Views
5 years ago

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

22 DIVISIBILIDAD

22 DIVISIBILIDAD Solución: El teorema 2.6, (3) dice que mcd(a/d, b/d) = 1, es decir, mcd(k,k ′ ) = 1. En la práctica necesitamos calcular el máximo común divisor de varios números. Esto no es problema, el siguiente teorema nos dice que el máximo común divisor de varios números se puede calcular de la misma manera en la que sumamos: De dos en dos. Teorema 2.7 mcd(a1, a2,..., an) = mcd(a1, mcd(a2,..., an)). Prueba: Sea d = mcd(a1, a2,..., an) y d1 = mcd(a1,d2) con d2 = mcd(a2,..., an). Como d|a1, d|a2,...,d|an, entonces d|d2 y por tanto d|d1. Como d1|a1 y d1|d2 entonces d1|a1, ∧ d1|a2,...,d1|an (por transitividad). Por tanto d1|d ∴ d = d1. Corolario 2.3 Sean a1,..., an ∈ Z, si EJEMPLO 2.15 mcd(a1, a2) = d2, mcd(d2, a3) = d3, ... mcd(dn−1, an) = dn, ⎫ ⎪⎬ mcd(3,6,12) = mcd(mcd(3,6),12) = mcd(3,12) = 3. 2.4 Algoritmo de Euclides I. ⎪⎭ =⇒ dn = mcd(a1,..., an). El algoritmo de Euclides se basa en la aplicación sucesiva del lema Lema 2.2 Sean a,b,q,r ∈ Z tales que a = bq + r con b > 0 y 0 ≤ r < b. Entonces mcd(a,b) = mcd(b,r). Prueba: Como r = a − bq el resultado es consecuencia de la parte (4) del teorema (2.6). Este resultado lo podemos usar para obtener un método muy eficiente para calcular el máximo común divisor de dos números. Teorema 2.8 (Algoritmo de Euclides) Sean a y b son números naturales, b �= 0. Aplicando el algoritmo de la división se obtiene una sucesión finita a,r0 = b,r1,r2,...,rn definida por Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

Entonces rn = mcd(a,b). a = r0q1 + r1, 0 ≤ r1 < r0 r0 = r1q2 + r2, 0 ≤ r2 < r1 r1 = r2q3 + r3, 0 ≤ r3 < r2 . rn−2 = rn−1qn + rn, 0 ≤ rn < rn−1 rn−1 = rnqn+1 + 0 EJERCICIOS 23 Prueba: Aplicando el algoritmo de la división obtenemos una sucesión decreciente de residuos 0 ≤ ... < r k < r k−1 < ... < r1 < r0. La sucesión es finita pues entre 0 y r0 solo puede haber un número finito de enteros. Por tanto, debe haber un residuo mínimo. Si este mínimo es rn ≥ 0, entonces rn+1 = 0. De acuerdo al lema (2.2) tenemos que Usando inducción matemática, EJEMPLO 2.16 mcd(a,b) = mcd(a − r0q,r0) = mcd(r1,r0) = mcd(r1,r0 − r1q2) = mcd(r1,r2) = mcd(r1 − r2q2,r2) = mcd(r3,r2) mcd(a,b) = mcd(rn−1,rn) = mcd(rn,0) = rn. (2.1) Vamos a aplicar el algoritmo de Euclides para calcular mcd(8,2) y mcd(78,32). (1) mcd(8,2) = 2. En efecto; (2) mcd(78,32) = 2. En efecto; 8 = 2 · 4 + 0 Así, r0 = 2 y r 1 = 0. 78 = 32 · 2 + 14 32 = 14 · 2 + 4 14 = 4 · 3 + 2 4 = 2 · 2 + 0

Edición de textos científicos con LaTeX - TEC Digital - Tecnológico ...
El Conjunto de los números Reales - TEC-Digital
1.5 Algoritmo de Euclides con menor resto. - TEC-Digital
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Números Enteros - Universidad de Buenos Aires
Replanteamiento de la Conjetura de Goldbach - TEC-Digital
Cómo hacer Transparencias con la clase Beamer de - TEC-Digital ...
Cálculo Superior. Vectores, rectas y planos. - TEC Digital ...
La génesis y el desarrollo de un hecho científico - TEC-Digital
Versión PDF - TEC-Digital - Tecnológico de Costa Rica
Teoria Numeros C Ivorra Castillo
Programación Visual Basic (VBA) para Excel y Análisis ... - TEC-Digital
Una Introducción (otra mas) - Departamento de Matemática y ...
Tema 4. Teoría de los Números - it/aut/UAH