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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

6 FUNDAMENTOS 1 = 1 2 ,

6 FUNDAMENTOS 1 = 1 2 , 1 + 3 = 2 2 , 1 + 3 + 5 = 3 2 , 1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 , En el ejemplo (1.4) ya habíamos indicado que Francesco Maurolico (1494-1575), probó este hecho usando por primera vez, inducción matemática. Una prueba geométrica se puede observar en la figura (1.2). 1+3=2 2 1+3+5=3 2 Figura 1.2 Cada cuadrado es construido agregando un número impar (los círculos azules) Los números cuadrados sn, corresponden a la cantidad de puntos en un arreglo cuadrangular de n × n. En este caso sn = n 2 , como acabamos de ver. Los números triangulares tn corresponden a la cantidad de círculos (o puntos u otra cosa) en un arreglo triangular con n columnas, como se ve en la figura (1.3). 1 2 1 3 3 2 1 5 4 Figura 1.3 Números triangulares t 1 = 1, t2 = 3, t3 = 6, t 4 = 10,... Como cada columna tiene un elemento más que la columna anterior, tenemos que 6 · · · tn = 1 + 2 + · · · + n − 1 + n Podemos tomar dos copias de tn y hacerlas encajar, de tal manera que obtengamos un rectángulo,como se ve en la figura (1.4), 2. 1 3. 2 4. 3 Figura 1.4 2t 1 = 2 · 1, 2t2 = 3 · 2, 2t3 = 4 · 3,... 4 3 2 1 7 6 5 9 8 10 5 4 3 2 1 9 8 7 6 12 11 10 14 13 15

esto nos lleva de inmediato a una fórmula cerrada para tn, tn = n(n + 1) . 2 La figura (1.5) también constituye una prueba geométrica de la relación entre números triangulares y cuadrados, tn + tn−1 = sn Figura 1.5 tn + t n−1 = sn Es fácil responder la pregunta ¿Cuándo un número triangular es cuadrado?. Esto sucede si tn = sm, ahora usamos nuestras fórmulas, tn = sm ⇐⇒ n(n + 1) 2 = m 2 ⇐⇒ (2n + 1) 2 − 8m 2 = 1 Los números tetraédricos Tn son los análogos de los triangulares en 3D. Estos números son la cantidad de puntos en una pirámide tetraédica, como se observa en la figura (1.6), Figura 1.6 T 1 = 1, T2 = 4, T3 = 10,... Como la n−ésima capa es un arreglo triangular de tn puntos, entonces Tn = t1 + t2 + ... + tn La prueba geométrica es un poco más complicada. Se requiere usar cubos, en vez de puntos, de tal manera que varias copias encajen perfectamente para formar un cuboide. Por ejemplo, consideremos T3 = 10, en la figura (1.7) se puede observar la nueva configuración de T3 usando cubos. Las dos copias de T3 ajustan bien, pero no constituyen un cuboide. Figura 1.7 Dos copias de T3 = 10 7

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