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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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235711 131719 232931 235711 FUNDAMENTOS 1.1 Principios Los números enteros son el ingrediente principal en teoría de números. En esta introdu-cción, establecemos brevemente la notación y el significado de algunos símbolos que se relacionan con los enteros y que serán de amplio uso en el texto. En lo que sigue, usaremos la siguiente notación 1. N = {0,1,2,...} y N + = {1,2,...}. 2. Z + = {1,2,...} = N + 3. R + = {x ∈ R : x > 0}. Principio del Buen Orden: Todo conjunto no vacío de números naturales contiene un elemento mínimo. En particular, si S ⊂ Z tiene al menos un elemento positivo, entonces S tiene un entero positivo mínimo. EJEMPLO 1.1 Sea S = {2x + 3y : x, y ∈ Z}. S ⊂ Z y S tiene elementos positivos, por ejemplo 2 · 1 + 3 · 0 = 2. Por el principio del buen orden, S tiene un elemento positivo mínimo. En este caso, el elemento positivo mínimo es 1. Para verificar esto solo necesitamos probar que 1 ∈ S : Por ejemplo 1 = 2 · 2 + 3 · −1. Principio del palomar: Si k es un entero positivo y k + 1 o más objetos son asignados a k cajas, entonces hay al menos alguna caja a la que se le asignaron dos o más objetos. EJEMPLO 1.2

En un grupo de 367 personas, debe haber al menos dos que cumplen años el mismo día, porque hay solo 366 posibles días para cumplir años. Principio del Inclusión-Exclusión: Sean A y B dos conjuntos finitos. Entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. EJEMPLO 1.3 Sea A = {2,3,4,1} y B = {2,3,7,8,1}. |A| = 4, |B| = 5, |A ∪ B| = |{1,2,3,4,7,8}| = 6 y |A ∩ B| = |{2,3,1}| = 3. Luego, |A ∪ B| = 6 = |A| + |B| − |A ∩ B| = 4 + 5 − 3. Principio de Inducción: Para probar que una proposición P(n) es verdadera para todo entero positivo n, se deben ejecutar los dos pasos siguientes: (1) Verificar que P(n) se cumple para n = 1, (2) Probar que si se cumple P(k) (hipótesis de inducción), entonces se cumple P(k + 1) Figura 1.1 Idea de inducción matemática usando un juego de domino. Se puede probar que el principio de inducción es un método válido de prueba si asumimos el principio del buen orden como un axioma. EJEMPLO 1.4 Históricamente, el primer ejemplo que se conoce, en el que se usó inducción matemática, aparece en el libro “Arithmeticorum Libri Duo” de Francesco Maurolico (1494-1575). En este libro, entre otras cosas, Maurolico presenta gran variedad de propiedades de los enteros y las pruebas de estas propiedades. Para las demostraciones, él ideo el método de 3 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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