0, 60(x 3 + x 4 )❼(Rest. chuleta 2)

{

con todas las variables ≥ 0❽ }

PROBLEMA#263 Al principio del mes 1. Fassil tiene 400 dólares en efectivo. Al principio de los meses 1, 2,3 y 4. Fassil

recibe ciertos ingresos, después de lo cual paga sus cuentas (ver la Tabla).

Tabla Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4

Ingresos(dólares) 400 800 300 300

Cuentas(dólares) 600 500 500 250

Se puede invertir el dinero que sobra, por un mes, a una tasa mensual de 0,1%; por dos meses, a una tasa mensual de

0,5%; por tres meses, a una tasa mensual de 1%; por cuatro meses, a una tasa mensual de 2%. Utilice la programación

lineal para determinar una estrategia de inversión que maximice el efectivo en caja al principio del mes 5.

SOLUCIÓN:

x ij = dinero invertido entre el mes i y j el interés es simple, asi 2% a meses es 8%.

Maximizar: Z = 1, 08x 15 + 1, 03x 25 + 1, 01x 35 + 1, 001x 45 ❶

Sujeto a: dinero invertido + cuentas = disponible

x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + 600 = 400 + 400❷(mes 1); x 23 + x 24 + x 25 + 500 = 1, 001x 12 + 800❸(mes 2)

x 34 + x 35 + 500 = 1, 10x 13 + 1, 001x 23 + 300❹(mes 3); x 45 + 250 = 1, 03x 14 + 1, 01x 24 + 1, 001x 34 + 300❺(mes 4)

{

con todas las variables ≥ 0❻ }

PROBLEMA#264 Toyobol fabrica autos sedanes y camionetas. En la Tabla se presenta el número de vehículos que se

pueden vender durante cada uno de los próximos tres meses. Cada sedán se vende a 8000 dólares, y cada camioneta a

9000 dólares. Cuesta 6000 dólares producir un sedán y 7500 producir una camioneta. El costo por mantener un vehículo

en el inventario por un mes, es de 150 dólares por cada sedán, y 200 dólares por cada camioneta. Se pueden producir

mensualmente, a lo más, 1500 vehículos. Las restricciones de las líneas de producción imponen que, durante el mes 1,

a lo más, dos tercios de todos los vehículos producidos tiene que ser sedanes. Al inicio del mes 1, se disponen de 200

sedanes y de 100 camionetas. Formule un PL que se pueda utilizar para maximizar la ganancia de Toyobol durante los

próximos tres meses.

Tabla SEDANES CAMIONETAS

Mes 1 1100 600

Mes 2 1500 700

Mes 3 1200 500

SOLUCIÓN:

x i = Producción de sedanes en el mes i. y i = Producción de camionetas en el mes i.

IS i = inventario de Sedanes. IC i = inventario de Camionetas.

Max: Z = [(8000 − 6000)(x 1 + x 2 + x 3 )] + [(9000 − 7500)(y 1 + y 2 + y 3 )] − 150(IS 1 + IS 2 + IS 3 ) − 200(IC 1 + IC 2 + IC 3 )❶

Sujeto a: x 1 ≤ 2 3 (x 1 + y 1 )❷

[IS 1 = 200 + x 1 − 1100; IC 1 = 100 + y 1 − 600; x 1 + y 1 ≤ 1500]❸

[IS 2 = IS 1 + x 2 − 1500; IC 2 = IC 1 + y 2 − 700; x 2 + y 2 ≤ 1500]❹

[IS 3 = IS 2 + x 3 − 1200; IC 3 = IC 2 + y 3 − 500; x 3 + y 3 ≤ 1500]❺

{

con todas las variables no negativas ≥ 0❻ }

PROBLEMA#265 Una oficina de correos de Bolivia requiere cantidades de empleados de tiempo completo en diferentes

días de la semana. La cantidad de empleados de tiempo completo que se requiere cada día se da en la siguiente tabla.

Las reglas del sindicato establecen que cada empleado de tiempo completo debe trabajar cinco días consecutivos y

descansa dos días. Por ejemplo un empleado que trabaja de lunes a viernes debe descansar sábado y domingo. Plantear

el modelo que minimice el número de empleados:

Día Número de empleados de tiempo completo que se necesitan

Lunes 17

Martes 13

Miércoles 15

Jueves 19

Viernes 14

Sábado 16

Domingo 11

SOLUCIÓN:

JULIO VARGAS HERBAS*112


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

x i = Número de trabajadores que entran a trabajar el día i(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ó L, M, MI, J, V, S, D).

Minimizar: Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = x L + x M + x MI + x J + x V + x S + x D ❶

Sujeto a: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 17❷; x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 13❸; x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 ≥ 15❹

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 ≥ 19❺; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≥ 14❻; x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ≥ 16❼;

{

x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 11❽; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0❾ }

PROBLEMA#266 Una tienda de autoservicio que funciona las 24 horas. tiene los siguientes requerimientos mínimos de

empleados:

Periodo 1 2 3 4 5 6

Hora del día 3-7 7-11 11-15 15-19 19-23 23-3

Empleados mínimos 7 20 14 20 10 5

El periodo 1 sigue inmediatamente a continuación del periodo 6. Un empleado trabaja ocho horas consecutivas

empezando al inicio de uno de los seis periodos. Determinar cuántos trabajadores contratar en cada proyecto.

SOLUCIÓN:

x i = Número de empleados a contactar en el periodo i(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Minimizar: Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ❶

Sujeto a: x 1 + x 6 ≥ 7❷; x 1 + x 2 ≥ 20❸; x 2 + x 3 ≥ 14❹; x 3 + x 4 ≥ 20❺; x 4 + x 5 ≥ 10❻; x 5 + x 6 ≥ 5❼;

{

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ❽ }

PROBLEMA#267 Una compañía tiene un contrato para recibir 60000 libras de tomates a 8 Bs cada 2 libras de las cuales

producirá jugos de tomate y puré de tomates en latas de 2 libras y son empacadas en cajas de 12 latas cada una.

Una lata de jugo requiere 1 libra de tomate fresco en tanto que una de puré, requiere 4/3 de libras. El resto de la lata de

jugo de tomate tiene otros ingredientes conservantes al igual que la lata de puré. La utilidad por “caja” de jugos y de

puré es de 42 Bs y 24 Bs respectivamente, el costo de otros ingredientes para cada lata es de 5 Bs por libra y solo se

tiene disponible de 50000 libras.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de Jugos de tomates a producir en latas de 2 libras.

x 2 = Cantidad de Puré de tomates a producir en latas de 2 libras.

Datos auxiliares: Costo de tomate =

8Bs Bs

5Bs Bs

Bs

= 4 ; Costo de otros = = 5 ; 1cajas → 12latas; 42 ∗ caja = Bs

2libras lb 1libra lb

caja

Costo de jugo de tomate = costo de tomate + costo de otros ingredientes

Costo de jugo de tomate = 4 Bs

lb ∗ 1libra Bs

+ 5

Lata lb ∗ 1libra Bs

= 9

Lata Lata ; 1libra

nota:

Lata

+ 1libra

Lata

= 2libras

Costo de Puré de tomate = costo de tomate + costo de otros ingredientes

osto de jugo de tomate = 4 Bs

lb ∗ 4/3libra Bs

+ 5

Lata lb ∗ 2/3libra = 26 Bs

Lata 3 Lata ; 4/3libra

nota:

Lata

+ 2/3libra = 2libras

Lata

Maximizar: Z = Precio de Venta = Utilidad + Costo

Maximizar: Z = [(42 Bs

caja ∗ 1cajas Bs

Bs

) + (9 )] + [(24

12Latas Lata caja ∗ 1cajas

12Latas ) + (26 Bs 25

)] =

3 Lata 2 x 1 + 32

3 x 2❶

JULIO VARGAS HERBAS*113

Sujeto a: x 1 + 4 3 x 2 ≤ 60000❷(rest. tomates); x 1 + 2 3 x 2 ≤ 50000❸(rest. otros ingredientes); con: x 1 , x 2 ≥ 0❹

{

respuesta: x 1 = 40000 lb de 2 lb; x 2 = 15000 lb de 2 lb. Max: Z = 660000 Bs. }

PROBLEMA#268 Un agricultor posee 200 cerdos que consumen 250 Kg de alimento especial. El alimento se prepara

como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones:

Alimento Kgs/Kg de Alimento Costo Bs/Kg

Calcio Proteína Fibra

Maíz 0,01 0,29 0,04 2

Harina de Soya 0,02 0,40 0,06 3

Los requerimientos diarios de los cerdos son: Cuando menos 1% de calcio, por lo menos 30% de proteína y un máximo

de 5% de fibra. Determine la mejor mezcla de alimentos con el mínimo costo diario.

SOLUCIÓN:

x 1 = Kilogramos de maíz en la mezcla diadia. x 2 = Kgs de harina de soya en la mezcla diaria.

Minimizar: Z = 2x 1 + 3x 2 ❶

Sujeto a: 0, 01x 1 + 0, 02x 2 ≥ 0, 01(x 1 + x 2 )❷; 0, 29x 1 + 0, 40x 2 ≥ 0, 30(x 1 + x 2 )❸

{

0, 04x 1 + 0, 06x 2 ≤ 0, 05(x 1 + x 2 )❹; x 1 + x 2 ≥ 250❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#269 Un empresario confeccionista debe entregar semanalmente pantalones, poleras y camisas para varón.

En el taller trabajan 16 personas durante 10 horas diarias. Cuando se dedican solo a hacer pantalones producen 100

unidades diarias. Confeccionar un pantalón requiere el doble de tiempo que una polera y la mitad que una camisa. De

cada lote de producción la cantidad de pantalones representa entre 50 al 55%, las camisas se venden en menor cantidad

que las poleras, pero es necesario que por lo menos haya una camisa por cada tres poleras. Los precios de venta de

cada prenda son: pantalón 100 Bs, camisas 120 Bs, poleras 80 Bs. Formular un modelo para determinar el mejor plan de

producción.


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

SOLUCIÓN:

x 1 = cantidad de pantalones a confeccionar. x 2 = cantidad de poleras a confeccionar.

x 3 = cantidad de camisas a confeccionar.

Maximizar: Z = 100x 1 + 80x 2 + 120x 3 ❶

Sujeto a: 1, 6x 1 + 0, 80x 2 + 3, 20x 3 ≤ 16Personas ∗ 10h

dia ∗ 6dias

semana ↔ 1, 6x 1 + 0, 80x 2 + 3, 20x 3 ≤ 960h − H❷

{ x 1 ≥ 0, 50(x 1 + x 2 + x 3 )❸; x 1 ≤ 0, 55(x 1 + x 2 + x 3 )❹; x 3 ≤ x 2 ❺; x 2 ≥ 3x 3 ❻; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❼ }

Capacidad de producción: para la restricción 2.

X 1 Pantalones,

X 2 Poleras,

X 3 Camisas

x 1

doy 2hrs como ejemplo Doy 1 hr como ejemplo Doy 4 horas

100 + x 2

200 + x 3

50 ≤ 6dias/semana

100 0 0

0 200 0

16/10=1,6 0,80(la mitad de 1,6) 3,2(doble de1,6)

0 0 50

Relación de ventas de la restricción 6.

POLERAS X 2 CAMISAS X 3

≥3 1

≥6 2

PROBLEMA#270 Un político “independiente” planifica realizar su campaña apoyada mediante publicidad en

Radio, televisión abierta y televisión por cable, para captar la simpatía de la población en las próximas

elecciones municipales. Su presupuesto para este ítem es de 50000 Bs. El precio de la publicidad radial es

de 5 Bs/ minuto, 80 Bs/minuto en la TV abierta y 40 Bs/minuto en TV por cables. Su objetivo es llegar a la

clase baja y media baja, por lo tanto el tiempo de publicidad radial debe ser mínimo un 50% del total, pero no

más del 70%, la publicidad por TV abierta debe ser el doble o más que la TV por cable. La experiencia de las

elecciones municipales muestra que por cada minuto de publicidad radial se generan aproximadamente 10

votos, la TV por cable genera 18 veces más que la radial y la TV abierta duplica a la de cable. Formule un

modelo de programación lineal para determinar la asignación óptima del presupuesto de campaña para

conseguir la mayor cantidad de votos posibles en diciembre.

SOLUCIÓN:

x 1 = Cantidad de minutos de publicidad en Radio.

x 2 = Cantidad de minutos de publicidad en TV − Abierto.

x 3 = Cantidad de minutos de publicidad en TV − Cable.

Maximizar: Z = maximizar el número de votos, un minuto de publicidad cuantos votos voy a conseguir.

Votos

Maximizar: Z = 10x 1 + 360x 2 + 180x 3 ❶

∗ minutos de publicidad = Votos

minutos de publicidad

Bs

Sujeto a: 5x 1 + 80x 2 + 40x 3 ≤ 50000❷ (

minuto ∗ minuto = Bs) ; x 1 ≥ 0, 50(x 1 + x 2 + x 3 )❸; x 1 ≥ 0, 70(x 1 + x 2 + x 3 )❹

x 2 ≥ 2x 3 ❺ relacion directa, esto se hace para colocar el doble hacemos la relacion directa y recien escribo.

ej: x 2 ≥ 2(1) → 2; x 2 ≥ 2(6) → 12; x 2 ≥ 2(20) → 40; lo que esta entre (1) son los valores de x 3 y hallamos x 2

{

con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❻ }

TV

ABIERTA X 2 CABLE X 3

≥ 1

≥ 6

≥ 20

PROBLEMA#271 Burger Kamba vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas de queso. La de un cuarto

de libra utiliza un cuarto de libra de carne y la hamburguesa con queso sólo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza el

día con 200 libras de carne, pero puede ordenar más a un costo adicional de 25 centavos por libra, para cubrir el resto de

entrega. Cualquier sobrante se le da a los perros. Las utilidades son 20 centavos de dólares por hamburguesa de un

cuarto de libra y 15 centavos por una con queso. No se espera vender más de 900 hamburguesas por día. ¿Cuántas

hamburguesas de cada tipo deben preparar?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de hamburguesas de 1 4 de libra. x 2 = Número de hamburguesas con queso. x 3 = libras de carne extra.

