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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

134 ALGORITMOS PARA EL

134 ALGORITMOS PARA EL MCD Teorema 8.1 (Teorema de la división) Sean a,b ∈ Z con b �= 0. Sea q ∈ Z definido como entonces, ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ q = �a/b� si b > 0, q = �a/b� + 1 si b < 0, a = bq + r2 con 0 ≤ r2 < |b| a = b(q + sgn(b)) − r1 con 0 ≤ r1 < |b| Además, si a ≥ 0, b > 0 y r = mín{r1,r2}, entonces r = |a − b · �a/b + 1/2�| Cálculo de q. Sean a,b ∈ Z con b �= 0. Usando el principio del buen orden se puede establecer que existe q ∈ Z tal que bq ≤ a ≤ bq + b si b > 0 y bq ≤ a ≤ bq + |b| si b < 0; o lo que es lo mismo, Entonces, q ≤ a/b ≤ q + 1 si b > 0 y q − 1 ≤ a/b ≤ q si b < 0. ⎧ ⎨ ⎩ Figura 8.2 q = �a/b� si b > 0 q = �a/b� + 1 si b < 0 Cálculo de r. Podemos escoger q de tal manera que el resto sea positivo, pero desde el punto de vista computacional no siempre este resto es el que interesa. De acuerdo con la figura (8.3), Figura 8.3 (8.2) (8.3)

podemos tomar q como en 8.2 y, usando la identidad |b| = sgn(b) · b, reescribir el teorema de la división como, ⎧ ⎨ ⎩ Por ejemplo, si a = 144 y b = 89, a = bq + r2 con 0 ≤ r2 < |b| a = b(q + sgn(b)) − r1 con 0 ≤ r1 < |b| 144 = 89 · 1 + 55, r2 = 55 < b = 89 144 = 89 · 2 − 34, r1 = 34 < b = 89 Si a = 144 y b = −89, entonces q = �144/(−89)� + 1 = −2 + 1 = −1 y q + sgn(b) = −2. Entonces, 144 = −89 · −1 + 55, r2 = 55 < |b| = 89 144 = −89 · −2 − 34, r1 = 34 < |b| = 89 Cálculo del menor resto. En la sección 8.4 vamos a necesitar el teorema de la división pero con el menor resto. Para simplificar los cálculos, queremos calcular el menor resto usando una fórmula directa. Consideremos la ecuación 8.4. Como se observa en la figura 8.4, uno de los restos es menor que |b|/2. Si r = Mín{r1,r2} entonces, existe q ′ ∈ Z tal que a = bq ′ ± r con 0 ≤ r ≤ |b|/2. Figura 8.4 Para los cálculos que vamos a hacer aquí solo necesitamos tratar el caso en que a ≥ 0 y b > 0. Para comparar los restos a − b · �a/b� y b · (�a/b� + 1) − a usamos el hecho de que a/b = �a/b� + pfrac(a/b). El menor resto es a − b · �a/b� si pfrac(a/b) ≤ 1/2. En efecto, a − b · �a/b� ≤ b · (�a/b� + 1) − a 2a ≤ 2b · �a/b� + b 2a/b ≤ 2�a/b� + 1, como a/b = �a/b� + pfrac(a/b), pfrac(a/b) ≤ 1/2. 135 (8.4)

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