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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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102 RESIDUOS

102 RESIDUOS CUADRÁTICOS De aquí se sigue que S(p,q) − ω es par. Por tanto, (−1) S(p,q)−ω = 1; es decir (−1) S(p,q) = (−1) ω . Pero, el lema de Gauss dice que � p q � q p � = (−1) S(q,p) . En conclusión, � � � � p q q p � = (−1) ω , entonces = (−1) S(q,p) · (−1) S(p,q) � q p = (−1) p−1 q−1 2 · 2 , por el lema de Gauss. � = (−1) S(p,q) . De manera similar, El corolario que sigue es una reformulación de la Ley de Reciprocidad Cuadrática en términos de congruencias. Corolario 6.2 Sea p y q primos impares distintos. Entonces ⎧ � � ⎪⎨ q = p ⎪⎩ � � p � q � p q si p ≡ 1 (mod 4) o q ≡ 1 (mod 4) si p ≡ q ≡ 3 (mod 4) Prueba: Ejercicio. EJEMPLO 6.13 ¿Es 152 residuo cuadrático módulo 43? Solución: 152 ≡ 23 (mod 43), entonces � � 153 43 = � � 23 43 = � � 43 − , 23 pues 43 ≡ 23 ≡ 3 (mod 4), (Corolario 6.2) = � � 20 − , 23 pues 43 ≡ 20 (mod 23) = � 22 � � � � � 5 5 − · = − 23 23 23 = � � 23 − 5 pues 5 ≡ 1 (mod 4) = � � 2 − = −1 pues 5 � � 2 = (−1) 5 (25−1)/8 = 1.

EJEMPLO 6.14 Muestre que si p = 2n + 1 es primo =⇒ 3 es raíz primitiva módulo p. Solución: p �≡ 1 (mod 3) y, como p es primo, p �≡ 0 (mod 3). Así, p ≡ 2 (mod 3). Por � p � � � 2 tanto, = = −1. Ahora, por el criterio de Euler, 3 3 3 2n−1 ≡ −1 (mod p) y también 32n ≡ 1 (mod p). Sea ahora Ordp(3) = s, entonces s|2n ⇒ s = 2k entonces con k ≤ n. Si k < n, � 1 = 3 2k� 2n−k−1 = 3 2n−1 ≡ −1 mod p, lo cual es una contradicción. ∴ 3 es raíz primitiva. 6.4 Símbolo de Jacobi. El símbolo de Jacobi es una � extensión del símbolo de Legendre. La notación es la misma, el a � símbolo de Jacobi se denota solo que esta vez m debe ser impar y mcd(a,m) = 1. No hay m peligro de confusión pues si m es primo impar, el símbolo de Jacobi coincide con el símbolo de Legendre. Si m no es primo, estamos en el contexto del símbolo de Jacobi. Definición 6.3 (Símbolo de jacobi) Sea m entero positivo impar con descomposición prima m = y sea a entero tal que mcd(a,m) = 1. El símbolo de Jacobi se define por � � a � = m a ∏ k i=1 pe i i � � a En esta definición, formalmente corresponde al símbolo de Legendre. EJEMPLO 6.15 � � 2 = 15 � 2 3 p i � � � 2 = (−1)(−1) = 1. 5 Si m es primo, el símbolo de Jacobi coincide con el símbolo de Legendre. � Si m no es primo, el símbolo de Jacobi no decide si a es residuo cuadrático � módulo � m : 2 2 no es residuo cuadrático módulo 15 pero, usando el símbolo de Jacobi, = 1. 15 � a � El símbolo de Jacobi si decide residuos no cuadráticos. Si = −1, a no es residuo � m a � cuadrático módulo m. Esto es así pues si = −1, entonces por definición, si m es m Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/) = k ∏ i=1 � a p i � ei k ∏ i=1 103 p e i i ,

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