Maximizar: Z = 0, 20x 1 + 0, 15x 2 − 0, 25x 3 ❶

{ Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 900❷; 0, 25x 1 + 0, 20x 2 ≤ 200 + x 3 ↔ 0, 25x 1 + 0, 20x 2 − x 3 ≤ 200❸; con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❹ }

PROBLEMA#272 Una empresa planea una nueva campaña de publicidad por radio y TV. Un comercial de radio cuesta

$300 y uno de TV $2000. Se asigna un presupuesto total de $20000 a la campaña. Sin embargo para asegurarse de que

cada medio tendrá por lo menos un comercial de radio y uno de TV, lo máximo que puede asignarse a uno u otro medio

no puede ser mayor que el 80% del presupuesto total. Se estima que el primer comercial de radio llegará a 5000

JULIO VARGAS HERBAS*114


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

personas, y cada comercial adicional llegará sólo a 2000 personas nuevas. En el caso de la televisión, el primer anuncio

llegará a 4500 personas y cada anuncio adicional a 3000. Plantear modelo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de comerciales de Radio. x 2 = Número de comerciales de T. V.

{

Maximizar: Z = 5000 + 2000(x 1 − 1) + 4500 + 3000(x 2 − 1)❶

}

Sujeto a: 300x 1 + 2000x 2 ≤ 20000❷; 300x 1 ≤ 16000❸; 2000x 2 ≤ 16000❹; x 1 ≥ 1❺; x 2 ≥ 1❻; con: x 1 , x 2 ≥ 0❼

PROBLEMA#273 Un fabricante de muebles desea obtener un Plan óptimo de producción para el próximo mes (26 días

hábiles de 10 horas cada día). Se dedica a la producción de juegos de comedor y sillones Luis XV. El juego de comedor

consta de 8 sillas y una mesa, el sillón tipo Luis XV es un mueble de lujo tallado. En el taller trabajan como plantilla

establece 30 personas. Para hacer una silla se requiere 5 horas de trabajo de un operario, 18 pt (pies tablares) de

madera. Una mesa puede ser confeccionada por tres operarios en una jornada de trabajo usando 80 pies de madera.

Cada sillón Luis XV requiere el trabajo un operario durante 6 jornadas y utiliza 60 pt de madera. La madera (mara) cuesta

6 Bs/pt y los operarios ganan 40 Bs/jornada. Se considera que la disponibilidad de las máquinas no representa una

limitante. Se cuenta con 8000 pt de madera. Generalmente no se vende más de 20 juegos de comedor. Cada juego de

comedor puede ser vendido en 1800 Bs y cada sillón Luis XV en 900 Bs. Formular un modelo de programación lineal

para determinar la cantidad optima de juegos a producir.

SOLUCIÓN:

{

x 1 = Cantidad de muebles a fabricar de juegos de comedor(unidades).

x 2 = Cantidad de muebles a fabricar de sillones Luis XV(unidades).

Maximizar: Z = (1800 − 1624)x 1 + (900 − 600)x 2 = 176x 1 + 300x 2 ❶ Bs

uds ∗ uds

Sujeto a: 224x 1 + 60x 2 ≤ 8000❷(rest. madera),

JULIO VARGAS HERBAS*115

pt

∗ unidades ≤ pies tablares

unidades

70x 1 + 60x 2 ≤ 26dias ∗ 10 hrs

dia ∗ 30Hombres ↔ 70x 1 + 60x 2 ≤ 7800h − H❸(MO); x 1 ≤ 20❹(ventas); con: x 1 , x 2 ≥ 0❺

Datos auxiliares: Costo de juego de comedor = CJC = costo de madera + costo de mano de obra

CJC = (18pt ∗ 8sillas + 80pt) + [(5h − H ∗ 8) + (3operarios ∗ 10jornada/dia)]

CJC = [(224pt/uds) ∗ (6Bs/pt)] + [(70h − H/uds) ∗ (4Bs/h − H)] = 1344Bs/uds + 280Bs/uds = 1624Bs/ud

(3operarios ∗ 10jornada/dia) = 30; (40Bs/jornada) ÷ 10jornadas ó 10hrs/dia, jornada = 4Bs/h − H

Costo de sillon luis XV = CSLXV = costo de madera + costo de mano de obra

CSLXV = (60pt/u ∗ 6Bs/pt) + (60h − H/u ∗ 4Bs/h − H) = 360Bs/u + 240Bs/u = 600Bs/u }

PROBLEMA#274 Banco Nacional de Bolivia está desarrollando una política de préstamos por un máximo de 20000000

de bolivianos. La tabla siguiente muestra los datos relevantes de cada tipo de préstamo según su uso. Las deudas

impagables no se recuperan y no producen ingresos por intereses. Según datos de mercado se pretende destinar un

40% a créditos industriales y comerciales. Los créditos hipotecarios de vivienda deben ser mayores al 70% destinado

para vehículos y usos varios. Es recomendable también que la relación entre los créditos impagables y el total prestado

no supere el 4%.

Tipo de Préstamo según su uso Tasa de interés %de deuda impagable

Cualquier uso 18 10

Para vehículo 12 6

Hipotecario de vivienda 9 2

Industrial 10 4

comercial 12 3

SOLUCIÓN:

x 1 = Préstamos para cualquier uso en millones de bolivianos.

x 2 = Préstamos para vehiculos en millones de bolivianos.

x 3 = Préstamos para hipotecario de vivienda en millones de bolivianos.

x 4 = Préstamos para industriales en millones de bolivianos.

x 5 = Préstamos para comerciales en millones de bolivianos.

Maximizar: Z = (0, 18)(0, 9)x 1 + (0, 12)(0, 94)x 2 + (0, 09)(0, 98)x 3 + (0, 10)(0, 96)x 4

+(0, 12)(0, 97)x 5 − {0, 10x 1 + 0, 06x 2 + 0, 02x 3 + 0, 04x 4 + 0, 03x 5 }

Maximizar: Z = 31

500 x 1 + 33

625 x 2 + 341

5000 x 3 +

7

125 x 4 + 54

625 x 5 = 0, 062x 1 + 0, 0528x 2 + 0, 0682x 3 + 0, 056x 4 + 0, 0864x 5 ❶

Sujeto a:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 20000000❷ ; x 4 + x 5 ≥ 8000000❸ ; x 3 ≥ 14000000❹

0, 10x 1 + 0, 06x 2 + 0, 02x 3 + 0, 04x 4 + 0, 03x 5

≤ 0, 04❺ ; x

{

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x j ≥ 0∀j (CNN)❻

5

}

PROBLEMA#275 Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000 Bs, distribuido entre acciones del

tipo A y del tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una ganancia del 10% anual, y es obligatorio invertir en ellas un

mínimo de 30000 Bs y un máximo de 81000 Bs. Las acciones del tipo B garantizan una ganancia del 5% anual, y es

obligatorio invertir en ellas un mínimo de 25000 Bs. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede superar el


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

tripe de la cantidad invertida en acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión para maximizar la

ganancia anual? Determine dicha ganancia máxima.

SOLUCIÓN:

x 1 = cantidad de Bs a invertir en acciones tipo A. x 2 = cantidad de Bs a invertir en acciones tipo B.

{

Maximizar: Z = 0, 10x 1 + 0, 05x 2 ❶

}

Sujeto a: 30000 ≤ x 1 ≤ 81000❷; x 2 ≥ 25000❸; x 1 + x 2 ≤ 125000❹; x 2 ≤ 3x 1 ❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻

PROBLEMA#276 Una compañía de autos fabrica automóviles y camiones. Cada uno de los vehículos debe pasar por el

taller de pintura y por el de ensamble. Si el taller de pintura pintara sólo camiones, entonces podría pintar 40 por día. Si

el taller de pintura sólo pintara autos entonces podría pintar 60 vehículos diarios. Si el taller de ensamble se destinara

sólo a ensamblar autos entonces podría procesar 50 por día y si sólo produjera camiones procesaría 50 por día. Cada

camión contribuye con 300 dólares a la utilidad y cada auto contribuye con 200 dólares. Plantear modelo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de automóviles fabricados. x 2 = Número de camiones fabricados.

{

Maximizar: Z = 200x 1 + 300x 2 ❶

x 1

Sujeto a:

60 + x 2

40 ≤ 1❷; x 1

50 + x }

2

50 ≤ 1❸; con: x 1, x 2 ≥ 0❹

PROBLEMA#277 Doña Lía, es la dietista del Hospital Lomas Verdes, es responsable de la planeación y administración

de los requerimientos alimenticios. Ella analiza a los pacientes que tienen una dieta especial que consta de dos fuentes

alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos alimentos que puede consumir, sin embargo se

deben satisfacer los siguientes requerimientos mínimos: 1000 unidades del nutriente A, 2000 del B y 1500 del C. Cada

onza de la fuente alimenticia 1 contiene 100 unidades del nutriente A, 400 del B y 200 del C, cada onza de la fuente

alimenticia 2 contiene 200 unidades de A, 250 del B y 200 del C. La fuente alimenticia 1 vale $6,00 por libra y la 2 cuesta

$8,00 por libra. Plantear modelo.

SOLUCIÓN: Consideremos que 1 libra=16 onzas

x 1 = Número de onzas de fuente alimenticia 1. x 2 = Número de onzas de fuente alimenticia 2.

Maximizar: Z = 6 16 x 1 + 8 16 x 2 = 3 8 x 1 + 1 2 x 2 = 0, 375x 1 + 0, 50x 2 ❶

{ Sujeto a: 100x 1 + 200x 2 ≤ 1000❷; 400x 1 + 250x 2 ≤ 2000❸; 200x 1 + 200x 2 ≤ 1500❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#278 Un contratista está considerando una propuesta para la pavimentación de un camino, las

especificaciones requieren un espesor mínimo 12 pulgadas, y un máximo de 48 pulgadas. El camino debe ser

pavimentado en concreto, asfalto o gravilla, o cualquier combinación de los tres: Sin embargo, las especificaciones

requieren una consistencia final igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 9 pulgadas de

espesor. El contratista ha determinado que 3 pulgadas de su asfalto son tan resistentes como 1 pulgada de concreto, y 6

pulgadas de gravilla son tan resistentes como 1 pulgada de concreto. Cada pulgada de espesor por yarda cuadrada de

concreto le cuesta $100, el asfalto $380 y la gravilla $150. Determina la combinación de materiales que él debería usar

para minimizar su costo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de pulgadas de espesor de concreto que debera comprar el contratista.

x 2 = Número de pulgadas de espesor de asfalto que debera comprar el contratista.

x 3 = Número de pulgadas de espesor de gravilla que debera comprar el contratista.

Minimizar: Z = 100x 1 + 380x 2 + 150x 3 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 ≥ 12❷; x 1 + x 2 + x 3 ≤ 48❸; x 1 + x 2

3 + x 3

6 ≥ 9❹; con: x 1, x 2 , x 3 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#279 Una fábrica produce confitura de albaricoque y confitura de ciruela. El doble de la producción de

confitura de ciruela es menor o igual que la producción de confitura de albaricoque más 800 unidades. Además, el triple

de la producción de confitura de albaricoque más el doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que

2400 unidades. Cada unidad de confitura de albaricoque produce un beneficio de 60 Bs, y cada unidad de confitura de

ciruela 80 Bs. ¿Cuántas unidades de cada tipo de confitura, se tienen que producir para obtener un beneficio máximo?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de unidades a fabricar de confitura de albaricoque.

x 2 = Número de unidades a fabricar de confitura de ciruela.

Maximizar: Z = 60x 1 + 80x 2 ❶

{ Sujeto a: 2x 2 ≤ x 1 + 800 ↔ −x 1 + 2x 2 ≤ 800❷; 3x 1 + 2x 2 ≤ 2400❸; con: x 1 , x 2 ≥ 0❹ }

PROBLEMA#280 Un comerciante desea comprar dos tipos de lavadoras, A y B. Las de tipo A cuestan 450 Bs, y las de

tipo B, 750 Bs. Dispone de 10500 Bs y de sitio para 20 lavadoras, y, al menos, ha de comprar una de cada tipo. ¿Cuántas

lavadoras ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta posterior, sabiendo que en cada

lavadora gana el 20% del precio de compra? Nota: se recuerda que el número de lavadoras de cada tipo ha de ser entero.

SOLUCIÓN:

JULIO VARGAS HERBAS*116


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

{ Sujeto a:

x 1 = Número de lavadoras a comprar para vender de lavadora tipo A.

x 2 = Número de lavadoras a comprar para vender de lavadora tipo B.

