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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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118 ESTIMACIONES,

118 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS x π(x + ∆x) − π(x) π(x + ∆x) − π(x) ∆x 1 ln(x) 10 2 0.632 0.434 100 4 0.4 0.217 1000 5 0.158 0.144 10000 11 0.11 0.108 100000000000 12491 0.0395 0.039 1000000000000 36249 0.0362 0.036 Tabla 7.5 Densidad de primos en le intervalo [ x, x + ∆x ] con ∆x = √ x Hadamard y de la Vallée Poussin probaron en 1896, usando métodos basados en análisis complejo, el Teorema 7.5 � (Teorema de los Números Primos) x dt π(x) Sea Li(x) = . Entonces π(x) ∼ Li(x), es decir limx→∞ = 1 ln(t) Li(x) 2 La conjetura de Legendre era π(x) ∼ x/ln(x). Esta expresión se usa mucho cuando se hacen estimaciones “gruesas”: Teorema 7.6 Li(x) ∼ x/ln(x), es decir limx→∞ 7.4.1 La función Zeta de Riemann π(x) = 1 x/ln(x) Este tema está en el ámbito de la teoría analítica de números. Aquí solo podemos hacer una excursión algo descriptiva con solo algunos cálculos concretos que involucran a la función “zeta” de Riemann. Los resultados que se mencionan aquí fueron tomados de [9] y [2]. La aproximación a π(x) dada por Gauss y Legendre fue encontrada por métodos empíricos. Riemann fue el primero en deducir de manera sistemática relaciones entre los números primos y las funciones matemáticas conocidas. El punto de partida de Riemann fue la relación descubierta por Euler ζ(s) = ∞ ∑ n=1 1 ns = ∏ p primo donde el producto es tomado sobre todos los primos. 1 1 − p−s Para entender esta fórmula debemos aplicar series geométricas, 1 1 − p −s = 1 + p−s + (p −s ) 2 + ... (7.1)

Así, EJEMPLO 7.11 ∏ p primo 1 1 1 = (1 + + 1 − p−s 2s 2 Veamos un ejemplo concreto. Si s = 1 entonces Así, el sumando 1 450 ζ(1) = ∞ ∑ n=1 1 n = ∏ p primo se obtiene como ·(1 + 1 1 + 3s 3 ·(1 + 1 1 + 5s 5 · · · 2s + ...) 1 1 = (1 + 1 − p−1 2 1 2 · 32 1 = · 52 2 El producto de los dos primeros factores sería, (1 + p −1 1 + p−2 1 + ...)(1 + p−1 2 + p−2 2 2s + ...) 2s + ...) ·(1 + 1 3 ·(1 + 1 5 ·(1 + 1 7 · · · · 1 3 + ...) = 1 + 1 2 · 1 p2 1 + + ...) 22 1 + + ...) 32 1 + + ...) 52 1 + + ...) 72 · 1 · 1··· . 52 + 1 p2 + 2 1 p3 + 2 1 + p2p1 1 p2 2p1 + 1 p3 2p1 + 1 + p1 1 p2p2 + 1 1 p2 + 1 1 p2p3 1 + 1 p2 2p2 + 1 1 p3 2p2 + 1 1 p2 2p3 + 1 1 p3 2p3 + 1 1 p3 1 1 Luego,ζ(1) = ∑ 2α13α2 · · · p αn donde la suma cubre todas las combinaciones de exponentes n αi ≥ 0 y todos los primos pi. El teorema fundamental de la aritmética dice que estos pro- ∞ 1 ductos en los denominadores son todos los enteros positivos: ζ(1) = ∑ n . Riemann toma esta identidad establecida por Euler y pone a trabajar la teoría de funciones analíticas (funciones diferenciables de variable compleja). Extiende la relación (7.2), la cual está n=1 119

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