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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

126 ESTIMACIONES,

126 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS n ∑ τ(k) = ∑ 1 = ∑ ∑ 1 k=1 c,d d≤n c≤n/d cd≤n La suma ∑ 1 corre sobre los enteros positivos menores o iguales que n/d. Esto nos da �n/d� c≤n/d sumandos, i.e. ∑ c≤n/d 1 = �n/d�. Finalmente, usando el ejemplo 7.8, n ∑ k=1 τ(k) = ∑ [n/d] d≤n = ∑ {n/d + O(1)} d≤n = ∑ n/d + ∑ O(1) d≤n d≤n = n ∑ 1/d + ∑ O(1) d≤n d≤n = n Hn + O(n) En los ejercicios se pide mostrar, usando la figura 7.1, que Hn = log(n) + O(1). Usando este hecho, n ∑ k=1 τ(k) = n Hn + O(n) = n {ln(n) + O(1)} + O(n) = nln(n) + O(n). (Los pequeños detalles que faltan se completan en los ejercicios) 7.6 Acerca de los factores de un número grande Los siguientes teoremas, los cuales podemos ver en ([8]), nos dan información acerca de qué se podría esperar cuando se intenta factorizar un número grande. Aquí hay que tener cuidado: Las interpretaciones de los teoremas no son del todo rigurosas, solamente son argumentos heurísticos para obtener estimaciones gruesas. Teorema 7.8 Sea π (x) el número de enteros ≤ x que tienen exactamente k factores primos diferentes, k k ≥ 2. Entonces π (x) ∼ k 6 π2 x (lnln x) ln x k−1 (k − 1)! = π∗ (x) cuando x −→ ∞ La aproximación π ∗ (x) de π k (x) funciona si k = (1 + o(1))lnln x, es decir, si k está en un vecindario de lnln x. Por ejemplo, si tomamos x = 10 100 y k = 15, la proporción de números compuestos (de la totalidad de los compuestos inferiores a x ) no da ≈ 0.15%. Esto no dice que los números cercanos a x = 10 100 , con 15 o más factores, no son muy populares. Otro teorema útil es el siguiente,

Teorema 7.9 “Normalmente”, el número de factores primos diferentes de N es aproximadamente, lnln N En este teorema,“Normalmente” significa que la mayoría de los enteros cercanos a N tienen una cantidad de factores primos entre (1 − ε)lnln N y (1 + ε)lnln N con ε > 0. Ahora, siguiendo un argumento heurístico, podemos concluir que típicamente, la cantidad de dígitos del factor primo más grande de N es aproximadamente un 63% de la cantidad de dígitos de N. Si P es el factor primo más grande de N, puesto que log N es proporcional a la cantidad de dígitos de N, esta estimación se puede poner como log P ≈ 0.63log N. La heurística es muy sencilla, si N tiene s factores, N/P tendría s − 1 ≈ lnln N/P = lnln N + ln(1 − ln P/ln N) = s + ln(1 − ln P/ln N). Entonces, tomando logaritmo, 1 − ln P/ln N ≈ 1/e. Luego, ln P ≈ (1 − 1/e)ln N = 0.632ln N. En particular, para el segundo factor primo P2 de N, típicamente tendríamos log P2 ≈ 0.23log N. Para terminar, vamos a hablar un poco del teorema de Erdös-Kac. El teorema del límite central dice que si una población (continua o discreta) tiene media µ y varianza finita σ 2 , la media muestral X tendrá una distribución que se aproxima a la normal. Teorema 7.10 (Limite Central) Si tenemos X1, X2,..., Xn variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas, con media µ y varianza σ 2 , entonces, si n es suficientemente grande, la probabilidad de que Sn = X1 + X2 + ... + Xn esté entre nµ + α σ √ n y nµ + β σ √ n es EJEMPLO 7.15 � 1 β √ e 2π α −t2 /2 dt Si lanzamos una moneda limpia unas 10000 veces, uno esperaría que aproximadamente 5000 veces salga “cara”. Si denotamos con X i = 1 el evento “en el lanzamiento i sale cara”, como la probabilidad que asumimos para el evento “sale cara” es 1/2, entonces nµ = n · 0.5 = 5000 y σ = √ n · 0.25 = 5. Luego, para calcular la probabilidad de que el número de caras esté entre 4850 y 5150, debemos calcular los límites α y β. Por razones de ajuste del caso discreto al caso continuo, se usa un factor de corrección de 1/2. Resolviendo, 5000 + (α) √ 50 = 4850 − 0.5 =⇒ α = −3.01 5000 + (α) √ 50 = 5150 + 0.5 =⇒ β = 3.01 � 1 3.01 √ e 2π −3.01 −t2 /2 dt = 0.997388 Así, la probabilidad de que el número de caras esté entre 4850 y 5150 es de 0.997388 Si ω(n) denota la cantidad de factores primos de n, esta función se puede denotar como una suma de funciones ρp(n), estadísticamente independientes, definidas por ρp(n) = � 1 si p|n 0 si p ∤ n 127

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