Maximizar: Z = (450 ∗ 0, 20)x 1 + (750 ∗ 0, 20)x 2 = 90x 1 + 150x 2 ❶

450x 1 + 750x 2 ≤ 10500❷; x 1 + x 2 ≤ 20❸; x 1 ≥ 1❹; x 2 ≥ 1❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻}

PROBLEMA#281 Una compañía de telefonía móvil de Entel-Bolivia quiere celebrar una jornada de “Consumo razonable” y

ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 centavos de bolivianos por cada mensaje SMS y 25 centavos de bolivianos por cada

minuto de conversación incluyendo el costo de establecimiento de llamada. Impone las siguientes condiciones:

a) El número de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el número de mensajes aumentado en 3, ni ser

menor que el número de mensajes disminuido en 3.

b) Sumando el quíntuplo del número de mensajes con el número de llamadas no puede superar más de 27.

Determinar el número de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea máximo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de mensajes de SMS a ofrecer a los clientes en consumo razonable.

x 2 = Número de llamadas en minutos de conversacion a ofrecer a los clientes en consumo razonable.

Maximizar: Z = 15x 1 + 25x 2 ❶

{

Sujeto a: 5x 1 + x 2 ≤ 27❷; [(x 1 − 3 ≤ x 2 ≤ x 1 + 3) ↔ x 1 − x 2 ≤ 3❸; −x 1 + x 2 ≤ 3❹]; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#282 Un entrenador de natación debe determinar el equipo de natación de relevos 400 y tiene seis

nadadores que pueden nadar los cuatro tipos, se muestran los tiempos en segundos en la siguiente tabla:

Nadadores

1 2 3 4 5 6

Espalda 85 88 87 82 89 86

Pecho 78 77 77 76 79 78

Mariposa 82 81 82 80 83 81

Libre 84 84 86 83 84 85

SOLUCIÓN:

x ij = 0 si no se asigna en evento i al nadador j. x ij = 1 si " se asigna en evento i al nadador j"

Minimizar: Z = 85x 11 + 78x 21 + 82x 31 + 84x 41 + 88x 12 + 77x 22 + 81x 32 + 84x 42 + 87x 13 + 77x 23 + 82x 33 + 86x 43

+82x 14 + 76x 24 + 80x 34 + 83x 44 + 89x 15 + 79x 25 + 83x 35 + 84x 45 + 86x 16 + 78x 26 + 81x 36 + 85x 46 ❶

Sujeto a: x 11 + x 21 + x 31 + x 41 ≤ 1❷; x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ≤ 1❸; x 13 + x 23 + x 33 + x 43 ≤ 1❹; x 14 + x 24 + x 34 + x 44 ≤ 1❺

{

x 15 + x 25 + x 35 + x 45 ≤ 1❻; x 16 + x 26 + x 36 + x 46 ≤ 1❼; x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 = 1❽

x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 + x 26 = 1❾; x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 + x 36 = 1❿; x 41 + x 42 + x 43 + x 44 + x 45 + x 46 = 1❶❶

x ij ≥ 0∀ij ó x ij ∈ {0; 1} el resultado sólo pueden ser 0, 1; cero ó uno. }

PROBLEMA#283 Una compañía produce chamarras y bolsos de cuero. Una chamarra necesita 8 pie 2 de cuero, un

bolso solo tres, el tiempo de trabajo invertido es de 12 y 4 horas respectivamente. El precio de compra del cuero es de 8

Bs por pie 2 y el costo por hora de trabajo se estima en 15 Bs. La disponibilidad semanal de cuero y trabajo está limitada

a 1200 pie 2 y 1800 horas. La compañía vende las chamarras y los bolsos a 350 Bs y 120 Bs, respectivamente. ¿Cuántas

unidades de chamarras y bolsos se deben producir para obtener la máxima utilidad?

SOLUCIÓN:

Recursos Chamarras Bolsos Disponibilidad Costo de chamarra=8(8)+12(15)

Cuero Pie 2 8 Pie 2 3 Pie 2 1200 Pie 2 Cc=64+180=244

Mano de Obra en horas 12 hrs 4 hrs 1800 horas UTchamarra=350-244=106

Precio del cuero 8 Bs por Pie 2 8 Bs por Pie 2

Utilidad Total=PV-Costos

Costo de Mano de Obra por hora 15 Bs 15 Bs

Costo de bolso=3(8)+4(15)

Precio de venta 350 Bs 120 Bs

Cb=24+60=84

Utilidad total UT 106 Bs 36 Bs

UTbolso=120-84=36

x 1 = Número de chamarras a producir. x 2 = Número de bolsos de cuero a producir.

{

Maximizar: Z = 106x 1 + 36x 2 ❶

}

Sujeto a: 8x 1 + 3x 2 ≤ 1200❷; 12x 1 + 4x 2 ≤ 1800❸; con: x 1 , x 2 ≥ 0❹

PROBLEMA#284 Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas entre adultos y niños, aunque

el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada de un adulto a una sesión es de 8 Bs, mientras

que la de un niño es de un 40% menos. El número de adultos no puede superar al doble del número de niños. Cumpliendo las

condiciones anteriores, ¿cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la venta de entradas?

¿Cuántas de las entradas serán de niños?

SOLUCIÓN:

{

x 1 = Número de entradas a vender para adultos a la sala de espectálucos.

x 2 = Número de entradas a vender para niños a la sala de espectálucos.

Maximizar: Z = 8x 1 + 4, 80x 2 = 8x 1 + 24

5 x 2❶

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 1500❷; x 2 ≤ 600❸; x 1 ≤ 2x 2 ❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*117


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#285 Una empresa compra 26 locomotoras a tres fábricas: 9 a A, 10 a B y 7 a C. Las locomotoras deben

prestar servicio en dos estaciones distintas: 11 de ellas en la estación N y 15 en la estación S. Los costos de traslado

son, por cada una, los que se indiquen en la tabla siguiente en miles de bolivianos.

A B C

N 6 15 3

S 4 20 5

Averigua cómo conviene hacer el reparto para que el costo sea mínimo.

SOLUCIÓN:

Resumimos los datos en una tabla y escribimos las restricciones del problema (tendremos en cuenta que todos los

datos de la tabla deben ser positivos o cero y que x 1 e x 2 deben ser enteros).

A B C

N x 1 x 2 11 − x 1 − x 2 11

S 9 − x 1 10 − x 2 x 1 + x 2 − 4 15

9 10 7 26

{ Minimizar: Z = 6x 1 + 15x 2 + 3(11 − x 1 − x 2 ) + 4(9 − x 1 ) + 20(10 − x 2 ) + 5(x 1 + x 2 − 4) = 4x 1 − 3x 2 + 249❶

}

Sujeto a: x 1 + x 2 ≥ 4❷; x 1 + x 2 ≤ 11❸; x 1 ≤ 9❹; x 2 ≤ 10❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻

PROBLEMA#286 Un granjero desea crear una granja de pollos de dos razas, A y B. Dispone de 9000 Bs para invertir y de un

espacio con una capacidad limitada para 7000 pollos. Cada pollo de la raza A le cuesta 1 Bs y obtiene con él un beneficio de 1 Bs, y

cada pollo de la raza B le cuesta 2 Bs y el beneficio es de 1,4 Bs por unidad. Si por razones comerciales el número de pollos de la raza B

no puede ser superior a los de la raza A, determina, justificando la respuesta:

a) ¿qué cantidad de ambas razas debe comprar el granjero para obtener un beneficio máximo?

b) ¿cuál será el valor de dicho beneficio?

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de pollos de raza A, a comprar. x 2 = Número de pollos de la raza B, a comprar.

{

Maximizar: Z = 1x 1 + 1, 40x 2 ❶

}

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 7000❷; 1x 1 + 2x 2 ≤ 9000❸; x 2 ≤ x 1 ❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺

PROBLEMA#287 Un alumno de cuarto semestre de UAGRM comprende que “solo el trabajo y nada de diversión hace

a una persona aburrida”. Como resultado quiere distribuir su tiempo disponible de alrededor 10 horas al día, entre

estudio y diversión. Calcula que el juego es dos veces más importante que el estudio. También quiere estudiar por lo

menos tanto como juega. Sin embargo comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar

más de cuatro horas. Plantear el modelo que maximice su satisfacción tanto en el estudio como en el juego. Plantear

modelo.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de horas de Juego que empleará el universitario.

x 2 = Número de horas de Estudio que empeará el universitario.

Maximizar: Z = 2x 1 + 1x 2 ❶

{ Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 10❷; x 2 ≥ x 1 ❸; x 1 ≤ 4❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#288 FAB debe determinar cuántos botes de vela tiene que producir cada mes durante los cuatro

trimestres. La demanda durante cada uno de los siguientes cuatro trimestres es como sigue: primer trimestre 40 botes,

segundo trimestre 60, tercer trimestre 75, cuarto trimestre 25. FAB debe cumplir con la demanda a tiempo. A principio

del primer trimestre tenía un inventario de 10 botes. Al empezar cada trimestre debe decidir cuántos botes debe producir

durante cada trimestre. Con el fin de simplificar los cálculos se supone que los botes fabricados durante un trimestre se

usan para cumplir con la demanda de ese trimestre. Durante cada trimestre FAB fabrica hasta 40 botes con mano de

obra en turno regular con un costo total de 400 dólares por bote. Si tiene empleados que trabajen tiempo extra durante

un trimestre, FAB manufactura más botes de vela con mano de obra de tiempo extra a un costo de 450 dólares por bote.

Al final de cada trimestre (después de producir los botes y cumplir la demanda del presente trimestre) se incurre en un

costo de 20 dólares por el transporte o por el almacenamiento. Plantear el modelo para determinar un calendario de

producción con el fin de minimizar la suma de costos de producción y de inventario durante los siguientes cuatro

trimestres.

SOLUCIÓN:

x i = Número de botes producidos de manera regular en el trimestre i, i = 1, 2, 3, 4.

y i = Número de botes producidos de manera extra en el trimestre i, i = 1, 2, 3, 4.

r i = Número de botes que quedaron después de cumplir la demanda en el trimestre i, i = 1, 2, 3, 4.

Minimizar: Z = 400(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + 450(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) − 20(r 1 + r 2 + r 3 + r 4 )❶

Sujeto a: x 1 ≤ 40❷; x 2 ≤ 40❸; x 3 ≤ 40❹; x 4 ≤ 40❺; r 1 = 10 + x 1 + y 1 − 40❻

r 2 = r 1 + x 2 + y 2 − 60❼; r 3 = r 2 + x 3 + y 3 − 75❽; r 4 = r 3 + x 4 + y 4 − 25❾;

[con: x i , y i , r i ≥ 0 y x i , y i , r i ∈ Z, i = 1, 2, 3, 4. (son condiciones de no negatividad, Z es entero)]❿ }

{

JULIO VARGAS HERBAS*118


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#289 Una empresa fabrica en dos plantas distintas un tipo de automóviles y después se tendrá que enviar

a 3 distribuidores como se muestra a continuación, donde se establece la oferta (+), la demanda (-) y los costos unitarios

de transporte.

SOLUCIÓN:

{

x ij = Número de autos a transportar de i a j.

Min: Z = 3x J1V1 + 4x J1V2 + 2x J2V1 + 5x J2V2 + 7x V1V2 + 8x V1H1 + 6x V1H2 + 4x V2H2 + 9x V2H3 + 5x H1H2 + 3x H2H3 ❶

Sujeto a: 1000 − x J1V1 − x J1V2 = 0❸; 1200 − x J2V1 − x J2V2 = 0❹; x J1V1 + x J2V2 − x V1V2 − x V1H1 − x V1H2 = 0❺;

x J1V2 + x J2V2 + x V1V2 − x V2H2 − x V2H3 = 0❻; x V1H1 − x H1H2 − 800 = 0❼; x V1H2 + x V2H2 + x H1H2 − x H2H3 − 900 = 0❽

x H2H3 + x V2H3 − 500 = 0❾; con: x ij ≥ 0 y x ij ∈ Z❿ }

PROBLEMA#290 Una pequeña empresa produce dos tipos de mesa A y B de madera de mara, la mesa A se fabricara

con 2 mts 2 de madera de mara y la mesa B se fabricará con 2,5 mts 2 de madera de mara.

En el taller de máquinas la mesa A es trabajada durante 2 horas y la mesa B durante una hora. Se necesitan 2 y 1 horas

respectivamente para embarnizar A y B, y se dispone de 30 horas semanales para este objetivo, además que el costo de

7 Bs por hora para cada una de las mesas (para embarnizar). El metro cuadrado de madera de mara cuesta 30 Bs y en el

taller máquinas la hora máquina cuesta 15 Bs. El precio de venta es de 130 y 135 Bs respectivamente para A y B.

La carpintería dispone a lo más de 60 mts 2 de madera de mara y un máximo de 40 horas máquina. ¿Hacer un programa

lineal para maximizar las utilidades?

SOLUCIÓN:

El problema podemos resumir en la siguiente tabla.

Recursos MESA TIPO A MESA TIPO B DISPONIBILIDAD

Madera de mara (mts 2 ) 2 mts 2 2,5 mts 2 60 mts 2 de madera mara

Taller máquina (horas) 2 horas 1 hora 40 horas máquina

Barnizado (horas) 2 horas 1 hora 30 horas semanales

Costo por hora para barnizar 7 Bs 7 Bs

Costo de madera de mara mts 2 30 Bs 30 Bs

Costo de horas máquina 15 Bs 15 Bs

Utilidad=PV-Costos

Precio de venta (unidad) 130 Bs 135 Bs

x 1 = Número de mesas de tipo A a producir en unidades.

x 2 = Número de mesas de tipo B a producir en unidades.

