Views
5 years ago

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

188 SOLUCIÓN DE LOS

188 SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS Así, d1d2|m ∧ d1d2|ab y entonces d1d2|d. Usando el ejercicio anterior se concluye que d1d2 = d. � ax + by 2.11 Por Bezout, existen x,y,s,t ∈ Z tal que as + ct xct + sby) + bc(yt) = 1, es decir, mcd(a,bc) = 1. = = 1 1 2.13 Por Bezout ax + by = d =⇒ k1x + k2y = 1, por (2.1, 4) mcd(k1,k2) = 1 , Multiplicando obtenemos a(axs + 2.14 ra + sb = d =⇒ rk1d + sk2d = d =⇒ rk1 + sk2 = 1 =⇒ mcd(r,s) = 1 por (2.1, 4). 2.15 Sea d = mcd(a,b), a y b son múltiplos de d, entonces am + bn = h =⇒ k1dm + k2dn = h =⇒ d|h. 2.16 “⇒”: es el ejercicio anterior. “⇐”: Sea d = mcd(a,b) y sea h = kd. Usando el algoritmo extendido de Euclides podemos calcular x1,y1 ∈ Z tal que ax1 + by1 = d =⇒ ax1k + by1k = kd = h. Luego, la solución de la ecuación diofántica es x = x1k y y = y1k. 2.17 Por el algoritmo extendido de Euclides, 1 = 365 · −699 + 1876 · 136 luego 24 = 365 · −16776 + 1876 · 3264 2.18 Sea � k 2 − kp = d ∈ N. Luego k 2 − kp − d 2 = 0 de donde k = p ± � p 2 + 4 · 1 · d 2 2 (∗) k es entero, así que � p 2 + 4d 2 debe ser cuadrado perfecto, sea p 2 + 4d 2 = a 2 , entonces p = (a − 2d)(a + 2d) como p es primo, solo tenemos las dos posibilidades siguientes, 1. p = (a − 2d) y p = (a + 2d) 2. p 2 = a + 2d y a − 2d = 1 pues a + 2d ≥ a − 2d. En el primer caso d = 0 (y a = p). Entonces k = 0 o k = p En el segundo caso, resolvemos el sistema y obtenemos d = (p 2 − 1)/2 (y a = (p 2 + 1)/2). Como a,d son naturales, este caso se cumple si p es impar, es decir p �= 2. Sustituyendo d en (∗) y resolviendo queda k = (p + 1)/2 y k = −(p − 1)/2. Note que si p = 2 solo puede suceder el primer caso y queda k = 0 o k = 2. 2.19 Para n = 2 es cierto, por el lema de Euclides. Si es cierto para n = k y p i|(q1q2 · · · q k) · q k+1, por el lema de Euclides, p i|(q1q2 · · · q k) o p i|q k+1. Aplicando la hipótesis de inducción en el primer caso p i|q j para algún j ∈ {1,2,...,k}, sino p i|q k+1. 2.24 Sean a = ∏i p α i i , m = ∏j q β j j y n = ∏s r δs s la descomposición prima de estos números. Luego, como mn y a k son iguales, su descomposición prima es la misma excepto por el orden de los factores, i.e. ∏j q βj j ∏s r δs s = ∏i p k·αi i

Entonces para cada j, q β j j = pk·α i j i j ∏d p kα d d = yk . is SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS 189 y para cada s, r δs s = p k·αis . Luego, m = ∏t p kαt t = xk y n = 2.27 Hay un k ∈ Z tal que p − 3 = 4k, entonces p − 7 = 4(k − 1), por tanto 4|p − 7. Usando la misma idea, comprobamos que 3|p − 7. Como mcd(3,4) = 1, mcm(3,4) = 12 y entonces 12|p − 7. 2.29 Si p1, p2, p3 son primos, mcd(p1p2, p2p3, p1, p3) = 1 y mcd(p i p j, p j p k) �= 1. También, si a = 2 · 3 · 5, b = 5 · 7 · 11 y c = 11 · 2, mcd(a,b,c) = 1 mcd(a,b) = 5 mcd(a,c) = 2 mcd(b,c) = 11 2.30 Sea d = mcd(a, a + 1). Como d|a ∧ d|(a + 1) =⇒ d|1. Luego, d = 1. Otra manera:d = mcd(a − 1, a) =⇒ d ≤ a − (a − 1) = 1 pues d es la mínima combinación lineal positiva de a y a − 1. 2.31 m = mcd(a,b) = mcm(a,b) =⇒ m|a ∧ m|b ∧ a|m ∧ b|m =⇒ a = b (por ser ambos positivos). 2.32 Sea d = mcd(mg, g), entonces d|g =⇒ d ≤ g. Pero g|g ∧ g|gm, entonces g = d. 2.33 mcd(a,b) = mcd(a,k a) = a según el ejercicio anterior. mcm(a,b) = ab a 2.34“⇒”: g|x y g|y =⇒ g|s. “⇐”: g|s =⇒ s = kg = (k − 1)g + g. Así, si x = (k − 1)g y y = g entonces s = x + y y mcd(x,y) = mcd((k − 1)g, g) = g, por ser g positivo. 2.35 Si a c ad + bc + = ∈ Z, entonces bd|(ad + bc). Como ad + bc = bd se tiene que b|(ad + bc) b d bd y d|(ad + bc). Luego, b|ad ∧ d|bc. Finalmente, como mcd(a,b) = mcd(c,d) = 1 se concluye que b|d ∧ d|b, es decir |a| = |b|. 2.36 Sea d = mcd(a, b) y m = mcd(a, b, ax + by). Como d|a ∧ d|b =⇒ d|(ax + by) y por tanto d|m. Luego, como m|a ∧ m|b =⇒ m|d. ∴ d = m, por ser ambos positivos. 2.37 d = mcd(a, a + 2) =⇒ d|a ∧ d|(a + 2) =⇒ d|2 =⇒ d = 1 ∨ d = 2. A.1 Muestre que si n = pq, con p,q factores no triviales de n y p|(y − x) y n ∤ (y − x), entonces 1 < mcd(y − x,n) < n. 2.39 Sea d m = mcd(ma,mb) y d = mcd(a,b). Por Bezout, existen x,y,s,t ∈ Z tal que d m = amx + bmy = m(ax + by) = m(kd) pues d|(ax + by). Luego, md|d m . = b.

