Views
5 years ago

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

98 RESIDUOS CUADRÁTICOS

98 RESIDUOS CUADRÁTICOS Como p2 − 1 8 es par, � � 2 = (−1) p (p2−1)/8 = 1 si p ≡ −1 (mod 8). La idea de la congruencia es muy útil: es más fácil verificar la congruencia que calcular la potencia. EJEMPLO 6.12 (1) ¿Es 2 residuo cuadrático módulo 97? Solución: Sí, � � 2 = 1 pues 97 ≡ 1 (mod 8) 97 (2) ¿Es 2 residuo cuadrático módulo 229? Solución: No, � � 2 = −1 pues 229 ≡ 3 (mod 8) 97 6.3.2 Ley de Reciprocidad Cuadrática. � � � � p q La ley de reciprocidad cuadrática establece una sorprendente relación entre y . Esta q p ley fue conjeturada, basándose en evidencia numérica, por Euler en 1783 y Lagrange en 1785. Legendre le dio la forma actual a esta ley, pero no pudo dar una prueba completa. La primera prueba rigurosa fue dada por Gauss en a la edad de 18 años. Hasta el 2004 se conocían 190 pruebas diferentes. Gauss llamó a este teorema “Aureum Theorema” (el Teorema de oro). Su importancia en la teoría de números no tienen discusión. Al respecto, Hecke afirmó al respecto: “La teoría de números moderna comenzó con el descubrimiento de la Ley de Reciprocidad Cuadrática”. La prueba del teorema sigue es la tercera prueba que dio Gauss. La prueba se basa e un argumento geométrico. � � 4 · q Primero veamos un ejemplo concreto. Sea p = 11 y q = 7. El número = 2 cuenta la p 4 · q cantidad de números ≤ . Geométricamente corresponde a la cantidad de pares ordenados p con componentes enteros (llamados punto reticulares) sobre la parte positiva de la recta x = 4 y por debajo de la recta y = q 4 · q x. Estos puntos son de la forma (4,y) con y ≤ p p . (p−1)/2 � � k · q La suma ∑ = 7 corresponde a los puntos reticulares en el polígono ABCD de la p k=1 figura (6.2).

Y 1 2 7 y = x 11 } y ≤ 7 11 .4 3 4 5 Figura 6.1 Puntos reticulares (4,y) con y ≤ 4 · 11/7 3=(q -1)/2 q y = p x A B 1 2 3 4 (p -1)/2=5 Figura 6.2 Puntos reticulares en ABCD Podemos cambiar el punto � � de vista y ver las cosas desde el eje Y de una manera totalmente 3 · p 3 · p simétrica: El número = 4 cuenta la cantidad de números ≤ . Geométricamente cor- q q responde a la cantidad de de puntos reticulares sobre la parte derecha de la recta y = 3 y por debajo de la recta x = p 3 · p y. Estos puntos son de la forma (x,3) con x ≤ q q . (q−1)/2 � � k · p La suma ∑ = 8 corresponde a los puntos reticulares en el polígono APQR de la q k=1 figura (6.3). 3=(q -1)/2 R A 1 2 Q P p x = q y C 3 4 (p -1)/2=5 Figura 6.3 Puntos reticulares en ABCD Finalmente, la figura (6.3) también nos sugiere que (p−1)/2 ∑ k=1 � � k · q + p (q−1)/2 ∑ k=1 � � k · p = 7 + 8 = 15 = q � q p � p − 1 = 2 q − 1 2 p − 1 2 · q − 1 2 Observemos además, que si p > q entonces . La prueba se puede hacer de � � p q − 1 manera directa y está en los ejercicios. Note que, por simetría, si q > p, entonces = q 2 p − 1 . 2 D C 99

Edición de textos científicos con LaTeX - TEC Digital - Tecnológico ...
El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital
1.5 Algoritmo de Euclides con menor resto. - TEC-Digital
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Replanteamiento de la Conjetura de Goldbach - TEC-Digital
La génesis y el desarrollo de un hecho científico - TEC-Digital
Teoria Numeros C Ivorra Castillo
Cómo hacer Transparencias con la clase Beamer de - TEC-Digital ...
Cálculo Superior. Vectores, rectas y planos. - TEC Digital ...
Versión PDF - TEC-Digital - Tecnológico de Costa Rica
Programación Visual Basic (VBA) para Excel y Análisis ... - TEC-Digital
Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...
Tema 4. Teoría de los Números - it/aut/UAH