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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

26 DIVISIBILIDAD Así, r

26 DIVISIBILIDAD Así, r es una combinación lineal de a y b. Pero r < m, así que r = 0 por ser m el mínimo entero positivo en A. Luego, a = mq y m|a. De manera análoga podemos establecer que m|b. Por lo tanto m es común divisor de a y b y debe ser d ≥ m. Pero, como a = k1d y b = k2d entonces m = ax + by = (xk1 + yk2)d > 0 por lo tanto m ≥ d. Así que m = d. Prueba alternativa: Por inducción. Consideremos la sucesión r1,r2,...,rn del algoritmo de Euclides. Como r1 = a − bq0 y b = r1q1 + r2 entonces r2 es combinación lineal de a y b. Como r1 y r2 son combinaciones lineales de a y b y como r1 = r2q2 + r3 entonces r3 es combinación lineal de a y b. Continuando de esta manera, como r i−1 y r i−2 son combinaciones lineales de a y b y como r i−2 = r i−1q2 + r i (i = 2,...,n), entonces rn es combinación lineal de a y b. El siguiente corolario es sumamente útil, Corolario 2.4 El mcd(a,b) es la más pequeño número positivo de la forma sa + tb. En particular, si ax + by = 1 =⇒ mcd(a,b) = 1. EJEMPLO 2.17 Si n es entero positivo, verifique que n + 2 n + 1 es irreducible. Solución: Si n > 0, n + 2 − (n + 1) = 1; entonces, según el corolario (2.4), mcd(n + 2,n + 1) = 1. La ecuación sa + tb = mcd(a,b) no tiene solución única para s,t enteros. Se puede obtener una solución despejando los residuos, en el algoritmo de Euclides, y haciendo una sustitución hacia atrás. EJEMPLO 2.18 mcd(78,32) = 2. De acuerdo a la identidad d Bézout, existen s,t ∈ Z tal que s · 78 + t · 32 = 2. En este caso, una posibilidad es 7 · 78 − 17 · 32 = 2, es decir s = 7 y t = −17. s y t se pueden obtener así: primero despejamos los residuos en el algoritmo de Euclides de abajo hacia arriba, iniciando con el máximo común divisor,

78 = 32 · 2 + 14 −→ 14 = 78 − 32 · 2 32 = 14 · 2 + 4 −→ 4 = 32 − 14 · 2 _↑ 14 = 4 · 3 + 2 −→ 2 = 14 − 4 · 3 _↑ 4 = 2 · 2 + 0 EJERCICIOS 27 Ahora hacemos sustitución hacia atrás, sustituyendo las expresiones de los residuos. En cada paso se ha subraya el residuo que se sustituye EJEMPLO 2.19 2 = 14 − 4 · 3 = 14 − (32 − 14 · 2)3 = 14 · 7 − 32 · 3 = (78 − 32 · 2)7 − 32 · 3 = 7 · 78 − 17 · 32 Calcular s,t ∈ Z tal que s · −8 + t · 22 = mcd(−8,22). Solución: Calcular mcd(−8,22) Cálculo de s y t −8 = −1 · 22 + 14 22 = 1 · 14 + 8 14 = 1 · 8 + 6 8 = 1 · 6 + 2 6 = 3 · 2 + 0 2.5.1 Algoritmo e implementación. 2 = 6 − 8 = 14 − 8 − (22 − 14) = (−8 + 22) − 8 − (22 − (−8 + 22)) = −3 · −8 − 1 · 22 ∴ s = −3 y t = −1 Observación: En este contexto, a/b denota el cociente de dividir a y b. 1 Algoritmo 2.3: Algoritmo Extendido de Euclides Datos: a, b enteros no ambos nulos Salida: mcd(a,b), t y s c = |a|, d = |b|; 2 c1 = 1, d1 = 0; 3 c2 = 0, d2 = 1; 4 5 6 while d �= 0 do q = c/d, r = c − qd, r1 = c1 − qd1, r2 = c2 − qd2, c = d, c1 = d1, c2 = d2, d = r, d1 = r1, d2 = r2, return mcd (a,b) = |c|, s = c1/sgn(a) · sgn(c), t = c2/sgn(b) · sgn(c);

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