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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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34 DIVISIBILIDAD<br />

EJEMPLO 2.27<br />

Realizar <strong>la</strong> suma 5 7 3<br />

+ +<br />

36 84 4 .<br />

Solución: Como mcm(36,84,4) = 252, entonces<br />

5 7 3<br />

+ +<br />

36 84 4<br />

7 · 5 3 · 7<br />

= +<br />

252 252<br />

=<br />

= 245 35<br />

=<br />

252 36<br />

+ 63 · 3<br />

252<br />

Para el mínimo común múltiplo <strong>de</strong> una lista <strong>de</strong> <strong>números</strong> tenemos un teorema simi<strong>la</strong>r al teorema<br />

<strong>de</strong>l máximo común divisor.<br />

Teorema 2.15 mcm(a1, a2,..., an) = mcm(a1, mcm(a2,..., an)).<br />

Prueba: Ejercicio.<br />

En <strong>la</strong> sección que trata sobre el “teorema chino <strong>de</strong>l resto” vamos a necesitar los dos coro<strong>la</strong>rios<br />

que siguen y, en su momento, haremos referencia a ellos.<br />

Coro<strong>la</strong>rio 2.6 Si m1,m2,...,m k son primos re<strong>la</strong>tivos dos a dos, entonces<br />

Prueba: Ejercicio.<br />

mcm(m1,m2,...,m k) = m1 · m2 · · · m k.<br />

Coro<strong>la</strong>rio 2.7 Si m1,m2,...,m k, a ∈ Z + y si m i|a, i = 1,2,...,k; entonces<br />

mcm(m1,m2,...,m k)|a.<br />

Prueba: Por inducción completa: La afirmación es c<strong>la</strong>ramente correcta para k = 1 y k = 2. Asumamos<br />

que es correcta para 1,2,...,t. Ahora, supongamos que m i|a,i = 1,2,...,t,t + 1 entonces mcd(m1,m2,...,mt)|a<br />

por <strong>la</strong> hipótesis <strong>de</strong> inducción y mt+1|a, pero entonces los dos <strong>números</strong> mcd(m1,m2,...,mt) y<br />

mt+1 divi<strong>de</strong>n a, así que <strong>la</strong> hipótesis <strong>de</strong> inducción nos dice que mcd(mcd(m1,m2,...,mt),mt+1)|a,<br />

i.e. mcm(m1,m2,...,m k)|a por el teorema (2.15).<br />

EJEMPLO 2.28<br />

El entero 290290 es divisible por 10, 77, y 13. Como mcd(10,77) = 1, mcd(10,13) = 1 y<br />

mcd(77,13) = 1; entonces mcm(10,77,13) = 10 · 77 · 13 = 10010 y 10010|290290.

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