Maximizar: Z = [130 − (2 ∗ 30 + 2 ∗ 15 + 2 ∗ 7)]x 1 + [135 − (2, 5 ∗ 30 + 1 ∗ 15 + 1 ∗ 7)]x 2 = 26x 1 + 38x 2 ❶

{

Sujeto a: 2x 1 + 2, 5x 2 ≤ 60❷; 2x 1 + x 2 ≤ 40❸; 2x 1 + x 2 ≤ 30❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#291 Una empresa de confecciones elabora tres modelos de pantalones. Cada pantalón del modelo A

requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un pantalón tipo C, el modelo B requiere el tiempo promedio entre

ambos pantalones, es decir se tarda menos que el modelo A y más que el modelo C. Si todos los pantalones son

exclusivamente del modelo A la empresa puede producir un total de 200 unidades al día. La cantidad a producir del

modelo tipo A debe ser cuando menos el 40% del total, pero no más del 50%, los pantalones tipo B se fabrican máximo

hasta 60 unidades diarias. Supóngase que la ganancia que se obtiene para el modelo A es de 8 Bs, para el modelo B 7

Bs y para el modelo C 5 Bs. Formule un modelo para determinar el número de pantalones de cada modelo que deben

elaborarse para maximizar la ganancia.

SOLUCIÓN:

Desarrollamos en una tabla la relación de los tiempos.

Modelo A Modelo B Modelo C

2 horas 1,5 horas 1 hora

200 0 0 El 200 esta información me da en el enunciado

0 0 400 Si no hago de A,B cuanto hago de C, será el doble de A será de 400

0 300 0 Si no hago de A,C cuanto hago de B, promedio=(A+C)/2=(200+400)/2=300

JULIO VARGAS HERBAS*119


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

x 1 = Número de pantalones a elaborar del modelo A.

x 2 = Número de pantalones a elaborar del modelo B.

x 3 = Número de pantalones a elaborar del modelo C.

Maximizar: Z = 8x 1 + 7x 2 + 5x 3 ❶

1

{

Sujeto a:

200 x 1 +

1

300 x 2 +

1

400 x 3 ≤ 1❷; x 1 ≥ 0, 4(x 1 + x 2 + x 3 )❸; x 1 ≤ 0, 5(x 1 + x 2 + x 3 )❹; x 2 ≤ 60❺ con: x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#292 Considere el problema enfrentado por Julio, graduado de la carrera de administración de empresas,

quien recientemente obtuvo un puesto como analista financiero en una compañía de Bolsa Boliviana. Uno de los

beneficios adicionales es un plan de retiro en el que el empleado pone 5% de su ingreso mensual. La compañía iguala

esta cantidad. El dinero de este plan es entonces invertido en dos fondos: un fondo de acciones y un fondo de bonos. El

Departamento de Beneficios le ha pedido a Julio que especifique la fracción de este dinero de retiro que habría que

invertir en cada fondo. Julio ha analizado el rendimiento anterior de estos fondos y se ha enterado de que el fondo de

acciones ha crecido a una tasa anual promedio de 10%, mientras que el fondo de bonos, más conservador, ha

promediado una retribución anual de 6%. Para diversificar su cartera y para controlar el riesgo, no desea poner todos los

huevos en una sola canasta, ha identificado dos pautas:

1. Ninguno de los dos fondos debe tener más de 75% de la inversión total.

2. La cantidad invertida en el fondo de acciones no debe exceder del doble invertido en el fondo de bonos.

SOLUCIÓN:

x 1 = Fracción por invertir en el fondo de acciones.

x 2 = Fracción por invertir en el fondo de bonos.

Maximizar: Z = 0, 10x 1 + 0, 06x 2 ❶

{ Sujeto a: x 1 ≤ 0, 75❷; x 2 ≤ 0, 75❸; x 1 ≤ 2x 2 ❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PROBLEMA#293 CCC tiene tres plantas de ensamblaje de microcomputadoras en San Francisco, Los Ángeles y

Phoenix. La planta de Los Ángeles tiene una capacidad de producción mensual de 2000 unidades. Cada una de las

plantas de San Francisco y Phoenix puede producir un máximo de 1700 unidades al mes. Las microcomputadoras de

CCC se venden a través de cuatro tiendas detallistas localizadas en San Diego, Barstow, Tucson y Dallas. Los pedidos

mensuales de los vendedores al menudeo son de 1700 unidades en San Diego, 1000 en Barstow, 1500 en Tucson y 1200

en Dallas. La tabla 2 contiene el costo de embarque de una microcomputadora desde cada planta de ensamblaje hasta

cada una de las distintas tiendas minoristas. Su trabajo es formular un modelo matemático para encontrar el programa

de embarque de mínimo costo.

Tabla 2. Costos de embarque ($/unidad)

Plantas

Tiendas

San Diego Barstow Tucson Dallas

San Francisco 5 3 2 6

Los Ángeles 4 7 8 10

Phoenix 6 5 3 8

SOLUCIÓN:

x ij = Cantidad de unidades a enviar de la planta i, a las tiendas detallistas j.

Minimizar: Z = 5x 11 + 3x 12 + 2x 13 + 6x 14 + 4x 21 + 7x 22 + 8x 23 + 10x 24 + 6x 31 + 5x 32 + 3x 33 + 8x 34 ❶

Sujeto a:

Restricciones de demanda

Restricciones de capacidad

x 11 + x 21 + x 31 = 1700❺

x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ≤ 1700❷

x 12 + x 22 + x 32 = 1000❻

x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 2000❸

x 13 + x 23 + x 33 = 1500❼

x 31 + x 32 + x 33 + x 34 ≤ 1700❹

x 14 + x 24 + x 34 = 1200❽

{

con: x ij ≥ 0❾ }

PROBLEMA#294 Los socios generales de High Tech, una compañía de inversión de capital de riesgo, están

considerando invertir en una o más propuestas que han recibido de varios negocios empresariales. El departamento de

investigación ha examinado cada propuesta, y cuatro de los empresarios cumplen con el requerimiento de High Tech de

lograr un rendimiento lo suficientemente alto para el riesgo asociado. Estas compañías son Bio-Tech, Tele-Comm,

Laser-Optics y Compu-Ware. El departamento de investigación de High Tech también ha estimado el rendimiento total de

estos negocios en dólares actuales, dado en la última columna de la siguiente tabla.

Datos de inversión para High Tech ($ miles)

Proyectos Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Devolución

Bio-Tech 60 10 10 10 250

Tele-Comm 35 35 35 35 375

Laser-Optics 10 50 50 10 275

Compu-Ware 15 10 10 40 140

Fondos para inversión 90 80 80 50

Cada uno de los cuatro proyectos requiere inversiones de una cantidad conocida al principio de cada uno de los

siguientes cuatro años, como se muestra en la tabla. El departamento de contabilidad de High Tech ha preparado una

JULIO VARGAS HERBAS*120


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

estimación de los fondos totales que High Tech tiene para invertir a principios de cada uno de los siguientes cuatro

años, que se da en la última fila de la tabla. Observe que los fondos no usados de cualquier año no están disponibles

para su inversión en los años posteriores.

Como uno de los socios generales de High Tech, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a cuáles de estos

proyectos elegir, si acaso, para invertir y lograr el más alto rendimiento total en dólares actuales. Usted y los otros

socios han acordado que High Tech, en un esfuerzo por diversificarse, no invertirá conjuntamente en Tele-Comm y

Laser-Optics, que están desarrollando el mismo tipo de tecnología.

SOLUCIÓN

1, si High Tech debe invertir en Bio − Tech.

Bio − Tech = B = x 1 = ( ) → 0 ≤ B ≤ 1

0, si High Tech no debe invertir en Bio − Tech.

y B entera.

1, si High Tech debe invertir en Tele − Comm.

Tele − Comm = T = x 2 = ( ) → 0 ≤ T ≤ 1

0, si High Tech no debe invertir en Tele − Comm.

y T entera.

1, si High Tech debe invertir en Laser − Optics

Laser − Optics = L = x 3 = ( ) → 0 ≤ L ≤ 1

0, si High Tech no debe invertir en Laser − Optics

y L entera.

1, si High Tech debe invertir en Compu − Ware

Compu − Ware = C = x 4 = ( ) → 0 ≤ C ≤ 1

0, si High Tech no debe invertir en Compu − Ware

y C entera.

Maximizar: Z = 250x 1 + 375x 2 + 275x 3 + 140x 4 ❶

Sujeto a: 60x 1 + 35x 2 + 10x 3 + 15x 4 ≤ 90❷; 10x 1 + 35x 2 + 50x 3 + 10x 4 ≤ 80❸; 10x 1 + 35x 2 + 50x 3 + 10x 4 ≤ 80❹

{ 10x 1 + 35x 2 + 10x 3 + 40x 4 ≤ 50❺; x 2 + x 3 ≤ 1❻; con: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 o 1❼ 0 = no y 1 = si }

PROBLEMA#295 Tres divisiones de Twinsburg Company fabrican un producto en el que cada unidad completa consiste

en cuatro unidades del componente A y tres unidades del componente B. Los dos componentes (A y B) se fabrican a

partir de dos materias primas diferentes. Existen 100 unidades de la materia prima 1 y 200 unidades de la materia prima 2

disponibles. Cada una de las tres divisiones usa un método diferente para fabricar los componentes, dando como

resultado distintos requerimientos de materia prima y productos. La tabla muestra los requerimientos de materia prima

por corrida de producción en cada división y el número de cada componente producido por esa corrida.

Entrada/Corrida (unidades) Salida/Corrida (unidades) Componentes

División

Materia Prima

Componente

1 2 A B

1 8 6 7 5

2 5 9 6 9

3 3 8 8 4

Por ejemplo, cada corrida de producción de la división 1 requiere 8 unidades de la materia prima 1 y 6 unidades de la

materia prima 2. El producto de esta corrida es 7 unidades de A y 5 unidades de B. Como gerente de producción, formule

un modelo para determinar el número de corridas de producción para cada división que maximice el número total de

unidades terminadas del producto final.

SOLUCIÓN:

x 1 = Número de corridas en la división 1. x 2 = Número de corridas en la división 2.

x 3 = Número de corridas en la división 3. x 4 = Número del componente A. x 5 = Número del componente B.

x 6 = Número de unodades completas.

Maximizar: Z = x 6 ❶

Sujeto a: 8x 1 + 5x 2 + 3x 3 ≤ 100❷(materia prima 1); 6x 1 + 9x 2 + 8x 3 ≤ 200❸(materia prima 2)

7x 1 + 6x 2 + 8x 3 − x 4 = 0❹(componente A); 5x 1 + 9x 2 + 4x 3 − x 5 = 0❺(componente B)

{

x 6 − 1 4 x 4 ≤ 0❻; x 6 − 1 3 x 5 ≤ 0❼; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ≥ 0❽(y deben ser enteros)

PROBLEMA#296 JVH Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en

$10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0,5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un

tipo particular de máquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0,45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0,6

minutos. Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material de soldar. El costo

total se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C, respectivamente.

Para la siguiente semana, JVH Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000 pies del tubo A,

4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como sólo se dispone de 40 horas de tiempo de máquina esta semana y

sólo se tienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta

demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y 11000 onzas de material de soldar. No se espera que

continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de

JVH Steel está considerando la compra de algunos de estos tubos a pro-veedores de Japón a un costo de entrega de $6

por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla. Como

gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción

de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la

compañía.

}

JULIO VARGAS HERBAS*121


Tipo

PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

Datos para el problema de hacer o comprar de JVH Steel

Precio de venta Demanda Tiempo de Material para

($/pie) (pie) máquina soldar

(minuto/pie) (onzas/pie)

JULIO VARGAS HERBAS*122

Costo de

producción

($/pie)

Costo de

compra

($/pie)

A 10 2000 0,5 1 3 6

B 12 4000 0,45 1 4 6

C 9 5000 0,60 1 4 7

Cantidad disponible 40 horas 5500 onzas

SOLUCIÓN:

{

x 1 = el número de pies de tubo A por producir.

Producción: [ x 2 = el número de pies de tubo B por producir.

x 3 = el número de pies de tubo C por producir.

x 4 = el número de pies de tubo A que comprar a Japón.

Compra: [ x 5 = el número de pies de tubo B que comprar a Japón.

x 6 = el número de pies de tubo C que comprar a Japón.

Maximizar: Z = 7x 1 + 8x 2 + 5x 3 + 4x 4 + 6x 5 + 2x 6 ❶

Sujeto a:

Demandas: x 1 + x 4 = 2000❷(del tipo A); x 2 + x 5 = 4000❸(del tipo B); x 3 + x 6 = 5000❹(del tipo C)

Recursos: 0, 5x 1 + 0, 45x 2 + 0, 60x 3 ≤ 2400❺(tiempo máquina); x 1 + x 2 + x 3 ≤ 5500❻(material de soldar)

con: x 1 , x 2 , x 3 , x 3 , x 5 , x 6 ≥ 0❼(condiciones de no negatividad) }

PROBLEMA#297 Al gerente de cartera de Pensión Planners, Inc. se le ha pedido invertir $1000000 de un gran fondo de

pensiones. El departamento de investigación de Inversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategias de inversión

variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla siguiente.

