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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

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36 DIVISIBILIDAD<br />

2.24 Sean m y n son primos re<strong>la</strong>tivos. Muestre que si mn = a k , k ≥ 0; entonces existe x,y ∈ Z<br />

tal que m = x k y n = y k . Ayuda: Use <strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición en factores primos <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los<br />

<strong>números</strong>.<br />

2.25 Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> <strong>de</strong>scomposición prima n = ∏ k i pα i<br />

i . ¿mcm(pα 1<br />

1 , . . . , pα k<br />

k<br />

) = n?<br />

2.26 Supongamos que los enteros m y n son primos re<strong>la</strong>tivos. Muestre que si d|mn, entonces<br />

∃ b,c únicos tal que d = bc con b|m y c|n.<br />

2.27 Si 4|p − 3 y 3|p − 1, muestre que 12|p + 1.<br />

2.28 Sea n > 1 y p el más pequeño divisor primo <strong>de</strong> n. Muestre que mcd(n, p − 1) = 1<br />

2.29 Encuentre tres <strong>números</strong> a,b,c tal que mcd(a,b,c) = 1 pero que mcd(a,b) �= 1, mcd(a,c) �=<br />

1, mcd(b,c) �= 1.<br />

2.30 Probar que dos enteros consecutivos son primos re<strong>la</strong>tivos<br />

2.31 Probar que si mcd(a,b) = mcm(a,b) =⇒ a = b.<br />

2.32 Muestre que mcd(mg, g) = g si g ∈ N.<br />

2.33 Si a,b ∈ N, y si a|b calcule mcd(a,b) y mcm(a,b).<br />

2.34 Muestre que (∃ x, y ∈ Z tal que x + y = s ∧ mcd(x,y) = g) ⇐⇒ g|s, g ∈ Z + Ayuda:<br />

Una implicación es directa por Bezout, <strong>la</strong> otra requiere <strong>de</strong>scomponer kg = (k − 1)g + g<br />

2.35 Mostrar que si mcd(a,b) = mcd(c,d) = 1 y si a<br />

b<br />

p|qc y mcd(p,q) = 1, entonces p|c.<br />

2.36 Mostrar que mcd(a, b) = mcd(a, b, ax + by) con x,y ∈ Z<br />

2.37 Muestre que mcd(a, a + 2) = 1 ó 2<br />

c<br />

+ ∈ Z entonces |b| = |d|. Ayuda: Si<br />

d<br />

2.38 Sea p i el i−ésimo primo y sea N = p1p2 · · · pn−1 + 1. Muestre que N ≥ pn.<br />

2.39 Sean m, a,b ∈ Z. Muestre que mcd(ma,mb) = |m|mcd(a,b)<br />

2.40 Sea mcd(a,b) = 1. Muestre que si d = mcd(a + b, a − b) entonces d = 1 o d = 2.<br />

Sea mcd(a,b) = 1 y d = mcd(a + 2b,2a + b). Muestre que d|3a y d|3b y por tanto, d = 1 o d = 3.<br />

2.41 Muestre que para todo n ∈ N, n > 1; A = 1 + 1 1 1<br />

+ + ... +<br />

2 3 n<br />

no es entero

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