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Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

Introducción a la teoría de números. Ejemplos y - TEC-Digital

36 DIVISIBILIDAD 2.24

36 DIVISIBILIDAD 2.24 Sean m y n son primos relativos. Muestre que si mn = a k , k ≥ 0; entonces existe x,y ∈ Z tal que m = x k y n = y k . Ayuda: Use la descomposición en factores primos de cada uno de los números. 2.25 Consideremos la descomposición prima n = ∏ k i pα i i . ¿mcm(pα 1 1 , . . . , pα k k ) = n? 2.26 Supongamos que los enteros m y n son primos relativos. Muestre que si d|mn, entonces ∃ b,c únicos tal que d = bc con b|m y c|n. 2.27 Si 4|p − 3 y 3|p − 1, muestre que 12|p + 1. 2.28 Sea n > 1 y p el más pequeño divisor primo de n. Muestre que mcd(n, p − 1) = 1 2.29 Encuentre tres números a,b,c tal que mcd(a,b,c) = 1 pero que mcd(a,b) �= 1, mcd(a,c) �= 1, mcd(b,c) �= 1. 2.30 Probar que dos enteros consecutivos son primos relativos 2.31 Probar que si mcd(a,b) = mcm(a,b) =⇒ a = b. 2.32 Muestre que mcd(mg, g) = g si g ∈ N. 2.33 Si a,b ∈ N, y si a|b calcule mcd(a,b) y mcm(a,b). 2.34 Muestre que (∃ x, y ∈ Z tal que x + y = s ∧ mcd(x,y) = g) ⇐⇒ g|s, g ∈ Z + Ayuda: Una implicación es directa por Bezout, la otra requiere descomponer kg = (k − 1)g + g 2.35 Mostrar que si mcd(a,b) = mcd(c,d) = 1 y si a b p|qc y mcd(p,q) = 1, entonces p|c. 2.36 Mostrar que mcd(a, b) = mcd(a, b, ax + by) con x,y ∈ Z 2.37 Muestre que mcd(a, a + 2) = 1 ó 2 c + ∈ Z entonces |b| = |d|. Ayuda: Si d 2.38 Sea p i el i−ésimo primo y sea N = p1p2 · · · pn−1 + 1. Muestre que N ≥ pn. 2.39 Sean m, a,b ∈ Z. Muestre que mcd(ma,mb) = |m|mcd(a,b) 2.40 Sea mcd(a,b) = 1. Muestre que si d = mcd(a + b, a − b) entonces d = 1 o d = 2. Sea mcd(a,b) = 1 y d = mcd(a + 2b,2a + b). Muestre que d|3a y d|3b y por tanto, d = 1 o d = 3. 2.41 Muestre que para todo n ∈ N, n > 1; A = 1 + 1 1 1 + + ... + 2 3 n no es entero

EJERCICIOS 37 2.42 Mostrar que si d|(n 2 + 1) y d|((n + 1) 2 + 1) para algún entero n, entonces d = 1 d = 5. 2.43 Probar que la fracción(21n + 4)/(14n + 3) es irreducible para cualquier n ∈ Z 2.44 Sea N = 2p − 1, a) Probar que 2ab − 1 = (2a − 1)(1 + 2a + 22a + 23a + · · · + 2 (b−1)a ). Ayuda: Usar la identidad 1 + x + x2 + x3 + · · · + xk 1 − xk+1 = , x �= 1, k ∈ N. 1 − x b) Muestre que si N es primo, entonces p es primo. 2.45 Considere los números de Euler: Tn = 2 2n a) Muestre que 2 2n − 1 = T 2 n−1 − 2Tn−1 + 1 con n ∈ N. b) Muestre, usando a), que Tn − 2 = Tn−1Tn−2 · · · T0 c) Muestre que si m > n, mcd(Tn, Tm) = 1 2.46 Sea n entero positivo y S un conjunto con n + 1 elementos distintos tomados del conjunto {1,2,...,2n}. Muestre que hay al menos dos elementos en S primos relativos 2.47 n ≥ 2. Supongamos que tomamos n + 1 enteros al azar. Muestre que hay dos elementos tal que su diferencia es divisible por n. Ayuda: usar le principio del palomar y el algoritmo de la división: n + 1 enteros producen n + 1 restos, pero dividir por n solo produce n restos... 2.48 Mostrar que hay un número infinito de primos de la forma 4n + 3. Ayuda: Asuma que solo hay k primos de esa forma y considere el número N = 4p1p2 · · · p k + 3.

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