Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

78 = 32 · 2 + 14 −→ 14 = 78 − 32 · 2
32 = 14 · 2 + 4 −→ 4 = 32 − 14 · 2 _↑
14 = 4 · 3 + 2 −→ 2 = 14 − 4 · 3 _↑
4 = 2 · 2 + 0
EJERCICIOS 27
Ahora hacemos sustitución hacia atrás, sustituyendo las expresiones de los residuos. En
cada paso se ha subraya el residuo que se sustituye
EJEMPLO 2.19
2 = 14 − 4 · 3
= 14 − (32 − 14 · 2)3
= 14 · 7 − 32 · 3
= (78 − 32 · 2)7 − 32 · 3
= 7 · 78 − 17 · 32
Calcular s,t ∈ Z tal que s · −8 + t · 22 = mcd(−8,22).
Solución:
Calcular mcd(−8,22) Cálculo de s y t
−8 = −1 · 22 + 14
22 = 1 · 14 + 8
14 = 1 · 8 + 6
8 = 1 · 6 + 2
6 = 3 · 2 + 0
2.5.1 Algoritmo e implementación.
2 = 6 − 8
= 14 − 8 − (22 − 14)
= (−8 + 22) − 8 − (22 − (−8 + 22))
= −3 · −8 − 1 · 22
∴ s = −3 y t = −1
Observación: En este contexto, a/b denota el cociente de dividir a y b.
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Algoritmo 2.3: Algoritmo Extendido de Euclides
Datos: a, b enteros no ambos nulos
Salida: mcd(a,b), t y s
c = |a|, d = |b|;
2 c1 = 1, d1 = 0;
3 c2 = 0, d2 = 1;
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6
while d �= 0 do
q = c/d, r = c − qd,
r1 = c1 − qd1, r2 = c2 − qd2,
c = d, c1 = d1, c2 = d2,
d = r, d1 = r1, d2 = r2,
return mcd (a,b) = |c|, s = c1/sgn(a) · sgn(c), t = c2/sgn(b) · sgn(c);