Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

16 DIVISIBILIDAD
Tercer refinamiento: Tachar mientras p2 ≤ n. k
En el paso k−ésimo hay que tachar los múltiplos del primo p solo si p k 2 ≤ n. En otro caso, nos
k
detenemos ahí. ¿Porque?. En el paso k−ésimo tachamos los múltiplos del primo p k desde p 2
k
en adelante, así que si p 2
k
EJEMPLO 2.9
> n ya no hay nada que tachar.
Encontrar los primos menores que 20. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor
número confirmado como primo es < 20.
1. La lista inicial es {2,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
2. Como 3 2 ≤ 20, tachamos los múltiplos de 3 desde 3 2 = 9 en adelante:
3. Como 5 2 > 20 el proceso termina aquí.
4. Primos < 20 : {2,3,5,7,11,13,17,19}
2.2.1 Algoritmo e implementación.
{2,3,5,7,✁9,11,13, ✚15,17,19}
En este contexto, a/b división entera, es decir, a/b es el cociente de dividir a y b.
1. Como ya vimos, para colar los primos en el conjunto {2,3,...,n} solo consideramos los
impares:
{2i + 3 : i = 0,1,...�(n − 3)/2�} = {3,5,7,9,...}
2. Por cada primo p = 2i + 3 (tal que p 2 < n), debemos eliminar los múltiplos impares de p
menores que n, a saber
(2k + 1)p = (2k + 1)(2i + 3), k = i + 1,i + 2,...
Observe que si k = i + 1 entonces el primer múltiplo en ser eliminado es p 2 = (2i + 3)(2i +
3), como debe ser.
Esto nos dice que para implementar el algoritmo solo necesitamos un arreglo (booleano) de
tamaño “quo(n-3,2)”. En Java se pone “(n-3)/2” y en VBA se pone “(n-3)\2”.
El arreglo lo llamamos EsPrimo[i], i=0,1,...,(n-3)/2.Cada entrada del arreglo “EsPrimo[i]”
indica si el número 2i + 3 es primo o no.