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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

114 ESTIMACIONES,

114 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS EJEMPLO 7.7 Muestre que � � x 1 = 1 + O . x + 1 x Solución: |x/(x + 1) − 1| = 1/(x + 1) < 1/x si x > 0. Así, tomando C = 1 y x0 = 0, el término de error es O(1/x). EJEMPLO 7.8 Sean n, d enteros positivos, Muestre que �n/d� = n/d + O(1). Solución: Por el algoritmo de la división, existe k, r ∈ Z tal que n = k · d + r con 0 ≤ r < d o también n/d = k + r/d. Luego,�n/d� = k = (n − r)/d. Ahora, |�n/d� − n/d| = r/d < 1 para cada n ≥ 0. Así, tenemos �n/d� = n/d + O(1), tomando C = 1. o pequeña La definición de O grande requiere la existencia de una constante C tal que f ≤ Cg. La definición de la o pequeña es similar, solo que esta vez pedimos que 0 ≤ f ≤ Cg para toda C > 0. En lo que sigue, solo hacemos referencia un par de veces a este concepto, así que solo vamos a dar la definición. Definición 7.3 Sea f , g funciones. Decimos que f = o(g) si para toda c ∈ R + , existe xc tal que 0 ≤ f (x) ≤ c · g(x) si x > xc. 7.4 Teorema de los números primos Ya sabemos que los primos son infinitos. De aquí en adelante hay una pregunta muy natural: ¿cuántos primos hay entre 2 y x?. Por ejemplo, 2,3,5,7 son los primos inferiores a x = 10, así que hay 4 primos entre 2 y 10. La función que se usa para contar los primos por debajo de x se denota con π(x) : Por ejemplo, π(2) = 1, π(10) = 4 y π( √ 1000) = 11. Para la función π(x) no hay una fórmula sencilla. Algunas fórmulas actuales son variaciones un poco más eficientes que la fórmula recursiva de Legendre (1808). Fórmula de Legendre. Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

Esta fórmula esta basada en el principio de inclusión-exclusión. Básicamente dice que el conjunto {1,2,...,�x�} es la unión del entero 1, los primos ≤ x y los enteros compuestos ≤ x, �x� = 1 + π(x) + #{ enteros compuestos ≤ x} Un entero compuesto en A = {1,2,...,�x�} tiene al menos un divisor primo menor o igual a √ x. Esto nos ayuda a detectar los números compuestos en A : solo tenemos que contar los elementos de A con un divisor primo ≤ √ x. Los números divisibles por p en inferiores a x son los k números p < 2p < ... < k · p ≤ x. Como kp ≤ x < (k + 1)p, entonces k = �x/p�. Así, �x/p� cuenta la cantidad de enteros ≤ x divisibles por p. Ahora, ¿#{ enteros compuestos ≤ x} es igual a al conteo total de los múltiplos de cada primo p i ≤ √ x ? No, pues este conteo incluye a los propios primos p i, así que hay que reponer con π( √ x) para hacer una corrección. Pero también habría que restar los compuestos que son divisibles por p i y p j pues fueron contados dos veces, pero esto haría que los números divisibles por p i, p j, p k fueran descontados una vez más de lo necesario así que hay que agregar una corrección para estos números, y así sucesivamente. EJEMPLO 7.9 Si x = 30, los primos menores que � √ 30� = 5 son 2,3 y 5. �30/2� = 15 cuenta {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30} �30/3� = 10 cuenta {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} �30/5� = 6 cuenta {5,10,15,20,25,30} En el conteo �30/2� + �30/3� + �30/5�: se contaron los primos 2,3 y 5. 6,12,18,24,30 fueron contados dos veces como múltiplos de 2, 3 10,20,30 fueron contados dos veces como múltiplos de 2, 5 15,30 fueron contados dos veces como múltiplos de 3, 5 30 fue contado tres veces como múltiplo de 2,3 y 5. Finalmente, #{ enteros compuestos ≤ 30} = �30/2� + �30/3� + �30/5� − �30/(2 · 3)� − �30/(2 · 5)� − �30/(3 · 5)� + �30/(2 · 3 + ·5)� = 31 − 3 − 5 − 3 − 2 + 1 = 19 El último sumando se agrega pues el 30 fue contado tres veces pero también se resto tres veces. 115

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