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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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96 RESIDUOS CUADRÁTICOS

96 RESIDUOS CUADRÁTICOS Entonces 1 · 2 · · · (p − 1)/2 ≡ r1 · r2 · · · r k · (p − s1) · (p − s2) · · · (p − sω) (mod p) Ahora, por el criterio de Euler, ≡ r1 · r2 · · · r k · −s1 · −s2 · · · − sω (mod p), pues p ≡ 0 sacamos los ω signos “−” a factor común, ≡ (r1 · r2 · · · r k · s1 · s2 · · · sω)(−1) ω (mod p), ≡ (a · 1 · a · 2 · · · a · (p − 1)/2)(−1) ω (mod p), sacamos a a factor común, ≡ (a (p−1)/2 (1 · 2 · · · (p − 1)/2)(−1) ω (mod p), cancelamos, 1 ≡ a (p−1)/2 (−1) ω (mod p), es decir, a (p−1)/2 ≡ (−1) ω (mod p). � � a = (−1) p ω . Nota: En la práctica, en vez de contar los signos negativos, contamos los residuos a · i mod p > p/2. Usamos p/2 en vez de (p − 1)/2 pues p − 1 2 p p − 1 < < 2 2 p + 1 + 1 = . 2 El siguiente ejemplo ilustra el cálculo. Recordemos que la importancia del lema es de orden teórico no computacional. EJEMPLO 6.11 ¿Es a = 63 residuo cuadrático módulo p = 11? Solución: {63 · i, i = 1,...,5} = {8,5,2,10,7}. Hay ω = 3 números > �p/2� = 5. Por tanto � 63 11 � = (−1) 3 = −1. ∴ 63 no es residuo cuadrático módulo 11. Ya sabemos cómo decidir si ±1 es residuo cuadrático módulo p. Podemos aplicar el lema de Gauss para decidir si 2 es residuo cuadrático módulo p. Teorema 6.4 Si p es primo impar, entonces En particular, si a es par, � � 2 = (−1) p (p2 � −1)/8 1 si p ≡ ±1 (mod 8) = −1 si p ≡ ±3 (mod 8) � � a = (−1) p (p2−1)/8 � a/2 p � . (6.1)

� � 2 Prueba: Para calcular contamos los números en {2 · i, i = 1,...,(p − 1)/2} tales que 2 · i > p p/2, es decir, i > p/4 (aquí no hay que hacer reducción módulo p pues 0 ≤ 2i ≤ p − 1). Entonces 2i > p/2 si �p/4� < i ≤ (p − 1)/2. Por lo tanto, Esto nos da ω = p − 1 2 − � p � . 4 � � (p − 1)/2 − 2 = (−1) p � p � 4 Aquí lo que interesa es saber si (p − 1)/2 − � p � 4 es par o impar, así que hacemos una reducción módulo 2 : p − 1 2 − � p � ≡ 4 p2 − 1 (mod 2). (6.2) 8 Para probar esto último usamos el hecho de que, como p es primo impar, ∃ k ∈ Z tal que p = 8k + r con r = 1,−1,3 o −3. Luego, ⎧ 2k si r = 1 � p � ⎪⎨ 2k − 1 si r = −1 = 4 ⎪⎩ 2k si r = 3 2k − 1 si r = −3 En estos cuatro casos se cumple (6.2) y además si r = ±1, p2 − 1 8 impar. es par y si r = ±3, p2 − 1 8 Aquí solo vamos a probar los casos r = 3 y r = −1, los otros casos son similares. Si p = 8k + 3, entonces p − 1 2 − � p � = 1 + 4k − 2k = 1 + 4k ≡ 1 (mod 2) 4 p 2 − 1 8 = 1 + 6k + 8k2 ≡ 1 (mod 2). Esto prueba (6.2) para este caso. Como p2 − 1 8 Si p = 8k − 1, entonces p − 1 2 − es impar, � � 2 = (−1) p (p2−1)/8 = −1 si p ≡ 3 (mod 8) � p � = 4k − 1 − (2k − 1) = 2k ≡ 0 (mod 2) 4 p 2 − 1 8 = −2k + 8k2 ≡ 0 (mod 2). Esto prueba (6.2) para este caso. 97 es

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