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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

120 ESTIMACIONES,

120 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS restringida a s > 1 por razones de convergencia, a s = σ + it con σ > 0 y s �= 1 (en este caso |ζ(1)| = ∞). La nueva función luce así ζ(s) = 1 1 − 2 1−s ∞ (−1) ∑ n=1 n−1 ns Esta función converge para todos los s �= 1 con σ > 0 si s �= 1. Para calcular ζ(s) se usa la fórmula de Euler-Maclaurin ζ(s) ≈ N−1 ∑ n n=1 −s + 1 s − 1 N1−s + 1 2 N−s + 1 12 N−s−1 − Por ejemplo, tomando N = 1000, s(s + 1)(s + 2) N 720 −s−3 + ζ(2) ≈ 1.6449340668482264... ≈ π 2 /6 = 1.6449340668482262... s(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4) N 30240 −s−5 , ζ(1/2 + 37.586178 · i) = −8.910197857314728 × 10 −8 − 2.9437792720132805 × 10 −7 i En realidad, 0.5 + 37.586178158825675... · i es el sexto cero no trivial de ζ, es decir, ζ(1/2 + 0.5 + 37.586178158825675... · i) = 0. A este respecto, la famosa hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de ζ(s) son de la forma s = 1/2 + it. La importancia de esta hipótesis se debe a que la estimación del error en varias fórmulas relacionadas con la distribución de los números primos depende del conocimiento de regiones extensas libres de ceros de la función ζ(s). En particular, π(x) = Li(x) + O( √ x ln x) Para obtener una fórmula para π(x), Riemann define la función f (x) = π(x) + 1/2π(x 1/2 ) + 1/3π(x 1/3 ) + ..., con x > 1 y no entero. Sorprendentemente, En 1859 Riemann hace la conjetura f (x) = Li(x) − ∑ ρ π(x) = ∞ ∑ n=1 (7.2) µ(n) n f (x1/n ) (7.3) Li(x ρ � ∞ ) − ln2 + dt/(t(t x 2 − 1)lnt) donde la suma corre sobre todos los ceros no triviales ρ de ζ(s), contando multiplicidad. Esto fue probado por Mangoldt en 1895. Ahora, cambiando f (x 1/n ) por Li(x 1/n ) en (7.3), Riemann obtiene Ri(x) = ∞ ∑ n=1 µ(n) n Li(x1/n ) ∼ π(x) � ∞ En esta fórmula, es conveniente calcular Li(x) = Ei(Log(z)) donde Ei(z) = − e −t /t dt; suponiendo que tenemos una buena implementación de esta función, por ejemplo en ([22]). −z

La función Ri(n), n ∈ Z + , se puede calcular usando la serie de Gram (1893), Ri(n) = 1 + ∞ ∑ k=1 (logn) k k! · kζ(k + 1), esta serie exhibe convergencia muy veloz; sin embargo, la aproximación a π(x) es aceptable si x < 10 9 . ¿Qué tan bien se puede aproximar π(x)? El teorema de los números primos indica que π(x) ∼ Li(x), es decir, el error relativo � � � � Li(x) − π(x) � � � Li(x) � −→ 0 conforme x −→ 0. Efectivamente, conforme x es grande,Li(x) se aproxima más y más a π(x). Si x no es muy grande, se puede tener un error porcentual pequeño y un error real de varios millones, que aún así, es despreciable respecto a la magnitud de π(x). En la tabla (7.7) se hace una comparación entre π(x) Li(x). Los valores de π(x) se obtuvieron de tablas especiales mientras que Li(x) se calculó con Ei(x). x π(x) Li(x) Li(x) − π(x) π(x) − Li(x) Li(x) 10 13 346065536839 346065645810. 108 971 −3.14 × 10 −7 10 18 24739954287740860 24739954309690415. 21949555 8.87 × 10 −7 10 22 201467286689315906290 201467286691248261498. 1932355207 9.59 × 10 −12 Tabla 7.6 Comparando π(x) con Li(x) Una mejora notable se obtiene si cambiamos Li(x) por Ri(x), 7.4.2 Teorema de Mertens. x Li(x) − π(x) Ri(x) − π(x) 10 13 108971. −5773 10 18 21949555. −3501366 10 22 1932355207. −127132665 Tabla 7.7 Comparando π(x) con Ri(x) En este apartado vamos a aplicar algunos cálculos aproximados para establecer un resultado muy curioso: Típicamente, los números grandes tienen factores primos pequeños. Observemos que en el conjunto {1,2,3,...,9} solo 3,6 y 9 son divisibles por 3. En términos de proporciones, una tercera parte. La tabla que sigue muestra las proporciones al variar n. Es ésta 121

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