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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

28 DIVISIBILIDAD � 1

28 DIVISIBILIDAD � 1 si x ≥ 0 En este algoritmo, sgn(x) = −1 si x < 0 . Validez del algoritmo. La validez de este algoritmo se establece probando que en todo el ciclo While c = c1 |a| + c2 |b| (2.2) d = d1 |a| + d2 |b| Al final, cuando d = 0, obtenemos s y t despejando en (2.2). Como |x| = x/sgn(x) = x · sgn(x), entonces Implementación en Excel Function signo(x) If x < 0 Then signo = -1 Else signo = 1 End If End Function |c| = = c1 c2 |a| + sgn(c) sgn(c) |b| c1 sgn(c) · sgn(a) � �� � s Function ExtEucl(a, m) As Long() Dim ValorMcdX() As Long Dim c, c1, c2, d, d1, d2, q, r, r1, r2 ReDim ValorMcdX(2) c = Abs(a) d = Abs(m) c1 = 1 d1 = 0 c2 a + b sgn(c) · sgn(b) � �� � t

While d 0 q = c \ d r = c - q * d r1 = c1 - q * d1 c = d c1 = d1 d = r d1 = r1 Wend ValorMcdX(1) = Abs(c) ValorMcdX(2) = c1 * signo(a) * signo(c) ’x ExtEucl = ValorMcdX End Function 2.6 Ecuaciones Diofánticas lineales. EJERCICIOS 29 Consideremos el problema de resolver ax + by = c en enteros. Aquí a,b,c son dados y se debe determinar x,y. Las condiciones de existencia de soluciones y el método para obtenerlas se basa en el algoritmo extendido de Euclides. EJEMPLO 2.20 Consideremos la ecuaciones en enteros 2x + 3y = 2 y 6x − 3y = 1 Gráficamente, las soluciones enteras son los pares (x,y) contenidos en la recta. En el caso de 2x + 3y = 2, en la figura (2.1) se puede observar que (−5,4), (−2,2), (1,0), (4,−2), (7,−4) son algunas soluciones. En el caso de la recta 6x − 3y = 1, no se observan soluciones; ¿tendrá alguna? -5 6 4 2 Figura 2.1 Algunas soluciones enteras de la ecuación 2x + 3y = 2. Teorema 2.10 La ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene solución si y sólo si mcd(a,b)|c Prueba: Sea d = mcd(a,b) “⇒”: Si c = ax + by tiene solución, entonces d|c pues d|a y d|b. Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/) 5

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