  • Page 2 and 3:

    INTRODUCCIÓN a la TEORÍA DE NÚME

  • Page 4 and 5:

    Contenido Prefacio 7 PART I INTRODU

  • Page 6 and 7:

    CONTENIDO 5 7.6 Acerca de los facto

  • Page 8 and 9:

    Prefacio Este es un libro introduct

  • Page 10 and 11:

    235711 131719 232931 235711 FUNDAME

  • Page 12 and 13:

    4 FUNDAMENTOS inducción matemátic

  • Page 14 and 15:

    6 FUNDAMENTOS 1 = 1 2 , 1 + 3 = 2 2

  • Page 16 and 17:

    8 FUNDAMENTOS Figura 1.8 Seis copia

  • Page 18 and 19:

    235711 2 131719 232931 235711 DIVIS

  • Page 20 and 21:

    12 DIVISIBILIDAD Nota 1: Si a,b ∈

  • Page 22 and 23:

    14 DIVISIBILIDAD (2) Si n no tiene

  • Page 24 and 25:

    16 DIVISIBILIDAD Tercer refinamient

  • Page 26 and 27:

    18 DIVISIBILIDAD Nota: Es convenien

  • Page 28 and 29:

    20 DIVISIBILIDAD Private Sub Limpia

  • Page 30 and 31:

    22 DIVISIBILIDAD Solución: El teor

  • Page 32 and 33:

    24 DIVISIBILIDAD 2.4.1 Algoritmo e

  • Page 34 and 35:

    26 DIVISIBILIDAD Así, r es una com

  • Page 36 and 37:

    28 DIVISIBILIDAD � 1 si x ≥ 0 E

  • Page 38 and 39:

    30 DIVISIBILIDAD “⇐”: Si d|c,

  • Page 40 and 41:

    32 DIVISIBILIDAD EJEMPLO 2.25 Podem

  • Page 42 and 43:

    34 DIVISIBILIDAD EJEMPLO 2.27 Reali

  • Page 44 and 45:

    36 DIVISIBILIDAD 2.24 Sean m y n so

  • Page 46 and 47:

    235711 3 131719 232931 235711 CONGR

  • Page 48 and 49:

    40 CONGRUENCIAS Solución: Existe k

  • Page 50 and 51:

    42 CONGRUENCIAS EJEMPLO 3.8 El 9 de

  • Page 52 and 53:

    44 CONGRUENCIAS En la actualidad ha

  • Page 54 and 55:

    46 CONGRUENCIAS EJEMPLO 3.11 La rel

  • Page 56 and 57:

    48 CONGRUENCIAS Inversos módulo m

  • Page 58 and 59:

    50 CONGRUENCIAS 3.6 Congruencias li

  • Page 60 and 61:

    52 CONGRUENCIAS EJEMPLO 3.20 Resolv

  • Page 62 and 63:

    54 CONGRUENCIAS Para probar la unic

  • Page 64 and 65:

    56 CONGRUENCIAS P(x) ≡ 0 (mod 2)

  • Page 66 and 67:

    58 CONGRUENCIAS 3.36 Un niño tiene

  • Page 68 and 69:

    60 POTENCIAS mod m Teorema 4.2 Si O

  • Page 70 and 71:

    62 POTENCIAS mod m Prueba: Usando l

  • Page 72 and 73:

    64 POTENCIAS mod m Así, ϕ(9) = 6

  • Page 74 and 75:

