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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

162 NÚMEROS PRIMOS Y

162 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓN. En el método de factorización por ensayo y error, en su versión más cruda, probamos con todos los números entre 2 y √ N para hallar un factor de N. Si no lo hallamos, N es primo. En vez de hacer estos ≈ √ N pasos (en el peor caso), vamos a escoger una lista aleatoria de números, más pequeña que √ N, y probar con ellos. A menudo se construyen sucesiones seudo-aleatorias x0, x1, x2,... usando una iteración de la forma x i+1 = f (x i) (mod N), con x0 = random(0, N − 1). Entonces {x0, x1,...} ⊆ ZN. Por lo tanto los x i’s se empiezan a repetir en algún momento. La idea es esta: Supongamos que ya calculamos la sucesión x0, x1, x2,... y que es “suficientemente aleatoria”. Si p es un factor primo de N y si � xi ≡ x j (mod p) x i ≡/ x j (mod N) entonces, como x i − x j = kp, resulta que MCD(x i − x j, N) es un factor no trivial de N. Claro, no conocemos p, pero conocemos los x i’s, así que podemos revelar la existencia de p con el cálculo del MCD: En la práctica se requiere comparar, de manera eficiente, los x i con los x j hasta revelar la presencia del factor p vía el cálculo del MCD(x i − x j, N). ⎧ ⎨ ⎩ x i ≡ x j (mod p) x i ≡/ x j (mod N) =⇒ mcd(x i − x j, N) es factor no trivial de N Si x0, x1, x2,... es “suficientemente aleatoria”, hay una probabilidad muy alta de que encontremos pronto una “repetición” del tipo x i ≡ x j (mod p) antes de que esta repetición ocurra (mod N). Antes de entrar en los detalles del algoritmo y su eficiencia, veamos un ejemplo. Ejemplo 9.3 Sea N = 1387. Para crear una sucesión “seudoaleatoria” usamos f (x) = x 2 − 1 y x1 = 2. Luego, es decir, x0 = 2 xi+1 = x 2 i − 1 (mod N)

{x0, x1, x2,...} = {2,3,8,63,1194, 1186,177,814,996,310,396,84,120,529,1053,595,339, 1186,177,814,996,310,396,84,120,529,1053,595,339,...} EJERCICIOS 163 Luego, “por inspección” logramos ver que 1186 ≡/ 8(mod N) y luego usamos el detector de factores: mcd(1186 − 8, N) = 19. Y efectivamente, 19 es un factor de 1387. En este caso detectamos directamente un factor primo de N. Por supuesto, no se trata de comparar todos los x i’s con los x j’s para j < i. El método de factorización “rho” de Pollard, en la variante de R. Brent, usa un algoritmo para detectar rápidamente un ciclo en una sucesión ([?]) y hacer solo unas cuantas comparaciones. Es decir, queremos detectar rápidamente x i ≡ x j (mod p) usando la sucesión x i+1 = f (x i) (mod N) (que alcanza un ciclo un poco más tarde) y el test mcd(x i − x j, N). Típicamente necesitamos unas O( √ p) operaciones. El argumento es heurístico. Básicamente lo que se muestra es que, como en el problema del cumpleaños, dos números x i y x j, tomados de manera aleatoria, son congruentes módulo p con probabilidad mayor que 1/2, después de que hayan sido seleccionados unos 1.177 √ p números. Aunque la sucesión x i+1 = f (x i) (mod N) cae en un ciclo en unas O( √ N) operaciones, es muy probable que detectemos x i ≡ x j (mod p) en unos O( √ p) pasos. Si p ≈ √ N entonces encontraríamos un factor de N en unos O(N 1/4 ) pasos. Esto nos dice que el algoritmo “rho” de Pollard factoriza N 2 con el mismo esfuerzo computacional con el que el método de ensayo y error factoriza N. 9.5.1 Algoritmo e implementación. La algoritmo original de R. Brent compara x 2 k −1 con x j, donde 2 k+1 − 2 k−1 ≤ j ≤ 2 k+1 − 1. Los detalles de cómo esta manera de proceder detectan rápidamente un ciclo en una sucesión no se ven aquí pero pueden encontrarse en [?] y [23]. Ejemplo 9.4 Sean N = 3968039, f (x) = x 2 − 1 y x0 = 2. Luego,

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