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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

190 SOLUCIÓN DE LOS

190 SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS d = as + bt =⇒ md = (ma)s + (mb)t =⇒ d m |md. md|d m ∧ d m |md =⇒ |d m | = |md| =⇒ d m = |m|d, por ser d m y d positivos. 2.40 d|(2(a + 2b) − (2a + b)), i.e. d|3b. d|(2(2a + b) − (a + 2b)), i.e. d|3a Luego d|mcd(3a,3b) =⇒ d|3mcd(a,b) =⇒ d|3 por ejercicio(2.39). Luego, d = 1 o d = 3. 2.41 Asuma que A es entero. Sea 2 α la más grande potencia de 2 que es ≤ n, i.e. 2 α ≤ n pero 2 α · 2 > n. Considere todas las máximas potencias p β i i , de los primos impares p i, que no exceden n, es decir, p βi i ≤ n pero pβ i+1 i Consideremos el producto 2 α−1 � P 1 + 1 1 + 2 3 > n. Sea P es producto de todas estas potencias, P = ∏ i � 1 + ... + n = 2 α−1 P + 2α−1P 2 + 2α−1P 3 + ... + 2α−1P 2α Analizamos ahora cada fracción 2α−1P . Si k tiene factorización prima k = 2 k δ ∏ i 2α−1P k = ⎧ 2 ⎪⎨ ⎪⎩ α−1P 2δ ∏i q δi i 2 α−1 P 2 α p β i i . + ... + 2α−1P . n Por definición de P, los qi aparecen en P pero con una potencia igual o mayor, es decir, para cada i hay un j tal que qi = pj y δi ≤ βj. Luego, como δ ≤ α − 1, entonces 2α−1P es entero. 2δ ∏i q δi i Pero, por otra parte, el caso 2α−1P/2α = P/2 = m + 1/2 con m entero, por ser P impar. Resumiendo, 2 α−1 PA = 2 α−1 � P 1 + 1 1 + 2 3 � 1 + ... + n = 2 α−1 P + 2α−1P 2 + 2α−1P 3 + ... + 2α−1P 2α + ...2α−1 P n = Q + P/2 = Q ′ + 1/2, con Q, Q ′ enteros. Pero si A es entero,2 α−1 PA es entero, mientras que Q ′ + 1/2 no (⇒⇐). q δ i i ,

2.45.a La verificación es directa: T 2 n−1 − 2Tn−1 = (2 2n−1 + 1) 2 − 2(2 2n−1 + 1) = 2 2n−1 ·2 + 2 · 2 2 n−1 = 2 2n − 1 2.45.b La fórmula anterior es una fórmula recursiva: 22n − 1 = Tn − 2 = T2 n−1 − 2Tn−1 = Tn−1(Tn−1 − 2), i.e. Tn − 2 = Tn−1(Tn−1 − 2). Luego, Tn − 2 = Tn−1(Tn−1 − 2) = Tn−1(Tn−2(Tn−2 − 2)) = Tn−1Tn−2Tn−3(Tn−3 − 2) . = Tn−1Tn−2Tn−3 · · · T0(T0 − 2) SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS 191 + 1 − 2 · 2 2n−1 − 2 = Tn−1Tn−2Tn−3 · · · T0, pues T0 − 2 = 3 − 2 = 1 2.45.c Tm = Tm−1 · · · Tn · · · T0 + 2. Si mcd(Tn, Tm) = d entonces d|Tm =⇒ d|(Tm−1 · · · Tn · · · T0 + 2) y como d|Tn, d|2. Así que d = 1 o d = 2. Pero por definición, Tm y Tn son impares. Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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    INTRODUCCIÓN a la TEORÍA DE NÚME

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    16 DIVISIBILIDAD Tercer refinamient

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