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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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174 NÚMEROS PRIMOS Y

174 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓN. con v k ∈ Z mk , k = 0,1,...,n. Si m es impar y positivo, la representación simétrica de Zm es Zm = {− m − 1 ,...,−1,0,1,..., 2 m − 1 } 2 La representación de u como una combinación lineal de “base mixta” tiene sentido si cada v k ∈ Z mk tiene el mismo tipo de representación, es decir siempre (para cada k ) Zm k = {0,1,...,m k − 1} o siempre Zm k = {v : −m k/2 < v ≤ m k/2}. Se puede probar que u siempre se puede representar en la forma (9.2) y, escogida un representación igual para todos los Zm k , los coeficientes v i son únicos. Ejemplo 9.7 Sean m0 = 99, m1 = 97, y m2 = 95. Si u = 639985, u = 49 + 62 · (m0) + 66 · (m0 m1). Encontrar u es lo mismo que encontrar v0,v1,...,vn. Para i = 0, de la representación (9.2) se deduce u ≡ v0 (mod m0). Así que u ≡ u0 (mod m0) tiene solución u = u0. Para k ≥ 1, si se han obtenido los coeficientes v0,v1,...,v k−1, entonces de (9.2), u ≡ v0 + v1(m0) + ... + v k � � k−1 ∏ mi (mod mk) i=0 satisface el caso i = k del sistema de congruencias u ≡ u i (mod m i ), 0 ≤ i ≤ n, si se toma v k de tal manera que v0 + v1(m0) + ... + v k � � k−1 ∏ mi ≡ uk (mod mk) i=0 Esta ecuación la podemos resolver para un único v k ∈ Zm k (k ≥ 1), v k ≡ � u k − � v0 + v1(m0) + ... + v k−1 � k−2 ∏ mi i=0 ��� � � k−1 −1 ∏ mi (mod mk) i=0 El inverso se puede tomar pues ∏ k−1 i=0 m i y m k son primos relativos. En el algoritmo que viene a continuación, la solución u entra “representada” en términos de los n + 1 residuos u0,u1,...,un respecto a los n + 1 módulos m0,m1,...,mn. Luego se pasa a una

EJERCICIOS 175 representación v0,v1,...,vn respecto a la base mixta 1, m0,...,∏ n−1 i=0 m i y, como paso final, se reconstruye u en base 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Algoritmo 9.6: Problema Chino del Resto en Z. Algoritmo de Garner Datos: (u0,u1,...un), (m0,m1,...,mn) con mi ∈ Z positivos y primos relativos dos a dos y ui ∈ Zm . i Salida: u ∈ Zm con m = ∏ n i=0 mi tal que u ≡ ui (mod mi), i = 0,1,...,n. Cálculo de inversos; for k = 1to n do producto = ϕm (m0); k for i = 1to k − 1 do producto = ϕm (producto · m k i); γ k = (producto) −1 (módm k); Cálculo de los v k ; v0 = u0 ; j = 0; for k = 1to n do temp = vk−1 ; j = k − 2; while j ≥ 0 do temp = ϕm (temp · m k j + vj); j = j − 1; v k = ϕm k ((u k − temp)γ k); Pasar u a base 10; u = vn ; j = n − 1; while j ≥ 0 do u = u · mj + vj ; j = j − 1; return u; Para obtener u en el paso final, se usa una multiplicación anidada u = v0 + m0(v1 + m1(v2 + ... + mn−2(vn−1 + mn−1(vn))...)) En este último paso, cada iteración actualiza u como u = u · m j + v j con j = n − 1,n − 2,...,0. Aquí no es necesario poner u = ϕm(u · m j + v j) pues estas sumas están en el rango correcto, es decir u · m j + v j ∈ Zm no importa la representación que se haya usado. En efecto,

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