Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Entonces para cada j, q β j
j = pk·α i j
i j
∏d p kα d
d = yk .
is
SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS 189
y para cada s, r δs
s = p k·αis . Luego, m = ∏t p kαt
t = xk y n =
2.27 Hay un k ∈ Z tal que p − 3 = 4k, entonces p − 7 = 4(k − 1), por tanto 4|p − 7. Usando
la misma idea, comprobamos que 3|p − 7. Como mcd(3,4) = 1, mcm(3,4) = 12 y entonces
12|p − 7.
2.29 Si p1, p2, p3 son primos, mcd(p1p2, p2p3, p1, p3) = 1 y mcd(p i p j, p j p k) �= 1. También, si
a = 2 · 3 · 5, b = 5 · 7 · 11 y c = 11 · 2, mcd(a,b,c) = 1
mcd(a,b) = 5
mcd(a,c) = 2
mcd(b,c) = 11
2.30 Sea d = mcd(a, a + 1). Como d|a ∧ d|(a + 1) =⇒ d|1. Luego, d = 1.
Otra manera:d = mcd(a − 1, a) =⇒ d ≤ a − (a − 1) = 1 pues d es la mínima combinación lineal
positiva de a y a − 1.
2.31 m = mcd(a,b) = mcm(a,b) =⇒ m|a ∧ m|b ∧ a|m ∧ b|m =⇒ a = b (por ser ambos
positivos).
2.32 Sea d = mcd(mg, g), entonces d|g =⇒ d ≤ g. Pero g|g ∧ g|gm, entonces g = d.
2.33 mcd(a,b) = mcd(a,k a) = a según el ejercicio anterior. mcm(a,b) = ab
a
2.34“⇒”: g|x y g|y =⇒ g|s.
“⇐”: g|s =⇒ s = kg = (k − 1)g + g. Así, si x = (k − 1)g y y = g entonces s = x + y y mcd(x,y) =
mcd((k − 1)g, g) = g, por ser g positivo.
2.35 Si a c ad + bc
+ = ∈ Z, entonces bd|(ad + bc). Como ad + bc = bd se tiene que b|(ad + bc)
b d bd
y d|(ad + bc). Luego, b|ad ∧ d|bc. Finalmente, como mcd(a,b) = mcd(c,d) = 1 se concluye que
b|d ∧ d|b, es decir |a| = |b|.
2.36 Sea d = mcd(a, b) y m = mcd(a, b, ax + by). Como d|a ∧ d|b =⇒ d|(ax + by) y por tanto
d|m.
Luego, como m|a ∧ m|b =⇒ m|d.
∴ d = m, por ser ambos positivos.
2.37 d = mcd(a, a + 2) =⇒ d|a ∧ d|(a + 2) =⇒ d|2 =⇒ d = 1 ∨ d = 2.
A.1 Muestre que si n = pq, con p,q factores no triviales de n y p|(y − x) y n ∤ (y − x), entonces
1 < mcd(y − x,n) < n.
2.39 Sea d m = mcd(ma,mb) y d = mcd(a,b). Por Bezout, existen x,y,s,t ∈ Z tal que
d m = amx + bmy = m(ax + by) = m(kd) pues d|(ax + by). Luego, md|d m .
= b.