Riesgo y tasa esperada de rendimiento de seis fondos de inversión

FONDOS

1 2 3 4 5 6

Precio ($/acción) 45 76 110 17 23 22

Devolución esperada (%) 30 20 15 12 10 7

Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para ese fin, la

administración de Pensión Planners, Inc. ha especificado las siguientes pautas:

1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la cartera.

2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la cartera.

3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas

diferentes. La gerencia de Pensión Planners, Inc., ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1, 2 y 3

deben estar en la tasa 1:2:3, respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.

Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la tasa esperada de retorno?

SOLUCION

x 1 = la fracción de la cartera por invertie en el fondo 1. x 4 = la fracción de la cartera por invertie en el fondo 4.

x 2 = la fracción de la cartera por invertie en el fondo 2. x 5 = la fracción de la cartera por invertie en el fondo 5.

x 3 = la fracción de la cartera por invertie en el fondo 3. x 6 = la fracción de la cartera por invertie en el fondo 6.

Maximizar: Z = 0, 30x 1 + 0, 20x 2 + 0, 15x 3 + 0, 12x 4 + 0, 10x 5 + 0, 07x 6 ❶

Sujeto a: x 1 + x 2 + x 3 ≥ 0, 50❷; x 1 + x 2 + x 3 ≤ 0, 75❸; x 4 + x 5 ≥ 0, 20❹; x 4 + x 5 ≤ 0, 30❺; x 6 ≥ 0, 05❻

{

alto riesgo debe estar a una tasa 1: 2: 3 → x 2 = 2x 1 ❼(proporción de 1 a 2); x 3 = 3x 1 ❽(proporción de 1 a 3)

mediano de riesgo debe estar a una tasa de proporción de 1: 2 → x 5 = 2x 4 ❾(proporción de x 4 a x 5 )

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 1000000❿; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ≥ 0❶❶ }

PROBLEMA#298 IMC es una compañía de manejo de efectivo que está considerando invertir $100000 en una o más de

las siguientes acciones con la tasa anticipada de rendimiento que a continuación se muestra:

Inversiones Tasa de rendimiento proyectada %)

Acciones preferenciales 9

Acciones comunes 1 8

Acciones comunes 2 7

Bonos municipales 6

La gerencia de IMC ha impuesto las siguientes pautas de inversión:

1. La inversión en bonos municipales debe ser de al menos $20000.

2. La inversión en bonos municipales no debe exceder 20% de la inversión total en acciones, más $50000.

3. La inversión total en acciones no debe ser mayor a 60% de la inversión total.

4. La inversión total no debe exceder los fondos disponibles.

Como administrador de la cartera, es probable que quiera determinar la estrategia de inversión que maximice el

rendimiento total anual esperado sin violar ningún lineamiento de inversión.


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

SOLUCION

x 1 = dólares invertidos en acciones preferenciales. x 3 = dólares invertidos en acciones comunes 2.

x 2 = dólares invertidos en acciones comunes 1. x 4 = dólares invertidos en bonos municipales.

Maximizar: Z = 0, 09x 1 + 0, 08x 2 + 0, 07x 3 + 0, 06x 4 ❶

Sujeto a: x 4 ≥ 20000❷; −0, 2x 1 − 0, 2x 2 − 0, 2x 3 + x 4 ≤ 50000❸; 0, 4x 1 + 0, 4x 2 + 0, 4x 3 − 0, 60x 4 ≤ 0❹

{

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 100000❺; con: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0❻ }

PROBLEMA#299 La principal sucursal del Banco BNB en Santa Cruz requiere de 8 a 15 cajeros de servicio,

dependiendo de la hora del día, como se indica en la tabla.

Requerimientos de cajeros del Banco BNB

Periodo

Número mínimo de cajeros

8-10 A.M 8

10-12 Mediodía 10

12-2 P.M 15

2-4 P.M 12

Los cajeros de tiempo completo trabajan 8 horas consecutivas a $15 la hora, comenzando a las 8 A.M. Los cajeros de

tiempo parcial trabajan 4 horas consecutivas a $8 la hora, comenzando a las 8 A.M, 10 A.M. o 12 del mediodía. Las

regulaciones sindicales requieren que a toda hora al menos 60% de los cajeros sean de tiempo completo. Como gerente

del departamento de personal, haga una recomendación respecto al número de empleados de tiempo completo y de

tiempo parcial requeridos a lo largo del día para minimizar el costo diario total.

SOLUCIÓN

F = el número de cajeros de tiempo completo a contratar. P = el número de cajeros de tiempo parcial a contratar.

{

P 8 = el número de cajeros de tiempo parcial por contratar que comienzan a las 8 A. M.

P 10 = el número de cajeros de tiempo parcial por contratar que comienzan a las 10 A. M.

P 12 = el número de cajeros de tiempo parcial por contratar que comienzan a las 12 del mediodía.

Minimizar: Z = 120F + 32P 8 + 32P 10 + 32P 12 ❶

Sujeto a: F + P 8 ≥ 8❷; F + P 8 + P 10 ≥ 10❸; F + P 10 + P 12 ≥ 15❹; F + P 12 ≥ 12❺

F ≥ 0, 60(F + P 8 )❻; F ≥ 0, 60(F + P 8 + P 10 )❼; F ≥ 0, 60(F + P 10 + P 12 )❽; F ≥ 0, 60(F + P 12 )❾

con: F, P 8 , P 10 , P 12 ≥ 0❿ y enteras }

PROBLEMA#300 Considere el problema enfrentado por Julio, graduado de la carrera de administración de empresas,

quien recientemente obtuvo un puesto como analista financiero en una compañía de Bolsa Boliviana. Uno de los

beneficios adicionales es un plan de retiro en el que el empleado pone 5% de su ingreso mensual. La compañía iguala

esta cantidad. El dinero de este plan es entonces invertido en dos fondos: un fondo de acciones y un fondo de bonos. El

Departamento de Beneficios le ha pedido a Julio que especifique la fracción de este dinero de retiro que habría que

invertir en cada fondo. Julio ha analizado el rendimiento anterior de estos fondos y se ha enterado de que el fondo de

acciones ha crecido a una tasa anual promedio de 10%, mientras que el fondo de bonos, más conservador, ha

promediado una retribución anual de 6%. Para diversificar su cartera y para controlar el riesgo, no desea poner todos los

huevos en una sola canasta, ha identificado dos pautas:

1. Ninguno de los dos fondos debe tener más de 75% de la inversión total.

2. La cantidad invertida en el fondo de acciones no debe exceder del doble invertido en el fondo de bonos.

SOLUCIÓN:

x 1 = Fracción por invertir en el fondo de acciones.

x 2 = Fracción por invertir en el fondo de bonos.

Maximizar: Z = 0, 10x 1 + 0, 06x 2 ❶

{ Sujeto a: x 1 ≤ 0, 75❷; x 2 ≤ 0, 75❸; x 1 ≤ 2x 2 ❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

JULIO VARGAS HERBAS*123


PROGRAMACIÓN LINEAL - FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES

PROBLEMA#301 Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, que venden a 18 y 21 centavos de dólar por

galón. La refinería puede comprar cuatro diferentes crudos con los siguientes análisis y costos:

Crudo A B C Precio($/galón)

1 0,80 0,10 0,10 0,14

2 0,30 0,30 0,40 0,10

3 0,70 0,10 0,20 0,15

4 0,40 0,50 0,10 0,12

La gasolina cuyo precio de venta es 21 centavos de dólar debe tener cuando menos 60 por ciento de A y no más de 35 por ciento de C.

La de 18 centavos de dólar por galón no debe tener más de 30 por ciento de C. En el proceso de mezclado se pierde, por evaporación, 2

por ciento A y 1 por ciento de B y C. Demuéstrese cómo se determinan las cantidades relativas de crudos que se utilizar, mediante la

Programación Lineal.

SOLUCIÓN:

Como se desea conocer las cantidades a utilizar para producir los dos tipos de gasolina, se hace necesario usar las variables que están

representadas en la siguiente gráfica:

Al mezclarse X ij para dar la gasolina j, cumplir con las condiciones de análisis y perder en el proceso de evaporación,

los valores que quedan son:

Crudo A B C Total

1 0,80(0,98)=0,784 0,10(0,99)=0,099 0,10(0,99)=0,099 0,982

2 0,30(0,98)=0,294 0,30(0,99)=0,297 0,40(0,99)=0,396 0,987

3 0,70(0,98)=0,686 0,10(0,99)=0,099 0,20(0,99)=0,198 0,983

4 0,40(0,98)=0,392 0,50(0,99)=0,495 0,10(0,99)=0,099 0,986

Así por ejemplo, el crudo antes de la mezcla tenía 0,80% de A; al perder por evaporación 2%, le queda sólo el 98%; luego, (0,80)(0,98) es

igual a 0,784. El problema exige que se cumplan las siguientes restricciones:

x ij = La cantidad de crudo i que interviene en la gasolina j (i = 1, 2, 3, 4 y j = 1, 2).

x 11 = Cantidad a comprar de galones de crudo 1, para producir gasolina tipo 1.

x 12 = Cantidad a comprar de galones de crudo 1, para producir gasolina tipo2.

x 21 = Cantidad a comprar de galones de crudo 2, para producir gasolina tipo 1.

x 22 = Cantidad a comprar de galones de crudo 2, para producir gasolina tipo 2.

x 31 = Cantidad a comprar de galones de crudo 3, para producir gasolina tipo 1.

x 32 = Cantidad a comprar de galones de crudo 3, para producir gasolina tipo 2.

x 41 = Cantidad a comprar de galones de crudo 4, para producir gasolina tipo 1.

x 42 = Cantidad a comprar de galones de crudo 4, para producir gasolina tipo 2.

Maximizar: Z = 18(0, 982x 11 + 0, 987x 21 + 0, 983x 31 + 0, 986x 41 ) + 21(0, 982x 12 + 0, 987x 22 + 0, 983x 32 + 0, 986x 42 )

−14(x 11 + x 12 ) − 10(x 21 + x 22 ) − 15(x 31 + x 32 ) − 12(x 41 + x 42 ) =

Maximizar: Z = 919

250 x 11 + 3311

500 x 12 + 3883

500 x 21 + 10727

1000 x 22 + 1347

500 x 31 + 5643

1000 x 32 + 1437

250 x 41 + 4353

500 x 42❶

Sujeto a:

Condiciones de gasolina de tipo 2.

{0, 784x 12 + 0, 294x 22 + 0, 686x 32 + 0, 392x 42 ≥ 0, 60(0, 982x 12 + 0, 987x 22 + 0, 983x 32 + 0, 986x 42 )}❷

{0, 099x 12 + 0, 396x 22 + 0, 198x 32 + 0, 099x 42 ≤ 0, 35(0, 982x 12 + 0, 987x 22 + 0, 983x 32 + 0, 986x 42 )}❸

{(0, 099x 11 + 0, 396x 21 + 0, 198x 31 + 0, 099x 41 ) ≤ 0, 30(0, 982x 11 + 0, 987x 21 + 0, 983x 31 + 0, 986x 41 )}❹

con: x ij ≥ 0∀ij(i = 1, 2, 3, 4 ; j = 1, 2)❺

Nota: La función objetivo expresa la utilidad que se logra luego de obtener un ingreso por la cantidad

{

vendida (la cual ha sufrido mermas por evaporación) los costos por el crudo usado. }

JULIO VARGAS HERBAS*124


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

CAPÍTULO 3

PROGRAMACIÓN LINEAL

MÉTODO GRÁFICO

JULIO VARGAS HERBAS*125


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

MÉTODO GRÁFICO

PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN GRÁFICA

Un problema de programación lineal que implica sólo dos variables de decisión puede resolverse empleando un

procedimiento de solución gráfica.

El método gráfico tiene la virtud de ser fácilmente comprensible y además permite visualizar algunas propiedades de un

programa lineal. Sin embargo desde el punto de vista práctica el método gráfico solamente es aplicable a dos variables,

y por otro lado los problemas de programación lineal, normalmente tienen decenas, centenas e incluso miles de

variables de decisión, lo implicaría la necesidad de usar otros métodos.

El método gráfico consiste en graficar solamente sobre el primer cuadrante del eje cartesiano, debido a la condición de

no negatividad, la región de soluciones factibles.

Procedimiento gráfica:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático o como un modelo lineal.

PASO 2. Las inecuaciones o las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos los puntos óptimos de los vértices de la región factible.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, reemplazando los puntos de los vértices del PASO 4, en la función objetivo, si el

problema es maximizar elegimos la ganancia más grande de los puntos de los vértices, si es minimizar elegir el más pequeño de los

costos de los puntos de los vértices de la región factible.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

Antes de graficar debemos conocer los siguientes aspectos de inecuaciones o desigualdades y de ecuaciones.

JULIO VARGAS HERBAS*126


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

JULIO VARGAS HERBAS*127


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

x 1 ≤ 0, 50(x 1 + x 2 )❶

Antes de dar valores a la inecuación

hay que hacer operaciones

elementales de aritméticas.

x 1 ≤ 0, 50(x 1 + x 2 )

x 1 ≤ 0, 50x 1 + 0, 50x 2

x 1 − 0, 50x 1 − 0, 50x 2 ≤ 0

0, 50x 1 − 0, 50x 2 ≤ 0❶

En conclusión podríamos graficar

estas inecuaciones las 2 son los

mismos el resultado es el mismo y la

región factible de los dos

inecuaciones es el mismo.

