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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

124 ESTIMACIONES,

124 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS 7.5 Números Armónicos Aunque la serie armónica analítica de números. G Proporción approx de impares sin factores primos ≤ G. 100 0.243839 1000 0.162559 10000 0.121919 100000 0.0975355 1000000 0.0812796 10000000 0.0696682 100000000 0.0609597 1000000000 0.0541864 10000000000 0.0487678 Tabla 7.11 ∞ 1 ∑ k k=1 es divergente, la función Hn n 1 = ∑ k k=1 Lema 7.4 Existe una número real γ, llamada constante de Euler, tal que Hn = ln(n) + γ + O (1/n). es muy útil en teoría Prueba: Hay que mostrar que ∃C tal que 0 < Hn − ln(n) − γ < C · 1/n para n > n0. Usando integral de Riemann, n−1 1 ∑ k k=1 = � n 1 1 x dx + En i.e. Hn−1 = ln(n) + En Geométricamente, Hn−1 corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos desde 1 hasta n y En la suma de las áreas de las porciones de los rectángulos sobre la curva y = 1/x. En el gráfico (b) de la figura 7.1 vemos que En ≤ 1 para toda n ≥ 1, así que En es una función de n, que se mantiene acotada y es creciente, por lo tanto esta función tiene un límite, el cual vamos a denotar con γ. Así, lim n→∞ En = γ. En particular, para cada n fijo, γ > En. Como γ − En corresponde a la suma (infinita) de las áreas de las regiones sombreadas en la figura 7.5, se establece la desigualdad

de donde γ − En < 1/n 0 < γ − (Hn−1 − ln(n)) < 1/n. Ahora restamos 1/n a ambos lados para hacer que aparezca Hn, tenemos que era lo que queríamos demostrar. 1 n > Hn − ln(n) − γ > 0 1 1/n . γ − En. Aunque en la demostración se establece Hn − ln(n) − γ < 1/n, la estimación del error O(1/n) corresponde a una función dominada por un múltiplo de 1/n. Veamos ahora algunos cálculos que pretender evidenciar el significado de O(1/n). n Hn ln(n) |Hn − ln(n) − γ| 1/n 170000 12.62077232 12.62076938 2.94117358 × 10 −6 5.88235294 × 10 −6 180000 12.67793057 12.67792779 2.77777520 × 10 −6 5.55555555 × 10 −6 190000 12.73199764 12.73199501 2.63157663 × 10 −6 5.26315789 × 10 −6 200000 12.78329081 12.78328831 2.49999791 × 10 −6 5. × 10 −6 Observando las dos últimas columnas se puede establecer una mejor estimación del error con 1 2n 1 1 y todavía mejor con − ! 2n 12n2 n Hn ln(n) + γ + 1 1 − 2n 12n2 100000 12.090146129863427 12.090146129863427 150000 12.495609571309556 12.495609571309554 200000 12.783290810429621 12.783290810429623 También, de estas tablas se puede obtener la aproximación γ ≈ 0.577216 Lema 7.5 n ∑ τ(k) = nH(n) + O(n) y n ∑ τ(k) = nln(n) + O(n). k=1 k=1 Prueba: Como τ(k) = ∑1, ∑ d|k n k=1 τ(k) = ∑nk=1 ∑d|k 1 La idea ahora es usar argumentos de divisibilidad para usar la expansión del ejemplo 7.8. Si d|k entonces k = d · c ≤ n. Esto nos dice que el conjunto de todos los divisores positivos de los números k inferiores o iguales a n, se puede describir como el conjunto de todos los pares (c,d) con la propiedad cd ≤ n (por supuesto, se puede hacer una demostración formal probando la doble implicación “⇐⇒”). Ahora, cd ≤ n ⇐⇒ d ≤ n ∧ c ≤ n/d. Entonces podemos escribir, 1 125

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