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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

100 RESIDUOS

100 RESIDUOS CUADRÁTICOS Ahora que hemos establecido el significado geométrico de estas sumas, consideremos el siguiente lema, Lema 6.2 Sean p, q primos impares distintos. Entonces, (p−1)/2 ∑ k=1 � � k · q + p (q−1)/2 ∑ k=1 � � k · p = q p − 1 2 · q − 1 2 Prueba: Sea p > q. El número �k · q/p� cuenta la cantidad de números ≤ (k · q)/p. Geométricamente corresponde a la cantidad de puntos reticulares sobre la parte positiva de la recta x = k y por debajo de la recta y = q/p x. Estos puntos son de la forma (k,y) con y ≤ k · q/p. Cuando x = (p − 1)/2, la cantidad de puntos es y = (q − 1)/2 pues (p−1)/2 La suma S(p,q) = de la figura (6.4). ∑ k=1 q − 1 2 q p − 1 q − 1 ≤ < + 1. p 2 2 �k · q/p� corresponde a la suma de los puntos reticulares en el polígono ABCD (q -1)/2 A R . . . De manera simétrica, la suma S(q, p) = . . . . . . . . . Q P . . . q x = p y, D . . . C B (p -1)/2 Figura 6.4 Puntos reticulares en ABCD (q−1)/2 ∑ k=1 reticulares en el polígono APQR de la figura (6.4). p>q �k · p/q� corresponde a la suma de los puntos Hay que notar que no hay puntos reticulares sobre la recta y = q x pues mcd(p,q) = 1. p Finalmente, la suma de los puntos reticulares en el polígono ABCR se puede expresar de dos formas: p − 1 2 · q − 1 2 y S(q, p) + S(p,q). Teorema 6.5 (Ley de Reciprocidad Cuadrática) Sea p y q primos impares distintos. Entonces � � � � p q = (−1) q p p−1 q−1 2 2

En particular, � � p q = (−1) p−1 q−1 2 2 � � q . p p − 1 Prueba: Sea R = {q mod p,2 · q mod p,..., · q mod p}. Vamos a denotar con r1,r2,...,rk los 2 elementos de R que son ≤ p/2 y s1,s2,...,sω � � los elementos de R que son > p/2. Claramente q k + ω = (p − 1)/2 y = (−1) p ω . Los elementos de R son todos distintos. Si i, j ∈ R y i �= j, entonces i �≡ p − j (mod p). Así, los (p − 1)/2 números r1,r2,...,r k, p − s1, p − s2,..., p − sω son todos distintos e inferiores a p/2, por tanto estos números corresponden a los números 1,2,...,(p − 1)/2 en algún orden. Entonces Por tanto, k ∑ i=1 k ∑ i=1 r k + r k + ω ∑ i=1 ω ∑ i=1 (p − s i) = (p − s i) = k ∑ i=1 = (p − 1)(p + 1) (p−1)/2 ∑ i i=1 r k + ωp − 8 ω ∑ i=1 s i = p2 − 1 8 Sea S(p,q) = ∑ (p−1)/2 k=1 �k · q/p�, S1 = ∑ k i=1 rk y S2 = ∑ ω i=1 si. Con esta notación, Por el algoritmo de la división, Entonces, Esto es, 101 p 2 − 1 8 = S1 + ω · p − S2 (6.3) kq = �kq/p� · p + t k con 0 ≤ t k < p. (p−1)/2 ∑ k · q = k=1 (p−1)/2 q · ∑ k=1 q · p2 − 1 8 Ahora restando (6.3) con (6.4) obtenemos, (q − 1) · p2 − 1 8 (p−1)/2 ∑ k=1 �kq/p� · p + (p−1)/2 ∑ tk. k=1 k = p · S(p,q) + S1 + S2 = p · S(p,q) + S1 + S2 (6.4) = p · (S(p,q) − ω) + 2S2

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