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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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Entonces rn = mcd(a,b).<br />

a = r0q1 + r1, 0 ≤ r1 < r0<br />

r0 = r1q2 + r2, 0 ≤ r2 < r1<br />

r1 = r2q3 + r3, 0 ≤ r3 < r2<br />

.<br />

rn−2 = rn−1qn + rn, 0 ≤ rn < rn−1<br />

rn−1 = rnqn+1 + 0<br />

EJERCICIOS 23<br />

Prueba: Aplicando el algoritmo <strong>de</strong> <strong>la</strong> división obtenemos una sucesión <strong>de</strong>creciente <strong>de</strong> residuos<br />

0 ≤ ... < r k < r k−1 < ... < r1 < r0. La sucesión es finita pues entre 0 y r0 solo pue<strong>de</strong> haber un<br />

número finito <strong>de</strong> enteros. Por tanto, <strong>de</strong>be haber un residuo mínimo. Si este mínimo es rn ≥ 0,<br />

entonces rn+1 = 0.<br />

De acuerdo al lema (2.2) tenemos que<br />

Usando inducción matemática,<br />

EJEMPLO 2.16<br />

mcd(a,b) = mcd(a − r0q,r0)<br />

= mcd(r1,r0)<br />

= mcd(r1,r0 − r1q2)<br />

= mcd(r1,r2)<br />

= mcd(r1 − r2q2,r2)<br />

= mcd(r3,r2)<br />

mcd(a,b) = mcd(rn−1,rn) = mcd(rn,0) = rn. (2.1)<br />

Vamos a aplicar el algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s para calcu<strong>la</strong>r mcd(8,2) y mcd(78,32).<br />

(1) mcd(8,2) = 2. En efecto; (2) mcd(78,32) = 2. En efecto;<br />

8 = 2 · 4 + 0<br />

Así, r0 = 2 y r 1 = 0.<br />

78 = 32 · 2 + 14<br />

32 = 14 · 2 + 4<br />

14 = 4 · 3 + 2<br />

4 = 2 · 2 + 0

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