{ x 1 ≤ 0, 50(x 1 + x 2 )❶

0, 50x 1 − 0, 50x 2 ≤ 0❶ }

x 1 ≥ 0, 50(x 1 + x 2 )❶

Antes de dar valores a la inecuación

hay que hacer operaciones

elementales de aritméticas.

x 1 ≥ 0, 50(x 1 + x 2 )

x 1 ≥ 0, 50x 1 + 0, 50x 2

x 1 − 0, 50x 1 − 0, 50x 2 ≥ 0

0, 50x 1 − 0, 50x 2 ≥ 0❶

Como la inecuación es (≥0), podemos

multiplicar la inecuación por (-1).

y la inecuación cambia de ≥ a ≤

0, 50x 1 − 0, 50x 2 ≥ 0(−1)

−0, 50x 1 + 0, 50x 2 ≤ 0❶

En conclusión podríamos graficar

estas inecuaciones las 3 son los

mismos el resultado es el mismo y la

región factible de las tres

inecuaciones es el mismo.

x 1 ≥ 0, 50(x 1 + x 2 )❶

{ 0, 50x 1 − 0, 50x 2 ≥ 0❶}

−0, 50x 1 + 0, 50x 2

≤ 0❶

JULIO VARGAS HERBAS*128


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#302 Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga,

para transportar a 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8

del tipo B. La contratación de un avión del tipo A, que puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje,

cuesta 40000 Bolivianos; la contratación de uno del tipo B, que puede transportar a 100 personas y 15 toneladas de

equipaje, cuesta 10000 Bolivianos. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mínimo?

SOLUCIÓN:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático ó como un modelo lineal.

x 1 = Número de Aviones del tipo A que debemos contratar.

x 2 = Número de Aviones del tipo B que debemos contratar.

Minimizar: Z = 40000x 1 + 10000x 2 ❶

{ Sujeto a: 200x 1 + 100x 2 ≥ 1600❷; 6x 1 + 15x 2 ≥ 96❸; x 1 ≤ 11❹; x 2 ≤ 8❺ con: x 1 , x 2 ≥ 0❻}

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

200x 1 + 100x 2 = 1600❷ 6x 1 + 15x 2 = 96❸ x 1 = 11❹ x 2 = 8❺

x 1 x 2 x 1 x 2

0 16 0 6,4=32/5

8 0 16 0

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos los

puntos óptimos de los vértices

de la región factible.

A → { 200x 1 + 100x 2 = 1600❷

6x 1 + 15x 2 = 96❸ }

A(6; 4)

x

B → { 1 = 11❹

6x 1 + 15x 2 = 96❸ }

B(11; 2)

C → { x 1 = 11❹

} → C(11; 8)

x 2 = 8❺

D → { 200x 1 + 100x 2 = 1600❷

}

x 2 = 8❺

D(4; 8)

Nota: los puntos se hallan con

las ecuaciones que hacen las

intersecciones dichos puntos.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B,C y D, reemplazar en la función objetivo:

A(6; 4) → Min: Z = 40000x 1 + 10000x 2 = 40000(6) + 10000(4) = 240000 + 40000 = 280000 Bs.

B(11; 2) → Min: Z = 40000x 1 + 10000x 2 = 40000(11) + 10000(2) = 440000 + 20000 = 460000 Bs.

C(11; 8) → Min: Z = 40000x 1 + 10000x 2 = 40000(11) + 10000(8) = 440000 + 80000 = 520000 Bs.

{ D(4; 8) → Min: Z = 40000x 1 + 10000x 2 = 40000(4) + 10000(8) = 160000 + 80000 = 240000 Bs. → Punto Óptimo}

Como el problema es minimizar el costo de contratación de aviones, en este caso el óptimo de los óptimos se encuentra

en el punto D(4; 8), hemos elegido el más pequeño de los puntos A,B,C y D, y resulto ser el punto D.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

{( x 1 = 4

) ; Minimizar: Z = 240000 Bs. }

x 2 = 8

Debemos contratar 4 aviones del tipo A y contratar 8 aviones del tipo B, para tener un costo mínimo óptimo de

bolivianos de 240000.

JULIO VARGAS HERBAS*129


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#303 Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B

venden el aceite a 2000 y 3000 Bs por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de dos toneladas y

un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El

distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite

debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo costo? Determina dicho costo mínimo.

SOLUCIÓN:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático ó como un modelo lineal.

x 1 = Cantidad de toneladas de aceite de oliva almarazas de tipo A a comprar.

x 2 = Cantidad de toneladas de aceite de oliva almarazas de tipo B a comprar.

Minimizar: Z = 2000x 1 + 3000x 2 ❶

{ Sujeto a: 2 ≤ x 1 ≤ 7❷; 2 ≤ x 2 ≤ 7❸; x 1 + x 2 ≥ 6❹; x 1 ≤ 2x 2 ❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻}

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

2 = x 1 = 7❷ 2 = x 2 = 7❸ x 1 + x 2 = 6❹ x 1 = 2x 2 ❺

Ya se conocen los valores Ya se conocen los valores x 1 x 2 x 1 x 2

x 1 = 2 x 2 = 2 0 6 0 0

x 1 = 7 x 2 = 7 6 0 0 0

4 2

10 5

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos los

puntos óptimos de los vértices

de la región factible.

x 1 + x 2 = 6❹

A → { x 1 = 2x 2 ❺ }

x 2 = 2❸

A(4; 2)

B → { x 1 = 2x 2 ❺

} → B(7; 7/2)

x 1 = 7❷

C → { x 1 = 7❷

} → C(7; 7)

x 2 = 7❸

D → { x 1 = 2❷

} → D(2; 7)

x 2 = 7❸

E → { x 1 + x 2 = 6❹

} → E(2; 4)

x 1 = 2❷

Nota: los puntos se hallan con

las ecuaciones que hacen las

intersecciones dichos puntos.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B,C ,D y E, reemplazar en la función objetivo:

A(4; 2) → Min: Z = 2000x 1 + 3000x 2 = 2000(4) + 3000(2) = 8000 + 6000 = 14000 Bs. → Punto Óptimo

B(7; 7/2) → Min: Z = 2000x 1 + 3000x 2 = 2000(7) + 3000(7/2) = 14000 + 10500 = 24500 Bs.

C(7; 7) → Min: Z = 2000x 1 + 3000x 2 = 2000(7) + 3000(7) = 14000 + 21000 = 35000 Bs.

D(2; 7) → Min: Z = 2000x 1 + 3000x 2 = 2000(2) + 3000(7) = 4000 + 21000 = 25000 Bs.

{ E(2; 4) → Min: Z = 2000x 1 + 3000x 2 = 2000(2) + 3000(4) = 4000 + 12000 = 16000 Bs. }

Como el problema es minimizar el costo de compra de aceite de oliva de almarazas, en este caso el óptimo de los

óptimos se encuentra en el punto A(4; 2), hemos elegido el más pequeño de los puntos A,B,C,D y E, y resulto ser el

punto A.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

{( x 1 = 4

) ; Minimizar: Z = 14000 Bs. }

x 2 = 2

Debemos comprar 4 toneladas de aceite de oliva almaraza de tipo A, y 2 toneladas de aceite de oliva almaraza de tipo B,

para tener un costo mínimo óptimo de bolivianos de 14000.

JULIO VARGAS HERBAS*130


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#304 Una persona desea invertir Bs 5000 durante el próximo año en dos tipos de inversión. La inversión A

reditúa 5% y la inversión B 8%. La investigación de mercado recomienda una asignación de por lo menos 25% en A y

cuando mucho 50% en B. Además la inversión A debe ser por lo menos de la mitad de la inversión B. Plantear el modelo.

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático ó como un modelo lineal.

x 1 = Cantidad de dinero de bolivianos a invertir en la inversión del tipo A.

x 2 = Cantidad de dinero de bolivianos a invertir en la inversión del tipo B.

Maximizar: Z = 0, 05x 1 + 0, 08x 2 ❶

{ Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 5000❷; x 1 ≥ 0, 25( x 1 + x 2 )❸; x 2 ≤ 0, 50( x 1 + x 2 )❹; x 1 ≥ 0, 50x 2 ❺; con: x 1 , x 2 ≥ 0❻}

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

x 1 + x 2 = 5000❷ x 1 = 0, 25( x 1 + x 2 )❸ x 2 = 0, 50( x 1 + x 2 )❹ x 1 = 0, 50x 2 ❺

x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

0 5000 0 0 0 0 0 0

5000 0 0 0 0 0 0 0

1000 3000 1000 1000 1000 2000

2000 6000 2000 2000 2000 4000

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos

los puntos óptimos de los

vértices de la región factible.

x 1 = 0, 25( x 1 + x 2 )❸

A → { x 2 = 0, 50( x 1 + x 2 )❹}

x 1 = 0, 50x 2 ❺

A(0; 0)

B → {

x 1 + x 2 = 5000❷

x 2 = 0, 50( x 1 + x 2 )❹ }

B → (2500; 2500)

C → { x 1 + x 2 = 5000❷

x 1 = 0, 50x 2 ❺ }

C → ( 5000

3

; 10000 )

3

Nota: los puntos se hallan

con las ecuaciones que

hacen las intersecciones

dichos puntos.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B y C, reemplazar en la función objetivo:

A(0; 0) → Maximizar: Z = 0, 05x 1 + 0, 08x 2 = 0, 05(0) + 0, 08(0) = 0 Bs.

{ B(2500; 2500) → Maximizar: Z = 0, 05x 1 + 0, 08x 2 = 0, 05(2500) + 0, 08(2500) = 325Bs. }

C ( 5000 ; 10000 ) → Maximizar: Z = 0, 05x

3 3

1 + 0, 08x 2 =0, 05 ( 5000 ) + 0, 08 (10000 ) = 350 → Punto Óptimo 3

3

Como el problema es maximizar el rédito de las inversiones que hemos hecho en cada tipos de inversiones, en este caso

el óptimo de los óptimos se encuentra en el punto C ( 5000 ; 10000 ), hemos elegido el más grande de los puntos A,B y C; y

el resultado está en el punto C.

3

3

JULIO VARGAS HERBAS*131

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

x 1 = 5000 = 1666, 6667 = 1667

{(

3

x 2 = 10000

) ; Maximizar: Z = 350 Bs. }

= 3333, 3333 = 3333

3

Debemos invertir 5000 Bs en la inversión del tipo A, y 10000 Bs en la inversión del tipo B, para obtener un rédito máximo

3

3

de Bs 350 cada día.

5000

3

+ 10000 = 5000 Bs .

3


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#305 Por motivo de ampliación de plantilla, una empresa de servicios de traducción quiere contratar, a lo sumo, 50

nuevos traductores. El salario que ha de pagar a cada traductor de una lengua es de 2000 Bs, y de 3000 Bs a los que son más de una

lengua. Como poco, y por motivos de demanda, dicha empresa tiene que contratar a la fuerza a un traductor de más de una lengua. La

política de selección de personal de la compañía obliga también a contratar al menos a tantos traductores de una lengua como de más

de una. Sabiendo que el objetivo fijado de beneficios totales es, como mínimo, de 120000 Bs, y que los beneficios que aportan los

traductores de una lengua son de 4000 Bs/traductor, y de 8000 Bs/traductor los de más de una lengua.

a) ¿Cuántos traductores de cada tipo puede contratar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

b) ¿Cuántos traductores contratará para minimizar el gasto en salarios? ¿Qué beneficios totales tendrá la empresa en este caso?

SOLUCIÓN:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático ó como un modelo lineal.

x 1 = Número de traductores de Una lengua a contratar.

x 2 = Número de traductores de más de una lengua a contratar.

Minimizar: Z = 2000x 1 + 3000x 2 ❶ → (minimizar el gasto de salarios)

{ Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 50❷; 4000x 1 + 8000x 2 ≥ 120000❸; x 1 ≥ x 2 ❹; x 2 ≥ 1❺ con: x 1 , x 2 ≥ 0❻ }

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

x 1 + x 2 = 50❷ 4000x 1 + 8000x 2 = 120000❸ x 1 = x 2 ❹ x 2 = 1❺

x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

0 50 0 15 0 0

50 0 30 0 0 0

10 10

20 20

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos

los puntos óptimos de los

vértices de la región factible.

A → { 4000x 1 + 8000x 2 = 120000❸

}

x 2 = 1❺

A(28; 1)

B → { x 1 + x 2 = 50❷

x 2 = 1❺ }

B → (49; 1)

C → { x 1 + x 2 = 50❷

x 1 = x 2 ❹ }

C → (25; 25)

D → { 4000x 1 + 8000x 2 = 120000❸

}

x 1 = x 2 ❹

D(10; 10)

Nota: los puntos se hallan

con las ecuaciones que hacen

las intersecciones dichos

puntos.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B,C y D, reemplazar en la función objetivo:

A(28; 1) → Min: Z = 2000x 1 + 3000x 2 = 2000(28) + 3000(1) = 56000 + 3000 = 59000 Bs.

B(49; 1) → Min: Z = 2000x 1 + 3000x 2 = 2000(49) + 3000(1) = 98000 + 3000 = 101000 Bs.

C(25; 25) → Min: Z = 2000x 1 + 3000x 2 = 2000(25) + 3000(25) = 50000 + 75000 = 125000 Bs.

