22 DIVISIBILIDAD Solución: El teorema 2.6, (3) dice que mcd(a/d, b/d) = 1, es <strong>de</strong>cir, mcd(k,k ′ ) = 1. En <strong>la</strong> práctica necesitamos calcu<strong>la</strong>r el máximo común divisor <strong>de</strong> varios <strong>números</strong>. Esto no es problema, el siguiente teorema nos dice que el máximo común divisor <strong>de</strong> varios <strong>números</strong> se pue<strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> <strong>la</strong> misma manera en <strong>la</strong> que sumamos: De dos en dos. Teorema 2.7 mcd(a1, a2,..., an) = mcd(a1, mcd(a2,..., an)). Prueba: Sea d = mcd(a1, a2,..., an) y d1 = mcd(a1,d2) con d2 = mcd(a2,..., an). Como d|a1, d|a2,...,d|an, entonces d|d2 y por tanto d|d1. Como d1|a1 y d1|d2 entonces d1|a1, ∧ d1|a2,...,d1|an (por transitividad). Por tanto d1|d ∴ d = d1. Coro<strong>la</strong>rio 2.3 Sean a1,..., an ∈ Z, si EJEMPLO 2.15 mcd(a1, a2) = d2, mcd(d2, a3) = d3, ... mcd(dn−1, an) = dn, ⎫ ⎪⎬ mcd(3,6,12) = mcd(mcd(3,6),12) = mcd(3,12) = 3. 2.4 Algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s I. ⎪⎭ =⇒ dn = mcd(a1,..., an). El algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s se basa en <strong>la</strong> aplicación sucesiva <strong>de</strong>l lema Lema 2.2 Sean a,b,q,r ∈ Z tales que a = bq + r con b > 0 y 0 ≤ r < b. Entonces mcd(a,b) = mcd(b,r). Prueba: Como r = a − bq el resultado es consecuencia <strong>de</strong> <strong>la</strong> parte (4) <strong>de</strong>l teorema (2.6). Este resultado lo po<strong>de</strong>mos usar para obtener un método muy eficiente para calcu<strong>la</strong>r el máximo común divisor <strong>de</strong> dos <strong>números</strong>. Teorema 2.8 (Algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s) Sean a y b son <strong>números</strong> naturales, b �= 0. Aplicando el algoritmo <strong>de</strong> <strong>la</strong> división se obtiene una sucesión finita a,r0 = b,r1,r2,...,rn <strong>de</strong>finida por <strong>Introducción</strong> a <strong>la</strong> Teoría <strong>de</strong> Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)
Entonces rn = mcd(a,b). a = r0q1 + r1, 0 ≤ r1 < r0 r0 = r1q2 + r2, 0 ≤ r2 < r1 r1 = r2q3 + r3, 0 ≤ r3 < r2 . rn−2 = rn−1qn + rn, 0 ≤ rn < rn−1 rn−1 = rnqn+1 + 0 EJERCICIOS 23 Prueba: Aplicando el algoritmo <strong>de</strong> <strong>la</strong> división obtenemos una sucesión <strong>de</strong>creciente <strong>de</strong> residuos 0 ≤ ... < r k < r k−1 < ... < r1 < r0. La sucesión es finita pues entre 0 y r0 solo pue<strong>de</strong> haber un número finito <strong>de</strong> enteros. Por tanto, <strong>de</strong>be haber un residuo mínimo. Si este mínimo es rn ≥ 0, entonces rn+1 = 0. De acuerdo al lema (2.2) tenemos que Usando inducción matemática, EJEMPLO 2.16 mcd(a,b) = mcd(a − r0q,r0) = mcd(r1,r0) = mcd(r1,r0 − r1q2) = mcd(r1,r2) = mcd(r1 − r2q2,r2) = mcd(r3,r2) mcd(a,b) = mcd(rn−1,rn) = mcd(rn,0) = rn. (2.1) Vamos a aplicar el algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s para calcu<strong>la</strong>r mcd(8,2) y mcd(78,32). (1) mcd(8,2) = 2. En efecto; (2) mcd(78,32) = 2. En efecto; 8 = 2 · 4 + 0 Así, r0 = 2 y r 1 = 0. 78 = 32 · 2 + 14 32 = 14 · 2 + 4 14 = 4 · 3 + 2 4 = 2 · 2 + 0
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Apéndice A Implementación de una
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Bibliografía [1] R. Carmichael. Th
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