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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

164 NÚMEROS PRIMOS Y

164 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓN. N = 1987 · 1997. mcd(x1 − x3, N) = 1 mcd(x3 − x6, N) = 1 mcd(x3 − x7, N) = 1 mcd(x7 − x12, N) = 1 mcd(x7 − x13, N) = 1 mcd(x7 − x14, N) = 1 mcd(x7 − x15, N) = 1 . . . mcd(x63 − x96, N) = 1 mcd(x63 − x97, N) = 1 mcd(x63 − x98, N) = 1 mcd(x63 − x99, N) = 1 mcd(x63 − x100, N) = 1 mcd(x63 − x101, N) = 1 mcd(x63 − x102, N) = 1 mcd(x63 − x103, N) = 1987 En general, hay muchos casos en los que MCD(x i − x j, N) = 1. En vez de calcular todos estos MCD(z1, N), MCD(z2, N),..., calculamos unos pocos MCD(Q k, N), donde Q k = ∏ k j=1 z j (mod N). Brent sugiere escoger k entre ln N y N 1/4 pero lejos de cualquiera de los dos extremos ([?]). Riesel ([9]) sugiere tomar k como un múltiplo de 100. Ejemplo 9.5 Sean N = 3968039, f (x) = x 2 − 1 y x0 = 2. Luego, tomando k = 30 Q30 = Q60 = 30 ∏ j=1 60 ∏ j=31 z j (mod N) = 3105033, mcd(Q30, N) = 1 z j (mod N) = 782878, mcd(Q60, N) = 1987 El algoritmo que vamos a describir aquí es otra variante del algoritmo de Brent ([?]) que es más sencillo de implementar. Se calcula MCD(x i − x j, N) para i = 0,1,3,7,15,... y j = i + 1,...,2i + 1 hasta que, o x i = x j (mod N) (en este caso se debe escoger una f diferente o un x0 diferente) o que un factor no trivial de N sea encontrado.

EJERCICIOS 165 Observe que si i = 2 k − 1 entonces j = 2i + 1 = 2 k+1 − 1, es decir el último j será el ‘nuevo’ i. Por tanto, en el algoritmo actualizamos x i al final del For, haciendo la asignación x i = x 2i+1 = x j. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Algoritmo 9.4: Método rho de Pollard (variante de R. Brent) Datos: N ∈ N, f , x0 Salida: Un factor p de N o mensaje de falla. salir=false; k = 0, x0 =Random(2, N − 1); xi = x0 ; while salir=False do i = 2k − 1; for j = i + 1,i + 2,...,2i + 1 do xj = f (x0) (mod N); if xi = xj then salir=True; Imprimir “El método falló. Reintentar cambiando f o x0 ”; Exit For; g = mcd(x i − xj, N); if 1 < g < N then salir=True; Imprimir N = N/g · g; Exit For; x0 = x j ; xi = xj ; k + +; Implementación en Java. La implementación sigue paso a paso el algoritmo.

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