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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

12 DIVISIBILIDAD Nota 1:

12 DIVISIBILIDAD Nota 1: Si a,b ∈ Z + , el algoritmo de la división corresponde a la división usual. Si a o b es negativo, la división usual difiere del algoritmo de la división. Nota 2: Para efectos de cálculo es mejor enunciar el algoritmo de la división así: Teorema 2.3 (Algoritmo de la división) Sean a,b ∈ Z con b �= 0. Existe r ∈ Z único tal que Si b > 0, a = b�a/b� + r con 0 ≤ r < b. Si b < 0, a = −b · �a/|b|� + r con 0 ≤ r < |b|. En este contexto, a/b denota la división usual en R. El resto de la división de a por b se denota “ rem(a,b)” o también “ a mod b”. En forma compacta, a mod b = rem(a,b) = a − b · sgn(b)�a/|b|�, b �= 0. Si a y b son positivos, esta función coincide con la función “Mod” de VBA y “%” de Java. EJEMPLO 2.3 Dividir −12 por −5 : −12 −5, 10 2 −2 EJEMPLO 2.4 En la división ordinaria −12 = 2 · −5 − 2. Desde el punto de vista del algoritmo de la división, como −3 · 5 ≤ −12 < −2 · 5, se tiene −12 = −3 · 5 + 3 Si a = 2q + r con 0 ≤ r < 2. Si r = 0 a se dice par y si r = 1, a se dice impar. EJERCICIOS 2.1 Dé un contraejemplo de la afirmación: a|bc y a ∤ c entonces a|b 2.2 Mostrar que si d|a ∧ d|(a + 1) entonces |d| = 1 2.3 Sean d,n ∈ Z. Si d no divide a n entonces ningún múltiplo de d divide a n. 2.4 Si d|a y d|b y si a = bq + r entonces d|r. 2.5 Sea b �= 0 y a = qb + r con 0 ≤ r < |b|. Muestre que en el conjunto {a, a − 1, ..., a − |b| + 1} hay un único múltiplo de b.

2.6 Muestre que si a,b,d ∈ Z, a impar y si d|a y d|(ab + 2), entonces d = 1 EJERCICIOS 13 Definición 2.2 (Primos y compuestos) Un entero p > 1 se dice primo si sus únicos divisores son 1 y p. Si p no es primo, se dice compuesto. EJEMPLO 2.5 Los primeros primos son {2,3,5,7,11,13,17,...} EJEMPLO 2.6 Sea p i el i−ésimo primo. El número N = p1 · p2 · · · pn + 1 puede ser o no ser primo. Por ejemplo, N = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 = 2311 es primo, N = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031 = 59 · 509 no es primo. Lema 2.1 Todo entero positivo n > 1 tiene un divisor primo Prueba: Si n es primo, tiene un divisor primo (él mismo). Supongamos que n es compuesto. Por el principio del buen orden podemos suponer que existe un d > 1 que es el más pequeño divisor positivo de n. Entonces d es primo. En efecto, si d fuera compuesto, d tendría un divisor 1 < d1 < d. Pero si d1|d y d|n entonces d1|n, en contradicción con la suposición de que d era el más pequeño divisor > 1, de n. Corolario 2.1 Sea n ∈ Z, n > 1. El más pequeño divisor positivo d > 1 de n es primo. ¿Cómo decidir si n es primo? El problema de decidir si es un número es primo no es, en general, fácil. Si n es un número muy grande, probar que n no es divisible por ningún número excepto 1 y n, nos llevaría a hacer un número nada razonable de cálculos. El siguiente teorema nos dice que para determinar si un número n es primo o no, basta con probar con los divisores primos inferiores a √ n. Aunque √ n es, en general, pequeño respecto a n, este método tiene un alcance muy limitado. Teorema 2.4 Sean a,b,n ∈ N, n > 1 y m > 1. (1) Si n = ab, entonces a ≤ √ n ∨ b ≤ √ n.

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