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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Apéndice A

Apéndice A Implementación de una clase “BigRational”. En esta sección implementaremos una clase BigRational para operar con fracciones con numerador y denominador BigInteger. Esta clase viene con una implementación de la aproximación racional de un número real usando fracciones continuas. A.0.2 Aproximación racional de un número real Sea x un número real. x se puede escribir en la forma x = b0 + b1 + 1 1 1 =: [b0; b1, b2,...] b2 + · · · donde b0 es un entero y los denominadores parciales b1,b2,... son enteros positivos. El cálculo de los b ′ is se hace de la siguiente manera, *

0 = ⌊x⌋, x1 = b1 = ⌊x1⌋, x2 = b2 = ⌊x2⌋, x3 = . . . . bn = ⌊xn⌋, xn+1 = 1 x − b0 1 , x1 − b1 1 x2 − b2 1 xn − bn El cálculo termina si x es racional, sino la expansión es infinita. Para aproximar un número real con una fracción racional, se usan los convergentes (o cocientes parciales) An . Estos convergentes se definen como Bn An Tenemos el siguiente teorema de aproximación, Bn = [b0; b1, b2,...,bn] Teorema A.1 Si x ∈ R y x = [b0; b1, b2,...] entonces Bn es creciente, � � � An � � �x − � Bn � y An x = lim n→∞ Bn < 1 B 2 n Si A−1 = 1, B−1 = 0, A0 = b0 y B0 = 1, An/Bn se puede calcular con la siguiente fórmula recursiva: A.0.3 Algoritmo. As = bsAs−1 + As−2 Bs = bsBs−1 + Bs−2 Como los convergentes aproximan tanto como queramos al número x, en este algoritmo nos detenemos hasta que tengamos los 15 dígitos decimales que nos permite la aritmética del computador (actual). 179 Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/) , ,

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