Views
5 years ago

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

108 ESTIMACIONES,

108 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS Lema 7.2 Si mcd(m,n) = 1, entonces τ(nm) = τ(n)τ(m) y σ(nm) = σ(n)σ(m) Prueba: La a idea la podemos ver con un ejemplo: Sea n = 9 y n = 4, ambos son primos relativos. Ahora, hacemos un arreglo rectangular como el que está a la izquierda de la tabla (7.1). Las únicas filas en consideración son las filas que inician con un divisor de 9. Luego, solo marcamos las entradas 5 d i · d j si d i|9 y d j|4. Simplificando, lo que nos queda es un arreglo rectangular τ(9)τ(4). 1 2 3 4 1 1 · 1 1 · 2 1 · 4 2 3 3 · 1 3 · 2 3 · 4 4 5 6 7 8 9 9 · 1 9 · 2 9 · 4 −→ 1 2 4 1 1 · 1 1 · 2 1 · 4 3 3 · 1 3 · 2 3 · 4 9 9 · 1 9 · 2 9 · 4 Tabla 7.1 Si mcd(9,4) = 1, entonces τ(9 · 4) = τ(9)τ(4) La prueba para σ(nm) es una modificación de la prueba de τ(m)τ(n). Solo necesitamos notar que σ(nm) es la suma de todas las entradas de la tabla simplificada. La prueba formal queda como ejercicio. Teorema 7.1 Si la factorización prima de n es p k 1 1 Prueba: Como p k 1 1 y similarmente para σ(n) · pk2 2 · · · pks s , entonces τ(n) = (k1 + 1)(k2 + 2) · · · (ks + 1) y σ(n) = s ∏ i=1 p ki i − 1 pi − 1 , pk2 2 , · · · , pks s son primos relativos dos a dos, entonces � τ(n) = τ p k � � 1 1 · τ p k2 � � 2 · · · τ p ks � s = (k1 + 1)(k2 + 2) · · · (ks + 1) σ y τ son ejemplos de funciones definidas sobre los números naturales. En vez de considerar este tipo de funciones como objetos aislados, es de mucha ayuda verlas como objetos más generales y estudiar la relación entre ellas por medio de una operación “∗” (llamada convolución). Una función f definida sobre los números naturales, se llama función aritmética. Por ejemplo, 5 Recordemos que si mcd(m,n) = 1 y si d|mn, entonces d = ab con a|m y b|n.

u(n) = 1 para todo n, N(n) e(n) = = n para todo n, � 1 si n = 1 0 si n > 1 Definición 7.1 (Convolución) Sean f y g funciones aritméticas. La convolución de f y g, se denotada f ∗ g, es una función aritmética definida por f ∗ g(n) = ∑ f (d)g(n/d) d|n Como los divisores de n ocurren en pares (es decir, si d|n =⇒ n = dk y entonces (n/d)|n), podemos escribir f ∗ g(n) = ∑ f (d)g(c) c,d n=cd EJEMPLO 7.1 Calcule N ∗ u Solución: N ∗ u(n) = ∑ N(d)u(c) = ∑ d · 1 = σ(n) c,d d|n n=cd EJEMPLO 7.2 Calcule u ∗ u Solución: u ∗ u(n) = ∑ u(d)u(c) = ∑1 = τ(n) c,d d|n n=cd Teorema 7.2 Sean f , g y h funciones aritméticas, entonces (1) f ∗ g = g ∗ f (2)( f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) (3) f ∗ e = f para cualquier función aritmética f Prueba: Ejercicio. La función µ de Möbius se define así: µ(1) = 1, si n > 1 tiene factorización prima n = p k1 1 · pk2 2 · · · pks s , entonces � 0 si ki > 1, para algún i = 1,2,...,s µ(n) = (−1) s si ki = 1, para todo i = 1,2,...,s 109

Edición de textos científicos con LaTeX - TEC Digital - Tecnológico ...
El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital
1.5 Algoritmo de Euclides con menor resto. - TEC-Digital
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Replanteamiento de la Conjetura de Goldbach - TEC-Digital
La génesis y el desarrollo de un hecho científico - TEC-Digital
Cómo hacer Transparencias con la clase Beamer de - TEC-Digital ...
Cálculo Superior. Vectores, rectas y planos. - TEC Digital ...
Versión PDF - TEC-Digital - Tecnológico de Costa Rica
Teoria Numeros C Ivorra Castillo
Programación Visual Basic (VBA) para Excel y Análisis ... - TEC-Digital
Tema 4. Teoría de los Números - it/aut/UAH
Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...