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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

20 DIVISIBILIDAD Private

20 DIVISIBILIDAD Private Sub LimpiaCeldas(fil, col, nc) Dim k, j k = 0 While LenB(Cells(fil + k, col)) 0 For j = 0 To nc Cells(fil + k, col + j) = "" Next j k = k + 1 Wend End Sub 2.3 Máximo común divisor Si a,b son enteros no ambos nulos, entonces d es un divisor común de a y b si d|a y d|b. Si denotamos Da al conjunto de divisores de a y a D b al conjunto de divisores de b. Estos conjuntos no son vacíos pues al menos 1 ∈ Da y 1 ∈ D b. El máximo común divisor común de a y a es el más grande entero positivo del conjunto Da ∩ D b. EJEMPLO 2.10 Como D−3 = {−3,−1,1,3} y D6 = {±6,±3,±2,±1}, entonces Da ∩ D b = {−3,3,−1,1}. Por tanto, el máximo común divisor de 3 y 6 es 3. Antes de continuar, una pregunta ¿porqué a y b no pueden ser ambos nulos? Una definición más técnica y apropiada para el desarrollo teórica es, Definición 2.3 (Máximo Común Divisor) Sean a, b enteros con al menos uno de los dos diferente de cero. El máximo común divisor de a y b, denotado mcd(a,b), es el entero positivo d que satisface: (1) d|a y d|b (2) Si c|a y c|b, entonces c|d Si mcd(a,b) = 1 se dice que a y b son relativamente primos o simplemente “coprimos”. EJEMPLO 2.11 mcd(3,6) = mcd(−3,6) = mcd(3,−6) = 3. Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

EJERCICIOS 21 Ahora establecemos algunas propiedades útiles. Otras propiedades serán enunciadas más adelante, cuando tengamos más herramientas para hacer las pruebas. Teorema 2.6 Sean a,b ∈ Z, ambos no nulos. (1) mcd(a,0) = |a| si a �= 0 (2) mcd(a,b) = mcd(|a|,|b|) (3) Si d = mcd(a,b), entonces mcd(a/d, b/d) = 1 (4) Si d = mcd(a,b),entonces mcd(a, a − nb) = d con n ∈ Z Prueba: : Para probar (1) sea d = mcd(a,0). Como |a| |a y |a| |0, entonces |a| |d. Pero d| |a| =⇒ d ≤ |a|. ∴ d = |a|. Para probar (2) sea d = mcd(a,b) y d1 = mcd(|a|,|b|). Como d|a ∧ d|b =⇒ d| |a| ∧ d| |b| =⇒ d|d1. Ahora como d1| |a| ∧ d1| |b| =⇒ d1| a ∧ d1| b =⇒ d1|d. ∴ d = d1 por ser ambos positivos. Para probar (3), sea d ′ = mcd(a/d, b/d), entonces hay enteros k,k ′ tales que a/d = kd ′ y b/d = k ′ d ′ . Por tanto, a = dkd ′ y b = dk ′ d ′ , es decir, dd ′ |a ∧ dd ′ |b =⇒ dd ′ ≤ d, por definición, entonces d ′ es un entero positivo ≤ 1, es decir, d ′ = 1. Para probar (4), sea d1 = mcd(a,b − na). Como d|a ∧ d|b =⇒ d|(b − na) por el teorema 2.1, (1). Entonces d ≤ d1. Como d1|a ∧ d1|(b − na) =⇒ d1|b por el teorema 2.1, (2). Entonces d1 ≤ d. ∴ d = d1 EJEMPLO 2.12 Muestre que si p es primo, mcd(a, p) = p o 1. Solución: Si d = mcd(a, p), en particular, d|p, por tanto, como p es primo, d = 1 ∨ d = p. EJEMPLO 2.13 Muestre que si n > 1, p es primo y p|n 2 + 1, entonces mcd(p,n) = 1. Solución: mcd(p,n) = 1 ∨ p. Si mcd(p,n) = p entonces p|n =⇒ p|n 2 y como p|n 2 + 1, p|1, contradicción. ∴ mcd(p,n) = 1. EJEMPLO 2.14 Sea d = mcd(a,b). Si a = kd y b = k ′ d, entonces mcd(k,k ′ ) = 1.

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