{ D(10; 10) → Min: Z = 2000x 1 + 3000x 2 = 2000(10) + 3000(10) = 20000 + 30000 = 50000 Bs. → Punto Óptimo }

Como el problema es minimizar el gasto de salarios de los traductores, en este caso el óptimo de los óptimos se

encuentra en el punto D(10; 10), hemos elegido el más pequeño de los puntos A,B,C y D, y resulto ser el punto D.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

{( x 1 = 10

) ; Mínimo: Z = 50000 Bs. }

x 2 = 10

Debemos contratar 10 traductores de cada tipo, para tener un gasto mínimo en salario de 50000 Bs.

a) La solución óptima es D(10; 10), es decir, 10 traductores de cada tipo.

b) Los beneficios totales son: 4000(10)+8000(10)=40000+80000=120000 Bs.

JULIO VARGAS HERBAS*132


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#306 Para dotar de mobiliario urbano a cierta zona de la ciudad, se quieren colocar al menos 20 piezas entre

farolas y jardineras. Hay 40 farolas y 12 jardineras disponibles. Se pretende que el número de jardineras colocadas no

sea superior a una tercera parte de faroles colocados, pero de forma que por lo menos un 20% de las piezas que se

coloquen sean jardineras.

a)¿Qué combinaciones de piezas de cada tipo se pueden colocar? Plantea el problema y representa gráficamente el

conjunto de soluciones.

b)¿Qué combinación hace que la diferencia entre el número de farolas y de jardineras colocadas sea mayor? ¿Es la

combinación donde más piezas de mobiliario se colocan?

SOLUCIÓN:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático ó como un modelo lineal.

x 1 = Número de Farolas a colocar en zona urbana de una ciudad de santa cruz.

x 2 = Número de Jardineras a colocar en zona urbana de una ciudad de santa cruz.

Maximizar: Z = x 1 − x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≥ 20❷; x 2 ≤ x 1

3 ❸; x 1 ≤ 40❹; x 2 ≤ 12❺; 0, 20(x 1 + x 2 ) ≤ x 2 ❻; con: x 1 , x 2 ≥ 0❼ }

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

x 1 + x 2 = 20❷ 3x 2 = x 1 ❸ x 1 = 40❹ x 2 = 12❺ 0, 20(x 1 + x 2 ) = x 2 ❻

x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

0 20 0 0 0 0

20 0 0 0 0 0

9 3 20 5

30 10 30 7,5

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos los puntos

óptimos de los vértices de la región factible.

x

A → { 1 + x 2 = 20❷

} → A(16; 4)

0, 20(x 1 + x 2 ) = x 2 ❻

B → { 0, 20(x 1 + x 2 ) = x 2 ❻

} → B(40; 10)

x 1 = 40❹

C → { x 2 = 12❺

} → C(40; 12)

x 1 = 40❹

D → { 3x 2 = x 1 ❸

} → D(36; 12)

x 2 = 12❺

E → { x 1 + x 2 = 20❷

} → E(15; 5)

3x 2 = x 1 ❸

Nota: los puntos se hallan con las ecuaciones

que hacen las intersecciones dichos puntos.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B,C ,D y E, reemplazar en la función objetivo:

A(16; 4) → Max: Z = x 1 − x 2 = 16 − 4 = 12 Bs.

B(40; 10) → Max: Z = x 1 − x 2 = 40 − 10 = 30 Bs. → Punto óptimo

C(40; 12) → Max: Z = x 1 − x 2 = 40 − 12 = 28 Bs.

D(36; 12) → Max: Z = x 1 − x 2 = 36 − 12 = 24 Bs.

La diferencia mayor entre el número de farolas y

jardineras se alcanza en x 1 = 40 farolas y x 2 = 10

jardineras

}

{[

E(15; 5) → Max: Z = x 1 − x 2 = 15 − 5 = 10 Bs. ]

Como el problema es maximizar, en este caso el óptimo de los óptimos se encuentra en el punto B(40; 10), hemos

elegido el más grande de los puntos A,B,C,D y E, y resulto ser el punto B.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

{( x 1 = 40

) ; Maximizar: Z = 30 Bs. }

x 2 = 10

Debemos colocar 40 farolas y 10 jardineras en dicho zona urbana de dicha ciudad para obtener un máximo de Bs 30.

{[

Maximizar: Z = x 1 + x 2 ❶

A(16; 4) → Max: Z = x 1 + x 2 = 16 + 4 = 20 piezas

B(40; 10) → Max: Z = x 1 + x 2 = 40 + 10 = 50 piezas

C(40; 12) → Max: Z = x 1 + x 2 = 40 + 12 = 52 piezas → Punto óptimo

D(36; 12) → Max: Z = x 1 + x 2 = 36 + 12 = 48 piezas.

E(15; 5) → Max: Z = x 1 + x 2 = 15 + 5 = 20 piezas ]

La combinación donde más piezas de mobiliario

se colocan es 40 farolas y 12 jardineras

(40 + 12 = 52), que tambien están dentro de la

región factible.

}

JULIO VARGAS HERBAS*133


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#307 En un depósito se almacenan bidones de petróleo y gasolina. Para poder atender la demanda se han

de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 40 de gasolina. Siempre debe haber más bidones de

gasolina que de petróleo, y la capacidad del depósito es de 200 bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en

inventario, al menos, 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 0,2 Bs y el de uno de gasolina es

de 0,3 Bs. Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenaje sea mínimo.

SOLUCIÓN:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático ó como un modelo lineal.

x 1 = Número de bidones de petróleo que se deben tener almacenadas en depósito.

x 2 = Número de bidones de gasolina que se deben tener almacenadas en depósito.

Minimizar: Z = 0, 20x 1 + 0, 3x 2 ❶

{ Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 200❷; x 1 + x 2 ≥ 50❸; x 1 ≥ 10❹; x 2 ≥ 40❺; x 2 ≥ x 1 ❻; con: x 1 , x 2 ≥ 0❼ }

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

x 1 + x 2 = 200❷ x 1 + x 2 = 50 ❸ x 1 = 10❹ x 2 = 40❺ x 2 = x 1 ❻

x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

0 200 0 50 0 0

200 0 50 0 0 0

30 30

100 100

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos los

puntos óptimos de los vértices de

la región factible.

x A → {

2 = 40❺

} → A(40; 40)

x 2 = x 1 ❻

B → { x 1 + x 2 = 200❷

} → B(100; 100)

x 2 = x 1 ❻

C → { x 1 + x 2 = 200❷

} → C(10; 190)

x 1 = 10❹

D →

x 1 + x 2 = 50 ❸

x 1 = 10❹ → D(10; 40)

{ x 2 = 40❺ }

Nota: los puntos se hallan con las

ecuaciones que hacen las

intersecciones dichos puntos.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B,C y D, reemplazar en la función objetivo:

A(40; 40) → Min: Z = 0, 20x 1 + 0, 3x 2 = 0, 20(40) + 0, 3(40) = 8 + 12 = 20 Bs.

B(100; 100) → Min: Z = 0, 20x 1 + 0, 3x 2 = 0, 20(100) + 0, 3(100) = 20 + 30 = 50 Bs.

C(10; 190) → Min: Z = 0, 20x 1 + 0, 3x 2 = 0, 20(10) + 0, 3(190) = 2 + 57 = 59 Bs.

{ D(10; 40) → Min: Z = 0, 20x 1 + 0, 3x 2 = 0, 20(10) + 0, 3(40) = 2 + 12 = 14 Bs. → Punto óptimo}

Como el problema es minimizar el costo de almacenaje, en este caso el óptimo de los óptimos se encuentra en el punto

D(10; 40), hemos elegido el más pequeño de los puntos A,B,C y D, y resulto ser el punto D.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

{( x 1 = 10

) ; Mínimo: Z = 14 Bs. }

x 2 = 40

Debemos tener 10 bidones de petróleo almacenadas en los depósitos, y 40 bidones de gasolina almacenadas en los

depósitos de la empresa, para tener un costo mínimo óptimo de almacenaje de 14 Bs.

JULIO VARGAS HERBAS*134


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#308 Una empresa de las tierras bajas del oeste en Santa Cruz de la Sierra Bolivia cultiva soya y maíz en 300

hectáreas de terreno, una hectárea de soya da una ganancia de 100 Bs y una hectárea de maíz da una ganancia de 200

Bs, debido a las regulaciones gubernamentales del estado plurinacional de Bolivia no pueden plantarse más de 200

hectáreas de soya en esta época. Durante la estación de plantación se dispone de 1200 horas de tiempo para la

plantación. Por cada hectárea de soya se requiere 2 horas, mientras por cada hectárea de maíz se requiere 6 horas de

plantación. El costo por hectárea de soya y maíz es de 500 Bs y 600 Bs respectivamente.

¿Optimizar la producción en función de los precios?

SOLUCIÓN:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático o como un modelo lineal.

x 1 = Número de hectarias de soya a cultivar. x 2 = Número de hectarias de maíz a cultivar.

Utilidad = PV − Costo; como la función es maximizar los precios → PV = Utilidad + Costos

Maximizar: Z = (100 + 500)x 1 + (200 + 600)x 2 = 600x 1 + 800x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 300❷; 2x 1 + 6x 2 ≤ 1200❸; x 1 ≤ 200❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

600x 1 + 800x 2 = 0❶ x 1 + x 2 = 300❷ 2x 1 + 6x 2 = 1200❸ x 1 = 200❹

x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

0 0 0 300 0 200

0 0 300 0 600 0

100 -75

300 -225

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora

encontramos los puntos

óptimos de los vértices de

la región factible.

A → { 2x 1 + 6x 2 = 1200❸

x 2 = 200 del origen }

JULIO VARGAS HERBAS*135

A(0; 200)

B → { 2x 1 + 6x 2 = 1200❸

x 1 + x 2 = 300❷ }

B(150; 150)

x

C → { 1 = 200❹

x 1 + x 2 = 300❷ }

C(200; 100)

x

D → { 1 = 200❹

x 2 = 0 del origen }

D(200; 0)

E(0; 0)

Nota: los puntos se hallan

con las ecuaciones que

hacen las intersecciones

dichos puntos.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B,C,D y E, reemplazar en la función objetivo:

A(0; 200) → Maximizar: Z = 600x 1 + 800x 2 = 600(0) + 800(200) = 0 + 160000 = 160000 Bs.

B(150; 150) → Maximizar: Z = 600x 1 + 800x 2 = 600(150) + 800(150) = 90000 + 120000 = 210000 Bs. → Punto Óptimo

C(200; 100) → Maximizar: Z = 600x 1 + 800x 2 = 600(200) + 800(100) = 120000 + 80000 = 200000 Bs.

D(200; 0) → Maximizar: Z = 600x 1 + 800x 2 = 600(200) + 800(0) = 120000 + 0 = 120000 Bs.

{

E(0; 0) → Maximizar: Z = 600x 1 + 800x 2 = 600(0) + 800(0) = 0 + 0 = 0 Bs. }

Como el problema es maximizar el precio de venta, en este caso el óptimo de los óptimos se encuentra en el punto

B(150; 150), hemos elegido el más grande de los puntos A,B,C,D y E, y resulto ser el punto B.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

{( x 1 = 150

) ; Maximizar: Z = 210000 Bs. } → Punto Óptimo

x 2 = 150

Para obtener un ingreso máximo en ventas de 210000 Bs debemos cultivar 150 hectáreas de soya y 150 hectáreas de

maíz.


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#309 Cierta persona dispone de 10 millones de bolivianos como máximo para repartir entre dos tipos de

inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo,

tanta cantidad de dinero como a la B. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el

problema. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad

debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?, ¿A cuánto ascenderá?

SOLUCIÓN:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático o como un modelo lineal.

x 1 = Cantidad de millones de bolivianos a invertir en acciones del tipo A.

x 2 = Cantidad de millones de bolivianos a invertir en acciones del tipo B.

Max: Z = 0, 09x 1 + 0, 12x 2 ❶

{

Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 10000000❷ ; 2000000 ≤ x 1 ≤ 7000000 ❸ ; x 1 ≥ x 2 ❹ ; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

x 1 + x 2 = 10000000❷ 2000000 = x 1 = 7000000❸ x 1 = x 2 ❹

x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

0 10000000 x 1 = 2000000 0 0

10000000 0 x 2 = 7000000 0 0

1000000 1000000

5000000 5000000

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos los

puntos óptimos de los vértices de

la región factible.

A → { x 1 = 2000000❸

x 2 = 0 del origen }

JULIO VARGAS HERBAS*136

A(2000000; 0)

B → { x 1 = 2000000❸

x 1 = x 2 ❹ }

B(2000000; 2000000)

x

C → {

1 = x 2 ❹

x 1 + x 2 = 10000000❷ }

C(5000000; 5000000)

D → { x 1 + x 2 = 10000000❷

x 1 = 7000000❸ }

D(7000000; 3000000)

E → { x 2 = 0 del origen

x 1 = 7000000❸ }

E(7000000; 0)

Nota: los puntos se hallan con las

ecuaciones que hacen las

intersecciones dichos puntos.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B,C,D y E, reemplazar en la función objetivo:

A(2000000; 0) → Maximizar: Z = 0, 09x 1 + 0, 12x 2 = 0, 09(2000000) + 0, 12(0) = 180000 Bs.

B(2000000; 2000000) → Maximizar: Z = 0, 09x 1 + 0, 12x 2 = 0, 09(2000000) + 0, 12(2000000) = 420000 Bs.

