106 RESIDUOS

106 RESIDUOS CUADRÁTICOS 6.17 Usar el criterio de Euler para determinar si a = 54 es residuo cuadrático módulo p = 97. 6.18 � a � ¿Qué puede decir de ? 2 6.19 ¿Es 2 residuo cuadrático módulo 3181? 6.20 Sean p > q ambos primos impares. Muestre que q − 1 2 q p − 1 q − 1 ≤ < + 1. p 2 2 � q p � p − 1 = 2 q − 1 . Ayuda: Muestre que 2 6.21 ¿Es 3797 residuo cuadrático módulo 7297? � � � � −1 1 6.22 ¿ = − ? 17 17 � � 3 6.23 Sea p primo > 3. Muestre que si p ≡ 1 (mod 4), entonces = 1 si p ≡ 1 (mod 3) � � p 3 y que si p ≡ 3 (mod 4), entonces = −1 si p ≡ 2 (mod 3). Ayuda: Ley de Reciprocidad p Cuadrática. � � 3 6.24 Sea p primo impar. = 1 si y solo si p ≡ 1 (mod 12). p 6.25 Sea p primo impar. Muestre que la congruencia x 2 + 3 ≡ 0 (mod p) tiene solución si y solo si p es un primo de la forma 3h + 1. 6.26 Probar que x (p−1)/2 ≡ 1 (mod p) tiene (p − 1)/2 soluciones módulo p. 6.27 Sea p1,..., ps primos de la forma 8k + 7 y sea N = (4p1p2 · · · ps) 2 − 2. a) Probar, usando residuos cuadráticos, que los divisores primos impares de N tienen la forma 8k + 1 o 8k + 7. b) Probar que no todos los divisores primos impares de N tienen la forma 8k + 1 c) Probar que hay infinitos primos de la forma 8k + 7.

235711 7 ESTIMACIONES, 131719 232931 235711 PROMEDIOS ESTADÍSTICAS Y El propósito de este capítulo es estudiar comportamiento “típico” de algunas funciones aritméticas para tomar decisiones a la hora de crear heurísticas para resolver algún problema. Por ejemplo, nos interesa tener estimaciones para poder responder preguntas tales como: ¿La mayoría de los números tienen factores primos pequeños?, ¿Los números altamente compuestos son escasos?, ¿Cuál es el tamaño típico del factor más grande de un número?, etc. 7.1 Funciones Aritméticas La función aritmética τ(n) cuenta cuántos divisores positivos, primos y compuestos, tiene n. Por ejemplo, los divisores de 8 son 1,2,4; así τ(8) = 4. La función σ(n) es definida como la suma de los divisores, tanto primos como compuestos, de n. Por ejemplo, σ(8) = 1 + 2 + 4 = 7. Formalmente, τ(n) = ∑1 y σ(n) = ∑1 d|n d|n Sea s(n) = σ(n) − n, es decir, s(n) es la suma de divisores propios de n (a veces se usa el arcaísmo “parte alícuota” en vez de divisor propio). Decimos que un entero n es deficiente si s(n) > n, que abundante si s(n) > n y que es perfecto si s(n) = n. Por ejemplo, s(8) = 7 < 8, así que 8 es deficiente. s(12) = 16, así 12 es abundante. Los divisores de 6 son 1,2,3 y 6, por tanto s(6) = 1 + 2 + 3 + 6 − 6 = 6, por tanto 6 es perfecto. τ y σ se calculan fácil si n es potencia de un primo. Lema 7.1 Sea p primo y n = p k , , entonces τ(n) = k + 1 y σ(n) = (p k+1 − 1)/(p − 1) Prueba: Los divisores de d de p k son 1, p, p 2 ,..., p k . Hay k + 1 divisores. La suma es 1 + p + p 2 + ... + p k = 1 − pk+1 1 − p = pk+1 − 1 p − 1 τ y σ son multiplicativas, esto nos permite calcular τ y σ si conocemos la descomposición prima de n. 107 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)