Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital
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4 FUNDAMENTOS<br />
inducción matemática. La primera vez que se usa el método, es para probar que <strong>la</strong> suma<br />
<strong>de</strong> los primeros n enteros impares es n 2 . El nombre “inducción matemática”, lo usó por<br />
primera vez el matemático inglés John Wallis.<br />
Probar que 1 + 3 + 5 + ... + n = n 2<br />
Solución: En este caso, n indica el número <strong>de</strong> sumandos.<br />
(1) La proposición es correcta para n = 1 pues 1 = 1 2<br />
(2) Hipótesis <strong>de</strong> inducción: suponemos que <strong>la</strong> proposición es cierta para n = k, es <strong>de</strong>cir, 1 +<br />
3 + 5 + ... + k = k 2 . Ahora, sumamos k + 1 a ambos <strong>la</strong>dos,<br />
1 + 3 + 5 + ... + k + k + 1 = k 2 + k + 1 = (k + 1) 2 .<br />
Por lo tanto, hemos <strong>de</strong>mostrado que si <strong>la</strong> proposición es correcta para n = k, es correcta<br />
para n = k + 1. Entonces, <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> es válida para todo n ∈ N, por el principio <strong>de</strong> inducción.<br />
Principio <strong>de</strong> Inducción Completa: Para probar que una proposición P(n) es verda<strong>de</strong>ra<br />
para todo entero positivo n, se <strong>de</strong>ben ejecutar los dos pasos siguientes:<br />
(1) Verificar que P(n) se cumple para n = 1,<br />
(2) Probar que si se cumple P(1) ∧ P(2) ∧ ... ∧ P(k) (hipótesis <strong>de</strong> inducción), entonces se<br />
cumple P(k + 1)<br />
Se pue<strong>de</strong> probar que el principio <strong>de</strong> inducción completa es equivalente al principio <strong>de</strong> inducción.<br />
Es <strong>de</strong>cir, cada principio pue<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>mostrado asumiendo el otro. La ganancia es que el<br />
principio <strong>de</strong> inducción completa es más flexible. A el principio <strong>de</strong> inducción completa también<br />
se le l<strong>la</strong>ma principio <strong>de</strong> inducción fuerte o segundo principio <strong>de</strong> inducción.<br />
EJEMPLO 1.5<br />
Si n es un entero mayor que uno, n se pue<strong>de</strong> escribir como un producto <strong>de</strong> primos. La<br />
<strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> este hecho se hace con inducción fuerte. Pue<strong>de</strong> ver el teorema 2.13, que<br />
está más a<strong>de</strong><strong>la</strong>nte.<br />
1.2 Valor absoluto y <strong>la</strong> función sgn(x)<br />
Muchas veces es conveniente separar el número y su signo. Para esto usamos <strong>la</strong> función “signo”.<br />
En <strong>la</strong>s aplicaciones es necesario que esta función solo tome dos valores −1 y 1.<br />
<strong>Introducción</strong> a <strong>la</strong> Teoría <strong>de</strong> Números.. Walter Mora F.<br />
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