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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

14 DIVISIBILIDAD (2) Si

14 DIVISIBILIDAD (2) Si n no tiene divisores primos ≤ √ n, entonces n es primo. Prueba: Probamos (1) por contradicción, si a > √ n ∧ b > √ n =⇒ ab > n. (⇒⇐). Prueba de (2): Sea m compuesto y m = ab y sea p el divisor primo más pequeño de m y p > √ m. Entonces ab ≥ p 2 > m (⇒⇐) Corolario 2.2 Si n es compuesto, n tiene un divisor primo p ≤ √ n. EJEMPLO 2.7 ¿n = 103 es primo? Solución: No pues 103 no es divisible por ningún primo inferior a √ 103 ≈ 10.1 En efecto, los primos inferiores a 10 son2,3,5 y 7. Para probar que n no es divisible por alguno de estos números calculamos los residuos: rem(103,2) = 1, rem(103,3) = 1, rem(103,5) = 3 y rem(103,7) = 5. ¿n = 2311 es primo? Solución: Si es primo. En efecto, si no fuera primo, n = 2311 tendría un divisor primo p con p ≤ √ 2311 = 48.07.... Los primos inferiores a 48 son {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 31,37,41,43,47} pero ninguno de ellos divide a 2311. ¿Cuántos primos hay? Los primos son infinitos. Es algo que se conoce desde la época d Euclides. Teorema 2.5 (Euclides) Hay un número infinito de primos Prueba: La demostración es por contradicción: Si p1,..., pn fueran todos los primos, el número N = p1p2 · · · pn + 1 o es un nuevo primo o tiene un divisor primo diferente de cada p i, i = 1,2,...,n. En efecto: Si N es primo, N > p i, i = 1,2,...,n y entonces sería un nuevo primo. Si N no es un nuevo primo, tiene un divisor primo p j, pero entonces como p j|(p1p2 · · · pn + 1) y p j|(p1p2 · · · pn) =⇒ p j|1 lo cual es imposible pues p j > 1. ¿Cuántos primos hay ≤ x ?. Ahora esta es la pregunta correcta. π(x) denota la cantidad de primos inferiores o iguales x. Por ejemplo, π(5) = π(6) = 3. Al 2008, se conocen todos los primos inferiores a x = 100,000,000,000,000,000,000,000 = 10 23 . Se tiene π(10 23 ) = 1925320391606803968923. También se conocen algunos primos fuera de éstos, son primos especiales, por ejemplo 19249 · 2 13018586 + 1 es un primo con 3918990 dígitos; fue encontrado en el 2007 por Samuel Yates. Actualmente, la manera más eficiente de colar “primos pequeños”, es usar la criba de Eratóstenes.

2.2 Criba de Eratóstenes: Cómo colar números primos. EJERCICIOS 15 La criba 1 de Eratóstenes es un algoritmo que permite “colar” todos los números primos menores que un número natural dado n, eliminando los números compuestos de la lista {2,...,n}. Es simple y razonablemente eficiente hasta, digamos n = 1000000. Primero tomamos una lista de números {2,3,...,n} y eliminamos de la lista los múltiplos de 2. Luego tomamos el primer entero después de 2 que no fue borrado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente. Los números que permanecen en la lista son los primos {2,3,5,7,...}. EJEMPLO 2.8 Primos menores que n = 10 Lista inicial 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Eliminar múltiplos de 2 2 3 ✁4 5 ✁6 7 ✁8 9✚10 Resultado 2 3 5 7 9 Eliminar múltiplos de 3 2 3 5 7 ✁9 Resultado 2 3 5 7 Primer refinamiento: Tachar solo los impares. Excepto el 2, los pares no son primos, así que podríamos “tachar” solo sobre la lista de impares ≤ n : � � �� n − 3 {3,5,9,...,} = 2i + 3 : i = 0,1,... 2 � � n−3 El último impar es n o n − 1. En cualquier caso, el último impar es 2 · 2 + 3 pues: � � n−3 Si n es impar, n = 2k + 1 y 2 = k − 1 =⇒ 2(k − 1) + 3 = n. � � n−3 Si n es par, n = 2k y 2 = k − 2 =⇒ 2(k − 2) + 3 = 2k − 1 = n − 1. Segundo refinamiento: Tachar de p 2 k en adelante. En el paso k−ésimo hay que tachar los múltiplos del primo p desde p k 2 en adelante. Esto es así k pues en los pasos anteriores se ya se tacharon 3 · p , 5 · p ,..., p · p . Por ejemplo, cuando nos k k k−1 k toca tachar los múltiplos del primo 7, ya se han eliminado los múltiplos de 2,3 y 5, es decir, ya se han eliminado 2 · 7, 3 · 7, 4 · 7, 5 · 7 y 6 · 7. Por eso iniciamos en 72 . 1 Criba, tamiz y zaranda son sinónimos. Una criba es un herramienta que consiste de un cedazo usada para limpiar el trigo u otras semillas, de impurezas. Esta acción de limpiar se le dice cribar o tamizar. Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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