    66 POTENCIAS mod m Si mcd(i,n) �=

  • Page 76 and 77:

    68 POTENCIAS mod m Prueba: Como R =

  • Page 78 and 79:

    70 POTENCIAS mod m a a n−1 mod 22

  • Page 80 and 81:

    72 POTENCIAS mod m Q(x) ≡ 0 (mod

  • Page 82 and 83:

    74 POTENCIAS mod m Solución: Como

  • Page 84 and 85:

    76 POTENCIAS mod m 4.20 Muestre el

  • Page 86 and 87:

    78 RAÍCES PRIMITIVAS Y LOGARITMO D

  • Page 88 and 89:

    80 RAÍCES PRIMITIVAS Y LOGARITMO D

  • Page 90 and 91:

    82 RAÍCES PRIMITIVAS Y LOGARITMO D

  • Page 92 and 93:

    84 RAÍCES PRIMITIVAS Y LOGARITMO D

  • Page 94 and 95:

    86 RAÍCES PRIMITIVAS Y LOGARITMO D

  • Page 96 and 97:

    88 RESIDUOS CUADRÁTICOS En princip

  • Page 98 and 99:

    90 RESIDUOS CUADRÁTICOS (1) a es r

  • Page 100 and 101:

    92 RESIDUOS CUADRÁTICOS Para el c

  • Page 102 and 103:

    94 RESIDUOS CUADRÁTICOS (2) ¿Es 7

  • Page 104 and 105:

    96 RESIDUOS CUADRÁTICOS Entonces 1

  • Page 106 and 107:

    98 RESIDUOS CUADRÁTICOS Como p2

  • Page 108 and 109:

    100 RESIDUOS CUADRÁTICOS Ahora que

  • Page 110 and 111:

    102 RESIDUOS CUADRÁTICOS De aquí

  • Page 112 and 113:

    104 RESIDUOS CUADRÁTICOS � a com

  • Page 114 and 115:

    106 RESIDUOS CUADRÁTICOS 6.17 Usar

  • Page 116 and 117:

    108 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 118 and 119:

    110 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 120 and 121:

    112 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 122 and 123:

    114 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 124 and 125:

    116 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 126 and 127:

    118 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 128 and 129:

    120 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 130 and 131:

    122 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 132 and 133:

    124 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 134 and 135:

    126 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 136 and 137:

    128 ESTIMACIONES, ESTAD˝STICAS Y P

  • Page 138 and 139:

    PARTE II INTRODUCCCION A LA TEORIA

  • Page 140 and 141:

    132 ALGORITMOS PARA EL MCD Al igual

  • Page 142 and 143:

    134 ALGORITMOS PARA EL MCD Teorema

  • Page 144 and 145:

    136 ALGORITMOS PARA EL MCD Así, De

  • Page 146 and 147: 138 ALGORITMOS PARA EL MCD positivo
  • Page 148 and 149: 140 ALGORITMOS PARA EL MCD a = b ·
  • Page 150 and 151: 142 ALGORITMOS PARA EL MCD � �
  • Page 152 and 153: 144 ALGORITMOS PARA EL MCD 8.6 Inve
  • Page 154 and 155: 146 ALGORITMOS PARA EL MCD import j
  • Page 156 and 157: 148 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 158 and 159: 150 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 160 and 161: 152 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 162 and 163: 154 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 164 and 165: 156 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 166 and 167: 158 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 168 and 169: 160 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 170 and 171: 162 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 172 and 173: 164 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 174 and 175: 166 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 176 and 177: 168 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 178 and 179: 170 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 180 and 181: 172 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 182 and 183: 174 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 184 and 185: 176 NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓ
  • Page 186 and 187: Apéndice A Implementación de una
  • Page 188 and 189: 180 IMPLEMENTACIÓN DE UNA CLASE
  • Page 190 and 191: 182 IMPLEMENTACIÓN DE UNA CLASE
  • Page 192 and 193: 184 IMPLEMENTACIÓN DE UNA CLASE
  • Page 194 and 195: Bibliografía [1] R. Carmichael. Th
  • Page 198 and 199: 190 SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS d =
Edición de textos científicos con LaTeX - TEC Digital - Tecnológico ...
El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital
1.5 Algoritmo de Euclides con menor resto. - TEC-Digital
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Replanteamiento de la Conjetura de Goldbach - TEC-Digital
Cómo hacer Transparencias con la clase Beamer de - TEC-Digital ...
Cálculo Superior. Vectores, rectas y planos. - TEC Digital ...
La génesis y el desarrollo de un hecho científico - TEC-Digital
Versión PDF - TEC-Digital - Tecnológico de Costa Rica
Teoria Numeros C Ivorra Castillo
Programación Visual Basic (VBA) para Excel y Análisis ... - TEC-Digital
Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...
Tema 4. Teoría de los Números - it/aut/UAH