C(5000000; 5000000) → Maximizar: Z = 0, 09x 1 + 0, 12x 2 = 0, 09(5000000) + 0, 12(5000000) = 1050000 Bs. → Óptimo

D(7000000; 3000000) → Maximizar: Z = 0, 09x 1 + 0, 12x 2 = 0, 09(7000000) + 0, 12(3000000) = 990000 Bs.

{

E(0; 0) → Maximizar: Z = 0, 09x 1 + 0, 12x 2 = 0, 09(7000000) + 0, 12(0) = 630000 Bs. }

Como el problema es maximizar el rendimiento por la inversión que se ha invertido en cada tipo de inversión, en este

caso el óptimo de los óptimos se encuentra en el punto C(5000000; 5000000), hemos elegido el más grande de los

puntos A,B,C,D y E, y resulto ser el punto C.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

{( x 1 = 5000000

) ; Maximizar: Z = 1050000 Bs. } → Punto Óptimo

x 2 = 5000000

Para obtener un beneficio máximo en rendimiento de 1050000 Bs, debemos invertir 5000000 Bs en la inversión tipo A y

5000000 Bs en la inversión tipo B.


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#310 Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca

conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a 250 Bs. el litro de aceite C y a 125 Bs. el litro de aceite D

siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada de aceite C esté comprendida entre la

mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si disponemos de un máximo de 3125 Bolivianos, se pide:

Representa gráficamente los modos de acogerse a la oferta. Acogiéndonos a la oferta, ¿Cuál es la mínima cantidad de

aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima de C?

SOLUCIÓN:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático o como un modelo lineal.

x 1 = Cantidad de litros comprados de aceite conocida C para promocionar.

x 2 = Cantidad de litros comprados de aceite desconocida D para promocionar.

Minimizar: Z = 250x 1 + 125x 2 ❶

{

Sujeto a: 250x 1 + 125x 2 ≤ 3125❷ ; 0, 50x 2 ≤ x 1 ≤ 2x 2 ❸ ; x 1 + x 2 ≥ 6 ❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0 ó x j ≥ 0∀j (CNN)❺ }

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

250x 1 + 125x 2 = 3125❷ x 1 = 0, 50x 2 ❸ x 1 = 2x 2 ❸ x 1 + x 2 = 6❹

x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

0 25 0 0 0 0 0 6

12,5 0 0 0 0 0 6 0

5 10 10 5

10 20 20 10

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos los

puntos óptimos de los vértices

de la región factible.

A → { x 1 = 2x 2 ❸

x 1 + x 2 = 6❹ }

A(4; 2)

x

B → {

1 = 2x 2 ❸

250x 1 + 125x 2 = 3125❷ }

B(10; 5)

C → { 250x 1 + 125x 2 = 3125❷

}

x 1 = 0, 50x 2 ❸

C ( 25

4 ; 25 ) ↔ C(6, 25 ; 12, 5)

2

D → { x 1 + x 2 = 6❹

x 1 = 0, 50x 2 ❸ }

D(2; 4)

Nota: los puntos se hallan con

las ecuaciones que hacen las

intersecciones dichos puntos.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B,C y D, reemplazar en la función objetivo:

A(4; 2) → Minimizar: Z = 250x 1 + 125x 2 = 250(4) + 125(2) = 1250 Bs.

B(10; 5) → Minimizar: Z = 250x 1 + 125x 2 = 250(10) + 125(5) = 3125 Bs.

C(6, 25; 12, 5) → Minimizar: Z = 250x 1 + 125x 2 = 250(6, 25) + 125(12, 5) = 3125 Bs.

{ D(2; 4) → Minimizar: Z = 250x 1 + 125x 2 = 250(2) + 125(4) = 1000 Bs. → Óptimo }

Como el problema es minimizar el costo de compra y promocionar el producto, en este caso el óptimo de los óptimos se encuentra en

el punto D(2; 4), hemos elegido el más pequeño de los puntos A,B,C y D, y resulto ser el punto D.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

{( x 1 = 2

) ; Minimizar: Z = 1000 Bs. } → Punto Óptimo

x 2 = 4

Para tener un costo mínimo óptimo de 1000 Bs en compras para promocionar el aceite, debemos comprar 2 litros de aceite conocida(C)

y 4 litros de aceite desconocida(D).

ACOGIÉNDOSE A LA OFERTA(ver gráfico, la m es la pendiente positiva, oferta tiene pendiente positiva):

1) La mínima cantidad de aceite desconocida(D), que debemos comprar acogiéndose a la oferta (punto más bajo de la zona) y esta se

encuentra en el punto A, A(4;2). El mínimo de aceite desconocida es 2 litros según oferta.

2) La máxima cantidad de aceite conocida(C), para acogernos a la oferta (punto más a la derecha de la zona) y se encuentra en el punto

B, B(10;5). El máximo de aceite conocida es 10 litros según la oferta.

CONCLUSION: la mínima cantidad de Desconocida(D) es 2 litros y la máxima de Conocida(C) es 10 litros, según la oferta.

JULIO VARGAS HERBAS*137


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#311 Una compañía petrolera requiere 9000, 12000 y 26000 barriles de petróleo de calidad alta, media y baja,

respectivamente. La compañía tiene dos refinerías, A y B. La compañía A produce 100, 300 y 400 barriles de alta, media y

baja calidad, respectivamente por día. La compañía B produce 200, 100 y 300 barriles de alta, media y baja calidad

respectivamente por día. Si el costo de operación de cada refinería es de 200 Bs diarios.

¿Cuántos días debe trabajar cada mina para que el costo sea mínimo y cumplir con los requerimientos?

SOLUCIÓN:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático o como un modelo lineal.

x 1 = Número de días que debemos trabajar en la mina A.

x 2 = Número de días que debemos trabajar en la mina B.

Minimizar: Z = 200x 1 + 200x 2 ❶

{ Sujeto a: 100x 1 + 200x 2 ≥ 9000 ❷ ; 300x 1 + 100x 2 ≥ 12000 ❸ ; 400x 1 + 300x 2 ≥ 26000 ❹; con: x 1 , x 2 ≥ 0❺ }

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

100x 1 + 200x 2 = 9000❷ 300x 1 + 100x 2 = 12000❸ 400x 1 + 300x 2 = 26000 ❹

x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

0 45 0 120 0 260/3=86,67

90 0 40 0 65 0

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos los

puntos óptimos de los vértices

de la región factible.

A → { 300x 1 + 100x 2 = 12000❸

}

x 1 = 0 del origen

A(0; 120)

B → { 300x 1 + 100x 2 = 12000❸

400x 1 + 300x 2 = 26000❹ }

B(20; 60)

C → { 400x 1 + 300x 2 = 26000 ❹

100x 1 + 200x 2 = 9000❷ }

C(50 ; 20)

D → { 100x 1 + 200x 2 = 9000❷

x 2 = 0, del origen }

D(90; 0)

Nota: los puntos se hallan con

las ecuaciones que hacen las

intersecciones dichos puntos.

Los puntos A,B,C y D significan

días que puedo ocupar para

trabajar, pero hay que minimizar.

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B,C y D, reemplazar en la función objetivo:

A(0; 120) → Minimizar: Z = 200x 1 + 200x 2 = 200(0) + 200(120) = 24000 Bs.

B(20; 60) → Minimizar: Z = 200x 1 + 200x 2 = 200(20) + 200(60) = 16000 Bs.

C(50; 20) → Minimizar: Z = 200x 1 + 200x 2 = 200(50) + 200(20) = 14000 Bs. → Punto Óptimo

{

D(90; 0) → Minimizar: Z = 200x 1 + 200x 2 = 200(90) + 200(0) = 18000 Bs. }

Como el problema es minimizar el costo de operación de cada refinería, en este caso el óptimo de los óptimos se

encuentra en el punto C(50; 20), hemos elegido el más pequeño de los puntos A,B,C y D, y resulto ser el punto C.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

{( x 1 = 50

) ; Minimizar: Z = 14000 Bs. } → Punto Óptimo

x 2 = 20

Se debe trabajar 50 días en la refinería A y 20 días en la refinería B para producir petróleo en barriles de alta, media y

baja, y para tener un costo mínimo optimo de 14000 Bs diarios.

JULIO VARGAS HERBAS*138


PROGRAMACIÓN LINEAL – MÉTODO GRÁFICO

PROBLEMA#312 Un empresario prepara dos sabores de refrescos diluyendo jugos concentrados en agua. Los sabores son piña y

maracuyá, cada litro de concentrado de piña se diluye en 10 litros de agua y cada litro de concentrado de maracuyá en 15 litros de agua.

Los concentrados cuestan a 15 Bs el de piña y 20 Bs el de maracuyá. Los refrescos se venden en bolsitas de 250 mililitros (ml) a 1 Bs,

de cada 10 bolsitas de jugos a la venta la gente consume entre 5 a 7 unidades de maracuyá. Se dispone de 100 litros de concentrado de

cada tipo y agua pura en cantidades ilimitadas a 5 Bs los 100 litros. Determinar las cantidades a producir en bolsitas de cada refresco.

SOLUCIÓN:

PASO 1. El problema hay que formular como un modelo matemático o como un modelo lineal.

x 1 = Cantidad de bolsitas de refresco a preparar de sabor a piña. x 2 = Cantidad de bolsitas de refresco a preparar de sabor amaracuyá.

∗Costo de piña→ MP: 1concentrado de piña + 10litros de agua = 11 litros de refresco de piña → 44 bolsitas (litros)

1litro tiene 1000ml → 1000ml

250ml = 4bolsitas;

de 1litro sale 4bolsitas; como tenemos 11litros = sacamos 44bolsitas

15, 5Bs → 44bolsitas

5Bs

15Bs +

∗ 10litros = 15Bs + 0, 50Bs = 15, 5Bs

100litros [ x → 1boliviano

x = 31

Bs

]

= 0, 35

88 bolsita

∗ Costo de maracuyá: litro → 1concentrado de maracuyá + 15litros de agua = 16litros de refresco maracuyá → 16 ∗ 4 = 64bolsitas

20, 75Bs → 64bolsitas

5Bs

20Bs +

∗ 15litros = 20Bs + 0, 75Bs = 20, 75Bs

100litros [ x → 1boliviano

x = 83

Bs

]

= 0, 32

256 bolsita

Maximizar: Z = PV − Costo = (1 − 31

88 ) x 1 + (1 − 83

256 ) x 2 = 57

88 x 1 + 173

256 x Bs

2❶ ( ∗ bolsita = Bs)

bolsitas

Utilidad = PV − Costo

Sujeto a:

1

44 x 1 litros concentrado piña

1

1 ≤ 100 ❷ ( ∗ bolsitas ≤ 100 litros concentrados de piña) ;

44 bolsitas

64 x 2 ≤ 100❸

x

{

2 ≥ 0, 5(x 1 + x 2 )❹; x 2 ≤ 0, 7(x 1 + x 2 )❺ nota: [ 5

7

= 0, 5 ó 10 ∗ 5% = 0, 5] y [

10 10 = 0, 7 ó 10 ∗ 7% = 0, 7] ; con: x 1, x 2 ≥ 0❻

PASO 2. Las inecuaciones ó las restricciones, hay que convertirlos a ecuaciones y hacemos una tabla de valores.

x 1 = 4400❷ x 2 = 6400❸ x 2 = 0, 5(x 1 + x 2 )❹ x 2 = 0, 7(x 1 + x 2 )❺

x 1 x 2 x 1 x 2

0 0 0 0

0 0 0 0

1000 1000 600 1400

5000 5000 1500 3500

PASO 3. Ahora debemos graficar en un eje de cartesiano.

PASO 4. Ahora encontramos los

puntos óptimos de los vértices de la

región factible.

A → { x 1 = 0

} → A(0; 0)

x 2 = 0

x

B → { 2 = 6400❸

x 2 = 0, 7(x 1 + x 2 )❺ }

B ( 19200 ; 6400)

7

C → { x 1 = 4400❷

x 2 = 6400❸ }

C(4400 ; 6400)

x

D → { 1 = 4400❷

x 2 = 0, 5(x 1 + x 2 )❹ }

D(4400; 4400)

Nota: los puntos se hallan con las

ecuaciones que hacen las

intersecciones dichos puntos.

}

PASO 5. Ahora encontramos el óptimo de los óptimos, de los puntos A,B,C y D, reemplazar en la función objetivo:

A(0; 0) → Maximizar: Z = 57 x 88

1 + 173 x 256

2 = 57 173

(0) + (0) = 0 Bs.

88 256

B ( 19200 ; 6400) → Maximizar: Z = 57 x 7

88

1 + 173 x 256

2 = 57

88 (19200)

+ 173

469825

(6400) = = 6101, 62 Bs.

7 256 77

C(4400 ; 6400) → Maximizar: Z = 57 x 88

1 + 173 x 256

2 = 57

173

(4400) + (6400) = 7175 Bs. → Punto Óptimo

88 256

{ D(4400; 4400) → Maximizar: Z = 57 x 88

1 + 173 x 256

2 = 57

173

93175

(4400) + (4400) = = 5823, 44 Bs.

88 256 16

}

Como el problema es maximizar la utilidad, en este caso el óptimo de los óptimos se encuentra en el punto C(4400; 6400), hemos

elegido el más grande de los puntos A,B,C y D, y resulto ser el punto C.

Paso 6. Interpretamos los resultados que se debe tomar una decisión final.

{( x 1 = 4400

empresario debe preparar 4400 bolsitas de refresco de piña y 6400 bolsitas

) ; Maxi