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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

30 DIVISIBILIDAD

30 DIVISIBILIDAD “⇐”: Si d|c, c = kd. Como podemos determinar, usando el algoritmo de Euclides, s,t ∈ Z tal que d = sa + tb, entonces c = kd = (ks)a + (kt)b y una solución de la ecuación diofántica lineal sería x = ks y y = kt. EJEMPLO 2.21 La ecuación en enteros 2x + 3y = 2 tiene solución pues mcd(2,3) = 1|2 y 6x − 3y = 1 no tiene soluciones enteras pues mcd(6,3) = 3 ∤ 1. EJEMPLO 2.22 Calcule una solución para −8x + 22y = 20 Solución: En el ejemplo (2.18) establecimos que 2 = mcd(−8,22) = −3 · −8 −1 · 22. Ahora, como 20 = 2 · 10, 2 = −3 · −8 −1 · 22 =⇒ 20 = −30 · −8−10 · 22 =⇒ x = −30 ∧ y = −10. Solución general. La solución general se establece al estilo de las ecuaciones diferenciales y el álgebra lineal: Primero se busca la solución de la ecuación homogénea ax + by = 0 y la solución general de la ecuación ax + by = c se expresa usando estas soluciones. Teorema 2.11 Sea d = mcd(a,b). La ecuación diofántica lineal homogénea ax + by = 0 tiene soluciones x = b a k, y = − k con k ∈ Z. d d Prueba: ax + by = 0 =⇒ ax = −by =⇒ a b x = − y pues a/d y b/d son enteros. Como d d mcd (a/d ,b/d) = 1 (ver ejercicio 2.13), entonces: (a/d)|(− b/d)y =⇒ (a/d)|y. Luego, si ponemos y = (a/d)k =⇒ (a/d)x = −(b/d)(a/d)k =⇒ x = (−b/d) k Teorema 2.12 Sea d = mcd(a,b). Si la ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene una solución x = x0, y = y0, entonces la solución general es x = x0 + b d k, y = y0 − a k con k ∈ Z. d Prueba: Sean x = x0, y = y0, solución de ax + by = c. Tenemos, � ax + by = c ax0 + by0 = c ⇒ Ecuación homogénea � �� � a(x − x0) + b(y − y0) = 0 ⇒ ⎧ ⎨ x − x0 = (−b/d) k ⇒ x = x0 + (b/d)k ⎩ y − y0 = (a/d) k ⇒ y = y0 − (a/d)k

EJEMPLO 2.23 EJERCICIOS 31 Consideremos la ecuación en enteros 2x + 3y = 2. Como una solución particular es (1,0), entonces la solución general es x = 1 + 3k, y = 0 − 2k, k ∈ Z. -5 6 4 2 Figura 2.2 Soluciones enteras de la ecuación 2x + 3y = 2. 5 2.7 Teorema fundamental de la aritmética Un corolario muy útil del teorema (2.9) es, k x y · · · −4 −11 8 −3 −8 6 −2 −5 4 −1 −2 2 0 1 0 1 4 −2 2 7 −4 3 10 −6 4 13 −8 · · · Corolario 2.5 Si m es el más pequeño entero positivo que es combinación lineal de a y b, entonces m = mcd(a,b). EJEMPLO 2.24 mcd(a,b) = 1 ⇐⇒ x,y ∈ Z tal que xa + by = 1 Lema 2.3 Muestre que si a|bc y mcd(a,b) = 1 entones a|c. Prueba: existen x,y ∈ Z tal que xa + by = 1. Multiplicando por c a ambos lados, Como a|ac y a|bc entonces a|(acx + bcy). acx + bcy = c Lema 2.4 (Lema de Euclides) Si p es primo y p|ab entonces p|a o p|b. Prueba: Supongamos que p|ab pero p ∤ a. En este caso mcd(p, a) = 1 por ser p primo (el único factor en común sería p o 1). De el ejemplo (2.3) concluimos p|b. Antes de enunciar el teorema fundamental de la aritmética, veamos un ejemplo muy familiar Introducción a la Teoría de Números.. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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