Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

108 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS
Lema 7.2 Si mcd(m,n) = 1, entonces
τ(nm) = τ(n)τ(m) y σ(nm) = σ(n)σ(m)
Prueba: La a idea la podemos ver con un ejemplo: Sea n = 9 y n = 4, ambos son primos relativos.
Ahora, hacemos un arreglo rectangular como el que está a la izquierda de la tabla (7.1). Las
únicas filas en consideración son las filas que inician con un divisor de 9. Luego, solo marcamos
las entradas 5 d i · d j si d i|9 y d j|4. Simplificando, lo que nos queda es un arreglo rectangular
τ(9)τ(4).
1 2 3 4
1 1 · 1 1 · 2 1 · 4
2
3 3 · 1 3 · 2 3 · 4
4
5
6
7
8
9 9 · 1 9 · 2 9 · 4
−→
1 2 4
1 1 · 1 1 · 2 1 · 4
3 3 · 1 3 · 2 3 · 4
9 9 · 1 9 · 2 9 · 4
Tabla 7.1 Si mcd(9,4) = 1, entonces τ(9 · 4) = τ(9)τ(4)
La prueba para σ(nm) es una modificación de la prueba de τ(m)τ(n). Solo necesitamos notar
que σ(nm) es la suma de todas las entradas de la tabla simplificada.
La prueba formal queda como ejercicio.
Teorema 7.1 Si la factorización prima de n es p k 1
1
Prueba: Como p k 1
1
y similarmente para σ(n)
· pk2
2 · · · pks s , entonces
τ(n) = (k1 + 1)(k2 + 2) · · · (ks + 1) y σ(n) =
s
∏
i=1
p ki i − 1
pi − 1
, pk2
2 , · · · , pks s son primos relativos dos a dos, entonces
�
τ(n) = τ p k � �
1
1 · τ p k2
� �
2 · · · τ p ks
�
s = (k1 + 1)(k2 + 2) · · · (ks + 1)
σ y τ son ejemplos de funciones definidas sobre los números naturales. En vez de considerar
este tipo de funciones como objetos aislados, es de mucha ayuda verlas como objetos más generales
y estudiar la relación entre ellas por medio de una operación “∗” (llamada convolución).
Una función f definida sobre los números naturales, se llama función aritmética. Por ejemplo,
5 Recordemos que si mcd(m,n) = 1 y si d|mn, entonces d = ab con a|m y b|n.