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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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26 DIVISIBILIDAD<br />

Así, r es una combinación lineal <strong>de</strong> a y b. Pero r < m, así que r = 0 por ser m el mínimo entero<br />

positivo en A.<br />

Luego, a = mq y m|a. De manera análoga po<strong>de</strong>mos establecer que m|b. Por lo tanto m es<br />

común divisor <strong>de</strong> a y b y <strong>de</strong>be ser d ≥ m. Pero, como a = k1d y b = k2d entonces m = ax + by =<br />

(xk1 + yk2)d > 0 por lo tanto m ≥ d. Así que m = d.<br />

Prueba alternativa: Por inducción. Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> sucesión r1,r2,...,rn <strong>de</strong>l algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s.<br />

Como r1 = a − bq0 y b = r1q1 + r2 entonces r2 es combinación lineal <strong>de</strong> a y b.<br />

Como r1 y r2 son combinaciones lineales <strong>de</strong> a y b y como r1 = r2q2 + r3 entonces r3 es combinación<br />

lineal <strong>de</strong> a y b.<br />

Continuando <strong>de</strong> esta manera, como r i−1 y r i−2 son combinaciones lineales <strong>de</strong> a y b y como<br />

r i−2 = r i−1q2 + r i (i = 2,...,n), entonces rn es combinación lineal <strong>de</strong> a y b.<br />

El siguiente coro<strong>la</strong>rio es sumamente útil,<br />

Coro<strong>la</strong>rio 2.4 El mcd(a,b) es <strong>la</strong> más pequeño número positivo <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma sa + tb. En particu<strong>la</strong>r, si<br />

ax + by = 1 =⇒ mcd(a,b) = 1.<br />

EJEMPLO 2.17<br />

Si n es entero positivo, verifique que<br />

n + 2<br />

n + 1<br />

es irreducible.<br />

Solución: Si n > 0, n + 2 − (n + 1) = 1; entonces, según el coro<strong>la</strong>rio (2.4), mcd(n + 2,n +<br />

1) = 1.<br />

La ecuación sa + tb = mcd(a,b) no tiene solución única para s,t enteros. Se pue<strong>de</strong> obtener una<br />

solución <strong>de</strong>spejando los residuos, en el algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s, y haciendo una sustitución hacia<br />

atrás.<br />

EJEMPLO 2.18<br />

mcd(78,32) = 2. De acuerdo a <strong>la</strong> i<strong>de</strong>ntidad d Bézout, existen s,t ∈ Z tal que s · 78 + t · 32 =<br />

2. En este caso, una posibilidad es 7 · 78 − 17 · 32 = 2, es <strong>de</strong>cir s = 7 y t = −17.<br />

s y t se pue<strong>de</strong>n obtener así: primero <strong>de</strong>spejamos los residuos en el algoritmo <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s<br />

<strong>de</strong> abajo hacia arriba, iniciando con el máximo común divisor,

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