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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

34 DIVISIBILIDAD EJEMPLO

34 DIVISIBILIDAD EJEMPLO 2.27 Realizar la suma 5 7 3 + + 36 84 4 . Solución: Como mcm(36,84,4) = 252, entonces 5 7 3 + + 36 84 4 7 · 5 3 · 7 = + 252 252 = = 245 35 = 252 36 + 63 · 3 252 Para el mínimo común múltiplo de una lista de números tenemos un teorema similar al teorema del máximo común divisor. Teorema 2.15 mcm(a1, a2,..., an) = mcm(a1, mcm(a2,..., an)). Prueba: Ejercicio. En la sección que trata sobre el “teorema chino del resto” vamos a necesitar los dos corolarios que siguen y, en su momento, haremos referencia a ellos. Corolario 2.6 Si m1,m2,...,m k son primos relativos dos a dos, entonces Prueba: Ejercicio. mcm(m1,m2,...,m k) = m1 · m2 · · · m k. Corolario 2.7 Si m1,m2,...,m k, a ∈ Z + y si m i|a, i = 1,2,...,k; entonces mcm(m1,m2,...,m k)|a. Prueba: Por inducción completa: La afirmación es claramente correcta para k = 1 y k = 2. Asumamos que es correcta para 1,2,...,t. Ahora, supongamos que m i|a,i = 1,2,...,t,t + 1 entonces mcd(m1,m2,...,mt)|a por la hipótesis de inducción y mt+1|a, pero entonces los dos números mcd(m1,m2,...,mt) y mt+1 dividen a, así que la hipótesis de inducción nos dice que mcd(mcd(m1,m2,...,mt),mt+1)|a, i.e. mcm(m1,m2,...,m k)|a por el teorema (2.15). EJEMPLO 2.28 El entero 290290 es divisible por 10, 77, y 13. Como mcd(10,77) = 1, mcd(10,13) = 1 y mcd(77,13) = 1; entonces mcm(10,77,13) = 10 · 77 · 13 = 10010 y 10010|290290.

EJEMPLO 2.29 EJERCICIOS 35 Muestre que si p = 4k + 1 y p = 3k ′ + 1 entonces hay un k ′′ ∈ Z tal que p = 12k ′′ + 1 Solución: Como mcd(4,3) = 1, 4|p − 1 y 3|p − 1, entonces mcm(3,4) = 12|p − 1, es decir, hay un k ′′ ∈ Z tal que p − 1 = 12k ′′ . EJERCICIOS 2.7 Muestre que los divisores de n ocurren en pares, es decir, si d|n entonces n/d|n. 2.8 Muestre que si d = mcd(a,b) entonces mcd(a/d, b/d) = 1 (Use la identidad de Bezout). 2.9 Muestre que mcd(ab,m)|mcd(a,m)mcd(b,m) (Use Id. Bezout). 2.10 Muestre que mcd(a,b) = 1 entonces mcd(a,m)mcd(b,m) = mcd(ab,m) 2.11 Muestre que si mcd(a,b) = 1 y si mcd(a,c) = 1, 2.12 Muestre que si mcd(a1,m) = 1, mcd(a2,m) = 1, . . . , mcd(a k,m) = 1 entonces mcd(a1 · a2 · · · a k, m) = 1. 2.13 Muestre que si mcd(a,b) = d y si a = k1d y b = k2d, entonces mcd(k1,k2) = 1 2.14 Muestre que si d = mcd(a,b) y si ra + sb = d, entonces mcd(r,s) = 1. 2.15 Muestre que si am + bn = h entonces mcd(a,b)|h 2.16 Muestre que la ecuación diofántica ax + by = h tiene solución solo si mcd(a,b)|h 2.17 Resuelva la ecuación diofántica 24 = 365x + 1876y 2.18 Sea p un número primo. Determinar todos los enterosk ∈ Z tales que � k 2 − kp es natural. Ayuda: Si p 2 = ab =⇒ (a = p ∧ b = p) ∨ (a = p 2 ∧ b = 1) 2.19 Sean q1,...,qn y p i todos números primos distintos. Use inducción matemática para probar que si p i|q1q2 · · · qn entonces p i = q j para algún j ∈ 1,2,...,n. 2.20 Sea p primo, si p|a n =⇒ p|a 2.21 Muestre que si p es primo, entonces n √ p no es racional. Ayuda: Por contradicción, suponga n√ p = a/b con mcd(a,b) = 1. 2.22 Sean mcd(a,b) = 1 y p primo, entonces p ∤ mcd(a n ,b n ). 2.23 Muestre que si mcd(a, p) = 1 con p primo, entonces mcd(a, p s ) = 1, con s > 0.

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