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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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94 RESIDUOS CUADRÁTICOS

94 RESIDUOS CUADRÁTICOS (2) ¿Es 72 residuo cuadrático del primo 229? Solución: Por el corolario (6.1), � � 72 = 229 � 2 3 · 3 2 229 (3) ¿Es 63 residuo cuadrático del primo 11? Solución: � � 63 11 = = = � � �3 � �2 � � 2 3 2 = = 1 · · 1 = −1 229 229 229 � � 8 11 � � � 2 22 � 11 11 por (6.3), (3) por (6.3), (4) � � 2 · 1 por (6.3), (1) 11 = −1 · 1 por cálculo directo. por tanto 63 no es residuo cuadrático módulo 11. EJEMPLO 6.10 Probar que hay una cantidad infinita de primos de la forma 4k + 1. Solución: Por contradiccón, supongamos que solo hay una cantidad finita P = {p1, p2,..., ps} de primos de la forma 4k + 1. Sea N = (2p1p2 · · · ps) 2 + 1. Observemos que si p i ∈ P, N = k ′ p i + 1, es decir, los p i’s no dividen N. Como N es de la forma 4k + 1 y no es un p i, es compuesto. Entonces sería divisible por un primo p �∈ P. Por tanto, −1 es residuo cuadrático módulo p y p debería ser de la forma 4k + 1. Contradicción. 6.3.1 Lema de Gauss El lema de Gauss es una herramienta teórica que al igual que el criterio de Euler, nos provee de método para calcular el símbolo de Legendre vía un conteo de signos. La idea es la siguiente: Si p es primo impar y mcd(a, p) = 1, entonces Zp = {0, a · 1, a · 2,...,(p − 1) · a}

Los números a · 1, a · 2,..., a · sentación simétrica, tenemos p − 1 2 {a · 1, a · 2,..., a · Por ejemplo, si p = 13 y a = 3, tenemos son distintos módulo p. Si consideramos Zp en repre- p − 1 } ⊆ 2 � − p − 1 ,...,−1,0,1,..., 2 3 · i 3 · 1 3 · 2 3 · 3 3 · 4 3 · 5 3 · 6 3 · i mod 13 3 6 −4 −1 2 5 Tabla 6.4 Representación simétrica de 3 · i, i = 1,...,6 � p − 1 2 En representación simétrica los números aparecen con una copia positiva y otra negativa, es decir, aparece el 1 y el −1, el 2 y el −2, etc. Pero, al pasar cada elemento del conjunto {a · i, i = 1,...,(p − 1)/2} a representación simétrica, solo aparece una copia: aparece el 1 o el −1, el 2 o el −2, etc. Ahora, sacando a factor común a y los signos, tenemos a (p−1)/2 · 1 · 2··· p − 1 (−1) 2 ω p − 1 = a · 1 · a · 2... a · 2 p − 1 ≡ 1 · 2··· mod p, 2 por tanto, cancelando: a (p−1)/2 ≡ (−1) ω (mod p). Así, el número ω de signos “−” en {a·, a · p − 1 2,..., a · } define si a es residuo cuadrático o no. 2 Lema 6.1 (Lema de Gauss) Sea p primo impar y mcd(a, p) = 1. Si ω es la cantidad de enteros en el conjunto p − 1 {a · 1 mod p, a · 2 mod p,..., a · mod p} 2 que son más grandes que (p − 1)/2 (negativos en representación simétrica), entonces � � a = (−1) p ω p − 1 Prueba: : Sea R = {a mod p, 2 · a mod p, ..., · a mod p}. En R no hay elementos congruentes 2 pues mcd(a, p) = 1. Vamos a denotar con r1,r2,...,rk los elementos de R que son ≤ (p − 1)/2 y s1,s2,...,sω los elementos de R que son > (p − 1)/2. Por tanto, k + ω = (p − 1)/2. Los (p − 1)/2 enteros r1,r2,...,r k, p − s1, p − s2,..., p − sω son positivos y ≤ (p − 1)/2. Todos estos números son distintos módulo p : En efecto, ya conocemos que r1,r2,...,r k,s1,s2,...,sω son distintos módulo p, como s i �≡ s j (mod p) entonces p − s i �≡ p − s j (mod p). También p − s i �≡ r j (mod p) si i �= j, 1 ≤ i, j ≤ (p − 1)/2; para probarlo, supongamos que p − s i ≡ r j (mod p), entonces −s i ≡ r j (mod p) =⇒ s i + r j ≡ 0 (mod p) pero esto es imposible pues 0 < s i + r j ≤ (p − 1)/2. Esto demuestra que {r1,r2,...,r k, p − s1, p − s2,..., p − sω} = {1,2,...,(p − 1)/2}. 95

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