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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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128 ESTIMACIONES,

128 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y PROMEDIOS Esto sugiere que la distribución de los valores de ω(n) puede ser dada por la ley normal (con media lnlnn y desviación estándar √ lnlnn). Mark Kac y Paul Erdös probaron que la densidad del conjunto de enteros n para el cual el número de divisores primos ω(n) está comprendido entre lnlnn + α √ lnlnn y lnlnn + β √ lnlnn, es � 1 β √ e 2π α −t2 /2 dt es decir, el número de divisores primos está distribuido de acuerdo a la ley normal. Teorema 7.11 Denotamos con N(x, a,b) la cantidad de enteros n en {3,4,..., x} para los cuales Entonces, conforme x → ∞, EJERCICIOS α ≤ ω(n) − lnlnn √ lnlnn ≤ β N(x, a,b) = (x + o(x)) 1 � β √ e 2π α −t2 /2 dt 7.1 Muestre que 7x 3 − 12x + 9 ≪ x 3 conforme x → ∞. Ayuda: Use la derivada. 7.2 Si f , g : N −→ R + , muestre que Máx{ f (n), g(n)} = O( f (n) + g(n)). 7.3 Muestre que 2 n+1 = O(2 n ) pero 2 2n �= O(2 n ) 7.4 Muestre que f ∈ O(g) no implica necesariamente que g ∈ O( f ) 7.5 Si f (n) ≥ 1 y lg[g(n)] ≥ 1 entonces muestre que si f ∈ O(g) =⇒ lg[ f ] ∈ O(lg[g]) Ayuda: Use la hipótesis para concluir que lg f (n) ≤ lg c + lg g(n) ≤ (lg c + 1)lg g(n). 7.6 Usando la figura 7.1, muestre que Hn = log(n) + O(1). 7.7 Muestre que ∑τ(d)µ(n/d) = 1 d|n

EJERCICIOS 129

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