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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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92 RESIDUOS CUADRÁTICOS

92 RESIDUOS CUADRÁTICOS Para el cálculo del símbolo de Legendre es necesario establecer las siguientes propiedades, Teorema 6.3 Sea p primo impar y mcd(p, a) = mod(p,b) = 1. Entonces, (1) � � a = a p (p−1)/2 mod p (en representación simétrica). (2) � a2 � � � 1 = 1. En particular = 1. p p � � � � � � a b a (3) Si a ≡ b (mod p) entonces = , En particular, = p p p (4) � � � � � � ab a b = . p p p (5) � � −1 = (−1) p (p−1)/2 � = 1 −1 si p ≡ 1 (mod 4) si p ≡ −1 (mod 4) Prueba: El item (1) es el criterio de Euler. (2): Si a ′ = a 2 , a 2 ≡ a ′ (mod p), es decir, � a 2 p � = 1. (3): a ≡ b (mod p) =⇒ a (p−1)/2 ≡ b (p−1)/2 (mod p). Luego, por (1), (4): Aplicamos (1), (5): Por (1) � � ab p ≡ (ab) (p−1)/2 mod p ≡ a (p−1)/2 b (p−1)/2 mod p ≡ � � � � a b p p � � −1 ≡ (−1) p (p−1)/2 mod p � a mod p p � � a = p � . � � b . p Ahora, para demostrar la segunda igualdad, notemos que, por el algoritmo de la división, p ≡ 1 (mod 4) o p ≡ 3 (mod p). Si p = 4k + 1 para algún entero k, (p − 1)/2 = 2k = par. Si p = 4k − 1 para algún entero k, (p − 1)/2 = 2k − 1 = impar. Por lo tanto, � � � −1 1 si p ≡ 1 (mod 4) = p −1 si p ≡ −1 (mod 4)

Corolario 6.1 Sea p primo impar, (1) Si n = ∏ k i=1 pα i i es la descomposición prima de n, � ∏ k i=1 pα i i p � = k ∏ i=1 � �αi pi p (2) El producto de dos residuos cuadráticos módulo p es residuo cuadrático módulo p. (3) El producto de dos residuos no cuadráticos módulo p es residuo cuadrático módulo p. (4) El producto de un residuo cuadrático y otro no cuadrático módulo p, es un residuo no cuadrático módulo p. Prueba: Ejercicio. EJEMPLO 6.7 � � 2 = 2 5 (5−1)/2 mod 5 = 4 mod 5 = −1 por el teorema (6.3), (1). EJEMPLO 6.8 El criterio de Euler, bajo el símbolo de Legendre, nos da un criterio rápido para decidir si a = −1 es o no es residuo cuadrático módulo p. � � −1 a = −1 no es residuo cuadrático módulo 3 pues = (−1) 3 (3−1)/2 = −1 � −1 a = −1 es residuo cuadrático módulo 229 pues 229 EJEMPLO 6.9 � = (−1) (229−1)/2 = (−1) 114 = 1. En este ejemplo vamos a aver como se aplican algunas de las propiedades del símbolo de Legendre. (1) ¿Es 10 residuo cuadrático del primo 3? � � � � � � � � −10 −1 10 1 Solución: = = = 1 por el teorema (6.3), (3). 3 3 3 3 93

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